Artikel

2.4: Sifat Nombor Sebenar - Matematik


Gambaran keseluruhan

  • Sifat Penutupan
  • Sifat Komutatif
  • Hartanah Bersekutu
  • Sifat Pembahagian
  • Sifat Identiti
  • Sifat Terbalik

Harta tanah

A harta benda kumpulan objek adalah ciri yang menggambarkan koleksi. Kami sekarang akan memeriksa beberapa sifat pengumpulan nombor nyata. Sifat yang akan kita kaji dinyatakan dalam bentuk penambahan dan pendaraban.

Sifat Penutupan

Sifat Penutupan

Sekiranya (a ) dan (b ) adalah nombor nyata, maka (a + b ) adalah nombor nyata yang unik, dan (a cdot b ) adalah nombor nyata yang unik.

Contohnya, 3 dan 11 adalah nombor nyata; (3 + 11 = 14 ) dan (3 cdot 11 = 33 ), dan kedua-dua 14 dan 33 adalah nombor nyata. Walaupun harta tanah ini nampak jelas, beberapa koleksi tidak ditutup di bawah operasi tertentu. Sebagai contoh,

- Nombor nyata tidak ditutup di bawah pembahagian sejak, walaupun 5 dan 0 adalah nombor nyata, (5/0 ) dan (0/0 ) bukan nombor nyata.

- Nombor semula jadi tidak ditutup di bawah pengurangan sejak, walaupun 8 adalah nombor semula jadi, (8 - 8 ) tidak. ( (8 - 8 = 0 ) dan 0 bukan nombor semula jadi).

Sifat Komutatif

Mari (a ) dan (b ) mewakili nombor nyata.

Sifat Komutatif

Harta Komutatif Penambahan:

(a + b = b + a )

Harta Penggandaan Pendaraban:

(a cdot b = b cdot a )

Sifat komutatif memberitahu kita bahawa dua nombor dapat ditambah atau didarab dalam urutan apa pun tanpa mempengaruhi hasilnya.

Set Contoh A

Berikut adalah contoh sifat komutatif.

Contoh ( PageIndex {1} )

(3 + 4 = 4 + 3 ) Kedua-duanya sama 7

Contoh ( PageIndex {2} )

(5 + x = x + 5 ) Kedua-duanya mewakili jumlah yang sama.

Contoh ( PageIndex {3} )

(4 cdot 8 = 8 cdot 4 ) Kedua-duanya sama 32

Contoh ( PageIndex {4} )

(y7 = 7y ) Kedua-duanya mewakili produk yang sama

Contoh ( PageIndex {5} )

(5 (a + 1) = (a + 1) 5 ) Kedua-duanya mewakili produk yang sama

Contoh ( PageIndex {6} )

((x + 4) (y + 2) = (y + 2) (x + 4) ) Kedua-duanya mewakili produk yang sama

Set Amalan A

Isi () dengan nombor atau huruf yang betul supaya kenyataan itu benar. Gunakan sifat komutatif.

Masalah Amalan ( PageIndex {1} )

(6 + 5 + ( ) + 6)

Jawapan

5

Masalah Amalan ( PageIndex {2} )

(m + 12 = 12 + () )

Jawapan

(m )

Masalah Amalan ( PageIndex {3} )

(9 cdot 7 = () cdot 9 )

Jawapan

7

Masalah Amalan ( PageIndex {4} )

(6a = a () )

Jawapan

6

Masalah Amalan ( PageIndex {5} )

(4 (k - 5) = () 4 )

Jawapan

(k - 5 )

Masalah Amalan ( PageIndex {6} )

((9a - 1) () = (2b + 7) (9a - 1) )

Jawapan

(2b + 7 )

Hartanah Bersekutu

Mari (a ), (b ), dan (c ) mewakili nombor nyata.

Hartanah Bersekutu

Harta Gabungan Penambahan:

((a + b) + c = a + (b + c) )

Harta Gabungan Pendaraban:

((ab) c = a (bc) )

Sifat bersekutu memberitahu kami bahawa kami dapat mengumpulkan kuantiti sesuka hati tanpa mempengaruhi hasilnya.

Set Contoh B

Contoh berikut menunjukkan bagaimana sifat bersekutu dapat digunakan.

Contoh ( PageIndex {7} )

((2 + 6) + 1 = 2 + (6 + 1))

(8 + 1 = 2 + 7)

(9 = 9)

Kedua-duanya sama 9

Contoh ( PageIndex {8} )

((3 + x) + 17 = 3 + (x + 17) )

Kedua-duanya mewakili jumlah yang sama.

Contoh ( PageIndex {9} )

((2 cdot 3) cdot 5 = 2 cdot (3 cdot 5) )

(6 cdot 5 = 2 cdot 15 )

(30 = 30)

Kedua-duanya sama 30

Contoh ( PageIndex {10} )

((y) 4 = 9 (y4) )

Kedua-duanya mewakili produk yang sama.

Set Amalan B

Isi () untuk menjadikan setiap pernyataan itu benar. Gunakan sifat bersekutu.

Masalah Amalan ( PageIndex {7} )

((9 + 2) + 5 = 9 + ( ))

Penyelesaian

(2 + 5)

Masalah Amalan ( PageIndex {8} )

(x + (5 + y) = () + y )

Penyelesaian

(x + 5 )

Masalah Amalan ( PageIndex {9} )

((11a) 6 = 11 () )

Penyelesaian

(a cdot 6 )

Masalah Amalan ( PageIndex {10} )

([(7m - 2) (m + 3)] (m + 4) = (7m - 2) [() ()] )

Penyelesaian

((m + 3) (m + 4) )

Set Contoh C

Contoh ( PageIndex {11} )

Permudahkan (susun semula menjadi bentuk yang lebih mudah): (5x6b8ac4 ).

Menurut sifat penggandaan penggandaan, kita dapat membuat satu rangkaian pertukaran berturut-turut dan mengumpulkan semua nombor dan semua huruf bersama-sama.

(5 cdot 6 cdot 8 cdot 4 cdot x cdot b cdot a cdot c )

(960xbac ) Gandakan nombor.

(960abcx ) Secara konvensional, kami, bila boleh, menulis semua huruf mengikut urutan abjad.

Set Amalan C

Permudahkan setiap kuantiti berikut.

Masalah Amalan ( PageIndex {11} )

(3a7y9d )

Penyelesaian

(189ady )

Masalah Amalan ( PageIndex {12} )

(6b8acz4 cdot5 )

Penyelesaian

(960abcz )

Masalah Amalan ( PageIndex {13} )

(4p6qr3 (a + b) )

Penyelesaian

(72pqr (a + b) )

Sifat Pembahagian

Semasa pertama kali diperkenalkan dengan pendaraban, kami melihat bahawa ia dikembangkan sebagai penerangan untuk penambahan berulang.

(4 + 4 + 4 = 3 cdot 4 )

Perhatikan bahawa ada tiga 4, iaitu, 4 muncul 3 kali. Oleh itu, 3 kali 4.
Kita tahu bahawa aljabar adalah aritmetik umum. Kita sekarang boleh membuat generalisasi yang penting.

Apabila nombor (a ) ditambahkan berulang kali (n ) kali, kita mempunyai:

( underbrace {a + a + a + cdots + a} _ {a text {muncul} n teks {kali}} )

Kemudian, dengan menggunakan pendaraban sebagai penerangan untuk penambahan berulang, kita dapat menggantikan:

( underbrace {a + a + a + cdots + a} _ {n text {times}} ) dengan (na )

Sebagai contoh:

(x + x + x + x ) dapat ditulis sebagai (4x ) kerana (x ) diulang ditambahkan (4 ) kali.

(x + x + x + x = 4x )

(r + r ) boleh ditulis sebagai (2r ) kerana (r ) berulang kali ditambahkan (2 ) kali.

