Artikel

1.6: Graf Fungsi - Matematik


Pada bahagian sebelumnya, kami mengatakan bahawa seseorang dapat menggambarkan hubungan secara algebra menggunakan persamaan. Idea utama bahagian ini adalah

Prinsip Grafik Asas

Grafik persamaan adalah sekumpulan titik yang memenuhi persamaan. Maksudnya, titik ((x, y) ) berada pada grafik persamaan jika dan hanya jika (x ) dan (y ) memenuhi persamaan.

Contoh ( PageIndex {1} ):

Grafik (f (x) = x ^ 2 - x - 6 )

Penyelesaian

Untuk memeriksa, kami menggantikan (x = 2 ) dan (y = -1 ) ke dalam persamaan dan melihat sama ada persamaan itu memuaskan

[ begin {array} {rclr} (2) ^ 2 + (- 1) ^ 3 & stackrel {?} {=} & 1 & 3 & neq & 1 & end {array} ]

Oleh itu, ((2, -1) ) adalah tidak pada graf (x ^ 2 + y ^ 3 = 1 ).

Kami dapat menghabiskan berjam-jam meneka dan memeriksa secara rawak untuk melihat apakah titik berada pada grafik persamaan. Pendekatan yang lebih sistematik digambarkan dalam contoh berikut.

Contoh ( PageIndex {2} ):

Grafik (x ^ 2 + y ^ 3 = 1 ).

Penyelesaian

Untuk menjana titik pada grafik persamaan ini dengan cekap, pertama kita menyelesaikan (y )

[ start {array} {rclr} x ^ 2 + y ^ 3 & = & 1 & y ^ 3 & = & 1 - x ^ 2 & sqrt [3] {y ^ 3} & = & sqrt [3] {1 - x ^ 2} & y & = & sqrt [3] {1 - x ^ 2} & end {array} ]

Kami sekarang mengganti nilai untuk (x ), menentukan nilai yang sesuai (y ), dan merancang titik yang dihasilkan, ((x, y) ). Sebagai contoh, untuk (x = -3 ), kami menggantikan

[y = sqrt [3] {1 - x ^ 2} = sqrt [3] {1 - (-3) ^ 2} = sqrt [3] {- 8} = - 2, ]

jadi titik ((- 3, -2) ) ada pada graf. Dengan meneruskan cara ini, kami menghasilkan jadual titik yang terdapat pada grafik persamaan. Titik-titik ini kemudian diplot dalam satah seperti gambar di bawah.

[ start {array} {| r || c | c |} hline x & y & (x, y) hline -3 & -2 & (-3, -2) hline - 2 & - sqrt [3] {3} & (-2, - sqrt [3] {3}) hline -1 & 0 & (-1, 0) hline 0 & 1 & (0 , 1) hline 1 & 0 & (1, 0) hline 2 & - sqrt [3] {3} & (2, - sqrt [3] {3}) hline 3 & -2 & (3, -2) hline end {array} ]

Ingat, titik-titik ini hanya merupakan titik kecil ((textbf {sampling} ) titik pada graf persamaan ini. Untuk mendapatkan idea yang lebih baik mengenai bentuk grafik, kita dapat merancang lebih banyak titik sehingga kita merasa selesa 'menghubungkan titik-titik.' Melakukannya akan menghasilkan lekukan yang serupa dengan yang digambarkan di sebelah kiri paling kiri.

Jangan bimbang jika anda tidak mendapat semua selekoh dan lekukan tepat (- ) Kalkulus adalah tempat seni grafik tepat berada di tengah. Buat masa ini, kami akan menyelesaikan dengan pendekatan 'plug and plot' naif kami untuk membuat grafik. Sekiranya anda merasa semua perhitungan dan plot yang membosankan ini ada di bawah anda, maka anda boleh mencari kalkulator grafik, masukkan formula seperti yang ditunjukkan di atas, dan grafik.

Dari semua titik pada grafik persamaan, tempat di mana grafik melintasi paksi mempunyai kepentingan khas. Ini dipanggil memintas graf. Pintas mempunyai dua jenis yang berbeza: (x ) - pintasan dan (y ) - pintasan. Mereka ditakrifkan di bawah.

Catatan: Andaikan graf persamaan diberikan.

  • Titik di mana graf memenuhi paksi (x ) dipanggil (x ) - pintasan grafik.
  • Titik di mana graf memenuhi paksi (y ) dipanggil (y ) - pintasan grafik.

Dalam contoh sebelumnya, graf mempunyai dua (x ) - pintasan, ((- 1,0) ) dan ((1,0) ), dan satu (y ) - pintasan, (( 0,1) ). Grafik persamaan boleh mempunyai sebilangan pintasan, termasuk tidak ada sama sekali! Oleh kerana (x ) - pintasan terletak pada paksi (x ) - kita dapat menjumpainya dengan menetapkan (y = 0 ) dalam persamaan. Begitu juga, kerana (y ) - pintasan terletak pada paksi (y ) - kita dapat menjumpainya dengan menetapkan (x = 0 ) dalam persamaan. Perlu diingat, pintasan adalah mata dan oleh itu mesti ditulis sebagai pasangan tertib. Untuk Meringkaskan,

Catatan: Langkah-langkah untuk Mencari Pintas dari Graf Persamaan

Diberi persamaan yang melibatkan (x ) dan (y ): index {pintasan! lokasi}

  • (x ) - pintasan sentiasa mempunyai bentuk ((x, 0) ); untuk mencari (x ) - pintasan grafik, tetapkan (y = 0 ) dan selesaikan untuk (x ).
  • (y ) - pintasan selalu mempunyai bentuk ((0, y) ); untuk mencari (y ) - pintasan grafik, tetapkan (x = 0 ) dan selesaikan untuk (y ).

Fakta lain yang mungkin anda perhatikan mengenai grafik dalam contoh sebelumnya adalah bahawa nampaknya simetri mengenai paksi (y ) -. Untuk benar-benar membuktikan ini secara analitis, kami menganggap ((x, y) ) adalah titik generik pada grafik persamaan. Maksudnya, kita menganggap (x ^ 2 + y ^ 3 = 1 ). Seperti yang kita pelajari di Bahagian 1.2.1, titik simetri ke ((x, y) ) mengenai sumbu (y ) - ((- x, y) ). Untuk menunjukkan graf adalah simetri mengenai paksi (y ) - kita perlu menunjukkan bahawa ((- x, y) ) berada pada grafik setiap kali ((x, y) ) berada. Dengan kata lain, kita perlu menunjukkan ((- x, y) ) memenuhi persamaan (x ^ 2 + y ^ 3 = 1 ) setiap kali ((x, y) ) berlaku. Mengganti memberi

[ begin {array} {rclr} (-x) ^ 2 + (y) ^ 3 & stackrel {?} {=} & 1 & x ^ 2 + y ^ 3 & stackrel { checkmark} {=} & 1 & end {array} ]

Apabila kami menggantikan ((- x, y) ) ke dalam persamaan (x ^ 2 + y ^ 3 = 1 ), kami memperoleh kembali persamaan asal apabila kami mempermudah. Ini bermaksud ((- x, y) ) memenuhi persamaan dan oleh itu terdapat pada graf. Dengan cara ini, kita dapat memeriksa sama ada grafik persamaan yang diberikan mempunyai simetri yang dibincangkan dalam Bahagian ref {CartesianPlane}. Hasilnya diringkaskan di bawah.

Catatan: Langkah-langkah untuk Menguji jika Graf Persamaan Memiliki Simetri

Untuk menguji graf persamaan untuk simetri index {simetri! menguji persamaan untuk}

  • Mengenai paksi (y ) - Pengganti ((- - x, y) ) ke dalam persamaan dan permudahkan. Sekiranya hasilnya setara dengan persamaan asal, grafnya simetri mengenai paksi (y ) -.
  • Mengenai paksi (x ): Pengganti ((x, -y) ) ke dalam persamaan dan permudahkan. Sekiranya hasilnya sama dengan persamaan asal, grafnya adalah simetri mengenai paksi (x ) -.
  • Mengenai asalnya: Ganti ((- - x, -y) ) ke dalam persamaan dan permudahkan. Sekiranya hasilnya sama dengan persamaan asal, grafiknya simetri mengenai asal usul.

