Artikel

4.4: Had Tidak Terbatas. Operasi dalam E * - Matematik


Seperti yang telah kita maklum, Teorema 1 dari §3 tidak berlaku untuk had yang tidak terbatas, walaupun nilai fungsi (f (x), g (x), h (x) ) tetap terbatas (iaitu, (dalam E ^ {1}). ) Hanya dalam kes tertentu (dinyatakan di bawah) kita dapat membuktikan beberapa analog.

Terdapat sebilangan kes yang berasingan. Oleh itu, untuk jangka masa pendek, kita akan menggunakan sejenis singkatan matematik. Huruf (q ) tidak semestinya menunjukkan pemalar; ia akan bermaksud

[ text {"a function} f: A rightarrow E ^ {1}, A subseteq (S, rho), text {sedemikian rupa} f (x) rightarrow q in E ^ {1} text {as} x panah kanan p. teks {"} ]

Begitu juga, "0" dan " ( pm infty )" akan mewakili ungkapan yang serupa, dengan (q ) digantikan oleh 0 dan ( pm infty, ) masing-masing.

Contohnya, "formula pendek" ((+ infty) + (+ infty) = + infty ) bermaksud

[ text {"Jumlah dua fungsi nyata, dengan had} + infty text {at} p text {} (p in S), text {itu sendiri fungsi dengan had} + infty teks {at} p. teks {"} ]

Titik (p ) tetap, mungkin ( pm infty kiri ( text {if} A subseteq E ^ {*} kanan). ) Dengan notasi ini, kita mempunyai teorema berikut.

Teorema

1. (( pm infty) + ( pm infty) = pm infty ).

2. (( pm infty) + q = q + ( pm infty) = pm infty ).

3. (( pm infty) cdot ( pm infty) = + infty ).

4. (( pm infty) cdot ( mp infty) = - infty ).

5. (| pm infty | = + infty ).

6. (( pm infty) cdot q = q cdot ( pm infty) = pm infty ) jika (q> 0 ).

7. (( pm infty) cdot q = q cdot ( pm infty) = mp infty ) jika (q <0 ).

8. (- ( pm infty) = mp infty ).

9. ( frac {( pm infty)} {q} = ( pm infty) cdot frac {1} {q} ) jika (q neq 0 ).

10. ( frac {q} {( pm infty)} = 0 ).

11. ((+ infty) ^ {+ infty} = + infty ).

12. ((+ infty) ^ {- infty} = 0 ).

13. ((+ infty) ^ {q} = + infty ) jika (q> 0 ).

14. ((+ infty) ^ {q} = 0 ) jika (q <0 ).

15. Sekiranya (q> 1, ) maka (q ^ {+ infty} = + infty ) dan (q ^ {- infty} = 0 ).

16. Sekiranya (0

Bukti

Kami membuktikan Teorema 1 dan 2, menjadikan yang lain sebagai masalah. (Teorema 11-16 ditangguhkan paling baik sehingga teori logaritma dikembangkan.)

1. Biarkan (f (x) ) dan (g (x) rightarrow + infty ) sebagai (x rightarrow p. ) Kita harus menunjukkan bahawa

[f (x) + g (x) kanan bawah + infty, ]

iaitu, itu

[ kiri ( forall b in E ^ {1} kanan) ( ada delta> 0) kiri ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) kanan) quad f (x) + g (x)> b ]

(kita mungkin menganggap (b> 0). ) Oleh itu perbaiki (b> 0. ) Seperti (f (x) ) dan (g (x) kanan bawah + infty, ) terdapat ( delta ^ { prime}, delta ^ { prime prime}> 0 ) sedemikian rupa

[ kiri ( forall x in A cap G _ { neg p} kiri ( delta ^ { prime} kanan) kanan) f (x)> b teks {dan} kiri ( forall x in A cap G _ { neg p} kiri ( delta ^ { prime prime} kanan) kanan) g (x)> b. ]

Mari ( delta = min kiri ( delta ^ { prime}, delta ^ { prime prime} kanan). ) Kemudian

[ kiri ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) kanan) quad f (x) + g (x)> b + b> b, ]

seperti yang dikehendaki; sama untuk kes (- infty ).

