Artikel

7.8: Langkah Lebesgue


Kita sekarang akan mempertimbangkan contoh ukuran yang paling penting dalam (E ^ {n}, ) kerana Lebesgue. Ukuran ini menggeneralisasi konsep volume dan memberikan "volume" kepada keluarga set besar, set "Lebesgue terukur", sehingga "volume" menjadi ukuran topologi yang lengkap. Untuk "badan" di (E ^ {3}, ) ukuran ini sesuai dengan idea intuitif kami mengenai "kelantangan".

Kita mulakan dengan fungsi kelantangan (v: mathcal {C} rightarrow E ^ {1} ) ("Lebesgue premeasure") pada semiring ( mathcal {C} ) semua selang dalam (E ^ {n} ) (§1). Seperti yang kita lihat di §§5 dan 6, pramasur ini mendorong ukuran luar (m ^ {*} ) pada semua subset dari (E ^ {n}; ) dan (m ^ {*}, ) seterusnya, menghasilkan ukuran (m ) pada ( sigma ) - medan ( mathcal {M} ^ {*} ) dari (m ^ {*} ) - set yang dapat diukur. Set ini, menurut definisi, set Lebesgue-terukur (sebentar (L ) - terukur); (m ^ {*} ) dan (m ) yang ditentukan ialah ukuran luar ( (n ) - dimensi) Lebesgue dan ukuran Lebesgue.

Teorema ( PageIndex {1} )

Lebesgue premeasure (v ) adalah ( sigma ) - aditif pada ( mathcal {C}, ) selang dalam (E ^ {n} ). Oleh itu yang terakhir adalah Lebesgue yang dapat diukur ( kiri ( mathcal {C} subseteq mathcal {M} ^ {*} kanan), ) dan isipadu setiap selang sama dengan ukuran Lebesgue:

[v = m ^ {*} = m teks {on} mathcal {C}. ]

Ini diikuti oleh Corollary 1 dalam §2 dan Theorem 2 dari §6

Catatan 1. Oleh kerana ( mathcal {M} ^ {*} ) adalah ( ( sigma ) - medan §6), ia ditutup di bawah kesatuan, persimpangan yang boleh dikira, dan perbezaan. Oleh itu

[ mathcal {C} subseteq mathcal {M} ^ {*} text {implies} mathcal {C} _ { sigma} subseteq mathcal {M} ^ {*}; ]

iaitu, kesatuan selang yang boleh dikira adalah (L ) - dapat diukur. Juga, (E ^ {n} in mathcal {M} ^ {*} ).

Akibat ( PageIndex {1} )

Sebarang set yang boleh dikira (A subset E ^ {n} ) adalah (L ) - dapat diukur, dengan (m A = 0 ).

Bukti

Buktinya adalah seperti Corollary 6 of §2

Akibat ( PageIndex {2} )

Ukuran Lebesgue (E ^ {n} ) adalah ( infty ).

Bukti

Buktikan seperti Corollary 5 dari §2.

Contoh

(a) Biarkan

[R = kiri { teks {rasional dalam} E ^ {1} kanan }. ]

Maka (R ) dapat dikira (Akibat 3 Bab 1, §9); jadi (m R = 0 ) oleh Corollary 1. Begitu juga untuk (R ^ {n} ) (titik rasional di (E ^ {n}) ).

(b) Ukuran selang dengan titik akhir (a, b ) di (E ^ {1} ) adalah panjangnya, (b-a. )

Biarkan

[R_ {o} = { teks {semua rasional di} [a, b] }; ]

jadi (m R_ {o} = 0. ) Seperti ([a, b] ) dan (R_ {o} ) berada di ( mathcal {M} ^ {*} ) (a ( sigma ) - bidang), begitu juga

[[a, b] -R_ {o}, ]

yang tidak rasional dalam ([a, b]. ) Oleh Lemma 1 dalam §4, jika (b> a, ) maka

[m kiri ([a, b] -R_ {o} kanan) = m ([a, b]) - m R_ {o} = m ([a, b]) = ba> 0 = m R_ {o}. ]

Ini menunjukkan sekali lagi bahawa irasional membentuk kumpulan "lebih besar" daripada rasional (rujuk Teorema 3 dari Bab 1, §9).

(c) Terdapat satu set ukuran yang tidak dapat dihitung (lihat Masalah 8 dan 10 di bawah).

Teorema ( PageIndex {2} )

Ukuran Lebesgue di (E ^ {n} ) lengkap, topologi, dan benar-benar ( sigma ) - terhingga. Itu dia,

(i) semua set kosong (subset set ukuran sifar) adalah (L ) - boleh diukur;

(ii) begitu juga semua set terbuka ( kiri ( mathcal {M} ^ {*} supseteq mathcal {G} kanan), ) oleh itu semua set Borel ( kiri ( mathcal {M} ^) {*} supseteq mathcal {B} kanan); ) khususnya, ( mathcal {M} ^ {*} supseteq mathcal {F}, mathcal {M} ^ {*} supseteq mathcal {G} _ { delta}, mathcal {M} ^ {*} supseteq mathcal {F} _ { sigma}, mathcal {M} ^ {*} supseteq mathcal {F} _ { sigma delta}, ) dll;

(iii) setiap (A in mathcal {M} ^ {*} ) adalah penyatuan yang boleh dihitung dari set tak terukur dari ukuran terhingga.

Bukti

(i) Ini diikuti oleh Teorema 1 dalam §6.

(ii) Oleh Lemma 2 dalam §2, setiap set terbuka berada di ( mathcal {C} _ { sigma}, ) oleh itu di ( mathcal {M} ^ {*} ) (Catatan 1). Oleh itu ( mathcal {M} ^ {*} supseteq mathcal {G}. ) Tetapi mengikut definisi, medan Borel ( mathcal {B} ) adalah yang paling rendah ( sigma ) - cincin ( supseteq mathcal {G}. ) Oleh itu ( mathcal {M} ^ {*} supseteq mathcal {B} ^ {*} ).

(iii) Oleh kerana (E ^ {n} ) terbuka, ia adalah gabungan antara selang setengah terbuka yang tidak dapat dihitung,

[E ^ {n} = bigcup_ {k = 1} ^ { infty} A_ {k} text {(disjoint),} ]

dengan (m A_ {k} < infty ) (Lemma 2 §2). Oleh itu

[ kiri ( forall A subseteq E ^ {n} kanan) quad A subseteq bigcup A_ {k}; ]

begitu

[A = bigcup_ {k} kiri (A cap A_ {k} kanan) teks {(disjoint).} ]

Sekiranya, lebih jauh, (A in mathcal {M} ^ {*}, ) maka (A cap A_ {k} in mathcal {M} ^ {*}, ) dan

[m kiri (A cap A_ {k} kanan) leq m A_ {k} < infty. text {(Mengapa?)} quad square ]

Catatan 2. Secara lebih umum, a ( sigma ) - set terhingga (A in mathcal {M} ) dalam ruang ukuran ((S, mathcal {M}, mu) ) adalah penyatuan yang boleh dikira tolak set ukuran terhingga (Akibat 1 dari §1).

Catatan 3. Tidak semua (L ) - set yang boleh diukur adalah set Borel. Sebaliknya, tidak semua set di (E ^ {n} ) (L ) - dapat diukur (lihat Masalah 6 dan 9 di bawah.)

Teorema ( PageIndex {3} )

(a) Ukuran luar Lebesgue (m ^ {*} ) di (E ^ {n} ) adalah ( mathcal {G} ) - biasa; itu dia,

[ kiri ( forall A subseteq E ^ {n} kanan) quad m ^ {*} A = inf {m X | A subseteq X in mathcal {G} } ]

( ( mathcal {G} = ) set terbuka di (E ^ {n} )).

(b) Ukuran Lebesgue (m ) sangat biasa (Definisi 5 dan Teorema 1 dan 2, semuanya dalam §7).

Bukti

Secara definisi, (m ^ {*} A ) adalah glb dari semua nilai asas penutup (A. ) Oleh itu ( varepsilon> 0, ) terdapat penutup asas ( kiri { B_ {k} kanan } subseteq mathcal {C} ) dari set yang tidak dilarang (B_ {k} ) sehingga

[A subseteq bigcup B_ {k} text {dan} m ^ {*} A + frac {1} {2} varepsilon geq sum_ {k} v B_ {k}. ]

(Mengapa? Bagaimana jika (m ^ {*} A = infty )?)

Sekarang, oleh Lemma 1 dalam §2, perbaiki setiap (B_ {k} ) selang terbuka (C_ {k} supseteq B_ {k} ) sehingga

[v C_ {k} - frac { varepsilon} {2 ^ {k + 1}}

Kemudian (2) hasil

[m ^ {*} A + frac {1} {2} varepsilon geq sum_ {k} kiri (v C_ {k} - frac { varepsilon} {2 ^ {k + 1}} kanan) = sum_ {k} v C_ {k} - frac {1} {2} varepsilon; ]

oleh ( sigma ) - subditiviti,

[m bigcup_ {k} C_ {k} leq sum_ {k} m C_ {k} = sum_ {k} v C_ {k} leq m ^ {*} A + varepsilon. ]

Biarkan

[X = bigcup_ {k} C_ {k}. ]

Kemudian (X ) terbuka (seperti (C_ {k} )). Juga, (A subseteq X, ) dan oleh (3),

[m X leq m ^ {*} A + varepsilon. ]

Oleh itu, memang, (m ^ {*} A ) adalah (g l b ) semua (m X, A subseteq X in mathcal {G}, ) membuktikan (a).

Khususnya, jika (A in mathcal {M} ^ {*}, ) (1) menunjukkan bahawa (m ) adalah biasa (untuk (m ^ {*} A = m A). Juga, oleh Theorem 2, (m ) adalah ( sigma ) - terhingga, dan (E ^ {n} in mathcal {M} ^ {*}; ) sehingga (b) diikuti oleh Teorem 1 dalam §7. ( Quad square )


Mathematica untuk algoritma ramalan

Dalam dokumen ini diberikan garis besar dan contoh beberapa pelaksanaan berkaitan integrasi Lebesgue, [1], dalam kerangka NIntegrate, [7]. Fokusnya adalah pada implementasi algoritma integrasi Lebesgue yang mempunyai banyak pilihan dan dapat diperluas dengan mudah (untuk melakukan kajian lebih lanjut, pengoptimuman, dll.) Dari segi terminologi kerangka NIntegrate & # 8216s ditunjukkan bagaimana menerapkan strategi integrasi atau peraturan penyatuan berdasarkan teori integral Lebesgue. Pelaksanaan penuh strategi dan peraturan tersebut & # 8212 LebesgueIntegration, LebesgueIntegrationRule, dan GridLebesgueIntegrationRule & # 8212 diberikan dalam Mathematica pakej [5].

Kelebihan menggunakan kerangka NIntegrate & # 8216s adalah bahawa sejumlah algoritma pendukung dapat digunakan untuk pemprosesan, pelaksanaan, eksperimen, dan pengujian (ketepatan, perbandingan, dan profil.)

Berikut adalah penerangan ringkas strategi integrasi LebesgueIntegration di [5]:

    sediakan fungsi yang mengira anggaran ukuran berdasarkan titik rawak atau urutan titik perbezaan yang rendah dalam domain integrasi

gunakan NIntegrate untuk pengiraan integral satu dimensi untuk mengukur fungsi anggaran melebihi julat nilai fungsi integrand.

Strategi itu adaptif kerana langkah kedua & # 8212 NIntegrate menggunakan algoritma integrasi adaptif.

Daripada menggunakan strategi integrasi, kita dapat & memasukkan seluruh proses integrasi Lebesgue menjadi peraturan integrasi, dan kemudian menggunakan peraturan integrasi itu dengan algoritma integrasi adaptif yang telah dimiliki NIntegrate. Ini dilakukan dengan pelaksanaan peraturan integrasi LebesgueIntegrationRule dan GridLebesgueIntegrationRule.


7.8: Langkah Lebesgue

Ukuran yang paling semula jadi dalam ruang linear dimensi terhingga, tentu saja, adalah ukuran Lebesgue. Namun, ini bukan ukuran kebarangkalian (ukuran keseluruhan ruang adalah tak terhingga, bukan 1), dan ia gagal wujud dalam dimensi tak terbatas.

Ukuran kebarangkalian yang paling semula jadi dalam ruang linear (dimensi terhingga atau tak terhingga) adalah ukuran Gauss.

Teori moden mengenai kaedah Gaussian terletak di persimpangan teori proses rawak, analisis fungsional, dan fizik matematik dan berkait rapat dengan pelbagai aplikasi dalam teori bidang kuantum, fizik statistik, matematik kewangan, dan bidang sains lain. Kajian mengenai ukuran Gaussian menggabungkan idea dan kaedah dari teori kebarangkalian, analisis nonlinear, geometri, operator linear, dan ruang vektor topologi dengan cara yang indah dan tidak remeh. (Pendahuluan, hlm. Xi.)
V.I. Bogachev, "Langkah-langkah Gauss", AMS 1998.

Isoperimetri

Sifat geometri utama kedua-dua ukuran (Lebesgue dan Gaussian) adalah ketaksamaan isoperimetrik. Untuk ukuran Lebesgue adalah klasik (J. Steiner 1842, H. Schwarz 1884). Di antara semua badan isipadu tertentu, bola meminimumkan luas permukaan. Untuk ukuran Gauss, ketidaksamaan isoperimetrik telah muncul dalam karya

Ia dijumpai secara bebas di

C. Borell, "Ketidaksamaan Brunn-Minkowski di ruang Gauss", Cari. Matematik. 30:2 (1975), 207-216.

Bukti yang lebih baik telah muncul kemudian (A. Ehrhard 1983 M. Ledoux 1994 S. Bobkov 1997).