Pintas dan simetri adalah dua alat yang dapat membantu kita melakarkan graf persamaan secara analitik, seperti yang dibuktikan dalam contoh seterusnya.

Contoh ( PageIndex {1} ):

Cari pintasan (x ) - dan (y ) - (jika ada) graf ((x-2) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ). Uji simetri. Petak titik tambahan yang diperlukan untuk melengkapkan grafik.

Penyelesaian

Untuk mencari (x ) - pintasan, kami menetapkan (y = 0 ) dan menyelesaikan:

[ start {array} {rclr} (x-2) ^ 2 + y ^ 2 & = & 1 & (x-2) ^ 2 + 0 ^ 2 & = & 1 & (x-2 ) ^ 2 & = & 1 & sqrt {(x-2) ^ 2} & = & sqrt {1} & mbox {ekstrak akar kuasa dua} x - 2 & = & pm 1 & x & = & 2 pm 1 & x & = & 3, 1 & end {array} ]

Kami mendapat textbf {two} jawapan untuk (x ) yang sepadan dengan textbf {two} (x ) - pintasan: ((1,0) ) dan ((3,0) ). Mengarahkan perhatian kita kepada (y ) - pintasan, kita menetapkan (x = 0 ) dan menyelesaikan:

[ start {array} {rclr} (x-2) ^ 2 + y ^ 2 & = & 1 & (0-2) ^ 2 + y ^ 2 & = & 1 & 4 + y ^ 2 & = & 1 & y ^ 2 & = & -3 & end {array} ]

Oleh kerana tidak ada nombor nyata yang kuasa dua menjadi nombor negatif (Adakah anda ingat mengapa?), Kami terpaksa menyimpulkan bahawa grafik mempunyai teksbf {no} (y ) - pintasan.

Setakat data yang kita ada setakat ini, kita dapat

Melangkah ke simetri, kita dapat segera menolak kemungkinan grafik itu simetri mengenai paksi (y ) - atau asalnya. Sekiranya grafik mempunyai salah satu daripada simetri ini, maka fakta bahawa ((1,0) ) ada pada grafik akan bermaksud ((- 1,0) ) harus ada pada grafik. (Mengapa?) Oleh kerana ((- 1,0) ) akan menjadi (x ) - pintasan (dan kami telah menemui semua ini), grafik tidak boleh mempunyai paksi (y ) - atau simetri asal. Satu-satunya simetri yang tersisa untuk diuji adalah simetri mengenai paksi (x ) -. Untuk tujuan itu, kami menggantikan ((x, -y) ) ke dalam persamaan dan mempermudah

[ begin {array} {rclr} (x-2) ^ 2 + y ^ 2 & = & 1 & (x-2) ^ 2 + (-y) ^ 2 & stackrel {?} {= } & 1 & (x-2) ^ 2 + y ^ 2 & stackrel { checkmark} {=} & 1 & end {array} ]

Oleh kerana kita telah memperoleh persamaan asal, kita tahu grafiknya simetri mengenai paksi (x ) -. Ini bermaksud kita boleh memotong masa 'plug and plot' kita pada separuh: apa sahaja yang berlaku di bawah paksi (x ) - dipantulkan di atas paksi (x ) - dan sebaliknya. Berjalan seperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya, kita memperoleh

Beberapa komen teratur. Pertama, adalah mungkin untuk memilih nilai untuk (x ) yang tidak sesuai dengan titik pada grafik. Sebagai contoh, dalam contoh sebelumnya, jika kita menyelesaikan (y ) seperti kebiasaan kita, kita mendapat:

[y = pm sqrt {1- (x-2) ^ 2}. ]

Setelah menggantikan (x = 0 ) ke dalam persamaan, kita akan memperoleh

[y = pm sqrt {1 - (0-2) ^ 2} = pm sqrt {1 - 4} = pm sqrt {-3}, ]

yang bukan nombor nyata. Ini bermaksud tidak ada titik pada grafik dengan koordinat (x ) - (0 ). Apabila ini berlaku, kita teruskan dan mencuba perkara lain. Ini adalah satu lagi kelemahan pendekatan 'plug-and-plot' untuk membuat persamaan grafik. Nasib baik, kita akan mencurahkan sebahagian besar teknik pengembangan buku ini yang membolehkan kita membuat grafik keseluruhan keluarga persamaan dengan cepat. Nota kaki {Tanpa menggunakan kalkulator, jika anda boleh mempercayainya!} Kedua, adalah instruktif untuk menunjukkan apa akan berlaku sekiranya kita menguji persamaan pada contoh terakhir untuk simetri mengenai paksi (y ) -. Menggantikan ((- x, y) ) ke dalam hasil persamaan

[ begin {array} {rclr} (x-2) ^ 2 + y ^ 2 & = & 1 & (-x-2) ^ 2 + y ^ 2 & stackrel {?} {=} & 1 & ((-1) (x + 2)) ^ 2 + y ^ 2 & stackrel {?} {=} & 1 & (x + 2) ^ 2 + y ^ 2 & stackrel { ?} {=} & 1. & end {array} ]

Persamaan terakhir ini tidak ( textbf {muncul} ) setara dengan persamaan asal kami. Walau bagaimanapun, untuk ( textbf {membuktikan} ) tidak simetri mengenai paksi (y ) - kita perlu mencari titik ((x, y) ) pada graf yang pantulannya ((- x, y) ) tidak. (X ) - pintasan ((1,0) ) sesuai dengan rang undang-undang ini, kerana jika kita menggantikan ((- 1,0) ) ke dalam persamaan yang kita dapat

[ begin {array} {rclr} (x-2) ^ 2 + y ^ 2 & stackrel {?} {=} & 1 & (-1-2) ^ 2 + 0 ^ 2 & neq & 1 & 9 & neq & 1. & end {array} ]

Ini membuktikan bahawa ((- 1,0) ) tiada pada graf.


Grafik dan Fungsi

Pelajaran ini dirancang untuk memperkenalkan pelajar kepada fungsi grafik. Aktiviti-aktiviti ini boleh dilakukan secara individu atau berkumpulan seramai empat orang pelajar. Biarkan selama 2-3 jam waktu kelas untuk keseluruhan pelajaran jika semua bahagian dilakukan di kelas.

Objektif

  • telah diperkenalkan untuk merancang fungsi pada satah koordinat Cartesian
  • telah melihat beberapa kategori fungsi, termasuk garis dan parabola

Piawaian yang Ditujukan:

