Artikel

Rajah 6.2.8e Kaedah Disk 1 - Matematik


Rajah 6.2.8e Kaedah Disk 1 - Matematik

Kaedah cakera dan mesin basuh berguna untuk mencari jumlah pepejal revolusi. Dalam artikel ini, kami akan mengkaji kaedah dan menyelesaikan beberapa masalah contoh. Pada akhirnya, anda akan bersedia menghadapi sebarang masalah kaedah cakera dan mesin basuh yang anda hadapi dalam ujian AP Calculus AB / BC!


2.2 Menentukan Isipadu dengan Menghiris

Pada bahagian sebelumnya, kami menggunakan integral pasti untuk mencari luas antara dua lengkung. Dalam bahagian ini, kami menggunakan integral pasti untuk mencari isi padu tiga dimensi. Kami mempertimbangkan tiga pendekatan - mengiris, cakera, dan mesin basuh - untuk mencari jilid ini, bergantung pada ciri pepejal.

Isipadu dan Kaedah Menghiris

Sama seperti luas adalah ukuran berangka kawasan dua dimensi, isipadu adalah ukuran berangka bagi pepejal tiga dimensi. Sebilangan besar daripada kita telah mengira isi padu pepejal dengan menggunakan formula geometri asas. Isipadu pepejal segi empat, misalnya, dapat dihitung dengan mengalikan panjang, lebar, dan tinggi: V = l w h. V = l w h. Rumus untuk isipadu sfera (V = 4 3 π r 3), (V = 4 3 π r 3), kerucut (V = 1 3 π r 2 h), (V = 1 3 π r 2 h ), dan piramid (V = 1 3 A h) (V = 1 3 A h) juga telah diperkenalkan. Walaupun beberapa formula ini dihasilkan dengan menggunakan geometri sahaja, semua formula ini dapat diperoleh dengan menggunakan integrasi.

Kita juga boleh mengira isipadu silinder. Walaupun sebilangan besar dari kita menganggap silinder mempunyai asas bulat, seperti kaleng sup atau batang logam, dalam matematik kata silinder mempunyai makna yang lebih umum. Untuk membincangkan silinder dalam konteks yang lebih umum ini, pertama kita perlu menentukan beberapa perbendaharaan kata.

Kami menentukan keratan rentas pepejal menjadi persimpangan satah dengan pepejal. A silinder didefinisikan sebagai pepejal yang dapat dihasilkan dengan menerjemahkan kawasan satah di sepanjang garis yang berserenjang dengan wilayah, yang disebut paksi silinder. Oleh itu, semua keratan rentas tegak lurus dengan paksi silinder adalah serupa. Pepejal yang ditunjukkan dalam Rajah 2.11 adalah contoh silinder dengan asas tidak bulat. Oleh itu, untuk mengira isipadu silinder, kita gandakan luas keratan rentas dengan ketinggian silinder: V = A · h. V = A · h. Sekiranya silinder bulat kanan (kaleng sup), ini menjadi V = π r 2 jam. V = π r 2 h.

Sekiranya pepejal tidak mempunyai keratan rentas tetap (dan ia bukan pepejal asas yang lain), kita mungkin tidak mempunyai formula untuk isipadu. Dalam kes ini, kita dapat menggunakan kamiran pasti untuk mengira isipadu pepejal. Kami melakukan ini dengan memotong kepingan menjadi kepingan, menganggarkan isipadu setiap kepingan, dan kemudian menambahkan jumlah yang dianggarkan bersama-sama. Hirisan semua harus selari antara satu sama lain, dan apabila kita menyatukan semua kepingan, kita harus mendapatkan keseluruhan pepejal. Pertimbangkan, misalnya, pepejal S ditunjukkan dalam Rajah 2.12, memanjang di sepanjang paksi-x. x-paksi.


Rajah 6.2.8e Kaedah Disk 1 - Matematik

Bahagian II. ULASAN AP CALCULUS AB & amp BC

BAB 9. Aplikasi Integrasi

MENCARI VOLUME WILAYAH DENGAN SEKSYEN YANG DIKETAHUI

Sehingga kini, semua pepejal putaran kami mempunyai keratan rentas bulat. Bahagian ini membincangkan tokoh-tokoh yang keratan rentasnya, mungkin, segitiga, kotak, atau separuh bulatan sebagai gantinya. Konsep ini kelihatan sangat sukar sehingga anda menyedari kesederhanaannya. Ini hanyalah lanjutan dari Kaedah Disk, dan tidak ada yang membenci Kaedah Disk! Bahkan banyak orang yang paling jahat sepanjang sejarah menaruh minat terhadap Kaedah Disk, di antaranya Jesse James, Dracula, dan lelaki yang membatalkan Star Trek.

Untuk mencari kelantangan dengan Kaedah Cakera, anda mengintegrasikan luas satu keratan rentas. Kerana keratan rentas bulat, anda mengintegrasikan formula untuk luas bulatan (πr 2). Jadi, jika masalah baru mempunyai segi empat sama sebagai keratan rentas (sebagai contoh), anda akan mengintegrasikan formula untuk luas segiempat sama (sisi 2).

Terdapat satu perbezaan lain dalam jenis masalah ini. Keratan rentas bukan bulat bukanlah hasil putaran, kerana setiap masalah lain selama ini. (Anda telah berputar mengenai paksi-x atau v atau garis seperti x = 1.) Sebaliknya, pepejal ini tumbuh dari pangkalan pada satah koordinat ke dalam dimensi ketiga. Ia tidak sekeras kedengarannya. Pertimbangkan asas bulat pada paksi koordinat dengan persamaan x 2 + y 2 = 9. Lingkaran ini sebenarnya terdiri daripada dua fungsi (jika anda menyelesaikan untuk y):

dan

Di sinilah imaginasi dan visualisasi anda dimainkan. Lingkaran ini seperti bagaimana alasnya serupa dengan patung. Bentuk tiga dimensi akan berada di atasnya dan keluar dari kertas anda. Bayangkan bahawa segi empat tepat yang digelapkan pada rajah di atas adalah bahagian bawah segi empat tepat yang terletak di pangkal. Itu bukan satu-satunya dataran. Terdapat kotak di sepanjang bulatan di setiap segi empat tepat menegak. Bentuk tiga dimensi yang dihasilkan akan kelihatan seperti ini:

Tugas kami dalam contoh seterusnya adalah mencari jumlah bentuk ini.

Contoh 6: Sekiranya pepejal mempunyai keratan rentas segi empat tepat pada paksi-x dan mempunyai asas yang dibatasi oleh x 2 + y 2 = 9, berapakah isi padu pepejal itu?

Penyelesaian: Kita mesti menggunakan segi empat tepat menegak, kerana berserenjang dengan paksi-v. Seperti yang dinyatakan sebelumnya, yang harus kita lakukan adalah menyatukan formula untuk luas rajah yang dimaksud. Rumus untuk luas kuadrat (dengan sisi s) adalah s 2. Oleh itu, kamiran yang kita gunakan untuk mencari isipadu adalah

(Batas -3 dan 3 adalah sempadan-x di rantau ini.) Berapa lama satu sisi segi empat sama? Kita tahu bahawa segiempat gelap pada rajah sebelumnya adalah bahagian bawah segi empat sama, dan ia mempunyai panjang atas - bawah = Oleh itu, jumlah keseluruhannya adalah

Proses ini agak pelik, tetapi senang dipelajari.

3 Langkah untuk Berjaya dengan Keratan Lintang yang Dikenal

1. Lukiskan grafik pangkalan pada satah koordinat dan gelapkan sebuah segi empat tepat di atasnya (berhati-hati melukisnya seperti yang diarahkan, iaitu tegak lurus dengan paksi-x atau paksi-y).

2. Tentukan panjang segi empat itu dan kaitannya dengan bentuk keratan rentas. Dalam contoh sebelumnya, segi empat tepat adalah salah satu sisi kotak yang membentuk keratan rentas.