(r + r = 2r )

Harta pengagihan melibatkan pendaraban dan penambahan. Mari tulis semula (4 (a + b) ). Kami meneruskan dengan membaca (4 (a + b) ) sebagai pendaraban: 4 kali kuantiti ((a + b) ). Ini mengarahkan kita untuk menulis:

$$
mulakan {sejajar}
4 (a + b) & = (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b)
& = a + b + a + b + a + b + a + b
hujung {sejajar}
]

Sekarang kita menggunakan harta komutatif sebagai tambahan untuk mengumpulkan semua (a ) dan semua (b ) bersama-sama.

$$
4 (a + b) = underbrace {a + a + a + a} _ {4 a ^ { prime} s} + underbrace {b + b + b + b} _ {4 b ^ { prime} s}
$$
Sekarang, menggunakan pendaraban sebagai penerangan untuk penambahan berulang, kita ada
$$
4 (a + b) = 4 a + 4 b
$$
Kami telah mengagihkan 4 jumlah tersebut kepada kedua (a ) dan (b )
(4 (a + b) = 4a + 4b )

Harta Pengagihan

(a (b + c) = a cdot b + a cdot c )

((b + c) a = a cdot b + a cdot c )

Harta pengagihan berguna apabila kita tidak dapat atau tidak mahu melakukan operasi dalam kurungan.

Set Contoh D

Gunakan harta pengedaran untuk menulis semula setiap kuantiti berikut.

Contoh ( PageIndex {12} )

(2 (5 + 7) = 2 cdot 5 + 2 cdot 7 quad text {Kedua-duanya sama} 24 )

Contoh ( PageIndex {13} )

(6 (x + 3) = 6 cdot x + 6 cdot 3 ) Kedua-duanya mewakili nombor yang sama.

= (6x + 18 )

Contoh ( PageIndex {14} )

((z + 5) y = zy + 5y = yz + 5y )

Set Amalan D

Latihan ( PageIndex {14} )

Apakah sifat nombor nyata yang membenarkan:

(a (b + c) = (b + c) a )?

Jawapan

sifat penggandaan pendaraban

Gunakan harta pengedaran untuk menulis semula setiap kuantiti berikut.

Latihan ( PageIndex {1} )

(3(2 + 1))

Jawapan

6 + 3

Latihan ( PageIndex {1} )

((x + 6) 7 )

Jawapan

(7x + 42 )

Latihan ( PageIndex {1} )

(4 (a + y) )

Jawapan

(4a + 4y )

Latihan ( PageIndex {1} )

((9 + 2) a )

Jawapan

(9a + 2a )

Latihan ( PageIndex {1} )

(a (x + 5) )

Jawapan

(kapak + 5a )

Latihan ( PageIndex {1} )

(1 (x + y) )

Jawapan

(x + y )

Sifat Identiti

Bahan tambah Identiti

Nombor 0 disebut sebagai identiti tambah kerana apabila ditambahkan ke nombor nyata, ia mengekalkan identiti nombor tersebut. Nol adalah satu-satunya identiti tambahan.
Contohnya, (6 + 0 = 6 )

Berganda Identiti

Nombor 1 dipanggil identiti pendaraban kerana apabila mengalikan nombor nyata, ia mengekalkan identiti nombor itu. Salah satunya adalah satu-satunya identiti pendaraban.
Contohnya (6 cdot 1 = 6 ).

Kami merangkum sifat identiti seperti berikut:

Harta Identiti Tambahan

Sekiranya (a ) adalah nombor nyata, maka:

(a + 0 = a ) dan (0 + a = a )

Harta Identiti Pendaraban

Sekiranya (a ) adalah nombor nyata, maka:

(a cdot 1 = a ) dan (1 cdot a = a )

Sifat Terbalik

Bahan tambah Inverses

Apabila dua nombor ditambahkan bersama dan hasilnya adalah identiti aditif, 0, nombor dipanggil songsang tambah antara satu sama lain. Contohnya, apabila 3 ditambahkan ke −3 hasilnya adalah 0, iaitu, (3 + (- 3) = 0 ). Nombor 3 dan −3 adalah kebalikan antara satu sama lain.

Berganda Inverses

Apabila dua nombor digandakan bersama dan hasilnya adalah identiti darab, 1, nombor dipanggil pendalikan darab antara satu sama lain. Contohnya, apabila (6 ) dan ( dfrac {1} {6} ) dikalikan bersama, hasilnya adalah 1, iaitu, (6 cdot 16 = 1 ). Nombor 6 dan ( dfrac {1} {6} ) adalah terbalik darab satu sama lain.

Kami merangkum sifat terbalik seperti berikut:

Sifat Terbalik:

1. Sekiranya (a ) ada nombor nyata, maka ada nombor nyata yang unik (- a ), seperti itu
(a + (-a) = 0 ) dan (- a + a = 0 )
Nombor (a ) dan (- a ) dipanggil songsang tambah antara satu sama lain.

2. Sekiranya (a ) adalah nombor nyata bukan nol, maka terdapat nombor nyata yang unik ( dfrac {1} {a} ) sehingga
(a cdot dfrac {1} {a} = 1 ) dan ( dfrac {1} {a} cdot a = 1 ).
Nombor (a ) dan ( dfrac {1} {a} ) dipanggil pendalikan darab antara satu sama lain.

Memperluas Kuantiti:

Apabila kita melakukan operasi seperti (6 (a + 3) = 6a + 18 ), kita mengatakan bahawa kita mengembang kuantiti (6 (a + 3) ).

Latihan

Gunakan sifat komutatif penambahan dan pendaraban untuk menulis ungkapan untuk bilangan yang sama untuk masalah berikut. Anda tidak perlu melakukan pengiraan.

Latihan ( PageIndex {1} )

(x + 3 )

Jawapan

(3 + x )

Latihan ( PageIndex {2} )

(5 + y )

Latihan ( PageIndex {3} )

(10x )

Jawapan

(x10 )

Latihan ( PageIndex {4} )

(18z )

Latihan ( PageIndex {5} )

(r6 )

Jawapan

(6r )

Latihan ( PageIndex {6} )

(kapak )

Latihan ( PageIndex {7} )

(xc )

Jawapan

(cx )

Latihan ( PageIndex {8} )

(7 (2 + b) )

Latihan ( PageIndex {9} )

(6 (s + 1) )

Jawapan

((s + 1) 6 )

Latihan ( PageIndex {10} )

((8 + a) (x + 6) )

Latihan ( PageIndex {11} )

((x + 16) (a + 7) )

Jawapan

((a + 7) (x + 16) )

Latihan ( PageIndex {12} )

((x + y) (x - y) )

Latihan ( PageIndex {13} )

(0.06m )

Jawapan

(m (0.06) )

Latihan ( PageIndex {14} )

(x + 3 )

Jawapan

(3 + x )

Latihan ( PageIndex {15} )

(5 (6h + 1) )

Jawapan

((6h + 1) 5 )

Latihan ( PageIndex {16} )

(m (a + 2b) )

Latihan ( PageIndex {17} )

(k (10a - b) )

Jawapan

((10a - b) k )

Latihan ( PageIndex {18} )

((21c) (0,008) )

Latihan ( PageIndex {19} )

((-16)(4))

Jawapan

((4)(-16))

Latihan ( PageIndex {20} )

((5) (b - 6) )

Permudahkan penggunaan sifat penggandaan pendaraban untuk masalah berikut. Anda tidak perlu menggunakan harta pengagihan.

Latihan ( PageIndex {21} )

(9x2y )

Jawapan

(18xy )

Latihan ( PageIndex {22} )

(5a6b )

Latihan ( PageIndex {23} )

(2a3b4c )

Jawapan

(24abc )

Latihan ( PageIndex {24} )

(5x10y5z )

Latihan ( PageIndex {25} )

(1u3r2z5m1n )

Jawapan

(30mnruz )

Latihan ( PageIndex {26} )

(6d4e1f2 (g + 2h) )

Latihan ( PageIndex {27} )

(( dfrac {1} {2}) d ( dfrac {1} {4}) e ( dfrac {1} {2}) a )

Jawapan

( dfrac {1} {16} ade )

Latihan ( PageIndex {28} )

(3 (a + 6) 2 (a - 9) 6b )

Latihan ( PageIndex {29} )

(1 (x + 2y) (6 + z) 9 (3x + 5y) )

Jawapan

(9 (x + 2y) (6 + z) (3x + 5y) )

Untuk masalah berikut, gunakan harta pengedaran untuk memperbesar kuantiti.