  • Fungsi dan Hubungan
    • Pelajar menunjukkan pemahaman konsep fungsi, corak, atau urutan termasuk yang ditunjukkan dalam situasi dunia nyata.
    • Pelajar menunjukkan pemikiran algebra.
    • Fungsi dan Hubungan
      • Pelajar menunjukkan pemahaman konsep fungsi, corak, atau urutan termasuk yang ditunjukkan dalam situasi dunia nyata.
      • Pelajar menunjukkan pemikiran algebra.
      • Ungkapan dan Persamaan
        • Menganalisis dan menyelesaikan persamaan linear dan pasangan persamaan linear serentak.
        • Tentukan, menilai, dan membandingkan fungsi.
        • Gunakan fungsi untuk memodelkan hubungan antara kuantiti.
        • Fungsi Membina
          • Bina fungsi yang memodelkan hubungan antara dua kuantiti
          • Bina fungsi baru dari fungsi yang ada
          • Bina dan bandingkan model linear, kuadratik, dan eksponensial dan selesaikan masalah
          • Algebra
            • Mewakilkan dan menganalisis situasi dan struktur matematik menggunakan simbol algebra
            • Algebra
              • Mewakilkan dan menganalisis situasi dan struktur matematik menggunakan simbol algebra
              • Fahami corak, hubungan, dan fungsi
              • Gunakan model matematik untuk mewakili dan memahami hubungan kuantitatif
              • Algebra
                • Matlamat Kompetensi 4: Pelajar akan menggunakan hubungan dan fungsi untuk menyelesaikan masalah.
                • Algebra
                  • Matlamat Kompetensi 4: Pelajar akan menggunakan hubungan dan fungsi untuk menyelesaikan masalah.
                  • Nombor dan Operasi, Pengukuran, Geometri, Analisis Data dan Kebarangkalian, Aljabar
                    • MATLAMAT KOMPETENSI 5: Pelajar akan memahami dan menggunakan hubungan dan fungsi linear.
                    • Algebra
                      • MATLAMAT KOMPETENSI 4: Pelajar akan memahami dan menggunakan hubungan dan fungsi linear.
                      • MATLAMAT KOMPETENSI 5: Pelajar akan memahami dan menggunakan hubungan dan fungsi linear.
                      • Algebra
                        • Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman tentang pola angka, simbol sebagai gambaran kuantiti yang tidak diketahui, dan situasi yang menunjukkan peningkatan dari masa ke masa.
                        • Algebra
                          • Standard 4-3: Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman tentang corak angka dan bukan angka, perwakilan hubungan matematik sederhana, dan penerapan prosedur untuk mencari nilai yang tidak diketahui.
                          • Standard 4-6: Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman tentang kesan kaedah pengumpulan data, grafik yang sesuai untuk data kategorik atau berangka, dan analisis kemungkinan hasil untuk peristiwa sederhana.
                          • Standard 4-4: Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman tentang hubungan antara bentuk dua dan tiga dimensi, penggunaan transformasi untuk menentukan kesesuaian, dan perwakilan lokasi dan pergerakan dalam kuadran pertama sistem koordinat .
                          • Standard 4-4: Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman tentang hubungan antara bentuk dua dan tiga dimensi, penggunaan transformasi untuk menentukan kesesuaian, dan perwakilan lokasi dan pergerakan
                          • Algebra
                            • Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman mengenai hubungan berkadar.
                            • Algebra
                              • Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman persamaan, ketaksamaan, dan fungsi linear.
                              • Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman tentang hubungan antara dua pemboleh ubah dalam satu populasi atau sampel.
                              • Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman tentang teorema Pythagoras penggunaan pasangan, persamaan, pintasan, dan persimpangan tertib untuk mencari titik dan garis dalam satah koordinat dan kesan pelebaran dalam satah koordinat.
                              • Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman tentang teorema Pythagoras penggunaan pasangan, persamaan, pintasan, dan persimpangan tertib untuk mencari titik dan garis dalam satah koordinat dan kesan pelebaran
                              • Algebra Dasar
                                • Standard EA-1: Pelajar akan memahami dan menggunakan proses matematik penyelesaian masalah, penaakulan dan bukti, komunikasi, hubungan, dan perwakilan.
                                • Standard EA-3: Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman tentang hubungan dan fungsi.
                                • Standard EA-4: Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman tentang prosedur menulis dan menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan linear.
                                • Standard EA-5: Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman tentang grafik dan ciri persamaan linear dan ketaksamaan.
                                • Standard EA-6: Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman tentang hubungan dan fungsi kuadratik.
                                • Algebra
                                  • Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman mengenai fungsi, sistem persamaan, dan sistem ketaksamaan linear.
                                  • Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman tentang persamaan kuadratik dan sistem nombor kompleks.
                                  • Pelajar akan menunjukkan melalui proses matematik pemahaman tentang ungkapan algebra dan fungsi bukan linear.
                                  • Geometri
                                    • 4.15.b Pelajar akan menerangkan jalan jarak terpendek antara dua titik pada permukaan rata.
                                    • 4.16 Pelajar akan mengenal pasti dan melukis perwakilan garis yang menggambarkan persimpangan, paralelisme, dan tegak lurus.
                                    • 4.15.b
                                    • 4.16
                                    • Kebarangkalian dan Statistik
                                      • 7.17 Pelajar, yang diberi situasi masalah, akan mengumpulkan, menganalisis, memaparkan, dan menafsirkan data, menggunakan pelbagai kaedah grafik, termasuk sebaran frekuensi plot garis histogram batang-dan-daun plot kotak-dan-wisker plot dan scattergram.
                                      • 7.17 Pelajar, yang diberi situasi masalah, akan mengumpulkan, menganalisis, memaparkan, dan menafsirkan data, dengan menggunakan pelbagai kaedah grafik, termasuk
                                      • Corak, Fungsi, dan Algebra
                                        • 8.14a Pelajar akan menerangkan dan mewakili hubungan dan fungsi, menggunakan jadual, grafik, dan peraturan dan
                                        • 8.16 Pelajar akan membuat graf persamaan linear dalam dua pemboleh ubah, dalam satah koordinat, menggunakan jadual pasangan tertib.
                                        • 8.14 Pelajar akan
                                        • 8.16 Pelajar akan membuat graf persamaan linear dalam dua pemboleh ubah, dalam satah koordinat, menggunakan a
                                        • Algebra II
                                          • AII.10 Pelajar akan menyiasat dan menerangkan melalui penggunaan grafik hubungan antara penyelesaian persamaan, sifar fungsi, pintasan-x graf, dan faktor ungkapan polinomial.
                                          • AII.18 Pelajar akan mengenal pasti bahagian kerucut (bulatan, elips, parabola, dan hiperbola) dari persamaannya. Memandangkan persamaan dalam bentuk (h, k), pelajar akan melakarkan graf bahagian kerucut, menggunakan transformasi.
                                          • AII.20 Pelajar akan mengenal pasti, membuat, dan menyelesaikan masalah praktikal yang melibatkan variasi songsang dan gabungan variasi langsung dan songsang.
                                          • AII.10
                                          • AII.18
                                          • AII.20

                                          Buku Teks Sejajar:

                                          • Ke-7
                                            • [Modul 1 - Mencari dan Menyelamatkan] Bahagian 4: Model Fungsi
                                              • Sebab Penjajaran: Pelajaran Grafik dan Fungsi adalah ikutan yang baik untuk pelajaran Pengantar Fungsi, juga sejajar dengan bahagian teks ini, dengan membangun grafik fungsi. Yang ini lebih mendalam ke dalam perbendaharaan kata dan aljabar fungsi. Pelajaran ini mungkin memerlukan beberapa saat jika diselesaikan bersama di dalam kelas, tetapi sebilangan pelajar dapat melaluinya secara bebas dalam masa yang lebih singkat.
                                              • [Modul 3 - Misteri Blacktail Canyon] Bahagian 2: Persamaan dan Grafik
                                                • Sebab Penjajaran: Ini adalah pelajaran terperinci mengenai fungsi grafik. Terdapat cadangan perbincangan, perbendaharaan kata dan Lembaran Kerja Aktiviti Sketsa Grafik yang telah disediakan untuk latihan. Pelajaran ini sesuai dengan aktiviti Graphit.

                                                Prasyarat Pelajar

                                                • Aritmetik: Pelajar mesti dapat:
                                                  • melakukan aritmetik integer dan pecahan
                                                  • titik plot pada sistem koordinat Cartesian
                                                  • baca koordinat titik dari graf
                                                  • bekerjasama dengan ungkapan algebra sederhana
                                                  • melakukan manipulasi tetikus asas seperti titik, klik dan seret
                                                  • gunakan penyemak imbas untuk bereksperimen dengan aktiviti tersebut

                                                  Persediaan Guru

                                                  • Akses ke penyemak imbas
                                                  • Pensel dan kertas graf
                                                  • Salinan bahan tambahan untuk aktiviti:
                                                    • Lembaran Kerja Aktiviti Sketsa Graf