3. Gabungkan formula untuk luas penampang yang diberikan, masukkan maklumat yang anda ada mengenai segiempat gelap. Pastikan sempadan sesuai dengan bentuk segi empat tepat (mis., Sempadan-y jika segi empat tepat mendatar).

Contoh 7: Cari isipadu pepejal yang mempunyai keratan rentas separa bulat tegak lurus dengan paksi-x yang asasnya dibatasi oleh graf y = x 2 dan y = √x.

Penyelesaian: Mulakan dengan melukis pangkalan. Oleh kerana keratan rentas ini tegak lurus dengan paksi-x, kita akan menggunakan segi empat tepat menegak dan x.

Sekiranya anda ingin tahu, padat kelihatan seperti ini:

Walau bagaimanapun, tidak penting atau berguna untuk dapat menggambar wilayah ini, jadi jangan risau jika anda tidak dapat melakukannya. Segi empat tepat yang gelap pada pangkal akan mempunyai panjang √x - x 2, tetapi apakah ukuran panjang itu? Sekiranya keratan rentas itu adalah separuh bulatan, maka mestilah diameternya, dan separuh bulatan itu muncul dari sana. Sekiranya √x - x 2 adalah diameter, maka 1/2 (√x - x 2) adalah jejari separuh bulatan tersebut. Itu penting kerana formula bagi kawasan separuh bulatan adalah πr 2/2. Kumpulkan semua kepingan ini untuk mendapatkan jumlah keseluruhan:

NOTA. Luas segitiga sama sisi dengan sisi s adalah Anda harus menghafalnya jika anda tidak mengetahuinya.

Petunjuk: Selesaikan setiap masalah berikut. Tentukan pilihan terbaik mana yang diberikan dan nyatakan jawapan anda dalam buku ini.

ANDA MUNGKIN MENGGUNAKAN KALKULATOR GRAFIK UNTUK BAHAGIAN (B) SETIAP MASALAH.

1. Cari isipadu pepejal yang asasnya adalah kawasan yang dibatasi oleh y = —√x dan yang mempunyai keratan rentas

(a) yang berbentuk segiempat tinggi 3 tegak lurus dengan paksi-x.

(b) yang merupakan segitiga sama sisi tegak lurus dengan paksi-y.

2. Cari isipadu pepejal yang dasarnya adalah bulatan dengan jari-jari 5 yang berpusat pada asal dan yang mempunyai keratan rentas

(a) yang berbentuk segitiga tepat isosceles tegak lurus dengan paksi-x (sedemikian rupa sehingga hipotenus terletak di dasar).

(b) yang semielips tinggi 2 tegak lurus dengan paksi-x.

JAWAPAN DAN PENJELASAN

NOTA. Luas elips adalah πab.

1. (a) Pertama, kita perlu mencari titik persimpangan.

Oleh kerana keratan rentas adalah segi empat tepat dengan ketinggian 3, isipadu akan diberikan oleh

Untuk mencari lebar segi empat tepat, anda mengira panjang segiempat gelap, dengan menggunakan bahagian atas - bawah.

(b) Kali ini, anda harus menulis semula persamaan dalam bentuk y (kerana segi empat tepat berserenjang dengan paksi-y dan, oleh itu, mendatar). Fungsi y = —√x menjadi x = y 2 y = —1 / 2x menjadi x = —2y. Panjang sisi segitiga diberikan oleh kanan - kiri = —2y - y 2. Oleh itu, isipadu adalah

Anda boleh menggunakan kalkulator anda untuk mengetahui jumlah isinya kira-kira .462.

2. (a) Pertama sekali, kita perlu mencari cara mencari luas segitiga tepat isoskel berdasarkan panjang hipotenusinya.

Menurut Teorema Pythagoras, 2s 2 = h 2. Oleh itu, s = h / √2. Luas segitiga adalah Sekiranya kita menggantikan 5, kita dapat

Sekarang, kita dapat mengintegrasikan formula ini untuk mendapatkan isipadu bentuknya, sebaik sahaja kita mengetahui berapa panjang hipotenus itu.

Kita tahu bahawa segi empat tepat yang gelap mewakili hipotenus, dan panjangnya adalah Oleh itu, isipadu adalah

(b) Yang ini agak sukar untuk digambarkan. Semi-sepi harus keluar dari pangkalan seperti ini:

NOTA. Anda juga dapat menjumpai kelantangan bagi bahagian pangkal dari x = 0 hingga x = 5 dan menggandakannya.

Oleh itu, segiempat gelap mewakili 2a (yang bermaksud ), dan b = 2 (tinggi). Luas separa elips adalah πab / 2, jadi isipadu pepejal akan

Gunakan kalkulator anda untuk menilai kamiran pasti ini. Jumlah dagangan adalah sekitar 123.370.

Sekiranya anda adalah pemegang hak cipta dari sebarang bahan yang terdapat di laman web kami dan berhasrat untuk menghapusnya, sila hubungi pentadbir laman web kami untuk mendapatkan persetujuan.


4. Selesaikan kamiran

Sekarang kita berjaya melalui bahagian yang sukar. Yang perlu kita buat sekarang ialah menilai jumlah terpadu dengan mencari anti-derivatif dan menilai batasannya. Yang kita perlukan dalam kes ini adalah peraturan kuasa untuk integrasi. $ V = pi int_0 ^ 1 4 & # 8211 4y dy $ $ V = pi bigg [4y & # 8211 2y ^ 2 bigg] _0 ^ 1 $ $ V = pi bigg [ Besar ( 4 (1) & # 8211 2 (1) ^ 2 Besar) & # 8211 Besar (4 (0) & # 8211 2 (0) ^ 2 Besar) bigg] $ $ V = pi (4- 2) $ $ V = 2 pi $

Jadi isipadu pepejal ini ialah (2 pi ) unit padu! Saya harap ini dapat membantu, tetapi jika anda masih mencari latihan dengan kaedah mesin cuci, periksa masalah kaedah pencuci pertama saya. Yang menerangkan rasional di sebalik beberapa langkah dengan lebih terperinci. Anda juga harus melihat pelajaran dan masalah saya yang lain mengenai integrasi.


[Kalkulus II] Masalah kaedah mesin basuh dan cakera

Cari isipadu V pepejal yang diperoleh dengan memutar kawasan yang dibatasi oleh lengkung yang diberi mengenai garis yang ditentukan. y = 8x3, y = 0, x = 1 kira-kira x = 2.

Oleh itu, saya membuat grafik dan membuat lakaran putaran. Ia akan diselesaikan dengan menggunakan kaedah mesin basuh R 2 - r 2 dan pi dll. Saya tidak tahu bagaimana cara mengatur kamiran yang berkaitan dengan yang satu ini.

Saya & # 39; akan memikirkannya & # x27 akan berkaitan dengan y.

Jadi integral dari 0 hingga 8? (Perlu memeriksa matematik saya) (8x 3) 2 - integral 0 hingga 8 apa? Saya tidak mendapatnya di sini. Terima kasih atas bantuan kamu.

Mari & # x27s melihat langkah demi langkah ini. Kaedah pencuci memerlukan segi empat tepat yang hampir sama dengan paksi putaran. Oleh kerana anda berputar di sekitar x = 2, paksi adalah menegak dan anda semestinya perlu disatukan berkenaan dengan y. Oleh itu, kita akan mempunyai beberapa integral pi (R (y) 2 -r (y) 2) dy.

Seterusnya, kita dapat mempertimbangkan secara geometri nilai-nilai yang merangkumi y. Ini benar-benar 0 hingga 8, jadi had penyatuan adalah 0 hingga 8. Secara algebra, ini berlaku dari satu batas yang diberikan oleh y = 0 dan menilai y = 8x 3 pada x = 1.

