Artikel

13.1E: Fungsi Pelbagai Pemboleh ubah (Latihan) - Matematik


13.1: Fungsi Pelbagai Pemboleh ubah

Untuk latihan berikut, nilaikan setiap fungsi pada nilai yang ditunjukkan.

1) (W (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2. ) Cari (W (2, −1), W (−3,6) ).

Jawapan:
(W (2, −1) = 17, quad W (−3,6) = 72 )

2) (W (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 ). Cari (W (2 + j, 3 + j). )

3) Isi padu silinder bulat kanan dikira dengan fungsi dua pemboleh ubah, (V (x, y) = πx ^ 2y, ) di mana (x ) adalah jejari silinder pekeliling kanan dan ( y ) mewakili ketinggian silinder. Nilaikan (V (2,5) ) dan terangkan maksudnya.

Jawapan:
(V (2,5) = 20π , text {unit} ^ 3 ) Ini adalah isipadu ketika jari-jari (2 ) dan tingginya (5 ).

4) Tangki oksigen dibina dari silinder kanan dengan ketinggian (y ) dan jejari (x ) dengan dua belahan jari-jari (x ) dipasang di bahagian atas dan bawah silinder. Nyatakan isipadu silinder sebagai fungsi dari dua pemboleh ubah, (x ) dan (y ), cari (V (10,2) ), dan terangkan maksudnya.

Untuk latihan 5 - 10, cari domain dan julat fungsi yang diberikan. Nyatakan domain dalam notasi pembangun set dan julat dalam notasi selang.

5) (V (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 )

Jawapan:
Domain: ( {(x, y) | x in rm I ! R, y in rm I ! R } ) Maksudnya, semua titik dalam satah (xy ) -
Julat: ([0, infty) )

6) (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2−4} )

Jawapan:
Domain: ( {(x, y) | x ^ 2 + y ^ 2 ge 4 } )
Julat: ([0, infty) )

7) (f (x, y) = 4 ln (y ^ 2 − x) )

Jawapan:
Domain: ( {(x, y) | x Julat: ((- infty, infty) )

8) (g (x, y) = sqrt {16−4x ^ 2 − y ^ 2} )

Jawapan:
Domain: ( {(x, y) | frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {16} le 1 } )
Julat: ([0, 4] )

9) (z = arccos (y − x) )

Jawapan:
Domain: ( {(x, y) | x - 1 le y le x + 1 } ) Iaitu, semua titik di antara graf (y = x -1 ) dan (y = x +1 ).
Julat: ([0, pi] )

10) (f (x, y) = dfrac {y + 2} {x ^ 2} )

Jawapan:
Domain: ( {(x, y) | x neq 0 } )
Julat: ((- infty, infty) )

Cari julat fungsi.

11) (g (x, y) = sqrt {16−4x ^ 2 − y ^ 2} )

Jawapan:
( {z | 0≤z≤4 } )

12) (V (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 )

13) (z = y ^ 2 − x ^ 2 )

Jawapan:
Setnya ( rm I ! R )

Dalam latihan 14 - 29, cari lengkung tahap setiap fungsi pada nilai yang ditunjukkan (c ) untuk menggambarkan fungsi yang diberikan. Lakarkan plot kontur untuk latihan di mana anda diminta untuk lebih dari 3 nilai (c ).

14) (z (x, y) = y ^ 2 − x ^ 2, quad c = 1 )

15) (z (x, y) = y ^ 2 − x ^ 2, quad c = 4 )

Jawapan:
(y ^ 2 − x ^ 2 = 4, ) hiperbola

16) (g (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2; quad c = 0, 1, 2, 3, 4, 9 )

17) (g (x, y) = 4 − x − y; quad c = 0,1, 2, 3, 4 )

Jawapan:
Lengkung aras adalah garis dengan (y = -x + (4 - c) ).
Untuk setiap nilai (c ) ini adalah:
(c = 0: , y = -x + 4 ),
(c = 1: , y = -x + 3 ),
(c = 2: , y = -x + 2 ),
(c = 3: , y = -x + 1 ),
(c = 4: , y = -x ).
Plot kontur terdiri daripada rangkaian garis selari.