Di antara semua set kebarangkalian yang diberikan, setengah ruang meminimumkan kebarangkalian kejiranan.

Isoperimetri Gauss menyiratkan teorema yang sangat umum mengenai taburan kebarangkalian norma vektor rawak Gauss, serta maksimum proses rawak Gauss. Taburan sedemikian mesti mempunyai ketumpatan (kecuali atom yang mungkin di hujung bawah). Lebih-lebih lagi, ketumpatannya berterusan kecuali, mungkin, satu set terhingga atau boleh dikira, di mana ia turun. Fakta-fakta ini ditemui pada awalnya dalam karya

Bukti itu tidak rumit. Pendekatan yang jauh lebih baik, berdasarkan hasil geometri A. Ehrhard yang indah, dijumpai kemudian, lihat Corollary 4.4.2 dalam buku karya V.I. Bogachev, "Langkah-langkah Gauss", AMS 1998.

Memetik karya (1974-2010)

(termasuk karya yang tidak memetik kertas saya tetapi masih menggunakan "Ketaksamaan Borel-TIS" dll.)

Fungsi dan vektor secara rawak, mengukur kepekatan

Adler, Aida, Ajiev, Ambrosio, Arcones, Azais, Bakry, Ball, Barthe, Baudoin, Bayle, Bentkus, Blower, Bobkov, Bogachev, Borell, Brandolini, Byczkowski, Canete, Canzani, Carmona, Cattiaux, Chatterjee, Davydov, Deheuvel Del Barrio, Diebolt, Dudley, Ehrhard, Fatalov, Gao, Gardner, Gentil, Giannopoulos, Gine, Gluskin, Goldman, Gotze, Gourcy, Gozlan, Guerra, Guillin, Hairer, Hoffman-Jorgensen, Horfelt, Houdre, Hu, Jakobson, Konak , Kratz, Latala, Le, Ledoux, Lewandowski, Li, Lifshits, Linde, Makarova, Maniglia, Marchal, Martin, Massart, Mathieu, Matran, Maurey, Meckes, Milman E., Milman M., Milman V., Miranda, Montenegro , Morgan, Nazarov, Oleszkiewicz, Pallara, Paulauskas, Peres, Piterbarg, Posse, Privault, Rackauskas, Roberto, Rosales, Ryznar, Samotij, Shao, Shepp, Smolyanov, Smorodina, Sodin, Stamatovich, Sudakov, Tonagrand, Taylor, Talagrelli, Taylor , Virag, Vitale, Vittone, Wang, Wigman, Wojtaszczyk, Wschebor, Wu, Yurinsky, Zak. (Perincian)

Aplikasi statistik (dan lain-lain)

Addario-Berry, Arcones, Arlot, d'Aspremont, Barabas, Baraud, Baringhaus, Barron, Beran, Bickel, Bigot, Birge, Blanchard, Bobkov, Broutin, Burr, Byambazhav, Chesneau, Chung, Csorgo, Dabrowska, Devroye, Doss Dossal, Gaenssler, Gadat, van de Geer, Ghaoui, Gill, Gine, Grigoriev, Grubel, Hall, Ho, Horvath, Huet, Johnstone, Kerkyacharian, Kokoszka, Koltchinskii, Krieger, Le Pennec, Li, Lugosi, Mallat, Mammen, Mason , Massart, Millar, Milstein, Mogulskii, Molnar, Neumann, Nussbaum, Pensky, Picard, Pitts, Politis, Polzehl, Reynaud-Bouret, Romano, Roquain, Rost, Sapatinas, Tillich, Tribouley, Vakulenco, Van Keilegom, Weraverbeke Yandell, Zemor, Zhang, Zhou, Zilberburg, Zitikis. (Perincian)

Persamaan pembezaan separa

Betta, Brock, Chiacchio, Feo, Ferone, Mercaldo. (Perincian)

Struktur, isomorfisme, penumpuan siri

Perlu diingat di sini bahawa salah satu idea asas dalam teori langkah-langkah Gaussian adalah bahawa pelbagai langkah-langkah Radon Gaussian yang berpusat adalah mewujudkan satu ukuran Gaussian "kanonik" yang sama: produk yang dapat dihitung dari sebaran Gauss biasa yang normal di talian . (Pendahuluan, hlm. Xi.)
Alat utama untuk memindahkan hasil klasik ke tetapan ruang cembung tempatan secara umum adalah teorema 3.4.1, 3.4.4, dan 3.5.1 yang pada dasarnya disebabkan oleh Tsirelson [774], [775]. .
Penumpuan siri dan urutan vektor Gauss telah dikaji. Karya Ito dan Nisio [371] dan Tsirelson [774], [775] sangat penting untuk arah ini. (Komen Alkitab untuk Bab 3, hlm. 383-384.)
V.I. Bogachev, "Langkah-langkah Gauss", AMS 1998.

Hasilnya telah muncul di

Memetik karya (1976-2010)

Bobkov, Bogachev, Chevet, Chuprunov, Gardner, Kobanenko, Krylov, Lifshits, Rockner, Sato, Smolyanov, Sudakov, Talagrand. (Perincian)


7.8: Langkah Lebesgue

Ukur Teori dan Integrasi Lebesgue - Matematik 621 - Kejatuhan 2004

Deskripsi umum: Tujuan kursus ini adalah untuk memberikan rawatan yang ketat untuk mengukur teori dan integrasi Lebesgue. Topik merangkumi: teori ukuran, integrasi, ruang Lp.

Pengajar: & nbsp Kasso Okoudjou, 411 Malott Hall, [email protected], Telefon: 255-7244.

Pembantu pengajar: & nbsp Yan Zeng, 104 Dewan Malott, [email protected]

Buku teks: & nbsp Robert Bartle, Unsur-unsur Integrasi dan Lebesgue, John Wiley & Sons, 1995. ISBN 0-471-04222-6.

Ceramah: TR 8:40 - 9:55, MT 206

  • Kasso Okoudjou, 411 Malott Hall (Telefon: 255-7244), Selasa 10:00 - 11:00, Khamis 11:00 - 12:00 (atau dengan janji temu).
  • Yan Zeng, 104 Dewan Malott (Telefon: 255-7554), Rabu 1:00 - 3:00 petang

  • Tugasan kerja rumah dijelaskan di kelas pada hari Khamis, merangkumi bahan dua minggu sebelumnya. Hanya a SUBSET masalah yang diberikan akan dipilih dan dinilai. Walau bagaimanapun, saya sangat menggalakkan anda menyelesaikan semua tugasan. Tidak masalah untuk menyelesaikan masalah dengan bekerjasama dengan orang lain, tetapi anda mesti membuat sendiri penyelesaiannya.
  • Sebagai tambahan kepada tugasan kerja rumah setiap dua minggu, akan ada dua ujian pulang:
    Peperiksaan pertengahan penggal akan ditugaskan di kelas pada 10/14 dan akan jatuh tempo di kelas pada 10/21.


Nilai

MDE1stage - Senarai hasil anggaran jarak minimum tahap pertama. Ia mengandungi tahap tahahat1, tahap sisa, dan tahap rho1.

betahat1stage - Penganggar jarak minimum tahap pertama pekali regresi.

residual1stage - Sisa selepas anggaran jarak minimum tahap pertama.

rho1stage - Penganggar jarak minimum tahap pertama pekali autoregresif ralat.

MDE2stage - Senarai hasil anggaran jarak minimum tahap kedua. Ia mengandungi tahap tahahat2, tahap residual2, dan tahap rho2.

betahat2stage - Penganggar jarak minimum tahap kedua bagi pekali regresi.

residual2stage - Sisa selepas anggaran jarak minimum tahap kedua.

rho2stage - Penganggar jarak minimum tahap kedua bagi pekali autoregresif ralat.


Ketumpatan satu set

Memandangkan satu set terukur Lebesgue $ E $ di ruang Euclidean standard $ mathbb R ^ n $ dan titik $ x in mathbb R ^ n $, ketumpatan atas dan bawah $ E $ pada $ x $ masing-masing ditentukan sebagai [ limsup_ frac < lambda (B_r (x) cap E)> < omega_n r ^ n> qquad mbox qquad liminf_ frac < lambda (B_r (x) cap E)> < omega_n r ^ n> , ] di mana $ lambda $ menunjukkan ukuran Lebesgue dan $ omega_n $ isipadu unit $ n $ - bola dimensi. Sekiranya kedua-dua nombor itu bertepatan, iaitu jika ada had berikut, [ lim_ frac < lambda (B_r (x) cap E)> < omega_n r ^ n> , ] nombor yang dihasilkan dipanggil ketumpatan $ E $ pada $ x $. Berikut ini adalah hasil klasik dalam teori ukuran (lihat misalnya Corollary 3 dalam Bahagian 1.7 dari [EG]), kerana Lebesgue dalam kes $ n = 1 $:

Teorema 1 Ketumpatan set Lebesgue yang dapat diukur $ E subset mathbb R ^ n $ ialah $ 1 $ pada $ lambda $ -a.e. $ x dalam E $ dan $ pada $ lambda $ -a.e. $ x tidak dalam E $.

Titik jenis pertama juga disebut titik ketumpatan $ E $, sedangkan titik kedua disebut titik penyebaran.Titik-titik ketumpatan dan titik-titik penyebaran kadang-kadang ditentukan juga untuk set yang tidak dapat diukur $ E $: dalam kes ini seseorang menggunakan ukuran luar Lebesgue, cp. dengan Bahagian 2.9.11 dan 2.9.12 dari [Fe] (lihat Lebesgue ukuran).

Ketumpatan ukuran

Konsep di atas telah digeneralisasikan dalam teori ukuran geometri hingga pengukuran, bermula dari karya Besicovitch. Pertimbangkan radon (terbatas tempatan) mengukur $ mu $ di ruang Euclidean $ mathbb R ^ n $, satu titik $ x in mathbb R ^ n $ dan nombor nyata yang tidak negatif $ alpha $ (lihat contohnya Definisi 2.14 daripada [De] atau Definisi 6.8 dari [Ma]). Ketumpatan atas dan bawah $ $ alpha $ mu $ pada $ x $ ditakrifkan sebagai [ theta ^ < alpha, *> ( mu, x): = limsup_ frac < mu (B_r (x))> < omega_ alpha r ^ alpha> qquad mbox qquad theta ^ alpha_ * ( mu, x) = liminf_ frac < mu (B_r (x))> < omega_ alpha r ^ alpha> ,, ] dengan faktor normalisasi $ omega_ alpha $ ialah isipadu dimensi $ alpha $ dari bola unit dalam $ mathbb R ^ alpha $ apabila $ alpha $ adalah bilangan bulat positif dan secara amnya $ omega_ alpha = pi ^ < alpha / 2> Gamma (1+ alpha / 2) $. Sekiranya kedua-dua nombor itu bertepatan, nilai yang dihasilkan dipanggil $ alpha $ -dimensional density $ mu $ pada $ x $. Teorema berikut oleh Marstrand menunjukkan bahawa ketumpatan mungkin wujud dan tidak remeh jika dan hanya jika $ alpha $ adalah bilangan bulat (kami merujuk Bab 3 dari [De] untuk pembuktiannya).

Teorem 2 Biarkan $ mu $ menjadi ukuran Radon tempatan pada $ mathbb R ^ n $ dan $ alpha $ nombor nyata bukan negatif sehingga ketumpatan dimensi $ alpha $ mu $ wujud dan positif pada satu set ukuran $ mu $-positif. Maka $ alpha $ semestinya bilangan bulat.

Teorema Lebesgue

Mengenai kepadatan dimensi $ n $, teorema berikut sesuai dengan kenyataan bahawa, dengan fungsi penjumlahan $ f $, $ lambda $ -a.e. titik $ x $ ialah titik Lebesgue untuk $ f $:

Teorem 3 (Teorema 1 dalam Bahagian 1.7 dari [EG]) Biarkan $ f in L ^ 1_ ( mathbb R ^ n) $ dan pertimbangkan langkah mulalabel mu (A): = int_A f , d lambda ,. akhir Kemudian ketumpatan dimensi $ n $ $ mu mu $ $ lambda $ - a.e. $ x in mathbb R ^ n $ dan bertepatan dengan $ f (x) $.

Hasil yang serupa dalam arah yang berlawanan berlaku dan merupakan kes tertentu hasil yang lebih umum mengenai Pembezaan langkah-langkah:

Teorem 4 Biarkan $ mu $ menjadi ukuran Radon terhingga tempatan pada $ mathbb R ^ n $. Sekiranya kepadatan $ n $ -dimensi $ theta ^ n ( mu, x) $ wujud untuk $ mu $ -a.e. $ x $, maka ukuran $ mu $ diberikan oleh formula ref di mana $ f = theta ^ n ( mu, cdot) $.

Teorema terakhir dapat digeneralisasikan kepada Hausdorff $ alpha $ -dimensi ukuran $ mathcal^ alpha $ (cp. dengan Teorema 6.9 dari [Ma]).