Latihan ( PageIndex {30} )

(2 (y + 9) )

Latihan ( PageIndex {31} )

(b (r + 5) )

Jawapan

(br + 5b )

Latihan ( PageIndex {32} )

(m (u + a) )

Latihan ( PageIndex {33} )

(k (j + 1) )

Jawapan

(jk + k )

Latihan ( PageIndex {34} )

(x (2y + 5) )

Latihan ( PageIndex {35} )

(z (x + 9w) )

Jawapan

(xz + 9wz )

Latihan ( PageIndex {36} )

((1 + d) e )

Latihan ( PageIndex {37} )

((8 + 2f) g )

Jawapan

(8g + 2fg )

Latihan ( PageIndex {38} )

(c (2a + 10b) )

Latihan ( PageIndex {39} )

(15x (2y + 3z) )

Jawapan

(30xy + 45xz )

Latihan ( PageIndex {40} )

(8y (12a + b) )

Latihan ( PageIndex {41} )

(z (x + y + m) )

Jawapan

(xz + yz + mz )

Latihan ( PageIndex {42} )

((a + 6) (x + y) )

Latihan ( PageIndex {43} )

((x + 10) (a + b + c) )

Jawapan

(zx + bx + cx + 10a + 10b + 10c )

Latihan ( PageIndex {44} )

(1 (x + y) )

Latihan ( PageIndex {45} )

(1 (a + 16) )

Jawapan

(a + 16 )

Latihan ( PageIndex {46} )

(0.48 (0.34a + 0.61) )

Latihan ( PageIndex {47} )

(21.5 (16.2a + 3.8b + 0.7c) )

Jawapan

(348.3a + 81.7b + 15.05c )

Latihan untuk Semakan

Latihan ( PageIndex {48} )

Cari nilai (4 cdot 2 + 5 (2 cdot 4 - 6 div 3) - 2 cdot 5 ).

Latihan ( PageIndex {49} )

Adakah pernyataan (3 (5 cdot 3 - 3 cdot 5) + 6 cdot 2 - 3 cdot 4 <0 ) benar atau salah?

Jawapan

salah

Latihan ( PageIndex {50} )

Lukiskan garis nombor yang memanjang dari (- 2 ) hingga (2 ) dan letakkan titik pada semua bilangan bulat antara dan termasuk (- 2 ) dan (3 ).

Latihan ( PageIndex {51} )

Gantikan (* ) dengan simbol hubungan yang sesuai ((<,>) ). (- 7 * -3 ).

Jawapan

(<)

Latihan ( PageIndex {52} )

Nombor bulat apa yang dapat menggantikan (x ) sehingga penyataan (- 2 le x <2 ) itu benar?


Persamaan yang ditulis semula

Untuk sebarang nombor nyata a dan b, a + b = b + a.

Pengurangan tidak bersifat komutatif. Sebagai contoh, 4 - 7 tidak mempunyai perbezaan yang sama dengan 7 - 4. Tanda - di sini bermaksud pengurangan.

Namun, ingat bahawa 4 - 7 dapat ditulis semula sebagai 4 + (- 7), kerana mengurangkan nombor adalah sama dengan menambahkan sebaliknya. Dengan menggunakan sifat komutatif untuk penambahan di sini, anda boleh mengatakan bahawa 4 + (- 7) sama dengan (- 7) + 4. Perhatikan bagaimana ungkapan ini sangat berbeza daripada 7 - 4.

Sekarang lihat beberapa contoh pendaraban.

Harta Penggandaan Pendaraban

Untuk sebarang nombor nyata a dan b, a · b = b · a.

Pesanan tidak menjadi masalah selagi kedua-dua kuantiti itu digandakan bersama. Harta ini berfungsi untuk nombor nyata dan pemboleh ubah yang mewakili nombor nyata.

Sama seperti pengurangan tidak komutatif, begitu juga pembahagian komutatif. 4 ÷ 2 tidak mempunyai hasil bagi 2 ÷ 4.

Tulis ungkapan (15.5) + 35.5 dengan cara yang berbeza, menggunakan sifat komutatif penambahan, dan menunjukkan bahawa kedua ungkapan menghasilkan jawapan yang sama.

Dengan menggunakan sifat komutatif, anda boleh menukar - 15.5 dan 35.5 supaya mereka berada dalam urutan yang berbeza.

Menambah 35.5 dan - 15.5 adalah sama dengan mengurangkan 15.5 dari 35.5. Jumlahnya ialah 20.

Jawapan (- 15.5) + 35.5 = 20 dan 35.5 + (- 15.5) = 20

Tulis semula 52 • y dengan cara yang berbeza, menggunakan sifat penggandaan pendaraban. Perhatikan bahawa y mewakili nombor nyata.

Tidak betul. Anda tidak boleh menukar satu digit dari 52 dan melampirkannya ke pemboleh ubah y. Jawapan yang betul adalah y • 52.

Tidak betul. Ini adalah cara lain untuk menulis semula 52 • y, tetapi harta komutatif belum digunakan. Jawapan yang betul adalah y • 52.

Tidak betul. Anda tidak perlu faktor 52 menjadi 26 · 2. Jawapan yang betul adalah y • 52.

Betul. Urutan faktor diterbalikkan.

Sifat Gabungan Penambahan dan Pendaraban

The harta bersekutu penambahan menyatakan bahawa nombor dalam ungkapan penambahan dapat dikelompokkan dengan cara yang berbeza tanpa mengubah jumlahnya. Anda boleh mengingati maksud harta bersekutu dengan mengingatnya ketika anda bersekutu dengan ahli keluarga, rakan, dan rakan sekerja, anda akhirnya membentuk kumpulan dengan mereka.

Berikut adalah dua cara untuk mempermudah masalah penambahan yang sama. Dalam contoh pertama, 4 dikumpulkan dengan 5, dan 4 + 5 = 9.

Di sini, masalah yang sama diatasi dengan mengelompokkan 5 dan 6 terlebih dahulu, 5 + 6 = 11.

Dalam kedua kes tersebut, jumlahnya sama. Ini menggambarkan bahawa mengubah pengelompokan nombor ketika menambahkan menghasilkan jumlah yang sama.

Ahli matematik sering menggunakan tanda kurung untuk menunjukkan operasi mana yang harus dilakukan terlebih dahulu dalam persamaan algebra. Masalah penambahan dari atas ditulis semula di sini, kali ini menggunakan tanda kurung untuk menunjukkan kumpulan bersekutu.

Jelas bahawa tanda kurung tidak mempengaruhi jumlahnya, jumlahnya sama tidak kira di mana tanda kurung diletakkan.

Harta Gabungan Penambahan

Untuk sebarang nombor nyata a, b, dan c, (a + b) + c = a + (b + c).

Contoh di bawah menunjukkan bagaimana harta bersekutu dapat digunakan untuk mempermudah ungkapan dengan nombor nyata.

Tulis semula 7 + 2 + 8.5 - 3.5 dalam dua cara yang berbeza menggunakan sifat penambahan bersekutu. Tunjukkan bahawa ungkapan menghasilkan jawapan yang sama.

Harta bersekutu tidak berlaku untuk ungkapan yang melibatkan pengurangan. Jadi, tulis semula ungkapan sebagai penambahan nombor negatif.

Kumpulan 7 dan 2, dan tambahkannya bersama. Kemudian, tambah 8.5 pada jumlah itu. Akhirnya, tambah - 3.5, yang sama dengan mengurangkan 3.5.

Kurangkan 3.5. Jumlahnya ialah 14.

Kumpulan 8.5 dan –3.5, dan tambahkannya bersama-sama untuk mendapatkan 5. Kemudian tambahkan 7 dan 2, dan tambahkan jumlah itu ke 5.