2. Biarkan (f (x) rightarrow + infty ) dan (g (x) rightarrow q in E ^ {1}. ) Kemudian ada ( delta ^ { prime}> 0 ) sedemikian rupa sehingga (x ) di (A cap G _ { neg p} kiri ( delta ^ { prime} kanan), | qg (x) | <1, ) sehingga ( g (x)> q-1 ).

Juga, jika ada (b di E ^ {1}, ) terdapat ( delta ^ { prime prime} ) sehingga

[ kiri ( forall x in A cap G _ {- p} kiri ( delta ^ { prime prime} kanan) kanan) quad f (x)> b-q + 1. ]

Mari ( delta = min kiri ( delta ^ { prime}, delta ^ { prime prime} kanan). ) Kemudian

[ kiri ( forall x in A cap G _ { neg p} ( delta) kanan) quad f (x) + g (x)> (b-q + 1) + (q-1 ) = b, ]

seperti yang dikehendaki; sama untuk kes (f (x) rightarrow- infty ).

Awas: Tidak ada teorema seperti ini untuk kes-kes berikut (yang oleh itu disebut ungkapan tidak tentu):

[(+ infty) + (- infty), quad ( pm infty) cdot 0, quad frac { pm infty} { pm infty}, quad frac {0} {0}, quad ( pm infty) ^ {0}, quad 0 ^ {0}, quad 1 ^ { pm infty}. ]

Dalam kes-kes ini, tidak cukup hanya mengetahui batas-batas (f ) dan (g. ) Adalah perlu untuk menyiasat fungsi itu sendiri untuk memberikan jawapan yang pasti, kerana dalam setiap kes jawapannya mungkin berbeda, bergantung pada sifat (f ) dan (g. ) Ungkapan (1 *) tetap tidak tentu walaupun kita menganggap jenis fungsi yang paling sederhana, iaitu urutan, seperti yang kita tunjukkan seterusnya.

Contoh

(a) Biarkan

[u_ {m} = 2 m teks {dan} v_ {m} = - m. ]

(Ini sesuai dengan (f (x) = 2 x ) dan (g (x) = - x.) ) Kemudian, seperti yang mudah dilihat,

[u_ {m} rightarrow + infty, v_ {m} rightarrow- infty, text {dan} u_ {m} + v_ {m} = 2 m-m = m rightarrow + infty. ]

Namun, jika kita mengambil (x_ {m} = 2 m ) dan (y_ {m} = - 2 m, ) maka

[x_ {m} + y_ {m} = 2 m-2 m = 0; ]

oleh itu (x_ {m} + y_ {m} ) adalah tetap, dengan had 0 (untuk had fungsi malar sama dengan nilainya; lihat §1, Contoh (a)).

Seterusnya, biarkan

[u_ {m} = 2 m teks {dan} z_ {m} = - 2 m + (- 1) ^ {m}. ]

Sekali lagi

[u_ {m} rightarrow + infty text {dan} z_ {m} rightarrow- infty, text {but} u_ {m} + z_ {m} = (- 1) ^ {m}; ]

(u_ {m} + z_ {m} ) "berayun" dari (- 1 ) hingga 1 sebagai (m rightarrow + infty, ) sehingga tidak ada had sama sekali.

Contoh-contoh ini menunjukkan bahawa ((+ infty) + (- infty) ) memang merupakan ungkapan tidak tentu kerana jawapannya bergantung pada sifat fungsi yang terlibat. Tidak ada jawapan umum.

(b) Kami sekarang menunjukkan bahawa (1 ^ {+ infty} ) tidak tentu arah.