Akhirnya, kita perlu mengetahui jejari besar dan kecil. Ingat, kita berputar di sekitar x = 2, jadi setiap jejari diberikan oleh jarak antara titik pada lengkung kita ke garis x = 2. Selanjutnya, kita memerlukan jarak ini sebagai fungsi dari y, sejak kita menetapkan bahawa kita & # x27berintegrasi berkenaan dengan y. Pertama, lengkung yang diberikan oleh x = 1 adalah garis lurus selari dengan x = 2, oleh itu jarak di antara mereka (dan jejari kecil) hanya 2-1 = 1. Jadi, r (y) = 1. Seterusnya, jejari luar diberikan oleh jarak antara titik (x, 8x 3) dan x = 2, iaitu, 2 - x. Kami memerlukan ini dari segi y, jadi kami & # x27 akan menyelesaikan y = 8x 3 untuk x, iaitu, x = (y / 8) 1/3. Oleh itu, R (y) = 2- (y / 8) 1/3.


Master Silinder Matematik

Melangkah lebih cepat menimbulkan keperluan untuk berhenti lebih cepat. Pengereman yang cekap didasarkan pada memilih komponen yang tepat dan mencocokkan kombinasi yang tepat akan menghasilkan sistem brek yang berfungsi sesuai dengan spesifikasi gaya kereta, trek dan pemandu anda. Sangat disarankan agar anda bekerjasama dengan jurutera syarikat brek anda untuk membantu anda dalam membina kombinasi yang tepat untuk menyesuaikan sistem untuk aplikasi anda. Oleh kerana kompaun pad, rotor, kaliper dan silinder induk semuanya berfungsi bersama-sama berkaitan dengan berat kereta, kelajuan dan ciri trek, masuk akal untuk memikirkan sistem brek anda sebagai pakej. Setiap komponen brek berkaitan dengan pemboleh ubah brek yang lain dan perubahan individu mungkin memerlukan keperluan untuk menganalisa keseluruhan sistem brek anda dalam usaha anda untuk mencapai kekuatan penjepit yang seimbang pada kereta anda.

Kami menghubungi pakar brek lama Carl Bush dari teknik Wilwood untuk membantu pembaca memahami sistem brek. Walaupun saya mendorong anda untuk berjumpa dengan jurutera syarikat brek anda untuk membina sistem brek yang betul, saya juga mendorong anda untuk belajar bagaimana bahagian-bahagian itu saling berkaitan. Dengan asas pengetahuan anda sendiri, pendidikan akan membolehkan anda menyampaikan keperluan anda dengan lebih baik sehingga menghasilkan sistem brek yang terbaik.

Billet Clamp di Reservoir Mount

Billet Clamp On Reservoir Mount membolehkan anda memasang reservoir cecair brek anda pada titik tinggi sehingga pendarahan brek bertambah baik. Pemasangan jarak jauh menjauhkan haba yang tidak diingini dari cecair brek anda.

Soalan: Bagaimana anda memilih silinder induk yang betul?

Carl Bush: Silinder induk adalah komponen tidak terpisahkan dalam sistem brek. Mereka bertanggungjawab untuk menghantar jumlah tekanan dan keseimbangan yang betul ke kaliper brek. Tetapi harus diingat bahawa mereka hanya satu komponen dalam sistem, dan tidak berfungsi sendiri. Keperluan brek untuk pelbagai jenis kereta lumba akan berbeza mengikut komponen dan elemen. Tetapi semua sistem membawa benang yang sama. Mereka mesti membiarkan pemandu menghentikan kereta dengan usaha kaki yang selesa sambil menyumbang kepada keseluruhan pengendalian dan prestasi kereta.

Soalan: Bagaimana silinder induk berfungsi?

Carl Bush: Silinder induk digunakan untuk menukar daya dari pedal brek ke tekanan hidraulik yang mengendalikan kaliper brek. Jumlah tekanan yang dihasilkan adalah fungsi daya yang dikenakan, dibahagi dengan luas lubang silinder induk. Silinder induk 1 "mempunyai luas bore .785" inci persegi. Untuk setiap seratus paun daya yang dikenakan pada omboh silinder induk oleh rod tolak pedal atau palang keseimbangan, silinder induk itu akan menghasilkan tekanan sama dengan 100 dibahagi dengan .785 atau 127.4 PSI. Dengan mengira luas dalam inci persegi (bore x bore x .785 ") untuk ukuran silinder induk apa pun, anda dapat mengira berapa banyak perubahan tekanan yang akan dipengaruhi oleh perubahan ukuran bore.

Silinder induk bore berukuran 7/8 "mempunyai luas bore .6" inci persegi. Sekiranya kita menggunakan kekuatan 100 paun yang sama pada silinder induk 7/8 ", menggunakan formula 100 dibahagi dengan .6, kekuatan 100 paun yang sama dari pedal akan menghasilkan 166.7 PSI. Penurunan luas lubang silinder induk menghasilkan peningkatan tekanan saluran yang berkadar. Pengurusan tekanan saluran ini menjadi faktor utama dalam menetapkan keseimbangan brek.

Ukuran lubang silinder Master

Ukuran lubang silinder Master adalah elemen yang mempengaruhi tekanan

Matematik Dijelaskan

Carl menerangkan bahawa Master Cylinder 1 "mempunyai luas bore .785" kuasa dua. Untuk mendapatkan nombor ini, anda menggunakan formula untuk Kawasan yang: Kawasan = 3.14 (Pi) dikalikan dengan jejari kuasa dua. Oleh itu, anda mengira jejari 1 "bore yang hanya separuh daripada diameter yang sama dengan 0,5" (setengah inci). Hasilnya ialah silinder induk 1 "mempunyai radius setengah inci. Anda kemudian mengalikan jari-jari anda yang setengah inci (.5) dengan sendirinya sehingga .5 "X .5" = .25 "atau seperempat inci. .Banyak .25 X 3.14 (pi) dan anda tiba di nombor kawasan Carl .785 ”. Pada dasarnya, saya hanya mengulangi apa yang Carl katakan dalam usaha untuk menjadikan matematik lebih mudah dan saya yakin jumlah nombor membuat pengiraan lebih menakutkan dan membingungkan? Tidak mengapa - kita akan mendapatkan kaedah mudah untuk melihat matematik silinder induk dan melalui langkah-langkahnya akan menjadikan proses lebih mudah difahami.

Kaedah lain untuk menjelaskan matematik Carl menggunakan silinder induk 7/8 "sebagai contoh. Kami akan melakukan pengiraan dan menunjukkan kerja kami untuk memperkukuhkan matematik untuk mengira luas bore.

Bore = 7/8 "
7 dibahagi dengan 8 menjadikan kita bersamaan perpuluhan = .875 "
Radius ialah .875 "dibahagi dengan 2 = .4375"
.4375 "Dikalikan dengan .4375" (Kuadrat) = .1914 "
.1914 "Dikalikan dengan (Pi) 3.14" = .6 "& # 8211 yang merupakan jawapan yang dijelaskan oleh Carl di atas.

Dengan kemajuan memahami matematik, kita dapat melakukan langkah-langkah dengan cara yang mudah. Gunakan formula sihir Carl dari Bore X Bore X .785 ”(.785 adalah nombor ajaib yang mempermudah persamaan di atas kerana ia hanya mengira perniagaan kuasa dua yang berkaitan dengan Pi terlebih dahulu). Jadi bore 7/8 "adalah .875" X .875 "X .785" = .6 "Bore Area. Ternyata anda dapat menggunakan angka .785 "dan mengalikannya dengan APAPUN Bore X Bore kerana nombor yang dapat digunakan semula.785" adalah turunan dari Pi dan ia adalah nombor matematik yang dapat diulang yang dapat digunakan dengan semua dan semua ukuran bore. Jadi, matematik rumit yang ditunjukkan berkaitan dengan Master Cylinder Bore Area dapat dipermudahkan. Sekarang kita telah mengambil langkah lain untuk memahami.

Bore X Bore X .785 "& # 8211 anda selalu boleh menggunakan .785" dalam persamaan.