Teorem 5 Biarkan $ mu $ menjadi ukuran Radon tempatan pada $ mathbb R ^ n $. Sekiranya ketumpatan dimensi $ alpha $-atas ada dan positif dan terhingga pada $ mu $ -a.e. $ x in mathbb R ^ n $, maka ada fungsi Borel $ f $ dan Borel menetapkan $ E $ dengan ukuran Hausdorff $ alpha $ -dimensional tempatan sehingga [ mu (A) = int_ f , d mathcal^ alpha ,. ]

Pengumuman Teorem 3 juga mungkin, tetapi lebih halus (lihat di bawah).

Ketumpatan dimensi yang lebih rendah bagi satu set

Andaikan $ E subset mathbb R ^ n $ adalah satu set Borel dengan ukuran Hausdorff $-alpha $ -faith yang terhingga. Ketumpatan atas dan bawah $ alpha $ -d $ $ theta ^ < alpha, *> (E, x) $ dan $ theta ^ alpha_ * (E, x) $ $ E $ pada $ x $ ialah ditakrifkan sebagai [ theta ^ < alpha, *> (E, x): = limsup_ frac < mathcal^ alpha (E cap B_r (x))> < omega_ alpha r ^ alpha> qquad mbox qquad theta ^ alpha_ * (E, x) = liminf_ frac < mathcal^ alpha (E cap B_r (x))> < omega_ alpha r ^ alpha> , ] (cp. dengan Definisi 6.1 dari [Ma]) Oleh itu, mereka sesuai dengan $ alpha $ - ketumpatan dimensi (atas dan bawah) Radon mengukur $ mu $ yang diberikan oleh [ mu (A): = mathcal^ alpha (A cap E) , qquad mbox A subset mathbb R ,. ] Berikut adalah teorema klasik dalam teori ukuran Geometri (cp. Dengan Teorema 6.2 dari [Ma]):

Teorem 6 Sekiranya $ E subset mathbb R ^ n $ adalah set Borel dengan ukuran Hausdorff $ alpha $ -dimite, maka

  • $ theta ^ < alpha, *> (E, x) = 0 $ untuk $ mathcal^ alpha $ -a.e. $ x tidak dalam E $.
  • $ 1 geq theta ^ alpha_ * (E, x) geq 2 ^ <- alpha> $ untuk $ mathcal^ alpha $ -a.e. $ x dalam E $.

Teorema dan kebolehbetulan Besicovitch-Preiss

Walau bagaimanapun, kewujudan ketumpatan secara umum gagal: sebagai akibat daripada Teorema Marstrand 2, kewujudan ketumpatan dimensi $ alpha $ tidak menunjukkan bahawa $ alpha $ adalah bilangan bulat. Tetapi walaupun dalam kes apabila $ alpha $ adalah bilangan bulat, Besicovitch mendapati bahawa ketumpatannya tidak semestinya ada. Sesungguhnya generalisasi teorema Besicovitch berikut dicapai oleh Preiss pada pertengahan tahun lapan puluhan (lihat Bab 6,7,8 dan 9 dari [De] untuk paparan bukti Preiss '):

Teorem 7 Biarkan $ E subset mathbb R ^ n $ menjadi kumpulan Borel dengan ukuran Hausdorff $ k $ -dimensional dan positif, di mana $ k in mathbb N $. Ketumpatan dimensi $ k $ wujud pada $ mathcal^ k $ -a.e. $ x in E $ if dan hanya jika set $ E $ dapat diluruskan, iaitu jika terdapat banyak submanifold dimensi $ C ^ 1 $ $ k $ -d $ $ mathbb R ^ n $ yang merangkumi $ mathcal^ k $ -hampir keseluruhan $ E $.

Untuk set yang tidak dapat dilekatkan $ E $, ketumpatan dimensi yang lebih rendah mungkin menunjukkan pelbagai tingkah laku yang berbeza. Besicovitch membuktikan bahawa untuk set $ 1 $ -dimensi yang tidak dapat dilekatkan, ketumpatan dimensi yang lebih rendah tidak boleh lebih besar daripada $ frac <3> <4> $ dan maju dugaan jangka panjang berikut (cp. Dengan Tuduhan 10.5 dari [De]).

Sangkaan 8 Biarkan $ E subset mathbb R ^ 2 $ menjadi kumpulan Borel dengan ukuran Hausdorff $ 1 $ yang positif dan terhad. Sekiranya $ theta ^ 1_ * (E, x) & gt frac <1> <2> $ untuk $ mathcal^ 1 $ -a.e. $ x in E $, maka set $ E $ boleh diluruskan.

Ambang batas $ frac <3> <4> $ Besicovitch telah diperbaiki oleh Preiss dan Tiser di [PT].

Teorem Besicovitch-Marstrand-Preiss

Menggabungkan pelbagai teorema yang dinyatakan sejauh ini, kita mencapai ciri berikut ukuran $ mu $ yang kepadatannya ada dan tidak biasa hampir di mana-mana.

Teorem 9 Biarkan $ mu $ menjadi ukuran Radon tempatan dan $ alpha $ nombor nyata bukan negatif. Kemudian $ theta ^ alpha ( mu, x) $ wujud, ia adalah terhad dan positif pada $ mu $ -a.e. $ x in mathbb R ^ n $ jika dan hanya $ alpha $ adalah bilangan bulat $ k $ dan terdapat satu set $ k $ -dimensional yang dapat diperbaiki set $ E $ dan fungsi Borel $ f: E to] 0 , infty [$ sedemikian rupa sehingga [ mu (A) = int_ f , d mathcal^ k qquad mbox A subset mathbb R ^ n ,. ] Lebih-lebih lagi, dalam kes ini $ theta ^ k (E, x) = f (x) $ untuk $ mathcal^ k $ -a.e. $ x in E $ dan $ theta ^ k (E, x) = 0 $ untuk $ mathcal^ k $ -a.e. $ x tidak dalam E $.

Komen

Lihat [Ta] untuk aplikasi topologi yang bagus mengenai tanggapan klasik mengenai kepadatan Lebesgue.

Definisi ketumpatan dimensi $ alpha $ dari ukuran Radon dapat digeneralisasikan ke ruang metrik. Namun, secara umum, hanya sedikit yang diketahui di luar lingkungan Euclidean (lihat Bahagian 10.0.2 dari [De]).


Blog Shuanglin & # 039s

Cadangan 2.21. Kumpulan fungsi bernilai nyata yang dapat disatukan adalah ruang vektor sebenar, dan kamiran adalah fungsi linear di atasnya.

Bukti. Kita perlu membuktikan dua tuntutan.

(1). untuk mana-mana Perkara ini mudah: kita membezakan tiga kes,

(2). Ini adalah untuk memerhatikan bahawa, jika $ h = f + g, $

kemudian. Kami menyusunnya untuk mendapatkan

. Mengambil integral pada kedua-dua sisi menghasilkan (2).

Definisi. Fungsi bernilai kompleks dapat disatukan jika dan keduanya dapat disatukan.

Catatan. Sangat mudah untuk melihat bahawa ruang fungsi terpadu bernilai kompleks adalah ruang vektor kompleks dan kamiran adalah fungsi linear di atasnya. Ia dilambangkan oleh.

Catatan. Kami akan menganggap sebagai satu set kelas kesetaraan a.e. fungsi yang dapat disepadukan pada, di mana dan dianggap setara jika dan hanya jika.

Bukti. Bilakah nilai sebenar, buktinya mudah. Untuk nilai kompleks, ada,

mengikut linearitas kamiran. Lebih jauh sama

Cadangan 2.24. (Teorema penumpuan yang dikuasai.) Biarkan menjadi urutan sedemikian rupa

(b). Terdapat s.t. untuk a.e. untuk semua . Kemudian

Bukti. Tanpa kehilangan kesegaran, kami menganggap bahawa itu adalah nilai sebenar.

Langkah 1. Tuntutan yang senang.

Proses yang sama boleh digunakan untuk $ int g + f $ untuk ditunjukkan

Teorema 2.26. Jika dan, ada fungsi sederhana yang dapat disatukan seperti Jika diukur Lebesgue-Stieljes, set dalam definisi dapat diambil untuk menyatukan kesatuan selang terbuka apalagi ada fungsi berterusan yang hilang di luar selang yang dibatasi sehingga

Bukti. Langkah 1. Untuk fungsi yang dapat disatukan, terdapat urutan fungsi mudah seperti itu

Langkah 2. Dari Langkah 1, Maksudnya

Oleh itu untuk masing-masing. $ Untuk masing-masing, oleh Teorem 1.20, ada satu set yang merupakan kesatuan terbatas selang waktu terbuka untuk beberapa pemalar kecil. Dengan mengambil kecil, kita dapat mengambil set dalam definisi untuk menjadi kesatuan selang waktu terbuka.

Langkah 3. Oleh kerana kita dapat menghitung masing-masing, di mana selang terbuka panjang terhingga, dengan fungsi berterusan dengan sifat berikut

untuk beberapa pemalar. Dengan mengambil kecil, kita dapat menggantikan dengan fungsi berterusan yang hilang di luar selang yang dibatasi sehingga

Teorema 2.27. Anggap itu dan itu boleh disatukan untuk masing-masing. Biarkan.

(a). Anggaplah bahawa wujud untuk semua. Sekiranya untuk setiap, maka

. Khususnya, jika berterusan bagi setiap $ latrex x $, maka berterusan.

(b). Anggaplah itu ada dan ada yang sedemikian untuk semua. Maka boleh dibezakan dan

Bukti. (a). Kami membuktikan tuntutan di (a) dengan menggunakan pencirian berterusan yang berurutan. Biarkan, urutan fungsi yang dapat diukur secara seragam oleh fungsi dan ia berubah menjadi $ f (x, t_0) $ mengikut arah. Oleh itu oleh teorema penumpuan yang dikuasai,

(b). Buktinya serupa. Kita perlu membuktikan bahawa, untuk masing-masing,

Dengan menerapkan fungsi min untuk, kita melihat bahawa urutan dibatasi secara seragam oleh fungsi apalagi ia menyatu. Sekali lagi oleh teorema penumpuan yang dikuasai,

Kami seterusnya membincangkan hubungan antara fungsi yang dapat disatukan Riemann dan fungsi yang dapat diukur Lebesgue.

Teorem. Biarkan fungsi nilai sebenar yang dibatasi. Sekiranya Riemann dapat disatukan, maka Lebesgue dapat disepadukan. Lebih-lebih lagi kedua-dua integral sama.

Catatan. Tanpa kehilangan sifat umum, kita menganggap bahawa itu adalah fungsi bukan negatif. Seperti dalam Teorem 2.10, terdapat urutan fungsi sederhana yang memuaskan,

dan seragam pada. Walaupun merupakan had ke arah, namun kebolehukuran Lebesgue tidak jelas. Kita harus berusaha untuk membuktikan kebolehukuran Lebesgue dengan cara lain.

Bukti. Biarkan dengan partition dari. Biarkan

di mana supremum dan minimum pada. Oleh kerana $ f $ adalah Riemann yang dapat disatukan, kita dapat memilih urutan partisi yang ukuran mesh dan

Ini difahami bahawa kedua urutan dan mempunyai had yang sama.

Sebaliknya, oleh teorema penumpuan monoton untuk fungsi,

Oleh itu oleh teorema penumpuan yang dikuasai (gabungan berikut difahami seperti dalam pengertian Lebesgue.)

Sejak menunjuk arah, yang menghasilkan itu. Oleh kerana $ G $ Lebesgue dapat diukur sebagai fungsi sederhana dan Lebesgue dapat diukur.


7.8: Langkah Lebesgue

Tujuan bahagian ini adalah untuk meneroka taburan berterusan di ruang Euclidean.

Teori Asas

Definisi dan Sifat Asas

Untuk (n in N _ + ), ingat bahawa (n ) - dimensi adalah (( R ^ n, ms R ^ n, lambda ^ n) ) di mana ( ms R ^ n ) adalah ( sigma ) - aljabar dari kumpulan kecil Borel yang dapat diukur dari ( R ^ n ) dan ( lambda ^ n ) adalah (n ) - ukuran Lebesgue dimensi. Jadi ( lambda_1 ) ada di set di ( ms R_1 ), ( lambda_2 ) ada di set di ( ms R_2 ), ( lambda_3 ) ada di set di ( ms R_3 ), dan secara umum, ( lambda ^ n ) dapat dianggap sebagai (n ) - dimensi pada set di ( ms R ^ n ). Titik permulaan kami di bahagian ini adalah ruang bawah ((S, ms S, lambda ^ n) ) di mana (S in ms R ^ n ) dengan ( lambda ^ n (S) gt 0 ) dan ( ms S = ). Biasanya, (S ) adalah wilayah ( R ^ n ) yang ditentukan oleh ketaksamaan yang melibatkan fungsi asas, contohnya selang di ( R ), kawasan bulat di ( R ^ 2 ) , dan kawasan kerucut di ( R ^ 3 ). Inilah definisi asas pertama kami.

Ukuran kebarangkalian ( P ) pada ((S, ms S) ) adalah jika ( P () = 0 ) untuk semua (x di S ).

Sekiranya ( P ) adalah pembahagian berterusan maka ( P (C) = 0 ) untuk setiap pengiraan (C subseteq S ).

Oleh kerana (C ) dapat dikira, ia mengikuti aksioma kebarangkalian penambahan bahawa [ P (C) = sum_ P () = 0 ]

Jadi pengedaran berterusan sangat berbeza dengan pembahagian diskrit, yang mana semua jisim kebarangkalian tertumpu pada titik dalam satu set yang dapat dikira. Untuk pembahagian berterusan, jisim kebarangkalian adalah secara berterusan tersebar di (S ) dalam arti tertentu. Dalam gambar di bawah, bayangan biru muda dimaksudkan untuk menunjukkan taburan kebarangkalian berterusan.