                                                    Syarat Utama

                                                    fungsi berterusanFungsi yang tetap sama tidak kira apa pemboleh ubah yang disebut fungsi tetap
                                                    pemalarDalam matematik, perkara yang tidak berubah disebut pemalar. Perkara-perkara yang melakukan perubahan disebut pemboleh ubah.
                                                    satah koordinatPesawat dengan titik yang dipilih sebagai asal, beberapa panjang dipilih sebagai satuan jarak, dan dua garis tegak lurus yang bersilang pada titik asal, dengan arah positif dan negatif dipilih pada setiap garis. Secara tradisional, garis disebut x (dilukis dari kiri ke kanan, dengan arah positif ke kanan asal) dan y (dilukis dari bawah ke atas, dengan arah positif ke atas asal). Koordinat titik ditentukan oleh jarak titik ini dari garis, dan tanda-tanda koordinat ditentukan oleh sama ada titik itu berada dalam arah positif atau ke arah negatif dari asal
                                                    koordinatSepasang nombor tersusun unik yang mengenal pasti titik pada satah koordinat. Nombor pertama dalam pasangan tertib mengenal pasti kedudukan berkenaan dengan paksi-x sementara nombor kedua mengenal pasti kedudukan pada paksi-y
                                                    fungsiFungsi f bagi pemboleh ubah x adalah peraturan yang memberikan kepada setiap nombor x dalam domain fungsi nombor tunggal f (x). Perkataan "tunggal" dalam definisi ini sangat penting
                                                    grafPerwakilan visual data yang memaparkan hubungan antara pemboleh ubah, biasanya dilemparkan di sepanjang paksi x dan y.
                                                    nombor negatifNombor kurang daripada sifar. Dalam membuat grafik, nombor di sebelah kiri sifar. Nombor negatif ditunjukkan dengan meletakkan tanda tolak (-) di hadapan nombor

                                                    Garis Besar Pelajaran

                                                    Ingatkan pelajar apa yang telah dipelajari dalam pelajaran sebelumnya yang berkaitan dengan pelajaran ini dan / atau minta mereka mula memikirkan perkataan dan idea pelajaran ini. Anda boleh mengemukakan soalan berikut:

                                                    • Bolehkah seseorang memberitahu saya apa itu fungsi?
                                                    • Adakah seseorang akan memberi saya contoh fungsi?
                                                    • Adakah seseorang akan memberi saya contoh sesuatu yang bukan fungsi?

                                                    Biarkan pelajar mengetahui apa yang akan mereka lakukan dan pelajari hari ini. Katakan sesuatu seperti ini:

                                                    • Hari ini, kelas, kita akan belajar lebih banyak mengenai fungsi.
                                                    • Kami akan menggunakan komputer untuk mempelajari lebih lanjut mengenai fungsi, tetapi jangan hidupkan komputer anda sehingga saya memintanya. Saya ingin menunjukkan sedikit mengenai aktiviti ini terlebih dahulu.
                                                    • Mintalah pelajar mencuba titik untuk beberapa fungsi mudah untuk memastikan mereka mempunyai kemahiran merancang dengan tangan. Walaupun kalkulator grafik tersedia, mintalah pelajar membuat petak pada kertas graf - ini adalah kemahiran yang penting untuk dipraktikkan dengan tangan. Berikut adalah beberapa fungsi yang mungkin diberikan:
                                                    • Berlatih kemahiran merancang fungsi pelajar dengan menyuruh mereka menyemak kerja mereka dari aktiviti sebelumnya dengan merancang fungsi yang sama menggunakan Graf Sketcher Tool.
                                                    • Minta pelajar menyiasat fungsi bentuk y = _____ x + ____ menggunakan Graf Sketcher Tool untuk menentukan jenis fungsi apa yang berasal dari borang ini, dan apa yang mengubah setiap pemalar terhadap fungsi tersebut. Pastikan mereka mengawasi apa yang mereka cuba dan catatkan hipotesis dan pemerhatian mereka.
                                                    • Kaitkan grafik ini dengan pelajaran mengenai Fungsi Linear untuk menunjukkan alasan bagi istilah m = cerun dan b = pintasan dalam formula.
                                                    • Anda mungkin ingin mengembalikan kelas untuk perbincangan penemuan. Setelah pelajar dibenarkan untuk berkongsi apa yang mereka dapati, ringkaskan hasil pelajaran.

                                                    Garis Besar Alternatif

                                                    • Ganti semua aktiviti Graph Sketcher dengan aktiviti kalkulator grafik. Catatan: Bergantung pada kalkulator grafik, anda mungkin perlu meluangkan masa tambahan untuk membincangkan pengaturan julat tetingkap.
                                                    • Gantikan semua aktiviti Graph Sketcher dengan aktiviti Simple Plot. Simple Plot adalah aktiviti plot point, yang memerlukan pelajar membuat jadual nilai untuk fungsi sebelum membuat plot.
                                                    • Hadkan penyelidikan ke fungsi dengan satu operasi seperti dalam pelajaran Mesin Fungsi dan / atau fungsi linear seperti dalam pelajaran Fungsi Linear.

                                                    Cadangan Susulan

                                                    Selepas perbincangan dan aktiviti ini, pelajar akan mempunyai lebih banyak pengalaman dengan fungsi dan grafik. Pelajaran seterusnya, Membaca Grafik, menunjukkan kepada pelajar bahawa grafik dapat digunakan untuk menyampaikan banyak maklumat mengenai situasi tertentu.


                                                    Edit Spesifikasi

                                                    Mawar adalah sekumpulan titik dalam koordinat kutub yang ditentukan oleh persamaan kutub

                                                    atau dalam koordinat Cartesian menggunakan persamaan parametrik

                                                    Mawar juga boleh ditentukan menggunakan fungsi sinus. [3] Sejak

                                                    Oleh kerana ia ditentukan menggunakan fungsi kosinus atau sinus, mawar biasanya dinyatakan sebagai graf koordinat polar (bukan koordinat Cartesian) sinusoid yang mempunyai frekuensi sudut k < displaystyle k> dan amplitudo < displaystyle a> yang menentukan koordinat radial (r) < displaystyle (r)> diberi sudut kutub (θ) < displaystyle ( theta)> (walaupun ketika k < displaystyle k> adalah nombor rasional, kurva mawar dapat dinyatakan dalam bahasa Cartesian koordinat kerana ia boleh dinyatakan sebagai lengkung algebra [4]).

                                                    Harta am Edit

                                                    Mawar secara langsung berkaitan dengan sifat sinusoid yang menentukannya.

                                                    Kelopak Edit

                                                    • Graf mawar terdiri daripada kelopak. Kelopak adalah bentuk yang dibentuk oleh grafik setengah kitaran sinusoid yang menentukan mawar. (Kitaran adalah bahagian sinusoid yang satu tempoh T = 2 π / k < displaystyle T = 2 pi / k> panjang dan terdiri daripada separuh kitaran positif, set titik berterusan di mana r ≥ 0 < displaystyle r geq 0> dan T / 2 = π / k < displaystyle T / 2 = pi / k> panjang, dan separuh kitaran negatif adalah separuh yang lain di mana r ≤ 0 < displaystyle r leq 0>.)
                                                      • Bentuk setiap kelopak adalah sama kerana grafik separuh kitaran mempunyai bentuk yang sama. Bentuknya diberikan oleh separuh kitaran positif dengan puncak pada (a, 0) < displaystyle (a, 0)> yang ditentukan oleh r = a cos ⁡ (k θ) < displaystyle r = a cos (k theta )> (yang dibatasi oleh selang sudut - T / 4 ≤ θ ≤ T / 4 < displaystyle -T / 4 leq theta leq T / 4>). Kelopak simetri mengenai paksi kutub. Semua kelopak lain adalah putaran kelopak ini mengenai tiang, termasuk kelopak bunga mawar yang ditentukan oleh fungsi sinus dengan nilai yang sama untuk < displaystyle a> dan k < displaystyle k>. [5]
                                                      • Selaras dengan peraturan untuk memetakan titik dalam koordinat kutub, satu titik dalam kitaran separuh negatif tidak dapat diplot pada sudut kutubnya kerana koordinat radialnya r < displaystyle r> adalah negatif. Titik diplotkan dengan menambahkan radian π < displaystyle pi> ke sudut kutub dengan koordinat radial | r | < displaystyle | r |>. Oleh itu, separuh kitaran positif dan negatif dapat bertepatan dengan graf bunga mawar. Sebagai tambahan, bunga ros ditulis dalam lingkaran r = a < displaystyle r = a>.
                                                      • Apabila tempoh T < displaystyle T> dari sinusoid kurang dari atau sama dengan 4 π < displaystyle 4 pi>, bentuk kelopak adalah gelung tertutup tunggal. Gelung tunggal terbentuk kerana selang sudut untuk plot kutub adalah 2 π < displaystyle 2 pi> dan lebar sudut separuh kitaran kurang dari atau sama dengan 2 π < displaystyle 2 pi>. Apabila T & gt 4 π < displaystyle T & gt4 pi> (atau | k | & lt 1/2 < displaystyle | k | & lt1 / 2>) plot separuh kitaran dapat dilihat sebagai keluar dari tiang lebih banyak lagi daripada satu litar di sekitar tiang sehingga plot mencapai bulatan yang tertulis di mana ia berpusing kembali ke tiang, memotong dirinya sendiri dan membentuk satu atau lebih gelung di sepanjang jalan. Akibatnya, setiap kelopak membentuk 2 gelung apabila 4 π & lt T ≤ 8 π < displaystyle 4 pi & ltT leq 8 pi> (atau 1/4 ≤ | k | & lt 1/2 < displaystyle 1/4 leq | k | & lt1 / 2>), 3 gelung apabila 8 π & lt T ≤ 12 π < displaystyle 8 pi & ltT leq 12 pi> (atau 1/6 ≤ | k | & lt 1/4 < displaystyle 1/6 leq | k | & lt1 / 4>), dan lain-lain Mawar dengan hanya satu kelopak dengan beberapa gelung diperhatikan untuk k = 1/3, k = 1/5, k = 1/7, dll. < displaystyle k = 1/3, k = 1/5, k = 1/7, dll.> (Lihat gambar di bahagian pendahuluan.)
                                                      • Kelopak bunga mawar tidak akan saling bersilang apabila frekuensi sudut k < displaystyle k> adalah bilangan bulat bukan sifar sebaliknya, kelopak bersilang satu sama lain.