Mari kita periksa dengan kaedah Mudah 1, 2, 3:

Sebagai contoh silinder induk Bore 7/8 "matematik Bore Area adalah:

  • Langkah 1 - Tukarkan pecahan Bore menjadi perpuluhan dengan membahagi nombor bawah dalam pecahan menjadi nombor teratas.
    • 7 dibahagi dengan 8 = .875 ”. 7/8 "adalah bore yang ditandakan di luar silinder induk dan .875" adalah bore perpuluhan bersamaan 7/8 "
    • .875 "X .875" = .766 "
    • .875 "X .875" = .766
    • .766 X .785 "= .6
    • .6 adalah Kawasan Bore untuk Silinder Induk 7/8 ”!

    Contoh kami adalah untuk silinder induk 7/8 ”. Sekarang anda boleh menggunakan ukuran bore pada kereta anda dan mengganti nombor sebenar anda dengan Bore Area anda, depan dan belakang, dengan mengikuti pengiraan 1,2,3 di atas. Sekarang kita mempunyai nombor kawasan Bore sebanyak 0,6 untuk silinder induk 7/8 "dan silinder induk 1,785" untuk silinder induk 1 "apa yang kita lakukan seterusnya? Carl menyatakan bahawa lubang silinder induk yang lebih kecil menghasilkan lebih banyak tekanan dengan jumlah daya yang sama. Silinder induk 1 "menghasilkan 127.4 PSI berbanding silinder induk 7/8" yang berukuran 166.7 PSI berdasarkan kaki anda yang menjadikan kekuatan 100 paun pada silinder induk. Penting untuk mempertimbangkan bahawa silinder yang lebih kecil membuat lebih banyak tekanan tetapi lubang yang lebih kecil akan bergerak lebih sedikit cecair. Lebih banyak perjalanan diperlukan untuk menebus pengurangan bendalir yang digerakkan oleh silinder induk 7/8 "dibandingkan dengan 1" yang lebih besar. Carl menerangkan lebih lanjut di bahagian seterusnya.

    Gunung Caliper

    Menggunakan baut pada pelekap kaliper memastikan kaliper anda bersegi dengan rotor meningkatkan keausan pad dan kecekapan brek.

    Bagaimanakah jumlah dan leverage cecair berfungsi?

    Carl Bush:
    Walaupun perubahan dalam ukuran lubang silinder induk mempengaruhi perubahan tekanan, ia juga mengubah jumlah perjalanan pedal yang direalisasikan untuk menambahkan pukulan tambahan yang diperlukan untuk menggantikan cecair yang cukup untuk menggerakkan omboh caliper. Nisbah isipadu ini memainkan peranan penting dalam kemampuan penjepit kaliper, dan memanfaatkan pemandu yang harus menghasilkan kekuatan penjepit itu. Nisbah antara caliper dan master silinder adalah fungsi kawasan bore piston caliper efektif yang dibahagi dengan luas bore dari silinder induk. Untuk membandingkan nisbah ini dan melakukan pengiraan, anda mesti memulakan dengan jumlah luas piston di satu sisi satu caliper.

    Satu set rem depan menggunakan kaliper empat piston dengan diameter 1,75 "akan memiliki luas lubang bersih 4,8 inci persegi kerana setiap omboh berdiameter 1,75" mempunyai luas lubang individu 2,4 inci persegi.

    Math's Easy Math juga berfungsi untuk lubang piston caliper - 1,75 "X 1,75" = 3,06 "X Nombor yang Dapat Digunakan Semula .785" = 2,40 "X 2 Piston = Luas Bore Carl 4,8"

    Carl Bush & # 8211 Bersambung

    Dengan menjalankan formula, nisbah leverage antara silinder induk bore 7/8 "dan caliper empat omboh 1.75" akan sama dengan:

    Kawasan Piston Caliper Berkesan (4.8) / Kawasan Bore Silinder Induk (7/8 iaitu .6) =
    4.8 / .6 = 8 untuk nisbah 8: 1

    Leverage pemacu kemudian ditentukan dengan mengalikan Pedal Ratio x nisbah Caliper Piston Bore to Master Cylinder. (Catatan dari Jeff: "Nisbah pedal ditandai pada unit pedal anda ketika anda membelinya atau menggunakan Gambar Pedal Ratio yang ditunjukkan")

    Carl & # 8217s Contoh

    Nisbah Pedal (6: 1) x (Piston Bore (4.8) / Master Cylinder Ratio (.6) menghasilkan (8) = Leverage Pemacu (48: 1)
    6 x (4.8 / .6) = 48: 1

    Anda boleh mengganti sebilangan kombinasi bore piston dengan ukuran silinder induk dengan nisbah pedal untuk menentukan lekapan brek sebenar pemandu.

    Untuk keseronokan Carl telah memberi anda jawapan untuk ujian dengan carta ini.

    Diameter / Kawasan Ukuran Piston Caliper Biasa

    Diameter, Inci 1.12 1.25 1.38 1.62 1.75 1.88 2.00 2.38 2.75 2.94
    Kawasan / Omboh, Inci 0.99 1.23 1.48 2.07 2.40 2.76 3.14 4.45 5.94 6.78

    Ukuran / Kawasan Bore Master Silinder Biasa

    Diameter, Inci 0.62 0.75 0.81 0.88 1.00 1.12
    Kawasan / Piston, Inci Sq. 0.31 0.44 0.52 0.60 0.79 0.99

    Dengan menukar ke pedal nisbah 7: 1 (dari 6: 1 yang ditunjukkan dalam Contoh Carl), pemandu kemudian akan menyedari nisbah akhir 56: 1 dengan caliper dan silinder induk yang sama (matematik Jeff 7 x (4.8 / .6 ) = 56: 1). Oleh itu, pedal 5: 1 hanya akan memberi nisbah 30: 1 kepada pemandu (matematik Jeff 5 x (4.8 / .6) = 30: 1). Sekiranya kita membandingkan nisbah leverage depan dengan nisbah leverage belakang pada mana-mana kereta tertentu, ini memberitahu kita kemampuan bias statik depan ke belakang kereta.

    A = Jarak dari titik pangsi ke tengah titik tolak / tarikan

    B = Jarak dari pangsi ke titik tolak pada silinder induk

    Nisbah Pedal ditentukan dengan membahagi panjang & # 8220A & # 8221 dengan panjang & # 8220B & # 8221. Jumlah daya pada & # 8220F & # 8221 menentukan daya ke silinder induk

    Setelah kita mengetahui matematik, bolehkah anda menerangkan susunan umum untuk pembaca kami?

    Carl Bush: Peralatan biasa yang boleh didapati di kereta aspal trek pendek mingguan adalah dengan menggunakan contoh di atas dengan kaliper omboh 1.75 "di bahagian depan dengan silinder induk 7/8", dan sepasang kaliper omboh 1.38 "di belakang dengan silinder induk 1 ". Nisbah pedal pemasangan lantai 6: 1 juga biasa. Kami telah menentukan bahawa piston 1,75 dengan silinder induk 7/8 "dan pedal 6: 1 akan memberikan pemandu brek keseluruhan 48: 1 di bahagian depan. Sekiranya kita menggunakan formula yang sama dengan kaliper piston 1 3/8 "dan silinder induk 1" di belakang, itu menghasilkan nisbah leveraj belakang pemandu keseluruhan 22.75: 1. Apabila kita membandingkan nisbah 48: 1 di depan, dengan nisbah 22.75: 1 di belakang, kita melihat bahawa kereta akan menjadi dasar dengan bias leverage statik depan ke belakang 67.8%, selagi baki keseimbangan berada di tengah dan daya sama digunakan pada kedua silinder induk. Anda boleh mengganti kombinasi bahagian dan ukurannya untuk menentukan pengaruh yang tepat terhadap nisbah bias statik asas.

    Empat Piston Caliper

    Empat kaliper omboh biasanya boleh didapati dengan ukuran omboh dari 1.125 & # 8243 hingga 1.875 & # 8243. Luas dua omboh di satu sisi caliper menentukan pengaruh caliper terhadap keupayaan penjepit.