Jawapan (7 + 2) + 8.5 – 3.5 = 14 dan 7 + 2 + (8.5 + (−3.5)) = 14

Pendaraban mempunyai sifat bersekutu yang berfungsi sama seperti yang ada untuk penambahan. The harta persatuan pendaraban menyatakan bahawa nombor dalam ungkapan pendaraban dapat dikumpulkan semula menggunakan tanda kurung. Sebagai contoh, ungkapan di bawah boleh ditulis semula dengan dua cara yang berbeza menggunakan harta bersekutu.

Tanda kurung tidak mempengaruhi produk, produknya sama tidak kira di mana tanda kurung berada.

Harta Gabungan Pendaraban

Untuk sebarang nombor nyata a, b, dan c, (ab) • c = a • (bc).

Tulis semula hanya menggunakan harta bersekutu.

Betul. Di sini, nombor dikumpulkan semula. Sekarang dan dikelompokkan dalam kurungan dan bukannya 6.

Tidak betul. Urutan nombor tidak akan berubah semasa anda menulis semula ungkapan menggunakan sifat pendaraban. Bagaimana mereka berkumpulan harus berubah. Jawapan yang betul adalah.

Tidak betul. Urutan nombor tidak akan berubah semasa anda menulis semula ungkapan menggunakan sifat pendaraban. Sahaja bagaimana mereka berkumpulan harus berubah. Jawapan yang betul adalah.

Tidak betul. Melipatgandakan dalam kurungan bukanlah aplikasi harta tanah. Jawapan yang betul adalah.

Menggunakan Properti Bersekutu dan Komutatif

Anda akan dapati bahawa sifat bersekutu dan komutatif adalah alat bantu dalam aljabar, terutamanya ketika anda menilai ungkapan. Dengan menggunakan sifat komutatif dan asosiatif, anda boleh menyusun semula istilah dalam ungkapan supaya nombor yang serasi saling bersebelahan dan dikumpulkan bersama. Nombor yang serasi adalah nombor yang mudah dikira oleh anda, seperti 5 + 5, atau 3 · 10, atau 12 - 2, atau 100 ÷ 20. (Kriteria utama untuk nombor yang serasi ialah mereka "berfungsi dengan baik" bersama-sama.) Kedua-dua contoh di bawah menunjukkan bagaimana ini dilakukan.

Nilaikan ungkapan 4 · (x · 27) bila .

Gunakan sifat pendaraban pendaraban untuk mengumpulkan semula faktor-faktor tersebut sehingga 4 dan saling bersebelahan. Mengalikan 4 dengan pertama menjadikan ungkapan sedikit lebih mudah dinilai daripada mengalikan dengan 27.

Banyakkan. 4 kali = −3, dan −3 kali 27 ialah −81.

Permudahkan: 4 + 12 + 3 + 4 - 8.

Kenalpasti nombor yang serasi. 4 + 4 adalah 8, dan ada hadiah −8. Ingat bahawa anda boleh memikirkan - 8 sebagai + (−8). Gunakan penambahan sifat komutatif untuk mengumpulkannya.

Gunakan harta bersekutu untuk kumpulan 4 + 4 + (−8).

Tambahkan syarat yang selebihnya.

Jawapan 4 + 12 + 3 + 4 – 8 = 15

Permudahkan ungkapan: −5 + 25 - 15 + 2 + 8

Tidak betul. Apabila anda menggunakan sifat komutatif untuk menyusun semula tambahan, pastikan tambahan negatif membawa tanda negatifnya. Jawapan yang betul ialah 15.

Betul. Gunakan sifat komutatif untuk menyusun semula ungkapan supaya nombor serasi saling bersebelahan, dan kemudian gunakan harta bersekutu untuk mengelompokkannya.

Tidak betul. Periksa penambahan dan pengurangan anda, dan fikirkan urutan di mana anda menambahkan nombor ini. Gunakan sifat komutatif untuk menyusun semula penambahan supaya nombor serasi saling bersebelahan. Jawapan yang betul ialah 15.

Tidak betul. Nampaknya anda tidak menghiraukan tanda negatif di sini. Apabila anda menggunakan sifat komutatif untuk menyusun semula tambahan, pastikan tambahan negatif membawa tanda negatifnya. Jawapan yang betul ialah 15.

Harta Pengagihan

The harta pembahagian pendaraban adalah harta yang sangat berguna yang membolehkan anda menulis semula ungkapan di mana anda mengalikan nombor dengan jumlah atau perbezaan. Harta tersebut menyatakan bahawa produk jumlah atau perbezaan, seperti 6 (5 - 2), sama dengan jumlah atau perbezaan produk, dalam hal ini, 6 (5) - 6 (2).

Properti pendaraban pendaraban boleh digunakan apabila anda mengalikan nombor dengan jumlah. Sebagai contoh, anggap anda mahu mengalikan 3 dengan jumlah 10 + 2.

Berdasarkan harta ini, anda boleh menambah nombor 10 dan 2 terlebih dahulu dan kemudian kalikan dengan 3, seperti yang ditunjukkan di sini: 3 (10 + 2) = 3 (12) = 36. Sebagai alternatif, anda boleh mengalikan terlebih dahulu masing-masing tambah dengan 3 (ini disebut mengedar 3), dan kemudian anda boleh menambah produk. Proses ini ditunjukkan di sini.

Produknya sama.

Oleh kerana pendaraban adalah komutatif, anda boleh menggunakan harta pengagihan tanpa mengira urutan faktornya.

Sifat Pembahagian

Untuk sebarang nombor nyata a, b, dan c:

Pendaraban mengagihkan melalui penambahan: a(b + c) = ab + ac

Pendaraban mengagihkan melalui pengurangan: a(bc) = abac

Tulis semula ungkapan 10 (9 - 6) menggunakan harta pengagihan.

Tidak betul. Oleh kerana pengurangan tidak bersifat komutatif, anda tidak boleh mengubah urutannya. Jawapan yang betul ialah 10 (9) - 10 (6).

Tidak betul. Ini adalah kaedah yang betul untuk mencari jawapannya. Tetapi soalan itu meminta anda menulis semula masalah tersebut dengan menggunakan harta pengedar. Jawapan yang betul ialah 10 (9) - 10 (6).

Tidak betul. Anda menukar susunan 6 dan 9. Perhatikan bahawa pengurangan tidak bersifat komutatif dan anda tidak menggunakan harta pengedaran. Jawapan yang betul ialah 10 (9) - 10 (6).

Betul. 10 diedarkan dengan betul sehingga digunakan untuk mengalikan 9 dan 6 secara berasingan.

Pembahagian dengan Pemboleh ubah

Selagi pemboleh ubah mewakili nombor nyata, harta pembahagian boleh digunakan dengan pemboleh ubah. Harta agihan adalah penting dalam aljabar, dan anda sering akan melihat ungkapan seperti ini: 3 (x - 5). Sekiranya anda diminta untuk memperluas ungkapan ini, anda boleh menggunakan harta pengedaran seperti yang anda lakukan sekiranya anda bekerja dengan bilangan bulat.

3 (x – 5 ) = 3(x) – 3(5) = 3x – 15

Ingat, apabila anda mengalikan nombor dan pemboleh ubah, anda hanya boleh menulisnya bersebelahan untuk menyatakan kuantiti darab. Jadi, ungkapan "tiga kali ganda pemboleh ubah xBoleh ditulis dengan beberapa cara: 3x, 3(x), atau 3 · x.

Gunakan harta distributif untuk meluaskan ungkapan 9 (4 + x).

Sebarkan 9 dan darab.

Jawapan 9(4 + x) = 36 + 9x

Gunakan harta distributif untuk menilai ungkapan 5 (2x - 3) bila x = 2.

Pengganti 2 untuk x, dan menilai.

Jawapan Bila x = 2, 5(2x – 3) = 5.

Dalam contoh di atas, apa yang anda fikir akan berlaku sekiranya anda menggantikannya x = 2 sebelum mengedarkan 5? Adakah anda akan mendapat jawapan yang sama dengan 5? Contoh di bawah menunjukkan apa yang akan berlaku.

Gunakan harta distributif untuk menilai ungkapan 5 (2x - 3) bila x = 2.

Jawapan Bila x = 2, 5(2x – 3) = 5.