Ambil pemalar pertama ( kiri {x_ {m} kanan }, x_ {m} = 1, ) dan biarkan (y_ {m} = m. ) Kemudian

[x_ {m} kanan bawah 1, y_ {m} kanan bawah + infty, teks {dan} x_ {m} ^ {y_ {m}} = 1 ^ {m} = 1 = x_ {m} kanan 1. ]

Jika, bagaimanapun, (x_ {m} = 1 + frac {1} {m} ) dan (y_ {m} = m, ) sekali lagi (y_ {m} kananarrow + infty ) dan (x_ {m} kanan bawah 1 ) (oleh Teorema 10 di atas dan Teorema 1 Bab 3, §15), tetapi

[x_ {m} ^ {y_ {m}} = kiri (1+ frac {1} {m} kanan) ^ {m} ]

tidak cenderung (1; ) cenderung (e> 2, ) seperti yang ditunjukkan dalam Bab 3, §15. Oleh itu, hasilnya bergantung pada ( kiri {x_ {m} kanan } ) dan ( kiri {y_ {m} kanan }. )

Dengan cara yang serupa, seseorang menunjukkan bahawa kes lain (1 *) tidak tentu arah.

Catatan 1. Selalunya berguna untuk memperkenalkan konvensyen "singkatan" tambahan. Oleh itu simbol ( infty ) (infiniti tidak bertanda) mungkin menunjukkan fungsi (f ) sedemikian rupa sehingga

[| f (x) | rightarrow + infty text {as} x rightarrow p; ]

kami kemudian juga menulis (f (x) rightarrow infty. ) Simbol (0 ^ {+} ) (masing-masing, (0 ^ {-}) ) menunjukkan fungsi (f ) seperti itu

[f (x) kanan bawah 0 teks {as} x anak panah kanan p ]

dan, lebih-lebih lagi

[f (x)> 0 text {} (f (x) <0, text {masing-masing}) teks {pada beberapa} G _ { neg p} ( delta). ]

Kami kemudian mempunyai formula tambahan berikut:

(i) ( frac {( pm infty)} {0 ^ {+}} = pm infty, frac {( pm infty)} {0 ^ {-}} = mp infty ).

(ii) Jika (q> 0, ) maka ( frac {q} {0 ^ {+}} = + infty ) dan ( frac {q} {0 ^ {-}} = - infty ).

(iii) ( frac { infty} {0} = infty ).

(iv) ( frac {q} { infty} = 0 ).

Buktinya diserahkan kepada pembaca.

Catatan 2. Semua formula dan teorema ini juga mempunyai had relatif.

Sejauh ini, kami tidak menentukan operasi aritmetik di (E ^ {*}. ) Untuk mengisi jurang ini (sekurang-kurangnya sebahagian), kami akan memperlakukan Teorema 1-16 di atas bukan hanya sebagai pernyataan had tertentu (dalam "singkatan" ) tetapi juga sebagai definisi operasi tertentu di (E ^ {*}. ) Contohnya, formula ((+ infty) + (+ infty) = + infty ) akan dianggap sebagai definisi jumlah sebenar (+ infty ) dan (+ infty ) di (E ^ {*}, ) dengan (+ infty ) menganggap masa ini sebagai unsur (E ^ { *} ) (bukan sebagai fungsi). Konvensyen ini menentukan operasi aritmetik untuk kes tertentu sahaja; yang tidak tentu ungkapan (1 *) tetap tidak ditentukan, kecuali jika kami memutuskan untuk memberikan beberapa makna kepada mereka.

Dalam analisis yang lebih tinggi, memang terbukti mudah untuk memberikan makna kepada sekurang-kurangnya beberapa dari mereka. Kami akan menggunakan konvensyen ini (diakui sewenang-wenang):

( kiri { mulai {array} {l} {( pm infty) + ( mp infty) = ( pm infty) - ( pm infty) = + infty; 0 ^ { 0} = 1;} {0 cdot ( pm infty) = ( pm infty) cdot 0 = 0 text {(walaupun jika} 0 text {bermaksud vektor sifar}). } end {array} kanan. )

Awas: Rumusan ini tidak boleh dianggap sebagai teorema had (dalam "tangan pendek"). Jumlah dan produk dari borang (2 *) akan dipanggil "tidak wajar."


4.4: Had Tidak Terbatas. Operasi dalam E * - Matematik

Pada bahagian ini kita akan melihat had yang nilainya adalah tak terhingga atau tolak tak terhingga. Jenis had ini akan muncul dengan kerap di bahagian kemudian dan kursus lain dan anda perlu dapat menghadapinya semasa anda melintasinya.

Perkara pertama yang mungkin harus kita lakukan di sini adalah menentukan apa yang kita maksudkan apabila kita mengatakan bahawa had mempunyai nilai infiniti atau minus infinity.