Taburan kebarangkalian berterusan pada (S )

Fakta bahawa setiap titik di (S ) diberi kebarangkalian 0 oleh taburan berterusan secara konseptual sama dengan kenyataan bahawa selang ( R ) boleh mempunyai panjang positif walaupun terdiri dari (tidak terhitung banyaknya) titik yang masing-masing mempunyai 0 panjang. Begitu juga, kawasan ( R ^ 2 ) boleh mempunyai kawasan positif walaupun terdiri dari titik (atau lengkung) yang masing-masing mempunyai luas 0. Singkatnya, ukuran Lebesgue ( lambda ^ n ) adalah ukuran berterusan untuk (n in N _ + ). Dalam kes satu dimensi, pengedaran berterusan digunakan untuk memodelkan pemboleh ubah rawak yang mengambil nilai dalam selang ( R ), pemboleh ubah yang, pada prinsipnya, dapat diukur dengan tahap ketepatan apa pun. Pemboleh ubah sedemikian banyak terdapat dalam aplikasi dan merangkumi

  • panjang, luas, isipadu, dan jarak
  • masa
  • jisim dan berat badan
  • cas, voltan, dan arus
  • rintangan, kapasitansi, dan aruhan
  • halaju dan pecutan
  • tenaga, kekuatan, dan kerja

Fungsi Ketumpatan

Ingat bahawa integral yang berkaitan dengan ukuran Lebesgue ( lambda ^ n ) adalah integral Lebesgue. Untuk diukur (f: S to R ) dan (A in ms S ) kamiran (f ) di atas (A ) (dengan andaian ada) dilambangkan ( int_S f (x) , d lambda ^ n (x) ) atau lebih tradisional oleh [ int_A f (x) , dx ] Seperti yang dicadangkan oleh notasi tradisional, jika (f ) dan (A ) cukup bagus, kamiran ini sepadan dengan bilangan kalkulus Riemann biasa. Definisi dan hasil berikut adalah kes khas dari yang diberikan dalam pendahuluan, tetapi kami mengulanginya di sini dalam keadaan yang lebih selesa untuk kelengkapan, dan kerana anda mungkin telah melewatkan perkenalan.

Fungsi yang dapat diukur (f: S to [0, infty) ) yang memenuhi ( int_S f (x) , dx = 1 ) adalah dan kemudian (P ) yang ditakrifkan sebagai berikut adalah berterusan ukuran kebarangkalian pada ((S, ms S) ): [P (A) = int_A f (x) , dx, quad A in ms S ]

Buktinya bergantung pada sifat asas kamiran

  1. (P (A) = int_A f (x) , dx ge 0 ) untuk (A in ms S ) kerana (f ) tidak negatif.
  2. (P (S) = int_S f (x) , dx = 1 ) mengikut andaian.
  3. Sepatutnya begitu () adalah koleksi set disjoint yang dapat dihitung di ( ms S ) dan biarkan (A = bigcup_ A_i ). Kemudian dengan sifat penambahan kamiran, [P (A) = int_A f (x) , dx = sum_ int_ f (x) , dx = jumlah_ P (A_i) ]

Akhirnya, (P () = 0 ) sejak ( lambda ^ n () = 0 ) untuk (x di S ). Secara teknikal, (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian berbanding dengan ukuran Lebesgue ( lambda ^ n ).

Taburan berterusan ditentukan sepenuhnya oleh fungsi ketumpatan kebarangkalian

Perhatikan bahawa kita selalu boleh memanjangkan (f ) ke fungsi ketumpatan kebarangkalian ke semua ( R ^ n ), dengan menentukan (f (x) = 0 ) untuk (x notin S ). Sambungan ini kadang-kadang mempermudah notasi. Dengan kata lain, kita boleh menjadi agak ceroboh mengenai set nilai pemboleh ubah rawak dengan pembahagian berterusan. Jadi misalnya jika (a, , b in R ) dengan (a lt b ) dan (X ) mempunyai taburan berterusan pada selang ([a, b] ), maka kita juga boleh mengatakan bahawa (X ) mempunyai pengedaran berterusan pada ((a, b) ) atau ([a, b) ), atau ((a, b] ). Untuk keterangan mengenai sebaliknya, lihat bahagian mengenai fungsi kesinambungan dan ketumpatan mutlak dalam bab asas.

Ukuran kebarangkalian (P ) pada ((S, ms S) ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian (f ) jika dan hanya jika (P ) relatif terhadap ( lambda ^ n ) , supaya ( lambda ^ n (A) = 0 ) menyiratkan (P (A) = 0 ) untuk (A in ms S ).

Jelas jika (P ) benar-benar berterusan maka ia berterusan, kerana seperti yang dinyatakan sebelumnya ( lambda ^ n = 0 ) untuk (x di S ). Tetapi pembalikan gagal, seperti yang akan kita lihat dalam beberapa contoh di bawah. Pendek kata, kesinambungan mutlak adalah harta yang jauh lebih kuat daripada kesinambungan. Sekiranya (P ) benar-benar berterusan, fungsi ketumpatan kebarangkalian hanya unik sehingga satu set Lebesgue mengukur 0. Iaitu, jika (f ) dan (g ) adalah fungsi ketumpatan (P ) kemudian [ lambda ^ n = 0 ] Perhatikan sekali lagi bahawa hanya kesepaduan fungsi ketumpatan kebarangkalian adalah penting.Terdapat perbezaan lain antara fungsi ketumpatan pada ruang Euclidean dan fungsi ketumpatan pada ruang diskrit. Nilai fungsi ketumpatan (f ) untuk pengedaran pada ruang diskrit ((S, ms S, #) ) adalah kebarangkalian, dan khususnya (f (x) le 1 ) untuk (x di S ). Untuk fungsi ketumpatan (f ) pada ruang Euclidean ((S, ms S, lambda ^ n) ) yang kita pertimbangkan dalam bahagian ini, nilai-nilai (f ) bukan kebarangkalian dan sebenarnya ada kemungkinan (f (x) gt 1 ) untuk sebahagian atau bahkan semua (x di S ). Selanjutnya, (f ) dapat dibatasi pada (S ). Dalam tafsiran kalkulus biasa, (f (x) ) sebenarnya adalah kebarangkalian ketumpatan pada (x ). Maksudnya, (f (x) , dx ) kira-kira kebarangkalian wilayah kecil berukuran (dx ) kira-kira (x ).

Titik (x di S ) yang memaksimumkan fungsi ketumpatan kebarangkalian (f ) kadang-kadang penting, sama seperti dalam kes diskrit.

Katakan bahawa (P ) adalah ukuran kebarangkalian pada ((S, ms S) ) dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian (f ). Elemen (x di S ) yang memaksimumkan (f ) adalah sebaran.

Konsep dalam berguna apabila terdapat a semula jadi fungsi ketumpatan kebarangkalian (katakan satu yang berterusan) dan apabila modnya unik. Dalam kas ini, mod kadang-kadang digunakan sebagai ukuran pusat pengagihan.

Sama seperti dalam kes diskrit, fungsi nonnegatif pada (S ) sering dapat diskala untuk menghasilkan hasil menghasilkan fungsi ketumpatan kebarangkalian.

Katakan bahawa (g: S to [0, infty) ) dapat diukur dan biarkan (c = int_S g (x) , dx ). Sekiranya (c in (0, infty) ) maka (f ) ditakrifkan oleh (f (x) = frac <1> g (x) ) untuk (x di S ) mentakrifkan fungsi ketumpatan kebarangkalian untuk sebaran yang berterusan pada ((S, ms S) ).

Jelas (f (x) ge 0 ) untuk (x di S ) dan [ int_S f (x) , dx = frac <1> int_S g (x) , dx = frac = 1 ]

Perhatikan lagi bahawa (f ) hanyalah versi skala (g ). Jadi hasil ini dapat digunakan untuk membina fungsi ketumpatan kebarangkalian dengan sifat yang diinginkan (domain, bentuk, simetri, dan sebagainya). Pemalar (c ) kadang-kadang disebut sebagai (g ).

Ketumpatan Bersyarat

Katakan sekarang bahawa (X ) adalah pemboleh ubah rawak yang ditentukan pada ruang kebarangkalian (( Omega, ms F, P) ) dan (X ) mempunyai taburan berterusan pada (S ). Fungsi ketumpatan kebarangkalian untuk (X ) didasarkan pada ukuran kebarangkalian yang mendasari pada ruang sampel (( Omega, ms F) ). Langkah ini boleh menjadi ukuran kebarangkalian bersyarat, dikondisikan pada peristiwa tertentu (E in ms F )

Katakan bahawa (X ) benar-benar berterusan dengan fungsi ketumpatan (f ) dan bahawa (E in ms F ) mempunyai kebarangkalian positif. Maka taburan bersyarat (X ) yang diberikan (E ) benar-benar berterusan dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian dilambangkan dengan (f ( cdot mid E ).

Dengan kesinambungan mutlak (X ), jika (A in ms S ) dan ( lambda ^ n (A) = 0 ) maka [ P (X di A pertengahan E) = frac < P (X di A, E)> < P (E)> = 0 ]

Perhatikan bahawa kecuali notasi, tidak ada konsep baru yang terlibat. Harta yang menentukan ialah [ int_A f (x mid E) , dx = P (X in A mid E), quad A in ms S ] dan semua hasil yang berlaku untuk fungsi ketumpatan kebarangkalian secara amnya berlaku untuk fungsi ketumpatan kebarangkalian bersyarat. Peristiwa (E ) boleh menjadi peristiwa yang dijelaskan dari segi pemboleh ubah rawak (X ) itu sendiri:

Katakan bahawa (X ) benar-benar berterusan dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian (f ) dan (B in ms S ) dengan ( P (X in B) gt 0 ). Fungsi ketumpatan kebarangkalian bersyarat (X ) diberikan (X di B ) adalah fungsi pada (B ) yang diberikan oleh [f (x pertengahan X di B) = frac< P (X in B)>, quad x di B ]

Untuk (A in ms S ) dengan (A subseteq B ), [ int_A frac < P (X in B)> , dx = frac <1> < P (X in B)> int_A f (x) , dx = frac < P (X di A) > < P (X in B)> = P (X in A pertengahan X di B) ]

Sudah tentu, ( P (X in B) = int_B f (x) , dx ) dan oleh itu adalah pemalar normal untuk pembatasan (f ) hingga (B ), seperti yang diberikan di atas

Contoh dan Aplikasi

Seperti biasa, cubalah sendiri masalahnya sebelum melihat jawapannya.

Taburan Eksponensial

Biarkan (f ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (f (t) = re ^ <-rt> ) untuk (t in [0, infty) ), di mana (r in (0, infty) ) adalah parameter.

  1. Tunjukkan bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. Lukiskan lakaran grafik (f ) dengan teliti, dan nyatakan ciri-ciri kualitatif yang penting.
  1. Perhatikan bahawa (f (t) gt 0 ) untuk (t ge 0 ). Juga ( int_0 ^ infty e ^ <-r t> , dt = frac <1>) jadi (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. (f ) semakin berkurang dan cekung ke atas sehingga modus adalah 0. (f (x) hingga 0 ) sebagai (x hingga infty ).

Taburan yang ditentukan oleh fungsi ketumpatan kebarangkalian dalam latihan sebelumnya disebut dengan parameter dengan kadar (r ). Taburan ini sering digunakan untuk memodelkan waktu secara rawak, dengan anggapan tertentu. Khususnya, dalam model Poisson titik rawak dalam waktu, waktu antara kedatangan berturut-turut mempunyai pengedaran eksponensial bebas, dan parameter (r ) adalah kadar purata kedatangan. Taburan eksponensial dikaji secara terperinci dalam bab mengenai proses Poisson.

Jangka hayat (T ) peranti tertentu (dalam 1000 jam unit) mempunyai taburan eksponensial dengan parameter (r = frac <1> <2> ). Cari

Dalam eksperimen gamma, tetapkan (n = 1 ) untuk mendapatkan taburan eksponensial. Variasikan parameter kadar (r ) dan perhatikan bentuk fungsi ketumpatan kebarangkalian. Untuk pelbagai nilai (r ), jalankan simulasi 1000 kali dan bandingkan fungsi ketumpatan empirik dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian.

Sudut Rawak

Di, sudut rawak tertentu ( Theta ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian (f ) yang diberikan oleh (f ( theta) = sin theta ) untuk ( theta in kiri [0, frac < pi> <2> kanan] ).

  1. Tunjukkan bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. Lukis lakaran grafik dengan teliti (f ), dan nyatakan ciri kualitatif yang penting.
  3. Cari ( P kiri ( Theta lt frac < pi> <4> kanan) ).
  1. Perhatikan bahawa ( sin theta ge 0 ) untuk (0 le theta le frac < pi> <2> ) dan ( int_0 ^ < pi / 2> sin theta , d theta = 1 ).
  2. (f ) semakin meningkat dan cekung ke bawah sehingga modus ( frac < pi> <2> ).
  3. (1 - frac <1> < sqrt <2>> lebih kurang 0.2929 )

Masalah Bertand dinamakan Joseph Louis Bertrand dan dikaji dengan lebih terperinci dalam bab model geometri.