                                                      Suntingan Simetri

                                                      Semua mawar memaparkan satu atau lebih bentuk simetri kerana sifat simetri dan berkala sinusoid yang mendasari.


                                                      PRECALCULUS

                                                      Apakah nombor rasional? Nombor manakah yang mempunyai punca kuasa dua rasional? Perwakilan perpuluhan tidak rasional. Apakah nombor sebenar?

                                                      Apa itu fungsi? Domain dan julat.
                                                      Notasi fungsional. Hujahnya.
                                                      Suatu fungsi.

                                                      Graf fungsi. Pasangkan & oumlrdinate pasangan fungsi. Ketinggian lengkung pada x.

                                                      Fungsi berterusan. Fungsi identiti.
                                                      Fungsi nilai mutlak. Parabola.
                                                      Fungsi punca kuasa dua. Fungsi kubik.
                                                      Fungsi timbal balik.

                                                      Pemboleh ubah berbanding pemalar.
                                                      Definisi polinomial dalam x.
                                                      Tahap sebutan dan polinomial.
                                                      Pekali utama.
                                                      Bentuk umum polinomial.
                                                      Domain dan julat.

                                                      Persamaan polinomial. Akar polinomial.
                                                      Pintas x - dan y bagi graf.
                                                      Hubungan antara punca dan pintasan-x.

                                                      Definisi cerun. Cerun positif dan negatif. Garis lurus hanya mempunyai satu cerun.
                                                      "Lereng yang sama" dan "selari." Garis tegak lurus.
                                                      Cerun dan satu titik menentukan garis lurus.

                                                      Persamaan darjah pertama. Grafik persamaan darjah pertama: garis lurus.
                                                      Bentuk pintasan cerun, dan buktinya.

                                                      Persamaan kuadratik: Penyelesaian dengan pemfaktoran.
                                                      Akar berganda. Ketaksamaan kuadratik.
                                                      Jumlah dan produk akar.

                                                      Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan menyelesaikan segiempat sama. Formula kuadratik.

                                                      Teorema faktor. Teorem asas algebra. Teorema punca integer. Pasangan konjugasi.

                                                      Cengkung ke atas, cekung ke bawah.

                                                      Refleksi mengenai x -axis. Refleksi mengenai y -axis. Refleksi melalui asal.

                                                      Simetri berkenaan dengan y -axis. Simetri berkenaan dengan asal usul. Uji simetri.
                                                      Fungsi ganjil dan genap.

                                                      Definisi terjemahan.
                                                      Persamaan bulatan.
                                                      Bucu parabola.
                                                      Peregangan menegak dan mengecil.

                                                      Keunikan. Fungsi timbal balik.
                                                      Asimptot mendatar dan menegak.

                                                      Definisi songsang. Membina songsang.
                                                      Graf fungsi terbalik.

                                                      Sistem logaritma biasa.
                                                      Sistem logaritma semula jadi.
                                                      Ketiga undang-undang logaritma.
                                                      Perubahan asas.

                                                      Hubungan songsang.
                                                      Persamaan eksponen dan logaritma.
                                                      Membuat satu logaritma dari jumlah.

                                                      Prinsip Asas Mengira.
                                                      Perwakilan faktorial.
                                                      Sebaran binomial.


                                                      Set Kerja Rumah VIIIa (3 / 12,15)

                                                      Untuk Jumaat. 3/18: Baca Bahagian 3.3. (Ini tidak akan diuji. Kami akan membincangkan grafik yang tidak terbatas, hanya untuk melihat perbezaan yang pelik.)

                                                      Topik tambahan untuk Jumaat. 3/18: Graf garis. (Ini tidak ada dalam buku ini. Ini tidak akan ada pada Ujian II tetapi mungkin akan ada pada Ujian III.)

                                                      Set Masalah H

                                                      H1. (a) Cari graf E yang mempunyai litar Eulerian tetapi tidak ada kitaran Hamilton.
                                                      (b) Cari graf H yang mempunyai kitaran Hamilton tetapi tidak ada litar Eulerian.

                                                      H2. Hasilkan penguraian Rajah 3.2.8 menjadi dua faktor 2, menggunakan kaedah bukti Teorem 3.1.4.

                                                      H3. Buktikan bahawa Khlm boleh diuraikan menjadi jalur p - 1 P1, P2,. Pp-1 untuk semua nilai p, bukan sahaja nilai genap yang diterapkan Teorem 2.3.4.

                                                      H4. Bagi pelajar yang bercita-cita tinggi, buktikan dengan teliti:
                                                      Lemma H4. Dalam pseudograph G, jika ada jejak dengan titik akhir a dan b, maka ada jalan dengan titik akhir a dan b.

                                                      1. graf Petersen, Rajah 1.1.13,
                                                      2. grafik icosahedral I dalam Rajah 1.2.5,
                                                      3. Rajah 2.3.4,
                                                      4. graf Tutte, Rajah 2.3.5.
                                                      1. graf Petersen, Rajah 1.1.13,
                                                      2. Rajah 2.3.6,
                                                      3. Rajah 2.3.7,
                                                      4. graf Gr & oumltzsch, Rajah 2.1.6.

                                                      H7. (Pilihan: masalah penyelidikan.) Kami tahu beberapa graf kubik dapat diuraikan menjadi P3 subgraf (mis., Rajah 2.4.1-2), dan beberapa tidak boleh (mis., Gambar 2.2.6). Contohnya (Rajah 2.2.6) mempunyai jambatan, sebenarnya ia mempunyai tiga. Mesti setiap contoh mempunyai jambatan? Maksudnya, bolehkah kita katakan bahawa setiap graf kubik yang bersambung dan tidak mempunyai jambatan dapat diuraikan menjadi P3 subgraf?

                                                      Set Kerja Rumah IX dan Set Masalah I (3/30)

                                                      Untuk Jumaat. 4/1: Baca selebaran pada grafik automorisme (Aut) dan grafik garis (LG).

                                                      Untuk Isnin. 4/4: Baca Seksyen. 4.1 dan 4.2.

                                                      Lakukan untuk perbincangan Sel. 4/5:
                                                      ## LG.2, LG.3, LG.4 ## Aut.1, Aut.2.
                                                      Sekte. 4.1, ## 1, 2, 4, 6.
                                                      Sekte. 4.2, ## 2 (a), 3.
                                                      # I1 (a).