    Bagaimana kita menggunakan tekanan untuk menentukan bias brek?

    Carl Bush: Walaupun berlumba dengan palang keseimbangan yang betul-betul berpusat adalah tujuan ideal, jarang berlaku dalam kenyataan. Selain itu, salah satu kelebihan menggunakan baki keseimbangan yang dapat disesuaikan adalah memiliki kemampuan untuk menyesuaikan leverage untuk mengoptimumkan pengendalian dan kenyamanan pemandu di trek. Mencuba untuk mengukur perpecahan leverage selepas perlumbaan di baki keseimbangan adalah sukar dan tidak realistik. Namun, menggunakan alat pengukur tekanan untuk mengukur perbezaan tekanan pada tetapan palang keseimbangan yang diberikan agak mudah. Tolok brek akan menunjukkan perpecahan tekanan sebenar di dalam kereta berdasarkan penyesuaian palang keseimbangan yang dibuat oleh pemandu. Tekanan tersebut kemudian dapat dikalikan dengan kawasan lubang omboh caliper yang berkesan untuk mengira tetapan bias statik on-track terakhir.

    Kembali ke contoh (penyediaan biasa) kami, jika kami menggunakan kekuatan kaki 50 paun pada pedal 6: 1, kami akan menghasilkan 300 paun kekuatan pada bar imbangan. Sekiranya palang keseimbangan berpusat dengan sempurna, ia akan mengagihkan daya itu sama ke setiap silinder induk. Dengan setiap silinder induk menerima jumlah daya yang sama sebanyak 150 paun, silinder induk 7/8 "akan menghasilkan 250 PSI (matematik Jeff: 250 PSI berasal dari 150 dibahagi dengan .6 yang merupakan hasil matematik silinder induk 7/8") sementara silinder induk 1 "belakang menghasilkan 192 PSI (matematik Jeff: 192 PSI berasal dari 150 dibahagi dengan .785 yang merupakan hasil matematik silinder induk 1"). Dalam penggunaan alat pengukur praktikal, anda boleh menggunakan segala usaha dan tekanan untuk perbandingan anda. Hasil akhirnya akan sama.

    Apabila tekanan depan 250 PSI dari silinder induk 7/8 "dikalikan dengan 4.8 inci inci caliper bore dari kaliper depan piston 1.75" depan, kita mendapat kekuatan penjepit depan 1200. Di bahagian belakang, kita akan mempunyai kawasan kaliper 192 PSI x 2,97 "atau kekuatan penjepit caliper belakang 570 paun. Semasa membandingkan jumlah kekuatan penjepit depan ke belakang ini dengan cara yang sama anda akan membandingkan berat roda untuk keseimbangan, kita akan melihat bahawa kereta ini mempunyai kekuatan pengapit kaliper sebanyak 1770 paun pada tekanan garis ini dengan 1200 paun atau 67,8% pada depan. Nisbah bias statik yang sama diukur menggunakan nisbah leverage pemacu keseluruhan.

    Sekarang, jika setiap kereta dan pemandu mempunyai keperluan brek yang sama dan pedal merasakan pilihan, kita tidak perlu menyesuaikan apa-apa. Tetapi, setiap kereta dan setiap pemandu adalah unik dan penyesuaian akan dibuat.

    Contoh nisbah yang telah digunakan di sini sangat biasa di banyak kereta aspal trek pendek. Tetapi kereta anda, dengan pelbagai alasan, mungkin mempunyai keperluan yang berbeza. Sebagai pelumba atau ketua kru, anda boleh menggunakan formula ini untuk memetakan persediaan brek yang ada pada kereta lumba anda sendiri, dan kemudian membuat keputusan yang dihitung apabila pengendalian atau rasa pemandu yang diinginkan tidak disampaikan. Ketidakupayaan untuk mencapai bias atau pedal yang diinginkan pemandu adalah petunjuk bahawa anda perlu menilai pemilihan komponen anda dan mempertimbangkan kemungkinan alternatif. Dengan menggunakan formula dalam contoh ini, anda dapat menghitung dengan tepat apa yang mempengaruhi perubahan komponen terhadap garis dasar anda yang ada, dan merekodkan nisbah akhir tersebut dalam rekod anda untuk digunakan untuk penyesuaian masa depan dan siapkan untuk setiap jenis trek atau keadaan tertentu.


    Rajah 6.2.8e Kaedah Disk 1 - Matematik

    · Rekursi adalah pendekatan penyelesaian masalah yang sangat penting yang merupakan alternatif kepada lelaran (ingat bahawa penyelesaian berulang termasuk gelung).

    · Latar belakang matematik: Terdapat bentuk definisi matematik yang diterima yang menggunakan konsep untuk menentukan sendiri. Definisi sedemikian disebut definisi induktif . Apabila digunakan dengan teliti, definisi sedemikian sangat ringkas, sangat kuat, dan sangat elegan.

    · Definisi: A definisi rekursif entiti mentakrifkan entiti dari segi dirinya sendiri. Juga disebut definisi rujukan diri. Contoh: Definisi rekursif struktur data dapat digunakan untuk membangun struktur data dari awal.

    Dalam bahasa pengaturcaraan, kami juga membincangkan kaedah rekursif (fungsi).

    · Definisi: Pengulangan = Teknik penyelesaian masalah / pengaturcaraan di mana kaedah (fungsi) dapat memanggil dirinya sendiri untuk menyelesaikan masalah. Dalam prosesnya, masalah itu diselesaikan dengan mengurangkannya menjadi versi yang lebih kecil.

    · Di Java kaedah boleh memanggil dirinya sendiri - & gt jika ditulis dengan cara itu, kaedah itu disebut a kaedah rekursif.

    · Definisi: Pengulangan tanpa batas = keadaan di mana fungsi memanggil dirinya berulang-ulang tanpa henti. Definisi dengan kes asas yang hilang atau ditulis dengan teruk menyebabkan pengulangan yang tidak terhingga, mirip dengan gelung tak terhingga (tidak ada berhenti!) - & gt A rekursif penyelesaian untuk masalah mesti ditulis dengan teliti.

    · Idea: Setiap panggilan berulang berulang harus membawa anda selangkah lebih dekat ke situasi di mana masalahnya dapat diselesaikan dengan mudah. Setiap definisi rekursif mempunyai dua bahagian yang berasingan: kes asas dan kes umum (atau rekursif).

    1. Situasi yang mudah diselesaikan disebut pangkalan kes . Casing asas adalah kes sederhana dari masalah yang dapat kita jawab secara langsung case base TIDAK menggunakan rekursi. Setiap algoritma rekursif mesti mempunyai sekurang-kurangnya satu kes asas. Tanpa sekurang-kurangnya satu kes asas - & gt berulang yang tidak terhingga.

    2. The kes umum (rekursif) adalah kes masalah yang lebih rumit yang tidak mudah dijawab secara langsung, tetapi dapat dinyatakan dengan elegan dengan berulang. Kes umum adalah tempat di mana panggilan rekursif dibuat - & gt ditulis sehingga dengan panggilan berulang mengurangkannya menjadi kes asas (atau membawa anda lebih dekat ke kes asas). Mesti akhirnya akan dikurangkan menjadi kes asas jika tidak - & gt berulang berulang. Mesti mempunyai sekurang-kurangnya satu kes umum - & gt jika tidak, tidak ada pengulangan!

    · Selain kes asas dan rekursif, setiap definisi rekursif mempunyai kes tersirat. Kes asas menyatakan satu atau lebih kes yang memenuhi definisi dengan segera. Kes rekursif menyatakan bagaimana menerapkan definisi sekali lagi untuk memuaskan kes lain. Kes tersirat (yang tersirat, tidak disebutkan) menyatakan & quot Dan tidak ada yang lain yang memenuhi definisi & quot.