Dalam percubaan Bertrand, pilih model dengan jarak seragam. Jalankan simulasi sebanyak 1000 kali dan hitung kebarangkalian empirikal bagi peristiwa tersebut ( kiri < Theta lt frac < pi> <4> kanan > ). Bandingkan dengan kebarangkalian sebenar dalam latihan sebelumnya.

Pembahagian Gamma

Biarkan (g_n ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (g_n (t) = e ^ <-t> frac) untuk (t in [0, infty) ) di mana (n in N ) adalah parameter.

  1. Tunjukkan bahawa (g_n ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian untuk setiap (n in N ).
  2. Lukis lakaran grafik (g_n ) dengan teliti, dan nyatakan ciri kualitatif yang penting.
  1. Perhatikan bahawa (g_n (t) ge 0 ) untuk (t ge 0 ). Juga, (g_0 ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian pengedaran eksponen dengan parameter 1. Untuk (n in N_ + ), penyatuan oleh bahagian dengan (u = t ^ n / n! ) Dan (dv = e ^ <-t> dt ) memberikan ( int_0 ^ infty g_n (t) , dt = int_0 ^ infty g_(t) , dt ). Oleh itu, melalui induksi, (g_n ) adalah PDF untuk setiap (n in N_ + ).
  2. (g_0 ) semakin menurun dan cekung ke bawah, dengan mod (t = 0 ). Untuk (n gt 0 ), (g_n ) meningkat dan kemudian menurun, dengan mod (t = n ). (g_1 ) cekung ke bawah dan kemudian ke atas, dengan titik belokan di (t = 2 ). Untuk (n gt 1 ), (g_n ) cekung ke atas, kemudian ke bawah, kemudian ke atas lagi, dengan titik belokan di (n pm sqrt ). Untuk semua (n in N ), (g_n (t) to 0 ) sebagai (t to infty ).

Menariknya, kami menunjukkan pada bahagian terakhir mengenai taburan diskrit, bahawa (f_t (n) = g_n (t) ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian pada ( N ) untuk setiap (t ge 0 ) (itu pengedaran Poisson dengan parameter (t )). Taburan yang ditentukan oleh fungsi ketumpatan kebarangkalian (g_n ) adalah milik keluarga, dinamakan untuk Agner Erlang (n + 1 ) dikenali sebagai. Taburan Erlang dikaji dengan lebih terperinci dalam bab mengenai proses Poisson. Sebaliknya pengedaran Erlang adalah milik keluarga yang lebih umum. Taburan gamma dikaji dengan lebih terperinci dalam bab mengenai pengedaran khas.

Dalam percubaan gamma, simpan parameter kadar lalai (r = 1 ). Variasikan parameter bentuk dan perhatikan bentuk dan lokasi fungsi ketumpatan kebarangkalian. Untuk pelbagai nilai parameter bentuk, jalankan simulasi 1000 kali dan bandingkan fungsi ketumpatan empirik dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian.

Anggap jangka hayat peranti (T ) (dalam 1000 jam unit) mempunyai taburan gamma di atas dengan (n = 2 ). Cari setiap perkara berikut:

  1. ( P (T gt 3) ).
  2. ( P (T le 2) )
  3. ( P (1 le T le 4) )
  1. ( frac <17> <2> e ^ <-3> lebih kurang 0.4232 )
  2. (1 - 5 e ^ <-2> lebih kurang 0.3233 )
  3. ( frac <5> <2> e ^ <-1> - 13 e ^ <-4> lebih kurang 0.6816 )

Pengagihan Beta

Biarkan (f ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (f (x) = 6 x (1 - x) ) untuk (x di [0, 1] ).

  1. Tunjukkan bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. Lukiskan lakaran grafik (f ) dengan teliti, dan nyatakan ciri-ciri kualitatif yang penting.
  1. Perhatikan bahawa (f (x) ge 0 ) untuk (x in [0, 1] ). Juga, ( int_0 ^ 1 x (1 - x) , dx = frac <1> <6> ), jadi (f ) adalah PDF
  2. (f ) meningkat dan kemudian menurun, dengan mod di (x = frac <1> <2> ). (f ) cekung ke bawah. (f ) adalah simetri mengenai (x = frac <1> <2> ) (sebenarnya, grafik adalah parabola).

Biarkan (f ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (f (x) = 12 x ^ 2 (1 - x) ) untuk (x di [0, 1] ).

  1. Tunjukkan bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. Lukiskan lakaran dengan teliti grafik (f ), dan nyatakan ciri kualitatif yang penting.
  1. Perhatikan bahawa (f (x) ge 0 ) untuk (0 le x le 1 ). Juga ( int_0 ^ 1 x ^ 2 (1 - x) , dx = frac <1> <12> ), jadi (f ) adalah PDF.
  2. (f ) meningkat dan kemudian menurun, dengan mod di (x = frac <2> <3> ). (f ) cekung ke atas dan kemudian ke bawah, dengan titik belokan di (x = frac <1> <3> ).

Taburan yang ditentukan dalam dua latihan terakhir adalah contoh. Taburan ini digunakan secara meluas untuk memodelkan perkadaran dan kebarangkalian secara rawak, dan kuantiti fizikal yang mengambil nilai dalam selang batas (yang, setelah perubahan unit, dapat dianggap sebagai ([0, 1] )). Pengagihan beta dikaji secara terperinci dalam bab pengedaran khas.

Dalam simulator pengedaran khas, pilih pengedaran beta. Untuk nilai parameter berikut, perhatikan bentuk fungsi ketumpatan kebarangkalian. Jalankan simulasi 1000 kali dan bandingkan fungsi ketumpatan empirik dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian.

  1. (a = 2 ), (b = 2 ). Ini memberikan pengedaran beta pertama di atas.
  2. (a = 3 ), (b = 2 ). Ini memberikan distribuiton beta kedua di atas.

Katakan bahawa (P ) adalah bahagian rawak. Cari ( P kiri ( frac <1> <4> le P le frac <3> <4> kanan) ) dalam setiap kes berikut:

  1. (P ) mempunyai pengedaran beta pertama di atas.
  2. (P ) mempunyai pengedaran beta kedua di atas.
  1. ( frac <11> <16> )
  2. ( frac <11> <16> )

Biarkan (f ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh [f (x) = frac <1> < pi sqrt>, quad x in (0, 1) ]

  1. Tunjukkan bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. Lukiskan lakaran grafik (f ) dengan teliti, dan nyatakan ciri-ciri kualitatif yang penting.
  1. Perhatikan bahawa (f (x) gt 0 ) untuk (0 lt x lt 1 ). Menggunakan penggantian (u = sqrt ) memberikan [ int_0 ^ 1 frac <1> < sqrt> , dx = int_0 ^ 1 frac <2> < sqrt <1 - u ^ 2 >> , du = 2 arcsin u biggm | _0 ^ 1 = pi ] Oleh itu (f ) adalah PDF.
  2. (f ) adalah simetri mengenai (x = frac <1> <2> ). (f ) menurun dan kemudian meningkat, dengan minimum pada (x = frac <1> <2> ). (f (x) to infty ) sebagai (x downarrow 0 ) dan sebagai (x uparrow 1 ) sehingga pengedaran tidak mempunyai mod. (f ) cekung ke atas.

Pembahagian yang ditentukan dalam latihan terakhir juga merupakan anggota keluarga pengedaran beta. Tetapi ia juga dikenal sebagai (standard), kerana fungsi arcsine yang muncul dalam bukti bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian. Pengedaran arcsine mempunyai aplikasi untuk proses rawak yang sangat penting yang dikenali sebagai gerakan Brownian, yang dinamakan untuk ahli botani Scotland, Robert Brown. Taburan arcsine dikaji secara lebih umum dalam bab mengenai pengedaran khas.

Dalam simulator pengedaran khas, pilih pengedaran arcsine (berterusan) dan simpan nilai parameter lalai. Jalankan simulasi 1000 kali dan bandingkan fungsi ketumpatan empirik dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian.

Katakan bahawa (X_t ) mewakili perubahan harga saham pada masa (t ), relatif terhadap nilai pada waktu rujukan awal 0. Kami menganggap (t ) sebagai pemboleh ubah berterusan yang diukur dalam beberapa minggu. Biarkan (T = max kiri ), kali terakhir pada minggu pertama bahawa harga saham tidak berubah berbanding nilai awalnya. Dalam keadaan ideal tertentu, (T ) akan mempunyai taburan arcsine. Cari setiap perkara berikut:

  1. ( P kiri (T lt frac <1> <4> kanan) )
  2. ( P kiri (T ge frac <1> <2> kanan) )
  3. ( P kiri (T le frac <3> <4> kanan) )
  1. ( frac <1> <3> )
  2. ( frac <1> <2> )
  3. ( frac <2> <3> )

Buka eksperimen gerakan Brownian dan pilih sifar terakhir pemboleh ubah. Jalankan eksperimen dalam mod langkah tunggal beberapa kali. Proses rawak yang anda amati memperagakan harga saham dalam latihan sebelumnya. Sekarang jalankan eksperimen 1000 kali dan hitung kebarangkalian empirik bagi setiap peristiwa dalam latihan sebelumnya.

Pembahagian Pareto

Biarkan (g ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (g (x) = 1 / x ^ b ) untuk (x in [1, infty) ), di mana (b in (0, infty) ) adalah parameter.

  1. Lukiskan lakaran dengan teliti grafik (g ), dan nyatakan ciri kualitatif yang penting.
  2. Cari nilai (b ) yang terdapat fungsi ketumpatan kebarangkalian (f ) berkadar dengan (g ). Kenal pasti mod.
  1. (g ) semakin berkurang dan cekung ke atas, dengan (g (x) hingga 0 ) sebagai (x ke infty ).
  2. Perhatikan bahawa jika (b ne 1 ) [ int_1 ^ infty x ^ <- bb , dx = frac> <1 - b> biggm | _1 ^ infty = bermula infty, & amp 0 lt b lt 1 frac <1>, & amp 1 lt b lt infty end ] Apabila (b = 1 ) kita mempunyai ( int_1 ^ infty x ^ <-1> , dx = ln x biggm | _1 ^ infty = infty ). Oleh itu, apabila (0 lt b le 1 ), tidak ada PDF yang sebanding dengan (g ). Apabila (b gt 1 ), PDF berkadaran dengan (g ) adalah (f (x) = frac) untuk (x di [1, infty) ). Modnya adalah 1.

Perhatikan bahawa ciri kualitatif (g ) adalah sama, tanpa mengira nilai parameter (b gt 0 ), tetapi hanya apabila (b gt 1 ) dapat (g ) dinormalisasi menjadi fungsi ketumpatan kebarangkalian. Dalam kes ini, pengedaran dikenali sebagai, bernama untuk Vilfredo Pareto. Parameter (a = b - 1 ), sehingga (a gt 0 ), dikenal sebagai. Oleh itu, taburan Pareto dengan parameter bentuk (a ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian [f (x) = frac<>>, quad x in [1, infty) ] Taburan Pareto banyak digunakan untuk memodelkan pemboleh ubah ekonomi tertentu dan dikaji secara terperinci dalam bab mengenai pengedaran khas.

Dalam simulator pengedaran khas, pilih pengedaran Pareto. Biarkan parameter skala tetap, tetapi ubah parameter bentuk, dan perhatikan bentuk fungsi ketumpatan kebarangkalian. Untuk pelbagai nilai parameter bentuk, jalankan simulasi 1000 kali dan bandingkan fungsi ketumpatan empirik dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian.

Katakan bahawa pendapatan (X ) (dalam unit yang sesuai) seseorang yang dipilih secara rawak dari populasi mempunyai taburan Pareto dengan parameter bentuk (a = 2 ). Cari setiap perkara berikut:

  1. ( P (X gt 2) )
  2. ( P (X le 4) )
  3. ( P (3 le X le 5) )
  1. ( frac <1> <4> )
  2. ( frac <15> <16> )
  3. ( frac <16> <225> )

Pembahagian Cauchy

Biarkan (f ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh [f (x) = frac <1> < pi (x ^ 2 + 1)>, quad x in R ]

  1. Tunjukkan bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. Lukiskan lakaran dengan teliti grafik (f ), dan nyatakan ciri-ciri kualitatif yang penting.
  1. Perhatikan bahawa (f (x) gt 0 ) untuk (x in R ). Juga [ int _ <- infty> ^ infty frac <1> <1 + x ^ 2> , dx = arctan x biggm | _ <- infty> ^ infty = pi ] dan oleh itu (f ) adalah PDF.
  2. (f ) meningkat dan kemudian menurun, dengan mod (x = 0 ). (f ) cekung ke atas, kemudian ke bawah, kemudian ke atas lagi, dengan titik belokan di (x = pm frac <1> < sqrt <3>> ). (f ) adalah simetri mengenai (x = 0 ).

Sebaran yang dibina dalam latihan sebelumnya dikenal sebagai (standard), dinamai Augustin Cauchy Ia mungkin juga disebut, kerana penampilan fungsi arctangent dalam bukti bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian. Sehubungan itu, perhatikan persamaan dengan taburan arcsine di atas. Taburan Cauchy dikaji secara lebih umum dalam bab pengedaran khas. Perhatikan juga bahawa pengedaran Cauchy diperoleh dengan menormalkan fungsi (x mapsto frac <1> <1 + x ^ 2> ) grafik fungsi ini dikenali sebagai, untuk menghormati Maria Agnesi.