Harta pengagihan juga dapat membantu anda memahami idea asas dalam aljabar: jumlah seperti 3x dan 12x boleh ditambahkan dan dikurangkan dengan cara yang sama seperti nombor 3 dan 12. Mari kita lihat satu contoh dan lihat bagaimana ia dapat dilakukan.

Tambah: 3x + 12x.

3x adalah 3 kali x, dan 12x ialah 12 kali x.

Dari mengkaji harta pengagihan (dan juga menggunakan harta komutatif), anda tahu bahawa x(3 + 12) sama dengan

Gabungkan istilah dalam kurungan:

Jawapan 3x + 12x = 15x

Adakah anda melihat apa yang berlaku? Dengan memikirkan x sebagai kuantiti yang diedarkan, anda dapat melihatnya 3x + 12x = 15x. (Sekiranya anda tidak pasti mengenai perkara ini, cuba ganti nombor mana pun dengan x dalam ungkapan ini ... anda akan dapati bahawa ia berlaku!)

Kumpulan istilah yang terdiri daripada pekali yang didarab dengan pemboleh ubah yang sama disebut "istilah seperti". Jadual di bawah menunjukkan beberapa kumpulan istilah yang berbeza:

3x, 7x, −8x, −0.5x

−1.1y, −4y, −8y

12t, 25t, 100t, 1t

4ab, −8ab, 2ab

Bila-bila masa anda melihat sebutan seperti dalam ungkapan atau persamaan algebra, anda boleh menambah atau mengurangkannya seperti anda akan menambah atau mengurangkan nombor nyata. Jadi, sebagai contoh,

10y + 12y = 22y, dan 8x – 3x – 2x = 3x.

Berhati-hati untuk tidak menggabungkan istilah yang tidak mempunyai pemboleh ubah yang sama: 4x + 2y bukan 6xy!

Permudahkan: 10y + 5y + 9x – 6xx.

10y + 5y + 9x – 6xx

Terdapat sebutan serupa dalam ungkapan ini, kerana semuanya terdiri dari pekali yang didarab dengan pemboleh ubah x atau y. Perhatikan bahawa - x sama dengan (−1)x.

Tambahkan istilah seperti. 10y + 5y = 15y, dan

9x – 6xx = 2x.

Jawapan 10y + 5y + 9x – 6xx = 15y + 2x

Permudahkan: 12xx + 2x – 8x.

Tidak betul. Nampaknya anda menambah semua syarat. Perhatikan bahawa −x dan −8x adalah negatif. Jawapan yang betul ialah 5x.

Tidak betul. Anda menggabungkan bilangan bulat dengan betul, tetapi ingat juga untuk memasukkan pembolehubah! Jawapan yang betul ialah 5x.

Betul. Apabila anda menggabungkan istilah seperti ini, anda akan mendapat jumlah 5x.

Tidak betul. Nampaknya anda menolak semua syarat dari 12x. Perhatikan bahawa −x dan −8x adalah negatif, tetapi 2x positif. Jawapan yang betul ialah 5x.

Sifat komutatif, asosiatif, dan distributif membantu anda menulis semula ungkapan algebra yang rumit menjadi satu yang lebih senang ditangani. Apabila anda menulis semula ungkapan dengan sifat komutatif, anda mengubah urutan nombor yang ditambah atau didarabkan. Apabila anda menulis semula ungkapan menggunakan sifat bersekutu, anda mengumpulkan pasangan nombor yang berlainan menggunakan tanda kurung. Anda boleh menggunakan sifat komutatif dan asosiatif untuk menyusun semula dan menyusun semula sebarang nombor dalam ungkapan selagi ungkapan itu terdiri sepenuhnya dari tambahan atau faktor (dan bukan gabungan daripadanya). Harta agihan boleh digunakan untuk menulis semula ungkapan untuk pelbagai tujuan. Apabila anda mengalikan nombor dengan jumlah, anda boleh menambah dan kemudian mengalikan. Anda juga boleh melipatgandakan setiap tambahan terlebih dahulu dan kemudian menambahkan produk bersama. Prinsip yang sama berlaku jika anda mengalikan nombor dengan perbezaan.


2.4: Sifat Nombor Sebenar - Matematik

Masanya hampir tiba untuk kita mengira beberapa had. Namun, sebelum kita melakukannya, kita akan memerlukan beberapa sifat had yang akan menjadikan hidup kita lebih mudah. Oleh itu, mari kita lihat yang pertama. Bukti sebilangan sifat ini boleh didapati di bahagian Bukti Pelbagai Had Harta pada bab Ekstra.

Hartanah

Pertama, kita akan menganggap bahawa ( mathop < lim> had_ f kiri (x kanan) ) dan ( mathop < lim> had_ g kiri (x kanan) ) wujud dan (c ) itu tetap. Kemudian,

Dengan kata lain, kita dapat "memfaktorkan" pemalar darab di luar had.

Jadi, untuk mengambil had jumlah atau perbezaan yang perlu kita lakukan adalah mengambil had bahagian masing-masing dan kemudian meletakkannya kembali bersama-sama dengan tanda yang sesuai. Ini juga tidak terhad kepada dua fungsi. Fakta ini akan berjaya tidak kira berapa banyak fungsi yang kita telah dipisahkan dengan “+” atau “-”.

Kami menggunakan had produk dengan cara yang sama dengan jumlah had atau perbezaan. Ambil had kepingan dan masukkan kembali. Juga, seperti jumlah dan perbezaan, fakta ini tidak terbatas hanya pada dua fungsi.

Seperti yang dinyatakan dalam pernyataan itu, kita hanya perlu bimbang had penyebutnya adalah sifar ketika kita melakukan had bagi tanda kutip. Sekiranya ia sifar, kita akan berakhir dengan pembahagian dengan sifar kesalahan dan kita perlu mengelakkannya.

Dalam harta ini (n ) boleh ada nombor nyata (positif, negatif, integer, pecahan, tidak rasional, sifar, dan lain-lain.). Sekiranya (n ) adalah bilangan bulat, peraturan ini dapat dianggap sebagai kes lanjutan dari 3.

Sebagai contoh, pertimbangkan kes (n = ) 2.

Ini hanyalah kes khas dari contoh sebelumnya.

Dengan kata lain, had pemalar hanyalah pemalar. Anda seharusnya dapat meyakinkan diri anda tentang ini dengan melukis grafik (f kiri (x kanan) = c ).

Seperti yang terakhir, anda seharusnya dapat meyakinkan diri anda tentang ini dengan melukis graf (f kiri (x kanan) = x ).

Ini benar-benar hanya harta benda khas 5 menggunakan (f kiri (x kanan) = x ).

Perhatikan bahawa semua sifat ini juga berlaku untuk had dua sisi juga, kami tidak menuliskannya dengan had satu sisi untuk menjimatkan ruang.

Mari hitung had atau dua menggunakan sifat ini. Beberapa contoh seterusnya akan membawa kita kepada beberapa fakta yang benar-benar berguna mengenai had yang akan kita gunakan secara berterusan.

Kali pertama ini, kami hanya akan menggunakan sifat di atas untuk mengira hadnya.

Pertama, kita akan menggunakan harta benda 2 untuk memecah had menjadi tiga had yang terpisah. Kami kemudian akan menggunakan harta benda 1 untuk membawa pemalar keluar dari dua had pertama. Melakukan ini memberi kita,

[ bermula mathop < lim> had_ kiri (<3+ 5x - 9> kanan) & = mathop < lim> had_ 3 + mathop < lim> had_ 5x - mathop < lim> had_ 9 & = 3 mathop < lim> had_ + mathop <5 lim> had_ x - mathop < lim> had_ 9 akhir]

Kita sekarang boleh menggunakan sifat 7 melalui 9 untuk benar-benar menghitung had.