                                                      Lakukan untuk perbincangan Rabu. 4/6:
                                                      # LG.9 # Aut.4.
                                                      Sekte. 4.1, ## 7, 8.
                                                      Sekte. 4.2, ## 2 (b), 4, 6.
                                                      # I2 (a).

                                                      Hantar Jumat 4/8:
                                                      ## LG.7, LG.10 # Aut.5.
                                                      Sekte. 4.1, ## 3, 5.
                                                      Sekte. 4.2, ## 1, 2 (c).
                                                      ## I1 (b), I2 (b) (I2 (b) ditunda ke HW X).

                                                      Masalah Set I

                                                      I1. Soalan ini berkaitan dengan bukti Teorem 4.1.2 * (iaitu, kes asas k = 2 Teorema Turan). Anda diberi graf "permulaan" bukti, yang tidak mempunyai segitiga.
                                                      (i) Bina graf H baru dalam bukti Teorem 4.1.2 *. Apakah x dan W anda?
                                                      (ii) Bandingkan darjah bucu di G dan H.
                                                      (iii) Bandingkan qG dan qH. Mana yang lebih besar? Mengapa begitu penting untuk bukti teorema?
                                                      (iv) Bandingkan H dengan graf bebas segitiga terbesar pada bilangan bucu yang sama. Bagaimana mereka serupa?

                                                      (a) Untuk G = Ga, graf Petersen dengan satu bucu dihapuskan. (Lihat di bawah.)
                                                      (b) Untuk G = G7, ditunjukkan di bawah.

                                                      I2. The uniqueness of the maximum graph in Theorems 4.1.2* and 4.1.2 is not proved in the book.
                                                      (a) Prove uniqueness in Theorem 4.1.2*.
                                                      (b) Prove uniqueness in Theorem 4.1.2.

                                                      Homework Set X (4/5, 8)

                                                      Read Sect. 8.1 and Sect. 9.1. The proof of Theorem 9.1.7 is optional. The most interesting thing about the proof of Theorem 9.1.6 is that it uses Turán's Theorem!

                                                      Do for discussion Tues. 4/12:
                                                      Sect. 8.1, ## 1-5, 7, 10.
                                                      ## J1, J6.

                                                      Do for discussion Wed. 4/13:
                                                      Sect. 8.1, ## 8, 9, 12, 13.
                                                      Sect. 9.1, ## 3, 4, 8, 12, 13.
                                                      ## J3, J4(a, c, d).

                                                      Hand in Fri. 4/15:
                                                      Sect. 8.1, ## 6, 11.
                                                      Sect. 9.1, # 1, 7, 11.
                                                      ## J2, J4(b, e), J5.
                                                      ## Aut.6, LG.6.
                                                      # I2(b) (postponed from HW IX).

                                                      If you didn't already give them to me, HAND IN PROBLEMS
                                                      I2(b), Aut.6, LG.6
                                                      by Thurs. 4/28, 5:00, at latest.
                                                      I will return the graded problems on Friday. (Leave them in my mailbox in the math office or under my door.)

                                                      Definitions and Corrections

                                                      • In Sect. 9.1, p. 180 and Exercise 9.1.11: Kuratowski's Theorem means the combination of Theorems 9.1.1 and 9.1.2 (although 9.1.1 is relatively easy and is not the part he's famous for).
                                                      • In Sect. 9.1, p. 180: A simple drawing must also satisfy
                                                        d) no edge passes through any vertex.

                                                      Problem Set J

                                                      J1. Let G be the Grötzsch graph (Fig. 2.1.6).
                                                      (a) Prove &chi(G) = 4.
                                                      (b) Is G critical?

                                                      J2. Find &chi'(Z) where Z is the graph of Fig. 2.3.1.

                                                      J3. Show that the graph of Fig. 9.1.16 is nonplanar.

                                                      J4. Planar or nonplanar? Prove it!
                                                      (a) Fig. 9.1.19.
                                                      (b) Fig. 9.1.18.
                                                      (c) Fig. 9.1.17.
                                                      (d) Fig. 9.2.1, left.
                                                      (e) Fig. 9.2.1, right.

                                                      J5. Prove that K3,3 is the unique 4-cage.

                                                      J6. Compare the lower bound p(g) on the order of a g-cage (Theorem 4.2.A) to the actual order of every known g-cage given in the book. Which cages have order equal to p(g)? Which have order greater than p(g)? What does it mean when a g-cage has order > p(g)?

                                                      Homework Set XI (4/15)

                                                      Read for Tues. 4/19: Sects. 8.2 and 8.3. (This is a lot for me to discuss on 4/15. Study carefully and come in Tuesday with many questions.)

                                                      Do for discussion Tues. 4/26:
                                                      Sect. 8.2, ## 3, 4.
                                                      Sect. 8.3, ## 2, 3.
                                                      Sect. 9.1, ## 5, 6, 14.
                                                      ## K1, K3(a).

                                                      Do for discussion Wed. 4/27:
                                                      Sect. 8.3, ## 4, 7.
                                                      ## K2(a,b), K3(b), K4.

                                                      Hand in Fri. 4/29:
                                                      Sect. 9.1, # 15.
                                                      Sect. 8.2, ## 5, 6.
                                                      ## K2(c), K3(c), Aut.9.

                                                      Definitions and Corrections

                                                      • Exercise 8.2.6: Assume G is connected. [My mistake. More interesting if not.]
                                                      • Definition for Exercise 8.3.7: A plane triangulation is a plane graph in which every region is a triangle.

                                                      TEST III will be on Tuesday, May 3.

                                                      Problem Set K

                                                      K1. Prove that cr(P) &ge 2, where P is the Petersen graph.

                                                      K2. (a) Prove that, if p &ge 11, then Khlm has no decomposition into two planar graphs.
                                                      (b) Can K8 be decomposed into two planar graphs?
                                                      (c) Prove: if p &ge 17, then Khlm cannot be decomposed into three planar graphs.

                                                      K3. Do both (i) and (ii) for
                                                      (a) Fig. 2.3.6.
                                                      (b) Fig. 4.2.4.
                                                      (c) Fig. 1.3.3.

                                                      (ii) Find the crossing number. If you can't calculate it exactly, find out as much as you can about it. For instance, is it = 0 or > 0? Is it = 1? = 2? &ge 2? &ge 3? Can you find any upper bound?

                                                      K4. Write a complete proof of the 6-Color Theorem: Every planar graph can be colored in 6 colors. (Hint: Try induction on the number of vertices.)

                                                      Homework Set XII (5/3, 9)

                                                      Read for Wed. 5/4 and Fri. 5/6: Sects. 8.4, 9.2.

                                                      Do for discussion Mon. 5/9:
                                                      Sect. 8.4, ## 1, 2, 4, 7.
                                                      Sect. 9.2, ## 2, 3.
                                                      ## L2(a), L3(a), L6.

                                                      Do for discussion Tues. 5/10:
                                                      Sect. 8.4, ## 5, 8, 9.
                                                      Sect. 9.2, ## 6, 7.
                                                      ## L5, L8.

                                                      Hand in Wed. 5/11:
                                                      Sect. 8.4, ## 3, 6, 11.
                                                      Sect. 9.2, # 4.
                                                      ## L1, L1', L2(b), L3(b-d), L7, L9.
                                                      Hint for L1': Study the second proof of Theorem 9.1.4.
                                                      NOTE: There are really too many hand-in problems. The more important ones are 9.2.4, L1, L1', L2(b), L3(b), L7.

                                                      Definitions and Corrections

                                                      • Exercise 8.4.9 should read: Find the smallest graph that is planar and regular of degree 3 and has a plane drawing where every edge has the same geometric length.
                                                      • See the announcements page for more.

                                                      Problem Set L

                                                      We define the girth of a forest (such as a tree) to be infinity. Then the girth of a graph is always &ge 3.