Dalam simulator pengedaran khas, pilih pengedaran Cauchy dengan nilai parameter lalai. Jalankan simulasi 1000 kali dan bandingkan fungsi ketumpatan empirik dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian.

Sumber cahaya berjarak 1 meter dari kedudukan 0 di dinding lurus yang tidak terhingga. Sudut ( Theta ) yang dibuat oleh sinar dengan tegak lurus ke dinding dipilih secara rawak dari selang ( kiri (- frac < pi> <2>, frac < pi> <2> kanan) ). Kedudukan (X = tan ( Theta) ) pancaran cahaya di dinding mempunyai taburan Cauchy standard. Cari setiap perkara berikut:

  1. ( P (-1 lt X lt 1) ).
  2. ( P kiri (X ge frac <1> < sqrt <3>> kanan) )
  3. ( P (X le sqrt <3>) )
  1. ( frac <1> <2> )
  2. ( frac <1> <3> )
  3. ( frac <2> <3> )

Eksperimen Cauchy (dengan nilai parameter lalai) adalah simulasi percubaan pada latihan terakhir.

  1. Jalankan eksperimen beberapa kali dalam mod langkah tunggal.
  2. Jalankan eksperimen 1000 kali dan bandingkan fungsi ketumpatan empirik dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  3. Dengan menggunakan data dari (b), hitung frekuensi relatif setiap peristiwa dalam latihan sebelumnya, dan bandingkan dengan kebarangkalian sebenarnya.

Taburan Normal Piawai

Biarkan ( phi ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh ( phi (z) = frac <1> < sqrt <2 pi >> e ^ <- z ^ 2/2> ) untuk (z dalam R ).

  1. Tunjukkan bahawa ( phi ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. Lukiskan lakaran dengan teliti grafik ( phi ), dan nyatakan ciri kualitatif yang penting.
  1. Perhatikan bahawa ( phi (z) gt 0 ) untuk (z in R ). Mari (c = int _ <- infty> ^ infty e ^ <-z ^ 2/2> , dz ). Kemudian [c ^ 2 = int _ <- infty> ^ infty e ^ <-x ^ 2/2> , dx int _ <- infty> ^ infty e ^ <-y ^ 2/2> , dy = int _ <- infty> ^ infty int _ <- infty> ^ infty e ^ <- (x ^ 2 + y ^ 2) / 2> , dx , dy ] Tukar ke koordinat kutub: (x = r cos theta ), (y = r sin theta ) di mana (r in [0, infty) ) dan ( theta in [0, 2 pi) ). Kemudian (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ) dan (dx , dy = r , dr , d theta ). Oleh itu [c ^ 2 = int_0 ^ <2 pi> int_0 ^ infty re ^ <-r ^ 2/2> , dr , d theta ] Menggunakan penggantian mudah (u = r ^ 2 ), kamiran dalam adalah ( int_0 ^ infty e ^ <-u> du = 1 ). Maka kamiran luar adalah ( int_0 ^ <2 pi> 1 , d theta = 2 pi ). Oleh itu (c = sqrt <2 pi> ) dan begitu (f ) adalah PDF.
  2. Perhatikan bahawa ( phi ) adalah simetri sekitar 0. ( phi ) meningkat dan kemudian menurun, dengan mod (z = 0 ). ( phi ) cekung ke atas, kemudian ke bawah, kemudian ke atas lagi, dengan titik belokan di (z = pm 1 ). ( phi (z) to 0 ) sebagai (z to infty ) dan sebagai (z to - infty ).

Taburan yang ditentukan dalam latihan terakhir adalah, mungkin pengedaran yang paling penting dalam kebarangkalian dan statistik. Kepentingannya berpunca dari teorema had pusat, salah satu teorema asas kemungkinan. Khususnya, taburan normal banyak digunakan untuk memodelkan ukuran fizikal yang mengalami kesalahan kecil dan rawak. Keluarga pengagihan normal dikaji secara lebih umum dalam bab agihan khas.

Dalam simulator pengedaran khas, pilih taburan normal dan simpan nilai parameter lalai. Jalankan simulasi 1000 kali dan bandingkan fungsi ketumpatan empirik dan fungsi ketumpatan kebarangkalian.

Fungsi (z mapsto e ^ <- z ^ 2/2> ) adalah contoh terkenal dari fungsi bersepadu yang tidak mempunyai antivirus yang dapat dinyatakan dalam bentuk tertutup dari segi fungsi unsur lain. (Itulah sebabnya kita harus menggunakan muslihat koordinat kutub untuk menunjukkan bahawa ( phi ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.) Oleh itu, kebarangkalian yang melibatkan taburan normal biasanya dihitung menggunakan perisian matematik atau statistik.

Katakan bahawa kesalahan (Z ) pada panjang bahagian mesin tertentu (dalam milimeter) mempunyai taburan normal yang standard. Gunakan perisian matematik untuk menghampiri setiap perkara berikut:

  1. ( P (-1 le Z le 1) )
  2. ( P (Z gt 2) )
  3. ( P (Z lt -3) )
  1. 0.6827
  2. 0.0228
  3. 0.0013

Pembahagian Nilai Ekstrim

Biarkan (f ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (f (x) = e ^ <-x> e ^ <- e ^ <-x>> ) untuk (x in R ).

  1. Tunjukkan bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. Lukiskan lakaran grafik (f ) dengan teliti, dan nyatakan ciri-ciri kualitatif yang penting.
  3. Cari ( P (X gt 0) ), di mana (X ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian (f ).
  1. Perhatikan bahawa (f (x) gt 0 ) untuk (x in R ). Menggunakan penggantian (u = e ^ <-x> ), [ int _ <- infty> ^ infty e ^ <-x> e ^ <- e ^ <-x>> , dx = int_0 ^ infty e ^ <-u> , du = 1 ] (perhatikan bahawa integrand dalam kamiran terakhir adalah PDF eksponensial dengan parameter 1.
  2. (f ) meningkat dan kemudian menurun, dengan mod (x = 0 ). (f ) cekung ke atas, kemudian ke bawah, kemudian ke atas lagi, dengan titik belokan di (x = pm ln kiri [ kiri (3 + sqrt <5> kanan) tengah / 2 kanan ] ). Walau bagaimanapun, perhatikan bahawa (f ) tidak simetri sekitar 0. (f (x) hingga 0 ) sebagai (x to infty ) dan sebagai (x to - infty ).
  3. (1 - e ^ <-1> lebih kurang 0.6321 )

Pembahagian dalam latihan terakhir adalah (standard), juga dikenal sebagai penghormatan kepada Emil Gumbel. Pembahagian nilai ekstrem dikaji secara lebih umum dalam bab pengedaran khas.

Dalam simulator pengedaran khas, pilih pengagihan nilai ekstrem. Simpan nilai parameter lalai dan perhatikan bentuk dan lokasi fungsi ketumpatan kebarangkalian. Jalankan simulasi 1000 kali dan bandingkan fungsi ketumpatan empirik dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian.

Pembahagian Logistik

Biarkan (f ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh [f (x) = frac<(1 + e ^ x) ^ 2>, quad x in R ]

  1. Tunjukkan bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. Lukiskan lakaran dengan teliti grafik (f ), dan nyatakan ciri kualitatif yang penting.
  3. Cari ( P (X gt 1) ), di mana (X ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian (f ).
  1. Perhatikan bahawa (f (x) gt 0 ) untuk (x in R ). Penggantian (u = e ^ x ) memberikan [ int _ <- infty> ^ infty f (x) , dx = int_0 ^ infty frac <1> <(1 + u) ^ 2 > , du = 1 ]
  2. (f ) adalah simetri sekitar 0. (f ) meningkat dan kemudian menurun dengan mod (x = 0 ). (f ) cekung ke atas, kemudian ke bawah, kemudian ke atas lagi, dengan titik belokan di (x = pm ln kiri (2 + sqrt <3> kanan) ). (f (x) to 0 ) sebagai (x to infty ) dan sebagai (x to - infty ).
  3. ( frac <1> <1 + e> lebih kurang 0.2689 )

Pembahagian dalam latihan terakhir adalah (standard). Taburan logistik dikaji secara lebih umum dalam bab mengenai pengedaran khas.

Dalam simulator pengedaran khas, pilih pengedaran logistik. Simpan nilai parameter lalai dan perhatikan bentuk dan lokasi fungsi ketumpatan kebarangkalian. Jalankan simulasi 1000 kali dan bandingkan fungsi ketumpatan empirik dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian.

Pembahagian Weibull

Biarkan (f ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (f (t) = 2 t e ^ <- t ^ 2> ) untuk (t in [0, infty) ).

  1. Tunjukkan bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. Lukiskan lakaran dengan teliti grafik (f ), dan nyatakan ciri kualitatif yang penting.
  1. Perhatikan bahawa (f (t) ge 0 ) untuk (t ge 0 ). Penggantian (u = t ^ 2 ) memberikan ( int_0 ^ infty f (t) , dt = int_0 ^ infty e ^ <-u> , du = 1 ).
  2. (f ) meningkat dan kemudian menurun, dengan mod (t = 1 / sqrt <2> ). (f ) cekung ke bawah dan kemudian ke atas, dengan titik belokan di (t = sqrt <3/2> ). (f (t) to 0 ) sebagai (t to infty ).

Biarkan (f ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (f (t) = 3 t ^ 2 e ^ <- t ^ 3> ) untuk (t ge 0 ).

  1. Tunjukkan bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. Lukiskan lakaran dengan teliti grafik (f ), dan nyatakan ciri kualitatif yang penting.
  1. Perhatikan bahawa (f (t) ge 0 ) untuk (t ge 0 ). Penggantian (u = t ^ 3 ) memberikan [ int_0 ^ infty f (t) , dt = int_0 ^ infty e ^ <-u> , du = 1 ]
  2. (f ) meningkat dan kemudian menurun, dengan mod (t = kiri ( frac <2> <3> kanan) ^ <1/3> ). (f ) cekung ke atas, kemudian ke bawah, kemudian ke atas lagi, dengan titik-titik belokan di (t = kiri (1 pm frac <1> <3> sqrt <7> kanan) ^ <1 / 3> ). (f (t) to 0 ) sebagai (t to infty ).

Pembahagian dalam dua latihan terakhir adalah contoh, nama untuk Waloddi Weibull. Taburan Weibull dikaji secara lebih umum dalam bab mengenai pengedaran khas. Mereka sering digunakan untuk memodelkan masa kegagalan rawak peranti (dalam unit dengan skala yang tepat).

Dalam simulator pengedaran khas, pilih sebaran Weibull. Untuk setiap nilai berikut dari parameter bentuk (k ), perhatikan bentuk dan lokasi fungsi ketumpatan kebarangkalian. Jalankan simulasi 1000 kali dan bandingkan fungsi ketumpatan empirik dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian.

  1. (k = 2 ). Ini memberikan pengedaran Weibull pertama di atas.
  2. (k = 3 ). Ini memberikan pengedaran Weibull kedua di atas.

Katakan bahawa (T ) adalah masa kegagalan peranti (dalam 1000 jam unit). Cari ( P kiri (T gt frac <1> <2> kanan) ) dalam setiap kes berikut:

  1. (T ) mempunyai pengedaran Weibull pertama di atas.
  2. (T ) mempunyai taburan Weibull kedua di atas.
  1. (e ^ <-1/4> lebih kurang 0.7788 )
  2. (e ^ <-1/8> lebih kurang 0.8825 )

Contoh Tambahan

Biarkan (f ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (f (x) = - ln x ) untuk (x in (0, 1] ).

  1. Tunjukkan bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. Lukiskan lakaran grafik (f ) dengan teliti, dan nyatakan ciri-ciri kualitatif yang penting.
  3. Cari ( P kiri ( frac <1> <3> le X le frac <1> <2> kanan) ) di mana (X ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian di (a).
  1. Perhatikan bahawa (- ln x ge 0 ) untuk (0 lt x le 1 ). Integrasi oleh bahagian dengan (u = - ln x ) dan (dv = dx ) memberikan [ int_0 ^ 1 - ln x , dx = -x ln x biggm | _0 ^ 1 + int_0 ^ 1 1 , dx = 1 ]
  2. (f ) semakin berkurang dan cekung ke atas, dengan (f (x) to infty ) sebagai (x bawah bawah 0 ), sehingga tidak ada mod.
  3. ( frac <1> <2> ln 2 - frac <1> <3> ln 3 + frac <1> <6> lebih kurang 0.147 )

Biarkan (f ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (f (x) = 2 e ^ <-x> (1 - e ^ <-x>) ) untuk (x in [0, infty) ).

  1. Tunjukkan bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. Lukiskan lakaran grafik (f ) dengan teliti, dan berikan ciri kualitatif yang penting.
  3. Cari ( P (X ge 1) ) di mana (X ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian di (a).
  1. Perhatikan bahawa (f (x) gt 0 ) untuk (0 lt x lt infty. ). Juga, ( int_0 ^ infty left (e ^ <-x> - e ^ <- 2 x> kanan) , dx = frac <1> <2> ), jadi (f ) adalah PDF.
  2. (f ) meningkat dan kemudian menurun, dengan mod (x = ln (2) ). (f ) cekung ke bawah dan kemudian ke atas, dengan titik belokan di (x = ln (4) ). (f (x) to 0 ) sebagai (x to infty ).
  3. (2 e ^ <-1> - e ^ <-2> lebih kurang 0.6004 )

Masalah berikut menangani vektor rawak dua dan tiga dimensi yang mempunyai taburan berterusan. Idea untuk menormalkan fungsi untuk membentuk fungsi ketumpatan kebarangkalian adalah penting untuk beberapa masalah. Hubungan antara pengedaran vektor dan penyebaran komponennya akan dibincangkan kemudian, di bahagian mengenai pengedaran bersama.