Definisi

[ mathop < lim> had_ f kiri (x kanan) = infty ]

jika kita dapat membuat (f (x) ) dengan sewenang-wenangnya besar untuk semua (x ) cukup dekat dengan (x = a ), dari kedua-dua belah pihak, tanpa benar-benar membiarkan (x = a ).

[ mathop < lim> had_ f kiri (x kanan) = - infty ]

jika kita dapat membuat (f (x) ) sewenang-wenangnya besar dan negatif untuk semua (x ) cukup dekat dengan (x = a ), dari kedua sisi, tanpa benar-benar membiarkan (x = a ).

Definisi ini dapat diubahsuai dengan tepat untuk had satu sisi juga. Untuk melihat definisi had yang lebih tepat dan matematik, lihat bahagian Definisi Batas pada akhir bab ini.

Mari kita mulakan dengan contoh yang cukup tipikal yang menggambarkan had yang tidak terhingga.

Oleh itu, kita akan melihat beberapa had satu sisi dan had biasa di sini. Dalam ketiga kes tersebut perhatikan bahawa kita tidak boleh memasukkan (x = 0 ). Sekiranya berjaya, kita akan mendapat pembahagian dengan sifar. Ingat juga bahawa definisi di atas dapat diubah dengan mudah untuk memberikan definisi serupa untuk had dua sisi yang kita perlukan di sini.

Sekarang, ada beberapa cara yang dapat kita lakukan di sini untuk mendapatkan nilai untuk had ini. Salah satu caranya adalah dengan memasukkan beberapa titik dan melihat nilai apa fungsi itu menghampiri. Di bahagian sebelumnya, kami mengatakan bahawa kami tidak lagi melakukan ini, tetapi dalam hal ini adalah cara yang baik untuk menggambarkan apa yang sedang berlaku dengan fungsi ini.

Jadi, berikut adalah jadual nilai (x ) dari kiri dan kanan. Dengan menggunakan nilai-nilai ini, kita akan dapat menganggarkan nilai had dua sisi dan setelah kita melakukannya, kita dapat menggunakan fakta bahawa had normal akan wujud hanya jika had dua sisi ada dan mempunyai nilai yang sama .

(x ) ( displaystyle frac <1>) (x ) ( displaystyle frac <1>)
-0.1 -10 0.1 10
-0.01 -100 0.01 100
-0.001 -1000 0.001 1000
-0.0001 -10000 0.0001 10000

Dari jadual ini kita dapat melihat bahawa ketika kita membuat (x ) semakin kecil dan semakin kecil fungsi ( frac <1>) semakin besar dan lebih besar dan akan mengekalkan tanda yang sama yang pada awalnya (x ). Perlu difahami bahawa trend ini akan berterusan untuk nilai (x ) yang lebih kecil yang kami pilih untuk digunakan. Fungsi adalah pemalar (satu dalam kes ini) dibahagi dengan bilangan yang semakin kecil. Pecahan yang dihasilkan mestilah bilangan yang semakin besar dan seperti yang dinyatakan di atas, pecahan akan mengekalkan tanda yang sama dengan (x ).

Kita boleh menjadikan fungsi sebesar dan positif seperti yang kita inginkan untuk semua (x ) cukup dekat dengan sifar sambil tetap positif (i.e. di sebelah kanan). Begitu juga, kita dapat menjadikan fungsi sebesar dan negatif seperti yang kita inginkan untuk semua (x ) cukup dekat dengan sifar sementara tetap negatif (i.e. disebelah kiri). Oleh itu, dari definisi kami di atas nampaknya kita harus mempunyai nilai berikut untuk had dua sisi.

Kaedah lain untuk melihat nilai had dua sisi di sini adalah dengan membuat grafik fungsi. Sekali lagi, di bahagian sebelumnya kami menyebutkan bahawa kami tidak akan melakukan ini terlalu kerap kerana kebanyakan fungsi bukanlah sesuatu yang dapat kami buat dengan cepat dan juga masalah dengan ketepatan dalam membaca nilai dari grafik. Namun, dalam kes ini, tidak terlalu sukar untuk membuat sketsa grafik fungsi dan, dalam kes ini kerana kita akan melihat ketepatan sebenarnya tidak akan menjadi masalah. Jadi, berikut adalah lakaran ringkas grafik.