[ bermula mathop < lim> had_ kiri (<3+ 5x - 9> kanan) & = 3 mathop < lim> had_ + mathop <5 lim> had_ x - mathop < lim> had_ 9 & = 3 < kiri (<- 2> kanan) ^ 2> + 5 kiri (<- 2> kanan) - 9 & = - 7 akhir]

Sekarang, mari kita perhatikan bahawa jika kita telah menentukan

maka contohnya adalah,

[ bermula mathop < lim> had_ p kiri (x kanan) & = mathop < lim> had_ kiri (<3+ 5x - 9> kanan) & = 3 < kiri (<- 2> kanan) ^ 2> + 5 kiri (<- 2> kanan) - 9 & = - 7 & = p kiri (<- 2> kanan) akhir]

Dengan kata lain, dalam hal ini kita melihat bahawa hadnya adalah nilai yang sama dengan yang kita dapat dengan hanya menilai fungsi pada titik yang dimaksud. Ini seolah-olah melanggar salah satu konsep utama mengenai had yang telah kita lihat hingga kini.

Dalam dua bahagian sebelumnya, kami membuat perbincangan mengenai hakikat bahawa had tidak peduli dengan apa yang berlaku pada titik yang dimaksudkan. Mereka hanya peduli dengan apa yang berlaku. Jadi bagaimana contoh sebelumnya sesuai dengan ini kerana nampaknya melanggar idea utama ini mengenai had?

Walaupun muncul, had masih tidak peduli dengan fungsi yang sedang dilakukan di (x = - 2 ). Dalam hal ini fungsi yang kita miliki cukup "cukup bagus" sehingga apa yang terjadi di sekitar titik persis sama dengan apa yang terjadi pada titik itu. Akhirnya kami akan memformalkan apa yang dimaksudkan dengan "cukup bagus". Pada ketika ini, jangan terlalu bimbang tentang "cukup bagus" itu. Mari kita manfaatkan bahawa beberapa fungsi akan "cukup bagus", apa pun maksudnya.

Fungsi dalam contoh terakhir adalah polinomial. Ternyata semua polinomial “cukup bagus” sehingga apa yang terjadi di sekitar titik persis sama dengan apa yang terjadi pada ketika itu. Ini membawa kepada fakta berikut.

Sekiranya (p (x) ) adalah polinomial maka,

[ mathop < lim> had_ p kiri (x kanan) = p kiri (a kanan) ]

Pada akhir bahagian ini, kami akan menggeneralisasikannya dengan sebilangan besar fungsi yang akan kita lihat sepanjang kursus ini.

Mari kita lihat contoh lain.

Perhatikan dahulu bahawa kita boleh menggunakan harta benda 4 untuk menulis had sebagai,

Sebenarnya, kita harus berhati-hati. Kita boleh melakukannya dengan syarat had penyebutnya tidak sifar. Seperti yang akan kita lihat, tidak dalam hal ini jadi kita baik-baik saja.

Sekarang, pengangka dan penyebutnya adalah polinomial sehingga kita dapat menggunakan fakta di atas untuk menghitung had pengangka dan penyebut dan oleh itu had itu sendiri.

Perhatikan bahawa had penyebut tidak sifar dan penggunaan harta kita 4 adalah sah.

Dalam contoh sebelumnya, seperti polinomial, semua yang kita lakukan adalah menilai fungsi pada titik yang dimaksudkan. Jadi, nampaknya terdapat kelas fungsi yang cukup besar yang dapat dilakukan. Mari kita umumkan fakta dari atas sedikit.

Dengan syarat (f (x) ) "cukup bagus" yang kita ada,

[ mathop < lim> had_ f kiri (x kanan) = f kiri (a kanan) hspace <0.5in> mathop < lim> had_> f kiri (x kanan) = f kiri (a kanan) hspace <0.5in> mathop < lim> had_> f kiri (x kanan) = f kiri (a kanan) ]

Sekali lagi, kita akan memformalkan apa yang kita maksudkan dengan "cukup bagus" akhirnya. Pada ketika ini yang ingin kita lakukan ialah bimbang fungsi mana yang “cukup bagus”. Beberapa fungsi "cukup bagus" untuk semua (x ) sementara yang lain hanya akan "cukup bagus" untuk nilai tertentu (x ). Itu semua bergantung pada fungsinya.

Seperti yang dinyatakan dalam pernyataan itu, fakta ini juga berlaku untuk had dua sisi dan had normal.

Berikut adalah senarai beberapa fungsi yang lebih umum yang "cukup bagus".

  • Polinomial cukup bagus untuk semua (x ).
  • Sekiranya ( displaystyle f kiri (x kanan) = frac <><> ) maka (f (x) ) akan cukup baik dengan syarat (p (x) ) dan (q (x) ) cukup bagus dan jika kita tidak mendapat pembahagian dengan sifar pada titik yang sedang kita menilai di.
  • ( cos kiri (x kanan), , , sin kiri (x kanan) ) cukup bagus untuk semua (x )
  • ( sec kiri (x kanan), , , tan kiri (x kanan) ) cukup bagus dengan syarat (x ne ldots, - frac << 5 pi >> < 2>, - frac << 3 pi >> <2>, frac < pi> <2>, frac << 3 pi >> <2>, frac << 5 pi >> < 2>, ldots ) ​​Dengan kata lain, jurang dan tangen cukup bagus di mana sahaja kosinus tidak sifar. Untuk melihat mengapa ingat bahawa kedua-duanya adalah fungsi yang benar-benar rasional dan kosinus berada dalam penyebut kedua-duanya kemudian kembali dan lihat peluru kedua di atas.
  • ( csc kiri (x kanan), , , cot kiri (x kanan) ) cukup bagus dengan syarat (x ne ldots, - 2 pi, , , - pi, , , 0, , , pi, , , 2 pi, ldots ) ​​Dengan kata lain cosecant dan cotangent cukup bagus di mana sahaja sinus tidak sifar.
  • ( sqrt [n]) cukup bagus untuk semua (x ) jika (n ) ganjil.
  • ( sqrt [n]) cukup bagus untuk (x ge 0 ) jika (n ) genap. Di sini kita memerlukan (x ge 0 ) untuk mengelakkan daripada berurusan dengan nilai yang kompleks.
  • (, , , << bf> ^ x> ) cukup bagus untuk semua (x ).
  • (< log _b> x, , , , ln x ) cukup bagus untuk (x & gt 0 ). Ingat, kita hanya boleh memasukkan nombor positif ke logaritma dan bukan nombor sifar atau negatif.
  • Sebilangan besar, perbezaan atau produk fungsi di atas juga akan cukup baik. Persetujuan akan cukup baik dengan syarat kita tidak mendapat pembahagian dengan sifar setelah menilai hadnya.

Peluru terakhir adalah penting. Ini bermakna bahawa untuk kombinasi fungsi-fungsi ini, yang perlu kita lakukan adalah menilai fungsi pada titik yang dimaksud, memastikan bahawa tidak ada batasan yang dilanggar. Ini bermakna sekarang kita dapat melakukan sebilangan besar had.

Ini adalah gabungan beberapa fungsi yang disenaraikan di atas dan tidak ada sekatan yang dilanggar, jadi yang perlu kita lakukan adalah memasukkan (x = 3 ) ke fungsi untuk mendapatkan hadnya.


Analisis Sebenar Interaktif

Soalan pertama ialah: mengapa kita memerlukan nombor sebenarnya? Adakah rasionalnya cukup baik?

Oleh itu, kita melihat bahawa walaupun persamaan sederhana tidak ada penyelesaian jika semua yang kita tahu adalah nombor rasional. Oleh itu, kita perlu memperluaskan sistem nombor kita untuk mengandungi nombor yang memberikan penyelesaian kepada persamaan seperti di atas.

Terdapat sebab lain untuk memilih nombor nyata daripada nombor rasional: Bercakap secara tidak formal, sementara nombor rasional semuanya 'melebihi tempat', ia mengandungi banyak lubang (iaitu yang tidak rasional). Nombor sebenarnya, sebaliknya, tidak mengandungi lubang. A little bit more formal, we could say that the rational numbers are not closed under the limit operations, while the real numbers are. More formally speaking, we need some definitions.