Biarkan (f ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (f (x, y) = x + y ) untuk (0 le x le 1 ), (0 le y le 1 ).

  1. Tunjukkan bahawa (f ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian, dan kenal pasti modnya.
  2. Cari ( P (Y ge X) ) di mana ((X, Y) ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian di (a).
  3. Cari ketumpatan bersyarat ((X, Y) ) yang diberikan ( kiri <2>, Y lt frac <1> <2> kanan > ).
  1. mod ((1, 1) )
  2. ( frac <1> <2> )
  3. (f kiri (x, y bigm | X lt frac <1> <2>, Y lt frac <1> <2> kanan) = 8 (x + y) ) untuk ( 0 lt x lt frac <1> <2> ), (0 lt y lt frac <1> <2> )

Biarkan (g ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (g (x, y) = x + y ) untuk (0 le x le y le 1 ).

  1. Cari fungsi ketumpatan kebarangkalian (f ) yang sebanding dengan (g ).
  2. Cari ( P (Y ge 2 X) ) di mana ((X, Y) ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian di (a).
  1. (f (x, y) = 2 (x + y) ), (0 le x le y le 1 )
  2. ( frac <5> <12> )

Biarkan (g ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (g (x, y) = x ^ 2 y ) untuk (0 le x le 1 ), (0 le y le 1 ) .

  1. Cari fungsi ketumpatan kebarangkalian (f ) yang sebanding dengan (g ).
  2. Cari ( P (Y ge X) ) di mana ((X, Y) ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian di (a).
  1. (f (x, y) = 6 x ^ 2 y ) untuk (0 le x le 1 ), (0 le y le 1 )
  2. ( frac <2> <5> )

Biarkan (g ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (g (x, y) = x ^ 2 y ) untuk (0 le x le y le 1 ).

  1. Cari fungsi ketumpatan kebarangkalian (f ) yang sebanding dengan (g ).
  2. Cari (P (Y ge 2 X) ) di mana ((X, Y) ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian di (a).
  1. (f (x, y) = 15 x ^ 2 y ) untuk (0 le x le y le 1 )
  2. ( frac <1> <8> )

Biarkan (g ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (g (x, y, z) = x + 2 y + 3 z ) untuk (0 le x le 1 ), (0 le y le 1 ), (0 le z le 1 ).

  1. Cari fungsi ketumpatan kebarangkalian (f ) yang sebanding dengan (g ).
  2. Cari ( P (X le Y le Z) ) di mana ((X, Y, Z) ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian di (a).
  1. (f (x, y, z) = frac <1> <3> (x + 2 y + 3 z) ) untuk (0 le x le 1 ), (0 le y le 1 ), (0 le z le 1 )
  2. ( frac <7> <36> )

Biarkan (g ) menjadi fungsi yang ditentukan oleh (g (x, y) = e ^ <-x> e ^ <-y> ) untuk (0 le x le y lt infty ) .

  1. Cari fungsi ketumpatan kebarangkalian (f ) yang sebanding dengan (g ).
  2. Cari ( P (X + Y lt 1) ) di mana ((X, Y) ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian di (a).
  1. (f (x, y) = 2 e ^ <-x> e ^ <-y> ), (0 lt x lt y lt infty )
  2. (1 - 2 e ^ <-1> lebih kurang 0.2642 )

Pembahagian Seragam Berterusan

Perbincangan kami seterusnya akan menumpukan pada kelas penting pengedaran berterusan yang ditakrifkan dari segi Lebesgue itu sendiri. Katakan bahawa (S in ms R ^ n ) untuk beberapa (n in N _ + ) dengan (0 lt lambda ^ n (S) lt infty ). Seperti biasa, mari ( ms S = ).

Pemboleh ubah rawak (X ) dihidupkan (S ) jika [ P (X in A) = frac < lambda ^ n (A)> < lambda ^ n (S)>, quad A in ms S ] (X ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian malar yang diberikan oleh (f (x) = 1 big / lambda ^ n (S) ) untuk (x di S ).

Perhatikan bahawa pengedaran (X ) adalah ukuran Lebesgue yang dinormalisasi.

Jadi kebarangkalian yang diberikan pada satu set (A in ms S ) sebanding dengan ukuran (A ), seperti yang diukur oleh ( lambda ^ n ). Perhatikan juga bahawa dalam kes diskrit dan berterusan, taburan seragam pada satu set (S ) mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian berterusan pada (S ). Pembahagian seragam pada satu set (S ) mengatur titik (X ) yang dipilih secara rawak dari (S ), dan dalam kes yang berterusan, pengedaran sedemikian memainkan peranan penting dalam pelbagai model geometri. Pembahagian seragam dipelajari secara lebih umum dalam bab pengedaran khas.

Salah satu kes khas yang paling penting ialah sebaran seragam pada selang ([a, b] ) di mana (a, b in R ) dan (a lt b ). Dalam kes ini, fungsi ketumpatan kebarangkalian adalah [f (x) = frac <1>, quad a le x le b ] Taburan ini memodelkan titik yang dipilih secara rawak dari selang. Khususnya, sebaran seragam pada ([0, 1] ) dikenali sebagai, dan sangat penting kerana kesederhanaan dan fakta bahawa ia dapat diubah menjadi pelbagai taburan kebarangkalian lain di ( R ). Hampir semua bahasa komputer mempunyai prosedur untuk mensimulasikan pemboleh ubah seragam standard yang bebas, yang disebut dalam konteks ini.

Pembahagian bersyarat yang sesuai dengan sebaran seragam juga seragam.

Katakan bahawa (R in ms S ) dan itu ( lambda ^ n (R) gt 0 ). Sekiranya (X ) diedarkan secara seragam di (S ) maka taburan bersyarat (X ) yang diberikan (X di R ) adalah seragam pada (R ).

Buktinya sangat mudah: Untuk (A in ms S ) dengan (A subseteq R )

Teorema terakhir mempunyai implikasi penting untuk simulasi. Sekiranya kita dapat mensimulasikan pemboleh ubah rawak yang diedarkan secara seragam pada satu set, kita dapat mensimulasikan pemboleh ubah rawak yang diedarkan secara seragam pada subset.

Katakan sekali lagi bahawa (R in ms S ) dan itu ( lambda ^ n (R) gt 0 ). Katakan lebih jauh bahawa ( bs X = (X_1, X_2, ldots) ) adalah urutan pemboleh ubah rawak bebas, masing-masing diedarkan secara seragam pada (S ). Biarkan (N = min ). Kemudian

  1. (N ) mempunyai taburan geometri di ( N _ + ) dengan parameter kejayaan (p = lambda ^ n (R) big / lambda ^ n (S) ).
  2. (X_N ) diedarkan secara seragam pada (R ).
  1. Oleh kerana pemboleh ubah diedarkan secara tidak berkala di (S ), ( P (X_k in R) = lambda ^ n (R) / lambda ^ n (S) ) untuk setiap (k in N _ + ). Oleh kerana pemboleh ubah tidak bersandar, setiap titik berada di (R ) atau tidak secara bebas. Oleh itu (N ), indeks titik pertama yang jatuh di (R ), mempunyai taburan geometri di ( N _ + ) dengan kebarangkalian kejayaan (p = lambda ^ n (R) / lambda ^ n (S) ). Iaitu, ( P (N = k) = (1 - p) ^ p ) untuk (k in N _ + ).
  2. Perhatikan bahawa (p in (0, 1] ), jadi ( P (N in N_ +) = 1 ) dan oleh itu (X_N ) ditakrifkan dengan baik. Kami tahu dari kerja kami mengenai kemerdekaan dan kebarangkalian bersyarat bahawa pengedaran (X_N ) adalah sama dengan taburan bersyarat (X ) yang diberikan (X di R ), yang oleh teorema sebelumnya, diedarkan secara seragam pada (R ) .

Anggaplah secara khusus bahawa (S ) adalah produk Cartesian selang terikat (n ). Ternyata agak mudah untuk mensimulasikan urutan pemboleh ubah rawak bebas ( bs X = (X_1, X_2, ldots) ) yang masing-masing diedarkan secara seragam pada (S ). Oleh itu, teorema terakhir memberikan algoritma untuk mensimulasikan pemboleh ubah rawak yang diedarkan secara seragam pada kawasan yang tidak teratur (R in ms S ) (dengan anggapan bahawa kita mempunyai algoritma untuk mengenali kapan titik (x in R ^ n ) jatuh di (R )). Kaedah simulasi ini dikenali sebagai, dan seperti yang akan kita lihat di bahagian berikutnya, lebih penting yang mungkin pertama kali muncul.

Dengan turutan titik bebas yang diedarkan secara seragam di (S ), yang pertama jatuh di (R ) diedarkan secara seragam di (R ).

Dalam eksperimen kebarangkalian sederhana, titik rawak diedarkan secara seragam di kawasan segi empat tepat (S ). Pindahkan dan ubah saiz peristiwa (A ) dan (B ) dan perhatikan bagaimana kebarangkalian 16 peristiwa yang dapat dibina dari (A ) dan (B ) berubah. Jalankan eksperimen 1000 kali dan perhatikan persetujuan antara frekuensi relatif peristiwa dan kebarangkalian kejadian.

Katakan bahawa ((X, Y) ) diedarkan secara seragam pada kawasan bulatan jejari 5, yang berpusat pada asal. Kita boleh menganggap ((X, Y) ) sebagai kedudukan anak panah yang dilemparkan secara rawak ke sasaran. Mari (R = sqrt ), jarak dari pusat ke ((X, Y) ).

  1. Berikan fungsi ketumpatan kebarangkalian ((X, Y) ).
  2. Cari ( P (n le R le n + 1 ) untuk (n in <0, 1, 2, 3, 4 > ).
  1. (f (x, y) = frac <1> <25 pi> ) untuk ( kiri <(x, y) in R ^ 2: x ^ 2 + y ^ 2 le 25 kanan > )
  2. ( P (n le R le n + 1) = frac <2 n + 1> <25> ) untuk (n in <0, 1, 2, 3, 4 > )

Katakan bahawa ((X, Y, Z) ) diedarkan secara seragam pada kubus (S = [0, 1] ^ 3 ). Cari ( P (X lt Y lt Z) ) dengan dua cara:

  1. Menggunakan fungsi ketumpatan kebarangkalian.
  2. Menggunakan hujah gabungan.
  1. ( P (X lt Y lt Z) = int_0 ^ 1 int_0 ^ z int_0 ^ y 1 , dx , dy , dz = frac <1> <6> )
  2. Masing-masing dari 6 susunan tegas ((X, Y, Z) ) kemungkinan sama, jadi ( P (X lt Y lt Z) = frac <1> <6> )

Masa (T ) (dalam beberapa minit) yang diperlukan untuk melakukan pekerjaan tertentu diedarkan secara seragam sepanjang selang ([15, 60] ).

  1. Cari kebarangkalian bahawa pekerjaan memerlukan lebih dari 30 minit
  2. Memandangkan pekerjaan itu tidak selesai setelah 30 minit, cari kebarangkalian bahawa pekerjaan itu memerlukan lebih dari 15 minit tambahan.
  1. ( frac <2> <3> )
  2. ( frac <1> <6> )

Taburan Berterusan dan Singular Berterusan

Pertimbangkan lagi ruang ukuran ((S, ms S, lambda ^ n) ) di mana (S in ms R ^ n ) untuk beberapa (n in N _ + ), ( ms S = ), dan ( lambda ^ n ) adalah ukuran Lebesgue. Sebaran kebarangkalian pada ruang ini boleh berterusan tetapi tidak sepenuhnya berterusan dan oleh itu tidak akan mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian berkenaan dengan ( lambda ^ n ). Satu cara remeh yang boleh berlaku ini adalah apabila ( lambda ^ n (S) = 0 ). Dalam kes ini, sebaran dikatakan. Berikut adalah beberapa contoh:

Katakan bahawa ( Theta ) diedarkan secara seragam pada selang ([0, 2 pi) ). Mari (X = cos Theta ), (Y = sin Theta ).

  1. ((X, Y) ) mempunyai taburan berterusan pada bulatan (C = <(x, y): x ^ 2 + y ^ 2 = 1 > ).
  2. Taburan ((X, Y) ) dan ( lambda_2 ) adalah satu sama lain.
  3. Cari ( P (Y gt X) ).
  1. Sekiranya ((x, y) di C ) maka ada theta in [0, 2 pi] ) yang unik dengan (x = cos theta ) dan (y = dosa theta ). Oleh itu ( P [(X, Y) = (x, y)] = P ( Theta = theta) = 0 ).
  2. ( P [(X, Y) in C] = 1 ) tetapi ( lambda_2 (C) = 0 ).
  3. ( frac <1> <2> )

Contoh terakhir adalah buatan kerana ((S, ms S) ) benar-benar ruang satu dimensi (itulah intinya). Walaupun ((X, Y) ) tidak mempunyai ketumpatan sehubungan dengan ( lambda_2 ), pemboleh ubah ( Theta ) mempunyai fungsi ketumpatan (f ) dengan repsect ( lambda_1 ) diberikan oleh (f ( theta) = 1/2 pi ) untuk ( theta in [0, 2 pi) ).