                                                      L1.
                                                      (a) Prove Theorem G. If G is a planar graph and has girth &ge g, and if p &ge 3, then q &le [g/(g-2)](p-2).
                                                      (b) [ADDED 5/9] What does this say if g = 3?
                                                      (c) [ADDED 5/9] What does this say if G is bipartite?

                                                      L1'. [ADDED 5/9]
                                                      (a) Prove Theorem CR. If G is a graph (not necessarily planar) and has girth &ge g, and if p &ge 3, then cr(G) &ge q - [g/(g-2)](p-2).
                                                      (b) What does this say if g = 3?
                                                      (c) What does this say if G is bipartite?

                                                      L1'' [ADDED 5/11] (This was proved in class, I think. I did prove the case g = 3 in class on 5/6. Feel free to use this theorem if it helps you.)
                                                      Theorem SPL. If G is a graph (not necessarily planar) and has girth &ge g, and if p &ge 3, then &sigma(G) &ge [(g-2]/g] q - (p-2).

                                                      L2. Use Theorem G to solve:
                                                      (a) Find cr(P), P = Petersen graph.
                                                      (b) Find cr(H), H = Heawood graph (Fig. 4.2.4).

                                                      L3. Use Theorem G to do (a, b, d).
                                                      (a) Prove: A cubic graph with girth g = 6 cannot be planar.
                                                      (b) Prove: A cubic graph with g &ge 6 cannot be planar.
                                                      (c) Can a cubic graph with g = 5 be planar?
                                                      (d) Find a lower bound on cr(G) when G is cubic and has girth 6.

                                                      L4. Prove that cr(K6 - edge) = 2.

                                                      L5. Find &theta(P), where P is the Petersen graph.

                                                      L6. Prove that &theta(Kn) &ge ceiling[(n+2)/6] for all n &ge 1.

                                                      L7. Let c(G) = the number of cycles in the graph G.
                                                      (a) Prove Theorem M: If c(G) < min(c(K5), c(K3,3)), then G is planar. (Hint: Use Kuratowski's theorem.)
                                                      (b) Evaluate the minimum in Theorem M.
                                                      (c) Use (b) to solve Exercise 8.1.3. (If you didn't solve (b), just prove the minimum in (b) is > 3 that should be enough for Exercise 8.1.3.)

                                                      L8. Let H = Heawood graph, Fig. 4.2.4.
                                                      (a) Prove &sigma(H) &ge 2. (Hint: One way is to use Theorem G.)
                                                      (b) We know &sigma(H) &le 3. Decide whether &sigma(H) = 2 or 3.

                                                      L9. Prove &sigma(P) &ge 2, where P = Petersen graph. (Thus &sigma(P) = 2, by Exercise 9.3.4.)

                                                      Homework Set XIII (5/11)

                                                      For Wed.-Fri. 5/11-23: Read Sect. 9.3 (a continuation of splitting number, in the dual graph) and Sect. 10.3, pp. 225-227, pp. 228(bottom)-229, Theorem 10.3.3.

                                                      Do for discussion Wed. 5/11:
                                                      # M1.

                                                      Do for discussion Fri. 5/13:
                                                      Review problems:
                                                      Sect. 9.3, ## 2-5.
                                                      Sect. 10.3, # 1.
                                                      New material (graphs in surfaces):
                                                      Sect. 10.3, ## 7, 9.
                                                      # M2, M3 (at your discretion I tend to prefer M3).

                                                      Terminology

                                                      • "Embedding" a graph is the technical term for drawing it without crossings or any other self-intersection.
                                                      • In Sect. 10.3 they often say "circuit of a rotation". What they mean is a region of an embedding of the graph in a surface. "Rotations" are a technical tool that I will avoid. I'll explain this in class.
                                                      • See the announcements page for the Euler formulas for graphs embedded in multiple tori.
                                                      • Here are pages with diagrams for T1 (the torus) and T2 (the double torus), or both T1 and T2, that you can use for drawing graphs.

                                                      Problem Set M

                                                      Problem M1 is basic. The others are for those who enjoy embedding graphs on surfaces (as I do it's recreational math).

                                                      M1. Try to embed non-planar complete graphs in the torus. Start with K5 (naturally), and if you succeed, try K6 and then K7 and then .

                                                      M2. The same as # M1, for the double torus.
                                                      Use theorems in Section 10.3 to decide where to stop embedding in the double torus.

                                                      M3. Try to embed non-planar complete bipartite graphs in the torus. Start with K3,3 (naturally), and if you succeed, try K3,4 and then K3,5 and K4,4 &ndash and then (we're getting into summer plans here) .
                                                      Use theorems in Section 10.3 to decide where to stop embedding in the torus. Go to homework index | announcements | course information | syllabus.


                                                      THE EQUATION AND GRAPH OF A STRAIGHT LINE

                                                      That is called an equation of the first degree . It is called that because the highest exponent is 1.

                                                      A solution to that equation will be any values of x and y that will make the equation -- that statement -- true.

                                                      To find a solution, simply let x have any value you please. The equation will then determine the value of y .

                                                      For example, if we let x = 0, then

                                                      The pair (0, 6) solves that equation.

                                                      Or, if we choose x = 3, then

                                                      The pair (3, 12) also solves that equation. In fact, when there are two unknowns, x and y , but only one equation that relates them, then there is no limit to the number of solutions.

                                                      Since we typically first choose the value of x , we call x the independent variable . y will be the dependent variable, because its value will depend on the value we have chosen for x .

                                                      Problem 1. Find three solutions to the first degree equation y = x + 5.

                                                      To see the answer, pass your mouse over the colored area.
                                                      To cover the answer again, click "Refresh" ("Reload").
                                                      Do the problem yourself first!

                                                      Problem 2. Which of the following ordered pairs solve this equation:

                                                      (0, &minus4) and (1, &minus1). Because when x and y have those values, the equation is true.

                                                      The graph of a first degree equation

                                                      Since there are two variables, x and y , then will it be possible, on the x-y plane, to draw a "picture" of all the solutions to that equation?

                                                      First, to find a few solutions, complete this table. That is, calculate the value of y that corresponds to each value of x :

                                                      x y = 2 x + 1
                                                      0 1
                                                      1 3
                                                      2 5
                                                      &minus1 &minus1

                                                      Now plot those ordered pairs as coördinates on the plane:

                                                      We see that all those solutions lie on a straight line. In fact, every pair ( x , y ) that solves that equation will be the coördinates of a point on that line. On that line, every coördinate pair is

                                                      That line, therefore, is called the graph of the equation y = 2 x + 1. And y = 2 x + 1 is called the equation of that line.

                                                      The graph of an equation, in other words, is the graph of its solutions. It is the picture of those values of ( x , y ) that make the equation -- that statement -- true.

                                                      Every first degree equation -- where 1 is the highest exponent -- has as its graph a straight line. (We prove that in Topics in Precalculus .)
                                                      For that reason, an equation of the first degree is called a linear equation.

                                                      a) An equation of the form y = ax + b has what graph?

                                                      A straight line. This is a linear equation.

                                                      b) An equation of the form A x + B y + C = 0 has what graph?

                                                      A straight line. This is a linear equation. The capital letters are a convention for indicating integer coefficients.

                                                      Problem 4. What characterizes a linear equation?

                                                      1 is the highest exponent.

                                                      Problem 5. Which of the following are linear equations?

                                                      a) y = 4 x &minus 5 b) 2 x &minus 3 y + 8 = 0 c) y = x ² &minus 2 x + 1
                                                      d) 3 x + 1 = 0 e) y = 6 x + x 3 f) y = 2

                                                      Problem 6.

                                                      a) Name the coördinates of any three points on the line whose equation is

                                                      (Choose any number for x the equation will then determine the value of y .)

                                                      a) Which of these ordered pairs solves the equation y = 5 x &minus 6 ?

                                                      (You have to test each pair.)

                                                      b) Which of those are points on the graph of y = 5 x &minus 6 ?

                                                      a) (&minus2, &minus3) is on the line whose equation is x + y = 5.

                                                      b) (2, 3) is on the line whose equation is x + y = 5.

                                                      A constant is a symbol whose value does not change. The symbols 2, 5, , are constants.