Definition 2.4.2: Upper and Least Upper Bound
Let A be an ordered set and X a subset of A . An element b is called an upper bound for the set X if every element in X is less than or equal to b . If such an upper bound exists, the set X is called bounded above .
  • Consider the set S of all rational numbers strictly between 0 and 1.
    1. Find 5 different upper bounds for S
    2. Find the least upper bound for S.
    3. Is there any difference for the set [0, 1] ?
  • Consider the set of rational numbers <1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, . >converging to the square root of 2.
    1. What is the least upper bound of this set, if all we knew were the rational numbers?
    2. What is the least upper bound of this set, allowing real numbers ?
  • Can you define Lower Bound and Greatest Lower Bound (called Infimum) ?
  • an upper (or lower) bound need not be unique
  • a least upper bound (or greatest lower bound) may or may not be part of the set
  • least upper bounds (or greatest lower bounds) may fail to exist in Q , but do exist in R .
  1. it contains all rational numbers
  2. it has the property that any non-empty subset which has an upper bound has a least upper bound.

Note that we have not defined 'ordered field', but that is not so important for us right now. The importance for us is that this property is one of the most basic properties of the real numbers, and it distinguishes the real from the rational numbers (which do not have this property).

In order to prove this theorem we need to know what exactly the real numbers are, and we have indeed given two possible constructions at the beginning of this section.. However, it is more important to understand these properties of R , and to know about the differences between R and the other number systems N , Z , and Q .

We can use this theorem to illustrate another property of the real numbers that makes them more useful than the rational numbers:

There are several other properties that will be of importance later on. Two of those are the Archimedean and the Density property. Again, as for the Least Upper Bound property, it is more important to understand what these properties mean than to follow the proof exactly.

This concludes the 'elementary' part of this text. We have now defined much of our basic notation, learned how to count to infinity, introduced all number systems that we will be using, and we have seen several different types of proofs. We are now ready for some more complicated topics.


Imaginary Numbers May Be Essential for Describing Reality

Mathematicians were disturbed, centuries ago, to find that calculating the properties of certain curves demanded the seemingly impossible: numbers that, when multiplied by themselves, turn negative.

All the numbers on the number line, when squared, yield a positive number 2 2 = 4, and (-2) 2 = 4. Mathematicians started calling those familiar numbers “real” and the apparently impossible breed of numbers “imaginary.”

Imaginary numbers, labeled with units of i (where, for instance, (2i) 2 = -4), gradually became fixtures in the abstract realm of mathematics. For physicists, however, real numbers sufficed to quantify reality. Sometimes, so-called complex numbers, with both real and imaginary parts, such as 2 + 3i, have streamlined calculations, but in apparently optional ways. No instrument has ever returned a reading with an i.

Yet physicists may have just shown for the first time that imaginary numbers are, in a sense, real.

A group of quantum theorists designed an experiment whose outcome depends on whether nature has an imaginary side. Provided that quantum mechanics is correct — an assumption few would quibble with — the team’s argument essentially guarantees that complex numbers are an unavoidable part of our description of the physical universe.

“These complex numbers, usually they’re just a convenient tool, but here it turns out that they really have some physical meaning,” said Tamás Vértesi, a physicist at the Institute for Nuclear Research at the Hungarian Academy of Sciences who, years ago, argued the opposite. “The world is such that it really requires these complex” numbers, he said.

In quantum mechanics, the behavior of a particle or group of particles is encapsulated by a wavelike entity known as the wave function, or ψ. The wave function forecasts possible outcomes of measurements, such as an electron’s possible position or momentum. The so-called Schrödinger equation describes how the wave function changes in time — and this equation features an i.

Physicists have never been entirely sure what to make of this. When Erwin Schrödinger derived the equation that now bears his name, he hoped to scrub the i out. “What is unpleasant here, and indeed directly to be objected to, is the use of complex numbers,” he wrote to Hendrik Lorentz in 1926. “ψ is surely a fundamentally real function.”

Schrödinger’s desire was certainly plausible from a mathematical perspective: Any property of complex numbers can be captured by combinations of real numbers plus new rules to keep them in line, opening up the mathematical possibility of an all-real version of quantum mechanics.

Indeed, the translation proved simple enough that Schrödinger almost immediately discovered what he believed to be the “true wave equation,” one that eschewed i. “Another heavy stone has been rolled away from my heart,” he wrote to Max Planck less than a week after his letter to Lorentz. “It all came out exactly as one would have it.”

But using real numbers to simulate complex quantum mechanics is a clunky and abstract exercise, and Schrödinger recognized that his all-real equation was too cumbersome for daily use. Within a year he was describing wave functions as complex, just as physicists think of them today.

“Anybody wanting to get work done uses the complex description,” said Matthew McKague, a quantum computer scientist at the Queensland University of Technology in Australia.

Yet the real formulation of quantum mechanics has lingered as evidence that the complex version is merely optional. Teams including Vértesi and McKague, for instance, showed in 2008 and 2009 that — without an i in sight — they could perfectly predict the outcome of a famous quantum physics experiment known as the Bell test.

The new research, which was posted on the scientific preprint server arxiv.org in January, finds that those earlier Bell test proposals just didn’t go far enough to break the real-number version of quantum physics. It proposes a more intricate Bell experiment that seems to demand complex numbers.

The earlier research led people to conclude that “in quantum theory complex numbers are only convenient, but not necessary,” wrote the authors, who include Marc-Olivier Renou of the Institute of Photonic Sciences in Spain and Nicolas Gisin of the University of Geneva. “Here we prove this conclusion wrong.”

The group declined to discuss their paper publicly because it is still under peer review.

The Bell test demonstrates that pairs of far-apart particles can share information in a single “entangled” state. If a quarter in Maine could become entangled with one in Oregon, for instance, repeated tosses would show that whenever one coin landed on heads, its distant partner would, bizarrely, show tails. Similarly, in the standard Bell test experiment, entangled particles are sent to two physicists, nicknamed Alice and Bob. They measure the particles and, upon comparing measurements, find that the results are correlated in a way that can’t be explained unless information is shared between the particles.

The upgraded experiment adds a second source of particle pairs. One pair goes to Alice and Bob. The second pair, originating from a different place, goes to Bob and a third party, Charlie. In quantum mechanics with complex numbers, the particles Alice and Charlie receive don’t need to be entangled with each other.

No real-number description, however, can replicate the pattern of correlations that the three physicists will measure. The new paper shows that treating the system as real requires introducing extra information that usually resides in the imaginary part of the wave function. Alice’s, Bob’s, and Charlie’s particles must all share this information in order to reproduce the same correlations as standard quantum mechanics. And the only way to accommodate this sharing is for all of their particles to be entangled with one another.

In the previous incarnations of the Bell test, Alice and Bob’s electrons came from a single source, so the extra information they had to carry in the real-number description wasn’t a problem. But in the two-source Bell test where Alice’s and Charlie’s particles come from independent sources, the fictitious three-party entanglement doesn’t make physical sense.

Even without recruiting an Alice, a Bob and a Charlie to actually perform the experiment that the new paper imagines, most researchers feel extremely confident that standard quantum mechanics is correct and that the experiment would therefore find the expected correlations. If so, then real numbers alone cannot fully describe nature.

“The paper in fact establishes that there are genuine, complex quantum systems,” said Valter Moretti, a mathematical physicist at the University of Trento in Italy. “This result is quite unexpected to me.”

Nevertheless, odds are that the experiment will happen someday. It wouldn’t be simple, but no technical obstacles exist. And a deeper understanding of the behavior of more complicated quantum networks will grow only more relevant as researchers continue to link numerous Alices, Bobs and Charlies over emerging quantum internets.

“We therefore trust that a disproof of real quantum physics will arrive in a near future,” the authors wrote.


Who cares about Prime Numbers?

A lot of energy has been expended by mathematicians (ever since the time of Pythagoras) on studying prime numbers.

Recently, a very important branch of mathematics to emerge is encryption, where sensitive information is hidden from others when it is transmitted electronically (e.g. when we send credit card numbers over the Internet or by mobile phone).

Encryption works by coding the message using very large prime numbers. The device receiving the message decodes the message using the same very large prime numbers. The larger the numbers used, the better the encryption.

The largest known prime currently is

2 43,112,609 &minus 1 (This is huge - it has almost 13 million digits).