    · Format umum untuk fungsi rekursif:

    sekiranya ( beberapa masalah yang mudah diselesaikan) // kes asas
    penyataan penyelesaian
    lain // kes umum
    panggilan fungsi rekursif

    · Definisi: Rekursi langsung = kaedah memanggil dirinya sendiri. Kaedah yang memanggil kaedah lain dan akhirnya menghasilkan kaedah panggilan dipanggil secara tidak langsung recursive.

    · Definisi: Pengulangan tidak langsung = kaedah memanggil kaedah lain dan akhirnya menghasilkan panggilan kaedah asal. Rekursi tidak langsung memerlukan analisis berhati-hati yang sama dengan rekursi langsung. Menjejaki melalui rekursi tidak langsung boleh menjadi proses yang membosankan.

    · Setiap rekursi memiliki fasa maju (panggilan di setiap tingkat kecuali yang terakhir membuat panggilan ke tingkat berikutnya dan menunggu panggilan terakhir untuk mengembalikannya.

    · Setiap rekursi juga memiliki fasa penyandaran (panggilan di setiap tingkat kecuali kontrol lulus pertama kembali ke tingkat sebelumnya, pada saat itu panggilan yang menunggu di tingkat sebelumnya menyambung kembali pekerjaan.)

    · Definisi: Pengulangan ekor = A recursive method in which no statements are executed after the return from the recursive call (the recursive call is the last statement) It often indicates that the problem could be solved more easily with iteration.

    · To design a recursive method, you must:

    1. Understand the problem requirements.
    2. Determine the limiting conditions.
    3. Identify the base case(s) and provide a direct solution to each base case.
    4. Identify the general case(s) and provide a solution to each general case in terms of a smaller version of itself.

    Examples of Recursive Methods:

    · Example #1 (sum): Write a recursive method to find the sum of all positive integers between 1 and n . The method call sum( 5) should have value 15 , because that is 1 + 2 + 3 + 4 + 5.
    The iterative method:

    public static int sum( int n) <
    int total = 0
    for( int i = 1 i <= n i ++)
    total += i
    return total
    >

    Recursive method analysis: For an easily solved situation, the sum of the numbers from 1 to 1 is 1. So, our base case could be

    sum( n) = 1 + 2 + . . . + (n-1) + n = [1 + 2 + . . . + (n-1)] + n = sum(n - 1) + n

    Notice that the recursive call sum (n - 1) gets us “closer” to the base case of sum(1) .
    The recursive method:

    public static int sum( int n) <
    if (n == 1) // base case
    return 1
    else // general case
    return n + sum( n - 1) //tail recursion
    >

    · Example #2 (factorial): Write a recursive method to find n factorial (n! = n * (n-1) * (n-2). 3 * 2 * 1). The method call factorial( 5) should have value 120 , because that is 5 * 4 * 3 * 2 * 1 .

    public static int factorial( int n) <
    int fact = 1
    for( int i = 1 i <= n i ++)
    fact *= i
    return fact
    >

    Recursive method analysis: For a situation in which the answer is known, the value of 1 ! is 1 . So our base case could be
    if (n == 1)
    return 1
    Now for the general case . . .

    n ! = n * (n-1) * (n-2). 3 * 2 * 1 = n * [(n-1) * (n-2). 3 * 2 * 1] = n * (n-1)! OR:
    factorial( n) = n * factorial(n-1)

    Notice that the recursive call factorial (n - 1) gets us “closer” to the base case of factorial(1) .
    The recursive method:

    public static int factorial( int n) <
    if (n == 1) // base case
    return 1
    else // general case
    return n * factorial(n - 1) //tail recursion
    >

    · Example #3 (power): Write a recursive method to find x n recursively.
    The iterative method:

    public static int power( int x, int n) <
    int prod = 1
    for( int i = 1 i <= n i ++)
    prod *= x
    return prod
    >

    Recursive method analysis: From mathematics, we know that 2 0 = 1 and 2 5 = 2 * 2 4 . In general, x 0 = 1 and x n = x * x n-1 for integer x , and integer n > 0 . Here we are defining x n recursively, in terms of x n -1

    public static int power( int x, int n ) <
    if (n == 0) // base case
    return 1
    else // general case
    return (x * power ( x , n-1)) //tail recursion
    >

    What is the value of 2 -3 ? Again from mathematics, we know that it is 2 -3 = 1/2 3 = 1/8
    In general, x n = 1/ x -n for non-zero x , and integer n < 0 . Let's define x n recursively , in terms of x -n when n < 0 .
    The new recursive method:

    public static double power( int x, int n) <
    if (n == 0) // base case
    return 1
    else if(n > 0) // first general case
    return (x * power(x , n - 1))
    else // second general case
    return (1.0 / power(x , - n))
    >

    · Example #4 ( gcd ): Write a recursive method to find the greatest common divisor of 2 integers (the largest integer that goes evenly into 2 integers or, in other words, the largest number that is a factor of both). We will use the Euclid's formula, which states that: gcd ( a, b) = gcd (b, a mod b), and gcd (a, 0) = a. Based on this formula, it is easy to figure out the base case and the general case for the recursive method.
    The iterative method:

    public static int gcd ( int x, int y) <
    int temp = x % y
    while(temp > 0) <
    x = y
    y = temp
    temp = x % y
    >
    return y
    >

    public static int gcd ( int x, int y) <
    if(y == 0) // base case
    return x
    else if(x < 0 || y < 0) // first general case
    return gcd ( Math.abs (x), Math.abs (y))
    else // second general case
    return gcd (y, x % y)
    >

    · Example #5: (print chars) Write a method to print a line of n characters.
    The iterative method:

    public static void printChar (char what, int n) <
    for( int i = 1 i <= n i ++)
    System.out.print (what)
    System.out.println ()
    >

    public static void printChar (char what, int n) <
    if(n == 0) // base case
    System.out.println ()
    else < // general case
    System.out.print (what)
    printChar (what, n-1)
    >
    >

    · Example #6: (Fibonacci) Write a recursive method to determine the n- th Fibonacci number. The first Fibonacci number is 1 and the second Fibonacci number is 1. A Fibonacci number in the sequence is the sum of the previous 2 Fibonacci numbers.
    The recursive method:

    public static int fibonacci ( int n) <
    if(n == 1) // first base case
    return 1
    else if (n == 2) // second base case
    return 1
    else // general case
    return( fibonacci (n - 1) + fibonacci (n - 2))
    >

    · Example #7: (Fibonacci, more general) Write a recursive method to determine the n- th Fibonacci number in a sequence where: the first number in the sequence is a and the second number is b. A Fibonacci number in the sequence is the sum of the previous 2 Fibonacci numbers
    The recursive method:

    public static int fibonacci ( int a, int b, int n) <
    if(n == 1) // base case
    return a
    else if (n == 2) // second base case
    return b
    else // general case
    return( fibonacci (a, b, n - 1) + fibonacci (a, b, n - 2))
    >

    · Example #8: (recursion with arrays) Write a method to print array elements in reverse order. If the array (a) is: 74 36 87 95 , the call printRev (a, 0, 3 ) should produce this output: 95 87 36 74
    The recursive method:

    public static void printRev ( int [] a, int i , int j) <
    if ( i <= j) < // general case
    System.out.print (a[j] + " ") // print last element
    printRev (a, i , j - 1) // then process the rest
    >
    // where is the base case.
    >

    · Example #9: (recursion with arrays) Write a recursive method that takes an array a and two subscripts, i and j as arguments, and returns the sum of the elements a[ i ] + . . . + a[j] .
    The recursive method:

    public static int sum( int [] a, int i , int j) <
    if ( i == j) // base case
    return (a[ i ])
    else // general case
    return (a[ i ] + sum(a, i + 1, j))
    >

    · Example #10: (recursion with arrays) Write a recursive method that takes an array a and its size as arguments, and returns the minimum element in the array . What is the base case here?
    The recursive method:

    public static int findMin ( int [] a, int size) <
    int min
    if(size == 1) // base case: one element in list
    return a[0]
    else < // general case
    min = findMin (a, size - 1)
    if(min < a[size - 1])
    return min
    else
    return a[size - 1]
    >
    >