Oleh itu, kita dapat melihat dari grafik ini bahawa fungsi tersebut berperilaku seperti yang kita ramalkan bahawa ia akan berdasarkan nilai jadual kita. Semakin dekat (x ) sampai ke sifar dari kanan semakin besar (dalam pengertian positif) fungsi mendapat, sementara semakin dekat (x ) sampai ke sifar dari kiri semakin besar (dalam pengertian negatif) fungsi mendapat .

Akhirnya, had normal, dalam kes ini, tidak akan wujud kerana had dua sisi mempunyai nilai yang berbeza.

Jadi, secara ringkasnya adalah nilai tiga had untuk contoh ini.

Untuk sebilangan besar contoh yang tinggal di bahagian ini, kami akan berusaha untuk "membincangkan cara kami" setiap had. Ini bermaksud bahawa kita akan melihat apakah kita dapat menganalisis apa yang harus terjadi pada fungsi tersebut ketika kita mendekati titik yang dimaksudkan tanpa benar-benar memasukkan nilai ke dalam fungsi tersebut. Untuk kebanyakan contoh berikut, analisis semacam ini tidak semestinya sukar dilakukan. Kami juga akan mengesahkan analisis kami dengan grafik ringkas.

Oleh itu, mari kita buat beberapa contoh lagi.

Seperti contoh sebelumnya, mari kita mulakan dengan melihat had dua sisi. Setelah memperolehnya, kita akan dapat menentukan nilai untuk had normal.

Oleh itu, mari kita lihat had sebelah kanan terlebih dahulu dan seperti yang dinyatakan di atas mari kita lihat apakah kita dapat mengetahui apa yang akan dilakukan setiap had tanpa benar-benar memasukkan nilai (x ) ke dalam fungsi. Semasa kita mengambil nilai yang lebih kecil dan lebih kecil dari (x ), sambil tetap positif, kuasa dua hanya akan menjadikannya lebih kecil (ingat mengkuadratkan nombor antara nol dan satu akan menjadikannya lebih kecil) dan tentu saja ia akan tetap positif. Jadi, kita mempunyai pemalar positif dibahagi dengan bilangan positif yang semakin kecil. Hasilnya mestilah bilangan positif yang semakin besar. Sepertinya kita harus mempunyai nilai berikut untuk had sebelah kanan dalam kes ini,

Sekarang, mari kita lihat had kiri. Dalam kes ini, kita akan mengambil nilai yang lebih kecil dan lebih kecil dari (x ), sambil tetap negatif kali ini. Apabila kita memusatkannya, mereka akan menjadi lebih kecil, tetapi setelah kuadrat hasilnya kini positif. Jadi, kita mempunyai pemalar positif dibahagi dengan bilangan positif yang semakin kecil. Hasilnya, seperti had kanan, akan menjadi bilangan positif yang semakin besar dan had kiri akan menjadi,

Sekarang, dalam contoh ini, tidak seperti yang pertama, had normal akan ada dan tidak terhingga kerana had dua sisi kedua-duanya wujud dan mempunyai nilai yang sama. Jadi, secara ringkasnya adalah semua had untuk contoh ini serta grafik pantas yang mengesahkan hadnya.

Dengan contoh seterusnya ini, kita akan menjauh dari hanya (x ) dalam penyebutnya, tetapi seperti yang akan kita lihat dalam beberapa contoh seterusnya, mereka berfungsi dengan cara yang hampir sama.

Mari mulakan sekali lagi dengan had sebelah kanan. Dengan had kanan kita tahu bahawa kita ada,

Juga, apabila (x ) semakin dekat dan mendekati -2 maka (x + 2 ) akan semakin dekat dan mendekati sifar, sambil tetap positif seperti yang dinyatakan di atas. Jadi, untuk had sebelah kanan, kita akan mempunyai pemalar negatif yang dibahagi dengan bilangan positif yang semakin kecil. Hasilnya akan menjadi bilangan yang semakin besar dan negatif. Jadi, nampaknya had sebelah kanan akan menjadi infiniti negatif.