                                                      The beginning letters of the alphabet a, b, c , are typically used as arbitrary constants , to which numerical values may be assigned while the letters x , y , z , are typically used to denote variables. For example, if we write

                                                      we mean that a , b , c are numbers, and that x and y are variables.

                                                      Problem 9. The arbitrary constants a and b . Each of the following has the form y = ax + b . What number is a and what number is b ?

                                                      a) y = 2 x + 3. a = 2, b = 3. b) y = x &minus 4. a = 1, b = &minus4.
                                                      c) y = &minus x + 1. a = &minus1, b = 1. d) y = 5 x . a = 5, b = 0.
                                                      e) y = &minus2. a = 0, b = &minus2. f) y = &minus4 x &minus 5. a = &minus4, b = &minus5.

                                                      Please make a donation to keep TheMathPage online.
                                                      Even $1 will help.


                                                      Contohnya

                                                      In the following example, graph-I has two edges 'cd' and 'bd'. Its complement graph-II has four edges.

                                                      Note that the edges in graph-I are not present in graph-II and vice versa. Hence, the combination of both the graphs gives a complete graph of 'n' vertices.

                                                      Nota &minus A combination of two complementary graphs gives a complete graph.

                                                      If 'G' is any simple graph, then

                                                      |E(G)| + |E(' G - ')| = |E(Kn)|, where n = number of vertices in the graph.


                                                      1.6: Graphs of Functions - Mathematics

                                                      If you like this Site about Solving Math Problems, please let Google know by clicking the +1 butang. If you like this Page, please click that +1 button, too.

                                                      Nota: If a +1 button is dark blue, you have already +1'd it. Thank you for your support!

                                                      (If you are not logged into your Google account (ex., gMail, Docs), a login window opens when you click on +1 . Logging in registers your "vote" with Google. Thank you!)

                                                      Nota: Not all browsers show the +1 butang.

                                                      Laman Utama

                                                      Site Map

                                                      Search This Site

                                                      Free Math Help

                                                      Math Symbols (all)

                                                      Operations Symbols

                                                      Relation Symbols

                                                      • Proportional To
                                                      • Nisbah
                                                      • Equal Sign
                                                      • Not Equal
                                                      • Not Equal to
                                                      • Greater Than
                                                      • Less Than
                                                      • Much Greater Than
                                                      • Much Less Than
                                                      • Greater Than or Equal
                                                      • Less Than or Equal to
                                                      • Approximately Equal
                                                      • Similar To
                                                      • Congruent

                                                      Grouping Symbols

                                                      Set Notation Symbols

                                                      • Set Braces
                                                      • Null Set
                                                      • Element of a Set
                                                      • NOT Element of a Set
                                                      • "Proper" Subset (left) - 1st format
                                                      • NOT Proper Subset (left)
                                                      • "Proper" or "Improper" Subset (left)
                                                      • "Proper" Subset (left) - 2nd format
                                                      • "Proper" Subset (right) - 1st format
                                                      • "Proper" or "Improper" Subset (right)
                                                      • "Proper" Subset (right) - 2nd format
                                                      • UNION of Two Sets
                                                      • INTERSECTION of Two Sets
                                                      • Specialized Set Notations

                                                      Miscellaneous Symbols

                                                      Calculators

                                                      Math & Numbers

                                                      • Overview of Real Numbers
                                                      • Comparing Two Integers on a Number Line
                                                      • Comparing Two Decimals on a Number Line
                                                      • Comparing Two Fractions on a Number Line
                                                      • Comparing Two Fractions Without Using a Number Line
                                                      • Comparing Two Numbers using Percents
                                                      • Comparing Two Different Units of Measurement
                                                      • Comparing Numbers which have a Margin of Error
                                                      • Comparing Numbers which have Rounding Errors
                                                      • Comparing Numbers from Different Time Periods
                                                      • Comparing Numbers computed with Different Methodologies

                                                      Properties of Numbers

                                                      • Associative Property
                                                      • Commutative Property
                                                      • Distributive Property
                                                      • Identity Property
                                                      • Inverse Property
                                                      • Closure & Density Property
                                                      • Equivalence Relationships
                                                      • Equivalence Properties
                                                      • Equivalence Examples
                                                      • Trichotomy Property of Inequality
                                                      • Transitive Property of Inequality
                                                      • Reversal Property of Inequality
                                                      • Additive Property of Inequality
                                                      • Multiplicative Property of Inequality
                                                      • Exponents and Roots Properties of Inequality

                                                      Exponents, Radicals, & Roots

                                                      • Raising numbers to a Power
                                                      • Multiplying Numbers With Exponents
                                                      • Dividing Numbers With Exponents
                                                      • Distributive Property of Exponents
                                                      • Negative Exponents
                                                      • Zero Exponent
                                                      • Exponent Videos & Free Resources
                                                      • Adding & Subtracting Radicals
                                                      • Multiplying Radicals
                                                      • Dividing Radicals
                                                      • Rationalize the Denominator
                                                      • Fractional Exponents & Radicals
                                                      • Simplifying Radicals
                                                      • Calculate Square Root Without Using a Calculator
                                                      • Calculate Roots Using Equations
                                                      • Radical Videos & Free Resources

                                                      Privacy Policy

                                                       Example Problems  -  Geometric      Sequence

                                                       Example Problems  -  Arithmetic      Sequence

                                                       Example Problems  -  Rationalize the      Denominator

                                                       Example Problems  -  Quadratic      Equations

                                                       Example Problems  -  Work Rate      Problems

                                                       Example Problems  -  statistics      

                                                      +1 Solving-Math-Problems

                                                      If you like this Site about Solving Math Problems, please let Google know by clicking the +1 butang. If you like this Page, please click that +1 button, too.

                                                      Nota: If a +1 button is dark blue, you have already +1'd it. Thank you for your support!

                                                      (If you are not logged into your Google account (ex., gMail, Docs), a login window opens when you click on +1 . Logging in registers your "vote" with Google. Thank you!)

                                                      Nota: Not all browsers show the +1 butang.


                                                      SOLUTION: f(x) and g(x) and (f of g) functions just confuse me. Please help me solve this equation: Given the functions f(x)=2x/x-3 and g(x)=x-2 find a formula, in simplest form, for (f o g


                                                      It means first find the value of g(x), then plug that as the variable into f(x).


                                                      That's the only value given for g(x), in other words there's no x to plug into g(x) to spit out a number. So substitute x-2 into f(x).

                                                      If you need help understanding math so you can solve these problems yourself, then one on one online tutoring is the answer ($30/hr). If you need faster solutions with guaranteed detailed answers, then go with personal problem solving ($3.50-$5.50 per problem). Contact me at [email protected]

                                                      You can put this solution on YOUR website!
                                                      f(x) and g(x) and (f of g) functions just confuse me.
                                                      Please help me solve this equation: Given the functions f(x)=(2x)/(x-3)
                                                      and g(x)=x-2 find a formula, in simplest form, for f०g(x).
                                                      f(x)=2x/(x-3) and g(x)=x-2 find a formula, in simplest form, for (f०g)(x).


                                                      Centimeter Graph Paper, Set Four

                                                      Three styles of the centimeter graph paper are shown in the image below.

                                                      1. Centimeter Graph Paper
                                                      2. Divided Centimeter Graph Paper with mm tic-marks - The centimeter cell is divided and the dividing line, which is at the 5mm mark, has mm hatch marks. The hatch marks are called Tic-Marks in the image
                                                      3. Centimeter Graph Paper with mm lines - Centimeter graph paper that is divided with light gray millimeter lines. This paper has a light gray appearance when printed, see image below.

                                                      Furthermore, each style of centimeter graph paper has one of these features -

                                                      1. No Numbers
                                                      2. Numbered Lines (numbered lines are pictured in the image above)
                                                      3. Numbered Cells

                                                      All styles feature a black line at the 5th centimeter in each direction. Each centimeter graph paper in this group has a 17cm x 24cm grid.


                                                      Tonton videonya: #T5C2. TINGKATAN 5: GRAF FUNGSI (Oktober 2021).