    · Example #11: (recursion with arrays) Write a similar recursive method to allow subarray processing (from a[ i ] to a[j] )
    The recursive method:

    public static int findMin ( int [] a, int i , int j) <
    int min
    if( i == j) // base case: one element in list
    return a[ i ]
    else < // general case
    min = findMin (a, i + 1, j)
    if(a[ i ] <= min)
    return a[ i ]
    else
    return min
    >
    >

    · Example #12: (recursion with strings) Write a recursive method to display in reverse order a string of characters. Take input characters until the user enters a period and output all characters entered so far in reverse order.
    The recursive method:

    public static void printBack () <
    Scanner input = new Scanner(System.in)
    char inputChar
    System.out.print ("Enter a character. When finished press <.>: ")
    inputChar = input.next ( ). charAt (0)
    if( inputChar != '.') < / / general case
    printBack ()
    System.out.print ( inputChar )
    >
    >

    Output:
    Enter a character. When finished press <.>: r
    Enter a character. When finished press <.>: e
    Enter a character. When finished press <.>: c
    Enter a character. When finished press <.>: u
    Enter a character. When finished press <.>: r
    Enter a character. When finished press <.>: s
    Enter a character. When finished press <.>: i
    Enter a character. When finished press <.>: o
    Enter a character. When finished press <.>: n
    Enter a character. When finished press <.> : .
    noisrucer

    · Example #13: (recursion with linked lists) Write a recursive method to compare 2 linked lists for equality (given references to their first node).
    The recursive method:

    public static boolean equalLists ( LinkedListNode <Integer> head1, LinkedListNode <Integer> head2) <
    if(head1 == null || head2 == null) //base case #1
    return (head1 == head2)
    if(head1.data != head2.data) //base case #2
    return false
    return equalLists (head1.link, head2.link) // general case
    >

    · Example # 14: (recursion with linked lists) Write a recursive method to print a linked list in direct order (given a reference to its first node).
    The recursive method:

    public static void printLL ( LinkedListNode <Integer> head) <
    if(head != null) <
    System.out.print (head.info + " ")
    printLL ( head.link ) //tail recursion
    >
    >

    · Example # 15: (recursion with linked lists) Write a recursive method to print a linked list in reverse order (given a reference to its first node).
    The recursive method:

    public static void revPrintLL ( LinkedListNode <Integer> head) <
    if(head != null) <
    revPrintLL ( head.link ) //forward phase
    System.out.print (head.info + " ") //backing-out phase
    >
    >

    · Example # 16: (recursion with linked lists) Write a recursive method to count the nodes in a linked list (given a reference to its first node).
    The recursive method:

    public static int countNodesLL ( LinkedListNode <Integer> head) <
    if(head == null)
    return 0
    else
    return 1 + countNodesLL ( head.link )
    >

    When to Use Recursion

    · The examples listed here could all have been written without recursion, by using iteration instead. The iterative solution uses a loop , and the recursive solution uses an if statement. However, for certain problems the recursive solution is the most natural solution.

    · Recursion is a very important tool in supporting data abstraction. Recursive definitions are often necessary to define data and associated operations, and the recursive functions are (in many cases) the natural solution for the implementation of the operations on data.

    · Drawbacks of recursion: the amount of stack space used to implement recursion and possible redundancy. Every recursive method call produces a new instance of the method (with a new set of local variables and parameters). Each set of local variables and parameters related to the current call is stored on the stack, to be picked up on return. For example, the recursive implementation for the factorial method is a good example for its simplicity, but not a practical solution (huge overhead --> huge usage of stack space).

    · There are no absolute rules when choosing between a recursive or an iterative solution. The most powerful benefit of recursive methods is the fact that they are concise, which makes them easier to maintain and read. On the other hand, recursive methods consume time and computer storage, which means that they may not be very efficient. These are some guidelines when considering the alternatives:

    1. Design a recursive method if the problem is stated recursively and the recursive algorithm is less complex. Keep in mind that in many cases, recursion is a technique that reduces the complexity of the algorithms you want to implement.

    2. Design an iterative method if similar complexities for the recursive and the iterative algorithms (the iterative solution is likely to be more efficient)

    In many cases the choice is not very clear (concise vs. efficient). More experienced designers know when efficiency really matters and when it is less important.

    Sample Program: Hanoi Towers

    The problem: We have n disks of different sizes, and 3 pegs: A (the source), B (the destination), and C (the spare). Initially, all the disks are on peg A , ordered by size, with the smallest on the top. The problem is to move all the disks, one by one, from peg A to peg B , using peg C as an auxiliary/spare (it must be empty at the beginning and at the end of the game). Restriction: a disk cannot be placed on top of one that is smaller in size.
    How could this be done? Look at the following figure:

    (b) move (n – 1) disks from A to C

    (c) move one disk from A to B
    This disk is in its final place now.

    (d) move (n – 1) disks from C to B

    The algorithm: To free the n- th disk, we have to move (n-1) disks from top. Each stage could be the initial state (again) for a smaller problem (one less disk each time). To get closer to what we discussed so far:

    Base case : If n = 1 (only one disk), we just move it from peg A to peg B (figure (b) and (c): one disk from peg A moved to peg B).
    General case: If n > 1:

    · Ignore the bottom disk and solve the problem for (n-1) disks with peg C the destination and peg B the spare.

    · After step 1, peg C will hold (n-1) disks and the largest disk will be left on peg A (figure (b)). Solve the problem for n=1 and move the large disk from peg A to peg B. (figure (c))

    · Move (n-1) disks from peg C to peg B (the original problem with a twist: peg C is the source, peg B is the destination and peg A is the spare)

    More refined, if we write the solution as a recursive function that will take parameters n disks and 3 pegs ( hanoiTowers (n, A, B, C)) and if we start with n disks on peg A and 0 disks on both pegs B and C, the algorithm is:

    1. In the initial state (all disks on peg A), solve the problem hanoiTowers ( n-1, A, C, B). In other words, you have here step 1 from the previous variant. When finished, the largest disk will be on peg A and (n-1) disks will be on peg C.
    2. With the largest disk on peg A and (n-1) disks on peg C, solve the problem hanoiTowers ( 1, A, B, C). In other words, you have here step 2 from the previous variant. When finished, the largest disk will be on peg B (in place) and (n-1) disks will be on peg C.
    3. With the largest disk on peg B and all the others on peg C, solve the problem hanoiTowers ( n-1, C, B, A).

    Java recursive method:

    public static void hanoiTowers ( int how_many , char source, char destination, char spare) <
    if ( how_many == 1) < //base case
    System.out.print ("Move top disk from peg " + source)
    System.out.println (" to peg " + destination)
    >
    else < //general case
    hanoiTowers (how_many-1, source, spare, destination)
    hanoiTowers (1, source, destination, spare)
    hanoiTowers (how_many-1, spare, destination, source)
    >
    >
    The Java program:

    import java.util.Scanner
    public class HanoiTowers <
    public static void main(String[] args ) <
    int diskCount // Number of disks on starting peg(A)
    Scanner input = new Scanner(System.in)
    System.out.print ("Input number of disks: ")
    diskCount = input.nextInt ()
    while( diskCount <= 0) <
    System.out.print (" nERROR ! Should be positive. Reenter: ")
    diskCount = input.nextInt ( )
    >
    System.out.println ("Hanoi Towers: Output with " + diskCount + " disks")
    System.out.println ("INSTRUCTIONS === peg A = source, peg B = destination, peg C = spare === ")
    hanoiTowers ( diskCount , 'A', 'B', 'C') //method call
    >

    public static void hanoiTowers ( int how_many , char source, char destination, char spare) <
    if ( how_many == 1) < //base case
    System.out.print ("Move top disk from peg " + source)
    System.out.println (" to peg " + destination)
    >
    else < //general case
    hanoiTowers (how_many-1, source, spare, destination)
    hanoiTowers (1, source, destination, spare)
    hanoiTowers (how_many-1, spare, destination, source)
    >
    >
    >
    OUTPUT:
    Input number of disks: 4
    Hanoi Towers: Output with 4 disks
    INSTRUCTIONS === peg A = source, peg B = destination, peg C = spare ===