Untuk had kiri yang kita ada,

dan (x + 2 ) akan semakin dekat dan mendekati sifar (dan menjadi negatif) kerana (x ) semakin dekat dan lebih dekat ke -2. Dalam kes ini, kita akan mempunyai pemalar negatif yang dibahagi dengan bilangan negatif yang semakin kecil. Hasilnya kemudian akan menjadi bilangan positif yang semakin besar dan sepertinya had sebelah kiri akan menjadi positif tak terhingga.

Akhirnya, kerana had dua sisi tidak sama had normal tidak akan ada.

Berikut adalah jawapan rasmi untuk contoh ini serta grafik ringkas fungsi untuk tujuan pengesahan.

Pada ketika ini kita harus mengakui secara ringkas idea asimptot menegak. Masing-masing dari tiga graf sebelumnya mempunyai satu. Ingat dari kelas Algebra bahawa asymptote menegak adalah garis menegak (garis putus-putus di (x = - 2 ) pada contoh sebelumnya) di mana grafik akan menuju ke tak terhingga dan / atau tolak tak terhingga pada satu atau kedua-dua sisi garisan itu.

Dalam kelas Aljabar mereka agak sukar untuk menentukan selain daripada mengatakan apa yang baru saja kita katakan. Sekarang kita mempunyai had yang tidak terbatas di bawah tali pinggang kita, kita dapat dengan mudah menentukan asimptot menegak seperti berikut,

Definisi

Fungsi (f (x) ) akan mempunyai asimptot menegak di (x = a ) jika kita mempunyai had berikut di (x = a ).

[ mathop < lim> had_> f kiri (x kanan) = pm , infty hspace <0.25in> mathop < lim> had_> f kiri (x kanan) = pm , infty hspace <0.25in> mathop < lim> had_ f kiri (x kanan) = pm , infty ]

Perhatikan bahawa hanya memerlukan salah satu had di atas agar fungsi mempunyai asimptot menegak di (x = a ).

Dengan menggunakan definisi ini, kita dapat melihat bahawa dua contoh pertama mempunyai asimptot menegak di (x = 0 ) sementara contoh ketiga mempunyai asimptot menegak di (x = - 2 ).

Kami tidak akan melakukan banyak perkara dengan asimptot menegak di sini tetapi ingin menyebutnya pada ketika ini kerana kami telah mencapai titik yang baik untuk melakukannya.

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh had yang tidak terhingga yang kadang-kadang boleh menyebabkan beberapa masalah.

Mari kita mulakan dengan had sebelah kanan. Untuk had ini,

[x & gt 4 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.25in> 4 - x & lt 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.5in> < left (<4 - x> kanan) ^ 3> & lt 0 ]

juga, (4 - x hingga 0 ) sebagai (x hingga 4 ). Jadi, kita mempunyai pemalar positif dibahagi dengan bilangan negatif yang semakin kecil. Hasilnya akan menjadi bilangan negatif yang semakin besar dan jadi sepertinya had sebelah kanan akan menjadi negatif tak terhingga.

Untuk had kiri yang kita ada,

[x & lt 4 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.25in> 4 - x & gt 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.5in> < left (<4 - x> kanan) ^ 3> & gt 0 ]

dan kita masih ada, (4 - x hingga 0 ) sebagai (x hingga 4 ). Dalam kes ini, kita mempunyai pemalar positif dibahagi dengan bilangan positif yang semakin kecil. Hasilnya akan menjadi bilangan positif yang semakin besar dan sepertinya had sebelah kiri akan menjadi positif tak terhingga.

Had normal tidak akan wujud kerana had dua sisi tidak sama. Jawapan rasmi untuk contoh ini adalah,

Berikut adalah lakaran ringkas untuk mengesahkan had kami.

Semua contoh hingga saat ini mempunyai pemalar di pengangka dan kita mungkin harus melihat sekilas contoh yang tidak mempunyai pemalar di pengangka.

Mari kita lihat had tangan kanan terlebih dahulu. Untuk had ini,

[x & gt 3 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> x - 3 & gt 0 ]

Perbezaan utama di sini dengan contoh ini adalah tingkah laku pengangka kerana kita membiarkan (x ) semakin dekat dan dekat dengan 3. Dalam kes ini kita mempunyai tingkah laku berikut untuk pengangka dan penyebut.