18) (f (x, y) = xy; c = 1; quad c = −1 )

19) (h (x, y) = 2x − y; quad c = -2,0,2 )

Jawapan:
(2x − y = 0,2x − y = −2,2x − y = 2; ) tiga baris

20) (f (x, y) = x ^ 2 − y; quad c = 1,2 )

21) (g (x, y) = dfrac {x} {x + y}; c = −1,0,1,2 )

Jawapan:
Lengkung aras adalah garis dengan bentuk (y = x kiri ( frac {1-c} {c} kanan) ). Pada (c = 0 ), kami menyelesaikannya terus dari persamaan ( dfrac {x} {x + y} = 0 ) untuk mendapatkan (x = 0 ).
Untuk setiap nilai (c ) ini adalah:
(c = -1: , y = -2x ),
(c = 0: , x = 0, teks {dengan} y ne 0 ),
(c = 1: , y = 0, teks {dengan} x ne 0 ),
(c = 2: , y = - frac {1} {2} x ).

22) (g (x, y) = x ^ 3 − y; quad c = −1,0,2 )

23) (g (x, y) = e ^ {xy}; quad c = frac {1} {2}, 3 )

Jawapan:
Keluk tahap mempunyai bentuk, (y = frac { ln c} {x} ).
Untuk setiap nilai (c ) ini adalah:
(c = frac {1} {2}: , y = frac { ln frac {1} {2}} {x} ) yang dapat ditulis semula sebagai, (y = - frac { ln 2} {x} )
(c = 3: , y = frac { ln 3} {x} ).

24) (f (x, y) = x ^ 2; quad c = 4,9 )

25) (f (x, y) = xy − x; quad c = −2,0,2 )

Jawapan:
Lengkung aras mempunyai bentuk: (y = frac {c} {x} + 1 ).
Di sini (y = frac {-2} {x} + 1, quad y = 1, quad y = frac {2} {x} + 1 ) atau (xy − x = −2, , xy − x = 0, , xy − x = 2 )

26) (h (x, y) = ln (x ^ 2 + y ^ 2); quad c = −1,0,1 )

27) (g (x, y) = ln ( frac {y} {x ^ 2}); quad c = −2,0,2 )

Jawapan:
Lengkung aras mempunyai bentuk, (y = e ^ c x ^ 2 ).
Untuk setiap nilai (c ) ini adalah:
(c = -2: , y = e ^ {- 2} x ^ 2 ),
(c = 0: , y = x ^ 2 ),
(c = 2: , y = e ^ {2} x ^ 2 ).

28) (z = f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad c = 3 )

29) (f (x, y) = dfrac {y + 2} {x ^ 2}, quad c = ) sebarang pemalar

Jawapan:
Keluk tahap adalah parabola dari bentuk (y = cx ^ 2−2, text {with} x ne 0 ).

Dalam latihan 30-32, cari jejak menegak fungsi pada nilai yang ditunjukkan (x ) dan (y ), dan plot jejaknya.

30) (z = 4 − x − y, quad x = 2 )

31) (f (x, y) = 3x + y ^ 3, quad x = 1 )

Jawapan:

(z = 3 + y ^ 3, ) lengkung di (zy ) - satah dengan peraturan selari dengan paksi (x ) -

32) (z = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad x = 1 )

Dalam latihan 33 - 38, cari domain dan julat setiap fungsi.

33) (z = sqrt {100−4x ^ 2−25y ^ 2} )

Jawapan:
Domain: ( {(x, y) | frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {4} ≤1 } )
Julat: ([0, 10] )

34) (z = ln (x − y ^ 2) )

35) (f (x, y, z) = dfrac {1} { sqrt {36−4x ^ 2−9y ^ 2 − z ^ 2}} )

Jawapan:
Domain: ( {(x, y, z) | frac {x ^ 2} {9} + frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {36} <1 } )
Julat: ([ frac {1} {6}, infty) )

36) (f (x, y, z) = sqrt {49 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2} )

37) (f (x, y, z) = sqrt [3] {16 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2} )

Jawapan:
Domain: Semua titik di (xyz ) - ruang
Julat: ( besar (- infty, sqrt [3] {16} besar] )

38) (f (x, y) = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Dalam latihan 39 - 40, petak grafik fungsi.

39) (z = f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Jawapan:

40) (z = x ^ 2 + y ^ 2 )

41) Gunakan teknologi untuk membuat grafik (z = x ^ 2y. )

Jawapan:

Dalam latihan 42 - 46, lakarkan fungsi dengan mencari lengkung tahapnya. Sahkan grafik menggunakan teknologi, seperti CalcPlot3D.