    Move top disk from peg A to peg C
    Move top disk from peg A to peg B
    Move top disk from peg C to peg B
    Move top disk from peg A to peg C
    Move top disk from peg B to peg A
    Move top disk from peg B to peg C
    Move top disk from peg A to peg C
    Move top disk from peg A to peg B
    Move top disk from peg C to peg B
    Move top disk from peg C to peg A
    Move top disk from peg B to peg A
    Move top disk from peg C to peg B
    Move top disk from peg A to peg C
    Move top disk from peg A to peg B
    Move top disk from peg C to peg B

    Key Terms
    Base case: the case in a recursive definition in which the solution is obtained directly.
    Directly recursive method: a method that calls itself.
    General case (Recursive case): the case in a recursive definition in which the method is calling itself
    Indirectly recursive: a method that calls another method and eventually results in the original method call .
    Recursive definition: a definition in which an entity is defined in terms of a smaller version of itself.
    Recursive method: a method that calls itself.
    Tail recursive method : a recursive method in which no statements are executed after the return from the recursive call
    Infinite recursion: the situation in which a function calls itself over and over endlessly.


    Solved Problems

    Click or tap a problem to see the solution.

    Contoh 1

    Contoh 2

    Example 3

    Example 4

    Example 5

    Example 6

    Example 7

    Example 8

    Example 9

    Example 10

    Example 1.

    Given the side of the hexagon (a,) we can easily find the the apothem length (m:)

    Hence, the distance (d) traveled by the centroid (C) when rotating the hexagon is written in the form

    The area (A) of the hexagon is equal to

    Using the (2 ext) theorem of Pappus, we obtain the volume of the solid of revolution:

    Example 2.

    Let (m) be the distance between the centroid (G) and the axis of rotation. When the semicircle makes the full turn, the path (d) traversed by the centroid is equal to

    The solid of rotation is a ball of volume

    By the (2 ext) theorem of Pappus, we have the relationship

    where (A = large>><2>> ormalsize) is the area of the semicircle.

    Example 3.

    The volume of the solid of revolution can be determined using the (2 ext) theorem of Pappus:

    The path (d) traversed in one turn by the centroid of the ellipse is equal to

    The area of the ellipse is given by the formula

    Hence, the volume of the solid is

    In particular, when (m = 2b,) the volume is equal to (V = 4a.)

    Example 4.

    Since the coordinates of the vertices are known, we can easily find the area of the triangle. First we calculate the determinant:

    Then the area of the triangle is

    [A = frac<1><2>left| Delta ight| = 10.]

    Now we determine the centroid of the triangle:

    By the (2 ext) theorem of Pappus, the volume of the solid of revolution is given by

    where (m = ar y) is the distance from the centroid (G) to the axis of rotation.

    Example 5.

    To determine the coordinates of the centroid, we will use the (2 ext) theorem of Pappus.

    Suppose first that the triangle is rotated about the (y-)axis. The volume of the obtained cone is given by

    The area of the triangle is

    Then, by the Pappus’s theorem,

    Let the triangle rotate now about the (x-)axis. Similarly, we find the volume

    and the (ar y-)coordinate of the centroid:

    Thus, the centroid of the triangle is located at the point

    which is the point of intersection of its medians .

    Example 6.

    Let the point (Gleft( <ar x,ar y> ight)) denote the centroid of the figure. By symmetry, (ar x = large<2>> ormalsize,) so we need to calculate only the coordinate (ar y = m.)

    Using the disk method, we find the volume of the solid of revolution:

    The area under the sine curve is

    The (2 ext) theorem of Pappus states that

    Thus, the centroid of the region has the coordinates

    Example 7.

    We consider separately three sections of the curve and compute their centroids.

    1. Horizontal line segment (AB.)
      The length is (<>> = 3.) The centroid is located at the point (<>> = left( <3.5,10> ight))
    2. Vertical line segment (BC.)
      The length is (<>> = 2.) The centroid is located at the point (<>> = left( <2,9> ight))
    3. Semicircular arc (CD.)
      The length is (<>> = pi R = 3pi.) The centroid is located at the point (<>> = left( <ar x_,ar y_> ight),) where [<<<ar x>_> = 2 + frac<<2R>>= 2 + frac<6>>kern0pt<<<ar y>_> = 5.>]

    Calculate the (ar x-)coordinate of the centroid (G) of the whole curve:

    where (L = <>> + <>> + <>>) is the total length of the curve.

    By the (1 ext) theorem of Pappus, the surface area is given by

    where (d) is the path traversed by the centroid of the curve in one turn and (m = ar x) is the distance from the centroid to the (y-)axis.

    Example 8.

    The half of the diagonal of the square (AG) has the length

    The angle (eta = angle KGA) is expressed in terms of (alpha) as follows:

    Hence, the distance (m) from the centroid (G) to the axis of revolution is given by

    we write the distance (m) in the form

    so the path (d) traversed by the centroid (G) of the square is given by

    Applying the (2 ext) theorem of Pappus, we find the volume of the solid of revolution:

    Considering the volume as a function of angle (alpha) we can determine its largest value:

    So the volume has the maximum at (alpha = large<4>> ormalsize:)

    Example 9.

    Using the Pappus’s theorem for volume, we have

    where (A) is the area of the region and (m) is the (ar y-)coordinate of the centroid (Gleft( <ar x,ar y> ight).)

    We compute the volume of the solid of revolution using the disk method:

    Then the (ar y-)coordinate of the centroid is given by

    Due to symmetry of the region, the (ar x-)coordinate is equal to (0,) so the final answer is

    Example 10.

    By symmetry, the centroid (G) is located on the (y-)axis, so its coordinates are

    where (m = ar y) is the distance from the centroid to the axis of rotation that we’re going to find.

    When the arc is rotated it forms a spherical segment. The surface area (A) of the spherical segment is given by

    where (h) is the distance between the parallel planes cutting the sphere.

    Since (h = 2Rsinalpha,) we can write

    [A = 2pi R cdot 2Rsin alpha = 4pi sin alpha .]

    From the other side, by the (1 ext) theorem of Pappus, we have

    where (d = 2pi m) is the path traversed by the centroid in one turn and (L = 2alpha R) is the length of the arc.


    Komen

    JR Cuevas on August 23, 2020:

    Hi, Luke and Dexter! Unfortunately, there is a lacking dimension on the figure. But you can follow this:

    Given radius of 100 mm, assume 35 mm from the bottom up to the first point of the semi-circle.

    100 mm + 35 mm = 135 mm from the bottom of the figure up to the centroid of the semi-circle.

    I am very sorry for the inconvenience.

    luke on August 23, 2020:

    how did you get you y value for area 3 ?

    Dexter on August 23, 2020:

    How did you get the y-bar for area 3

    JackieZhang on June 30, 2020:

    Thank you! Very very easy to understand!

    Trying boy on June 11, 2020:

    Nice. Easy to understand. Good explaination!

    Ray (author) from Philippines on March 08, 2020:

    Please, check on the "Questions and Answers" portion of the article to look for similar questions. Thanks!

    Ray (author) from Philippines on January 23, 2020:

    Hi, Good day Srikar! H/3 is the distance of the centroid of the triangle from the base of the triangle while 2H/3 is the distance of the centroid of the triangle from the vertex or tip of the triangle.

    Srikar on January 23, 2020:

    When to use b/3 and 2b/3 for x of triangle

    Ray (author) from Philippines on December 17, 2019:

    Hi, Mousa. I am very sorry for the confusion with the computation of the y-bar. There must be some dimensions lacking in the figure. But as long as you understand the process of solving problems about centroid, then there&aposs nothing to worry about.


    Tonton videonya: CS50 2015 - Week 5, continued (Oktober 2021).