Oleh itu, ketika kita membiarkan (x ) semakin dekat dan dekat dengan 3 (selalu berada di sebelah kanan tentu saja) pengangka, walaupun bukan pemalar, semakin dekat dan lebih dekat ke pemalar positif sementara penyebutnya semakin dekat dan semakin dekat menjadi sifar dan akan positif kerana kita berada di pihak yang benar.

Ini bermaksud bahawa kita akan mempunyai pengangka yang semakin dekat dan semakin hampir dengan pemalar bukan sifar dan positif dibahagi dengan nombor positif yang semakin kecil dan hasilnya harus menjadi nombor positif yang semakin besar. Had sebelah kanan semestinya positif tak terhingga.

Untuk had kiri yang kita ada,

[x & lt 3 hspace <0.5in> Rightarrow hspace <0.5in> x - 3 & lt 0 ]

Seperti had kanan, kita akan mempunyai tingkah laku berikut untuk pengangka dan penyebutnya,

Perbezaan utama dalam kes ini ialah penyebutnya sekarang akan menjadi negatif. Oleh itu, kita akan mempunyai pembilang yang mendekati pemalar positif, bukan sifar dibahagi dengan nombor negatif yang semakin kecil. Hasilnya akan menjadi bilangan yang semakin besar dan negatif.

Jawapan rasmi untuk contoh ini adalah,

Seperti kebanyakan contoh dalam bahagian ini had normal tidak wujud kerana had dua sisi tidak sama.

Berikut adalah graf ringkas untuk mengesahkan had kami.

Sejauh ini yang kami lakukan hanyalah melihat had ekspresi rasional, mari kita lakukan beberapa contoh cepat dengan beberapa fungsi yang berbeza.

Pertama, perhatikan bahawa kita hanya dapat menilai had tangan kanan di sini. Kami tahu bahawa domain logaritma hanya nombor positif dan oleh itu kami bahkan tidak dapat membincangkan had kiri kerana itu memerlukan penggunaan nombor negatif. Begitu juga, kerana kita tidak dapat mengatasi had kiri maka kita tidak boleh membincangkan had normal.

Had ini agak mudah diperoleh daripada lakaran grafik yang cepat.

Dari ini kita dapat melihat bahawa,

[ mathop < lim> had_> ln kiri (x kanan) = - infty ]

Berikut adalah lakaran ringkas grafik fungsi tangen.

Dari ini, kita dapat melihat bahawa kita mempunyai nilai berikut untuk setiap had ini,

[ mathop < lim> had_<2>> ^ + >> tan kiri (x kanan) = - infty hspace <0.5in> mathop < lim> had_<2>> ^ - >> tan kiri (x kanan) = infty ]

Perhatikan bahawa had normal tidak akan wujud kerana had dua sisi tidak sama.

Kami akan meninggalkan bahagian ini dengan beberapa fakta mengenai had yang tidak terhingga.

Fakta

untuk beberapa nombor nyata (c ) dan (L ). Kemudian,

  1. ( mathop < lim> had_ dibiarkan[ kanan] = infty )
  2. Sekiranya (L & gt 0 ) maka ( mathop < lim> had_ dibiarkan[ kanan] = infty )
  3. Sekiranya (L & lt 0 ) maka ( mathop < lim> had_ dibiarkan[ kanan] = - infty )
  4. ( displaystyle mathop < lim> had_ frac <><> = 0)

Untuk melihat bukti sekumpulan fakta ini, lihat bahagian Bukti Pelbagai Had Harta dalam bab Ekstra.

Perhatikan juga bahawa sekumpulan fakta di atas juga mempunyai had satu sisi. Mereka juga akan menahan jika ( mathop < lim> had_ f kiri (x kanan) = - infty ), dengan perubahan tanda pada infiniti pada tiga bahagian pertama. Bukti perubahan fakta ini hampir sama dengan bukti fakta yang asli dan seterusnya diserahkan kepada anda.