42) (f (x, y) = sqrt {4 − x ^ 2 − y ^ 2} )

43) (f (x, y) = 2− sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Jawapan:

44) (z = 1 + e ^ {- x ^ 2 − y ^ 2} )

45) (z = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Jawapan:

46) (z = y ^ 2 − x ^ 2 )

47) Huraikan garis kontur untuk beberapa nilai (c ) untuk (z = x ^ 2 + y ^ 2−2x − 2y. )

Jawapan:
Garis kontur adalah bulatan sepusat yang berpusat pada titik, ((1, 1) ).
Anda dapat melihatnya dengan melengkapkan kotak setelah menetapkan fungsi ini sama dengan (c ).
Maksudnya, kita menulis (x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2−2y + 1 = c + 2 ) yang boleh ditulis semula sebagai, ((x - 1) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 = c + 2 ).
Ini memberi kita bulatan berpusat pada titik, ((1, 1) ), masing-masing dengan jari-jari ( sqrt {c + 2} ).

Dalam latihan, 48 - 52, cari permukaan aras untuk nilai yang diberikan (c ) untuk setiap fungsi tiga pemboleh ubah dan terangkan.

48) (w (x, y, z) = x − 2y + z, quad c = 4 )

49) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, quad c = 9 )

Jawapan:
(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ), sfera jejari (3 )

50) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2, quad c = −4 )

51) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2, quad c = 4 )

Jawapan:
(x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2 = 4, ) hiperboloid satu helaian

52) (w (x, y, z) = 9x ^ 2−4y ^ 2 + 36z ^ 2, quad c = 0 )

Dalam latihan 53 - 55, cari persamaan keluk tahap (f ) yang mengandungi titik (P ).

53) (f (x, y) = 1−4x ^ 2 − y ^ 2, quad P (0,1) )

Jawapan:
(4x ^ 2 + y ^ 2 = 1, )

54) (g (x, y) = y ^ 2 arctan x, quad P (1,2) )

55) (g (x, y) = e ^ {xy} (x ^ 2 + y ^ 2), quad P (1,0) )

Jawapan:
(1 = e ^ {xy} (x ^ 2 + y ^ 2) )

56) Kekuatan (E ) medan elektrik pada titik ((x, y, z) ) yang dihasilkan dari wayar bermuatan panjang yang terbentang di sepanjang paksi (y ) diberikan oleh (E ( x, y, z) = k / sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ), di mana (k ) adalah pemalar positif. Untuk kesederhanaan, mari (k = 1 ) dan cari persamaan permukaan aras untuk (E = 10 ) dan (E = 100. )

57) Plat nipis yang diperbuat daripada besi terletak di satah (xy ) - Suhu (T ) dalam darjah Celsius pada titik (P (x, y) ) berbanding terbalik dengan kuadratnya jarak dari asal. Ungkapkan (T ) sebagai fungsi (x ) dan (y ).

Jawapan:
(T (x, y) = frac {k} {x ^ 2 + y ^ 2} )

58) Rujuk masalah sebelumnya. Dengan menggunakan fungsi suhu yang terdapat di sana, tentukan pemalar berkadar jika suhu pada titik (P (1,2) ) adalah (50 ° C. ) Gunakan pemalar ini untuk menentukan suhu pada titik (Q (3, 4). )

59) Rujuk masalah sebelumnya. Cari lengkung aras untuk (T = 40 ° C ) dan (T = 100 ° C, ) dan terangkan apa yang dilambangkan oleh lengkung aras.

Jawapan:
(x ^ 2 + y ^ 2 = frac {k} {40}, quad x ^ 2 + y ^ 2 = frac {k} {100} ). Lengkung aras mewakili bulatan jejari ( sqrt {10k} / 20 ) dan ( sqrt {k} / 10 )

Penyumbang

  • Gilbert Strang (MIT) dan Edwin "Jed" Herman (Harvey Mudd) dengan banyak penulis penyumbang. Kandungan oleh OpenStax ini dilesenkan dengan lesen CC-BY-SA-NC 4.0. Muat turun secara percuma di http://cnx.org.

  • Paul Seeburger (Monroe Community College) menyunting LaTeX dan menambahkan plot kontur untuk jawapan bagi masalah 17, 21 dan 29.