Katakan bahawa (X ) diedarkan secara seragam pada set ( <0, 1, 2 > ), (Y ) diedarkan secara seragam pada selang ([0, 2] ), dan itu (X ) dan (Y ) adalah bebas.

  1. ((X, Y) ) mempunyai pengedaran berterusan pada set produk (S = <0, 1, 2 > kali [0, 2] ).
  2. Taburan ((X, Y) ) dan ( lambda_2 ) adalah satu sama lain.
  3. Cari ( P (Y gt X) ).
  1. Pemboleh ubah tidak bersandar dan (Y ) mempunyai taburan berterusan sehingga ( P [(X, Y) = (x, y)] = P (X = 2) P (Y = y) = 0 ) untuk ((x, y) di S ).
  2. (P [(X, Y) in S] = 1 ) tetapi ( lambda_2 (S) = 0 )
  3. ( frac <1> <2> )

Contoh terakhir juga buatan kerana (X ) mempunyai taburan diskrit pada ( <0, 1, 2 > ) (dengan semua subset yang dapat diukur dan dengan ukuran pengiraan ( # )), dan ( Y ) taburan berterusan pada ruang Euclidean ([0, 2] ) (dengan struktur ukuran Lebesgue biasa). Kedua-duanya benar-benar berterusan berbanding ukuran masing-masing (X ) mempunyai fungsi ketumpatan (g ) yang diberikan oleh (g (x) = 1/3 ) untuk (x in <0, 1, 2 > ) dan (Y ) mempunyai fungsi ketumpatan (h ) yang diberikan oleh (h (y) = 1/2 ) untuk (y di [0, 2] ). Oleh itu, ruang ukuran yang betul di (S ) adalah ruang ukuran produk yang terbentuk dari dua ruang ini. Berkaitan dengan ruang produk ini ((X, Y) ) mempunyai ketumpatan (f ) yang diberikan oleh (f (x, y) = 1/6 ) untuk ((x, y) di S ). Bahagian seterusnya menerangkan sebaran campuran tersebut.

Ada kemungkinan untuk mempunyai taburan berterusan pada ruang Euclidean dimensi (n ) yang sebenarnya, namun masih tanpa fungsi ketumpatan kebarangkalian, keadaan yang jauh lebih menarik. Kami akan memberikan pembinaan klasik. Mari ((X_1, X_2, ldots) ) menjadi urutan percubaan Bernoulli dengan parameter kejayaan (p in (0, 1) ). Kami akan menunjukkan pergantungan ukuran kebarangkalian ( P ) pada parameter (p ) dengan langganan. Oleh itu, kita mempunyai urutan pemboleh ubah penunjuk bebas dengan [ P_p (X_i = 1) = p, P_p (X_i = 0) = 1 - p, quad i in N _ + ] Kami mentafsirkan ( X_i ) sebagai (i ) digit perduaan () pemboleh ubah rawak (X ) mengambil nilai di ((0, 1) ). Iaitu, (X = sum_^ infty X_i / 2 ^ i ). Sebaliknya, ingat bahawa setiap nombor (x in (0, 1) ) boleh ditulis dalam bentuk binari sebagai (x = sum_^ infty x_i / 2 ^ i ) di mana (x_i in <0, 1 > ) untuk setiap (i in N_ + ). Perwakilan ini unik kecuali apabila (x ) adalah bentuk (x = k / 2 ^ n ) untuk (n in N_ + ) dan (k in <1, 3, lots 2 ^ n - 1 > ). Dalam kes ini, terdapat dua perwakilan, satu di mana bit akhirnya 0 dan satu di mana bit akhirnya 1. Perhatikan, bagaimanapun, bahawa set rasional binari dapat dikira. Akhirnya, perhatikan bahawa pengedaran seragam pada ((0, 1) ) adalah sama dengan ukuran Lebesgue pada ((0, 1) ).

  1. Sekiranya (p, , q in (0, 1) ) dan (p ne q ) maka pengedaran (X ) dengan parameter (p ) dan pengedaran (X ) dengan parameter (q ) adalah satu sama lain.
  2. Sekiranya (p = frac <1> <2> ), (X ) mempunyai taburan seragam pada ((0, 1) ).
  3. Sekiranya (p ne frac <1> <2> ), maka pengedaran (X ) adalah tunggal sehubungan dengan ( lamba_1), dan oleh itu tidak mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian.

Sekiranya (x in (0, 1) ) bukan rasional binari, maka [ P_p (X = x) = P_p (X_i = x_i teks i in N_ +) = lim_ P_p (X_i = x_i text i = 1, 2 ldots, n) = lim_ p ^ y (1 - p) ^ ] di mana (y = jumlah_^ n x_i ). Biarkan (q = max ). Kemudian (p ^ y (1 - p) ^ le q ^ n to 0 ) sebagai (n to infty ). Oleh itu, ( P_p (X = x) = 0 ). Sekiranya (x in (0, 1) ) adalah rasional binari, maka terdapat dua rentetan bit yang mewakili (x ), katakan ((x_1, x_2, ldots) ) (dengan bit akhirnya 0 ) dan ((y_1, y_2, ldots) ) (dengan bit akhirnya 1). Oleh itu ( P_p (X = x) = P_p (X_i = x_i text i in N_ +) + P_p (X_i = y_i text i in N_ +) ). Tetapi kedua-dua kebarangkalian ini 0 dengan hujah yang sama seperti sebelumnya.

Seterusnya, kami menentukan sekumpulan nombor yang mana frekuensi relatif 1 adalah (p ). Biarkan (C_p = kiri jumlah_^ n x_i to p text n to infty right > ). Perhatikan bahawa kerana had adalah unik, (C_p cap C_q = emptyset ) untuk (p ne q ). Seterusnya, oleh undang-undang yang kuat dalam jumlah besar, ( P_p (X in C_p) = 1 ). Walaupun kita belum mempelajari undang-undang dalam jumlah besar, Ide dasarnya mudah: dalam urutan percubaan Bernoulli dengan kebarangkalian kejayaan (p ), kekerapan relatif jangka panjang kejayaan adalah (p ). Oleh itu, pengedaran (X ), sebagai (p ) bervariasi dari 0 hingga 1, adalah satu sama lain, kerana (p ) berbeza-beza, (X ) mengambil nilai dengan kebarangkalian 1 dalam set yang saling terpisah .

Mari (F ) menunjukkan fungsi pengedaran (X ), sehingga (F (x) = P_p (X le x) = P_p (X lt x) ) untuk (x dalam (0, 1) ). Sekiranya (x in (0, 1) ) bukan rasional binari, maka (X lt x ) jika dan hanya jika ada (n in N _ + ) sehingga (X_i = x_i ) untuk (i in <1, 2, ldots, n - 1 > ) dan (X_n = 0 ) sementara (x_n = 1 ). Oleh itu ( P_ <1/2> (X lt x) = sum_^ infty frac <2 ^ n> = x ). Oleh kerana fungsi pengedaran sebaran berterusan adalah berterusan, maka (F (x) = x ) untuk semua (x in [0, 1] ). Ini bermaksud (X ) mempunyai taburan seragam pada ((0, 1) ). Sekiranya (p ne frac <1> <2> ), pengedaran (X ) dan pengagihan seragam adalah satu sama lain, jadi khususnya, (X ) tidak mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian dengan berkenaan dengan ukuran Lebesgue.

Untuk penerapan beberapa idea dalam contoh ini, lihat permainan berani dalam permainan merah dan hitam.

Latihan Analisis Data

Sekiranya (D ) adalah kumpulan data dari pemboleh ubah (X ) dengan pengedaran berterusan, maka dapat dikira dengan membagi julat data menjadi subkumpulan ukuran kecil, dan kemudian mengira ketumpatan kebarangkalian titik dalam setiap subset . Fungsi kepadatan kebarangkalian empirikal dikaji dengan lebih terperinci dalam bab kerosakan rawak.

Untuk data jangkrik, (BW ) menunjukkan berat badan (dalam gram), (BL ) panjang badan (dalam milimeter), dan (G ) jantina (0 untuk wanita dan 1 untuk lelaki). Bina fungsi ketumpatan empirik untuk setiap yang berikut dan paparkan masing-masing sebagai graf bar:


Analisis Fourier - Teori dan Aplikasi: 18.103 (Spring 2005)

  • HW # 1, jatuh tempo pada hari Khamis, 10 Februari: (Bab 2) # 2, 4 (abc), 6, 7, 12, 15, 16, 18, 21, 23.
  • HW # 2, jatuh tempo pada hari Khamis, 17 Februari: (Bab 2) 24, 25, 26, 29, 30, 31, 32, 34, 35. Kredit tambahan: 47.
  • HW # 3, selasa 1 Mac: (Bab 5) 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23.
  • HW # 4, jatuh tempo pada hari Selasa, 8 Mac: (Bab 6) 1, 2, 5, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 17.
  • HW # 5, jatuh tempo pada hari Selasa, 15 Mac: (Bab 6) 19, 21, (Bab 7) 6, (Bab 8) 1, 2, 3, 4, 5, 6.
  • HW # 6, jatuh tempo pada hari Selasa, 29 Mac: (Bab 8) 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 17, 18.
  • HW # 7, jatuh tempo pada hari Selasa, 5 April: (Bab 10) 1 - 10.
  • HW # 8, jatuh tempo pada hari Khamis, 15 April: (Bab 10) 12, 13, 18, 20, (Bab 12) 2, 8, 12, 13.
  • HW # 9, jatuh tempo pada hari Selasa, 26 April: (Bab 14) 4, 5, 8, 14, 15, 16, 29, 30, 31, 32.
  • HW # 10, jatuh tempo Selasa, 3 Mei: (Bab 13) 2, 3, 4, 5, 6, 7, (Bab 14) 41, 42, 43, 44, 45.
  • Kredit Tambahan untuk Peperiksaan II, yang akan jatuh tempo pada hari Khamis, 12 Mei: Tuliskan penyelesaian yang lengkap dan betul untuk SEMUA masalah pada Ujian II, untuk menambah 7 mata tambahan untuk skor Ujian II.


Matematik 202A

Waktu pejabat F 16: 00-18: 00, 821 Dewan Evans, dan mengikut appt.

Topik yang dibincangkan

  • 08/30: Bahasa teori set.
  • 09/02: Set yang dipesan.
  • 09/04: Kardinaliti.
  • 09/06: Sukatan.
  • 09/09: Ruang metrik.
  • 09/11: Kekompakan.
  • 09/13: Sigma-algebras.
  • 09/16: Langkah-langkah.
  • 09/18: Langkah luar.
  • 09/20: Langkah-langkah, ukuran awal dan langkah luar: hubungan.
  • 09/23: Borel mengukur R.
  • 09/25: Ukuran Lebesgue. Set Cantor.
  • 09/27: Fungsi yang boleh diukur.
  • 09/30: Fungsi sederhana sebagai penghampiran fungsi yang dapat diukur.
  • 10/02: Integrasi fungsi mudah.
  • 10/04: Teorema penumpuan monoton.
  • 10/07: Penyatuan fungsi bukan negatif.
  • 10/09: Integrasi fungsi bernilai sebenar.
  • 10/11: Integrasi fungsi bernilai kompleks.
  • 10/14: Pertengahan.
  • 10/16: Perbincangan pertengahan minggu.
  • 10/18: Teorema dan akibat penumpuan yang dikuasai.
  • 10/21: Kaedah penumpuan.
  • 10/23: Teorema Egoroff.
  • 10/25: Langkah-langkah yang ditandatangani. Hahn penguraian.
  • 10/28: Penguraian Jordan. Kesinambungan mutlak.
  • 10/30: Teorema Lebesgue-Radon-Nikodym I.
  • 11/01: Lebesgue-Radon-Nikodym II.
  • 11/04: Langkah-langkah yang kompleks.
  • 11/06: Pembezaan pada R.
  • 11/08: Fungsi variasi terikat.
  • 11/13: Ruang topologi.
  • 11/15: Aksioma pengiraan dan pemisahan.
  • 11/18: Peta berterusan.
  • 11/20: Teorem Lemma dan Tietze Extension Urysohn.
  • 11/22: Jaring.
  • 11/25: Ruang yang padat.
  • 11/27: Ruang Hausdorff yang padat secara tempatan.
  • 12/02: Fungsi pada ruang LCH.
  • 12/04: Teorema Arzela-Ascoli.
  • 12/06: Teorema Batu-Weierstrass.
  • 12/09: Pengenalan ruang L ^ p.
  • Buku.
    • Gerald B. Folland, Analisis sebenar. Teknik moden dan aplikasinya, Edisi kedua. Wiley, 1999.
    • Walter Rudin, Analisis nyata dan kompleks, Edisi ketiga, McGrew-Hill, 1987.
    • Walter Rudin, Analisis fungsional, Edisi kedua, McGraw-Hill, 1991.

    Buku pertama akan menjadi buku teks utama untuk kursus ini.

    Pengajar mengalu-alukan kerjasama antara pelajar dan penggunaan buku. Walau bagaimanapun, menyerahkan kerja rumah yang memanfaatkan pekerjaan orang lain (sama ada dari rakan pelajar, buku atau kertas, atau apa sahaja) tanpa pengakuan eksplisit dianggap sebagai salah laku akademik.


    Tonton videonya: relation entre l integral de riemann et lebesgues (Oktober 2021).