2.4: Properties of the Real Numbers - Mathematics

We'll assume the reader can add digits, so that 2 + 2 = 4 is not a surprise. In addition (heh!), we'll also assume that the fundamentals of "carrying" are not that big of a problem, and so most readers will immediately know how we did

We're more interested here in the general properties of addition that impact algebra. With that in mind, let a, b and c be three real numbers. Then the following properties of addition turn out to be usable and important:

(Addition is the same regardless of the order one adds the numbers, i.e., forwards addition is the same as backwards addition).

Note that negative numbers are sometimes enclosed in parentheses to avoid confusion between the sign of the number and the addition operation. This is merely a matter of style – many textbook writers use spacing to set off the difference instead.

(Addition of a list of numbers is the same regardless of which are added together first, i.e., grouping does not matter)

Again, we’ll assume that the basics of multiplication are well known, so that 2x2=2 2=2*2=4. There are obviously several different notations in use, depending when one learns it and what context one learns it. We will use all of these notations, as well as another: when using variables, multiplication is assumed when symbols are merely written next to each other.

Multiplication follows the same two laws just described for addition.

We are following the same convention as with addition. Note that just writing numbers next to each other is a poor idea because, for example, 32 can be confused with 3 2. Thus, we need some sort of symbol to make the two distinct. There are several correct ways to do this – in other articles, we’ll make a lot of use of parentheses, so that 3 2 will be written 3(2) or (3)(2). Experience with the notation will help make it very clear what is meant.

Please note that we do not have to limit ourselves to parentheses the last computation could have been written

This looks a bit neater. Again, such things are a matter of style, and the reader is encouraged to use whatever bracketing makes the most sense and allows clear, proper ordering of calculations.

When both addition and multiplication appear in a single mathematical expression, this distributive law controls the operation. This is probably one of the most important laws in mathematics getting it wrong guarantees bad calculations! The "reverse" is NOT CORRECT:

We’re going to define subtraction in terms of addition of the negative:

This means that subtraction is a shortcut or an abbreviation of the above addition operation. The "triple equals" sign used here means takrif, and is meant to signify an operation that is always true. It is a stronger statement than a simple equals sign.

Subtraction is not in general commutative:

Nor is it in general associative:

We’re going to define division in terms of multiplication of the inverse. Please see the discussion of multiplicative inverse below for more info. For now, suppose that a > 1 and that

The number b has a very important function – it is called the multiplicative inverse of a, also known as the inverse of a. Naively, we can write

but it should be pointed out that this is not really a definition. In order to properly define division, we would have to discuss rational numbers and how they work. Instead of doing that now, we’ll simply take it as given that the reader intuitively understands fractions. With this definition of inverse, we can tackle division:

Note that the decimal expansion 0.5000… is the result of long division, a subject we are avoiding here (for a discussion, see the division article). We can "prove" that 0.5000… is the inverse of 2 by multiplying:

To the extent that this is rather unsatisfying, we must ask the reader to suspend disbelief. The mechanics of division are complicated, and deserve a separate article.

Now we’ll use this notion to do a division.

Note that we expanded 6 into 2 3 and canceled the 3’s. This is a bit sloppy, but again, our definition of division is intuitive rather than precise.

This definition of subtraction is based on the principle of the additive identity, also known as sifar. Zero is neutral with respect to addition:

Another way to say this is:

What this allows us to do (among other things) is add the same quantity to either side of an equation.

Suppose we start with an equation we know is true:

If this is true then certainly

Therefore we can add the two equations to get

This is clearly and always true. The important point is we can always add the same thing to both sides. Begitu juga sejak

we can always subtract the same thing from both sides of an equation.

As mentioned above, as long as a is non-zero, the relation between a and its multiplicative inverse is

Therefore, 1 is the neutral element for multiplication just as zero is the neutral element for addition. For any real number a,

The useful application of this is that we can take a true equation

and multiply it on both sides by the same thing, say b,

We can get around a lot of the complications of division by simply replacing it with multiplication by the inverse. The difficulties inherent in this arise when we try to get an inverse of zero (undefined) or an irrational number (which does not have a repeating decimal expansion and so cannot be calculated by doing a long division). Irrational numbers won’t be much of a concern for now, since we can approximate most of them to as many decimal places as we need. In the rare case where we must deal with an irrational number exactly, we will just use a symbolic representation of it, for example

and just carry it along in our calculations.

Like subtraction, division is neither commutative nor associative.

For a little extra background on why division is a complicated subject, please see the articles on number s ystems and division .

Repeated multiplication of the same number are usually expressed as a power of that number, so that

and so on. The superscript or exponent is simply the number of times the number or pangkalan is multiplied times itself. Exponentiation follows some simple laws that follow directly from the above definition, the first being

Before going further, we need to define some "weird" exponents. Fractional powers are really combinations of roots and powers

Negative powers denote reciprocals:

With these definitions, we can say

We have now dealt with natural numbers, integers (i.e., including negative numbers) and rational numbers as exponents. So far we have not dealt with real number exponents, in particular irrational numbers. A proper treatment of this subject really requires calculus, and so we’ll avoid dealing with it at this time.

One further note that should be mentioned at this time is the nature of the base number. It should be clear that an irrational number in the base presents problems for practical calculation. For example, how does one calculate the following number?

Worse, how does one calculate a number such as this one?

The methods of advanced calculus provide ways to calculate such numbers to arbitrary precision. We won’t deal with how to do this here, but we will point out that modern calculators will do an adequate job of calculating these numbers, up to about 12 decimal places.

The classic algebra problem book - very light on theory, plenty of problems with full solutions, more problems with answers

A simplified and updated version of the classic Schaum's Outline. Not as complete as the previous book, but enough for most students


2.4: Properties of the Real Numbers - Mathematics

Where the Properties Don't Work!

Syarat Penggunaan Contact Person: Donna Roberts

Regarding the set of Real Numbers:
Did you notice that the Commutative and Associative Properties of Real Numbers have specifications stating "daripada addition" or "daripada multiplication"?
So what happens with the operations of "subtraction" or "division"?

If we examine some of the subsets of the Real Numbers as independent sets, we run into some interesting situations regarding subtraction and division. Let's see what does, and does NOT, work with the set of counting numbers, the set of integers, and the set of rationals:


Before knowing the symbol of irrational numbers, we discuss the symbols used for other types of numbers.

  • N - Natural numbers
  • Saya - Imaginary Numbers
  • R - Real Numbers
  • Q - Rational Numbers.

Real numbers consist of both rational and irrational numbers. (R-Q) defines that irrational numbers can be obtained by subtracting rational numbers (Q) from the real numbers (R). This can also be written as (RQ). Symbol = Q'.


Absolute Value

For example, the absolute value of 5 is 5, and the absolute value of &minus5 is also 5. The absolute value of a number may be thought of as its distance from zero along real number line. Furthermore, the absolute value of the difference of two real numbers is the distance between them.

The absolute value has the following four fundamental properties:

Non-negativity $|a| &ge 0$ Positive-definiteness $|a| = 0 &hArr a = 0$ Multiplicativeness $|ab| = |a||b|$ Subadditivity $|a + b| &le |a| + |b|$

Other important properties of the absolute value include:

Idempotence (the absolute value of the absolute value is the absolute value) $||a|| = |a|$ Symmetry $|-a| = |a|$ Identity of indiscernibles (equivalent to positive-definiteness) $|a - b| = 0 &hArr a = b$ Triangle inequality (equivalent to subadditivity) $|a - b| &le |a - c| + |c - b|$ Preservation of division (equivalent to multiplicativeness) $|a / b| = |a| / |b| spacespace if spacespace b &ne 0$ (equivalent to subadditivity) $|a - b| &ge ||a| - |b||$

Two other useful properties concerning inequalities are: $|a| &le b &hArr -b &le a &le b$ $|a| &ge b &hArr a &le -b space or space b &le a$

These relations may be used to solve inequalities involving absolute values. Sebagai contoh: $|x - 3| &le 9 &hArr -9 < x - 3 < 9$ $&hArr -6 < x < 12$


Tonton videonya: SPM Matematik Tambahan 2012 Kertas 1 Nombor 4 - Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik (Oktober 2021).