Euler membuktikan bahawa bilangannya e dinyatakan sebagai pecahan berterusan sederhana yang tidak terhingga [1] (urutan A003417 dalam OEIS):

e = [2 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1,…, 1, 2 n, 1,…].

Penumpuannya dapat tiga kali ganda [ penjelasan diperlukan ] [ rujukan diperlukan ] dengan membenarkan hanya satu nombor pecahan:

Berikut adalah beberapa pengembangan pecahan umum yang tidak terhingga dari e . Yang kedua dihasilkan dari yang pertama dengan transformasi kesetaraan sederhana.

Ini terakhir, bersamaan dengan [1 0,5, 12, 5, 28, 9,. ], adalah kes khas formula umum untuk fungsi eksponensial:

Jumlah e boleh dinyatakan sebagai jumlah siri tak terbatas berikut:

Dalam kes khas di mana x = 1 atau −1, kami mempunyai:

Siri lain termasuk yang berikut:

Pertimbangan bagaimana meletakkan batas atas e membawa kepada siri menurun ini:

yang memberikan sekurang-kurangnya satu digit yang betul (atau dibundarkan) setiap istilah. Iaitu, jika 1 ≤ n, kemudian

Secara lebih umum, jika x tidak dalam <2, 3, 4, 5,. >, kemudian

Jumlah e juga diberikan oleh beberapa bentuk produk yang tidak terhingga termasuk produk Pippenger

Dimanakah nfaktornya ialah nakar produk

serta produk yang tidak terhingga

Lebih umum, jika 1 & lt B & lt e 2 (yang merangkumi B = 2, 3, 4, 5, 6, atau 7), kemudian

Jumlah e sama dengan had beberapa urutan yang tidak terhingga:

boleh diperoleh dengan manipulasi definisi had asas e .

Dua definisi seterusnya adalah akibat langsung dari teorema nombor perdana [7]


MAT 112 Matematik Kuno dan Kontemporari

Teorema berikut mengikuti dari Algoritma Euclidean (Algoritma 4.3.2) dan Teorem 3.2.16.

Teorem 4.4.1. Identiti Bézout.

Untuk semua nombor semula jadi (a ) dan (b ) terdapat bilangan bulat (s ) dan (t ) dengan ((s cdot a) + (t cdot b) = gcd (a , b) teks <.> )

Nilai (s ) dan (t ) dari Teorem 4.4.1 disebut sebagai kofaktor (a ) dan (b teks <.> ) Untuk mencari (s ) dan (t ) untuk mana-mana (a ) dan (b teks <,> ) kami akan gunakan penggantian berulang pada hasil Algoritma Euclidean (Algoritma 4.3.2). Ini berfungsi kerana algoritma menghubungkan (a ) dan (b ) ke ( gcd (a, b) ) oleh rangkaian persamaan yang berkaitan.

Apabila ( gcd (a, b) = a fmod b text <,> ) kita dapat dengan mudah mencari nilai (s ) dan (t ) dari Teorem 4.4.1. Dalam kursus ini kami mengehadkan pengiraan kami untuk kes ini. Kami menunjukkan ini dalam contoh berikut.

Contoh 4.4.2. Identiti Bézout untuk ( gcd (28,12) ).

Kami menjumpai nilai untuk (s ) dan (t ) dari Teorema 4.4.1 untuk (a: = 28 ) dan (b: = 12 teks <.> )

Pertama, kita mengira ( gcd (28, 12) ) menggunakan Algoritma Euclidean (Algoritma 4.3.2). Dalam jadual kami memberikan nilai pemboleh ubah pada akhir langkah (1) dalam setiap lelaran gelung.

langkah (r ) (a ) (b )
Masukan (28) (12)
(1) (28 fmod 12 = 4 ) (12) (4)
(1) (12 fmod 4 = 0 ) (1) (0)
Pengeluaran 4

Oleh itu ( gcd (28, 12) = 28 fmod 12 = 4 text <.> ) Untuk mencari (s ) dan (t ) dengan ((s cdot 28) + (t cdot 12) = gcd (28,12) = 4 ) kita perlukan

selebihnya dari lelaran pertama gelung (r: = a fmod b = 28 fmod 12 = 4 ) dan

hasil tambah (q: = a fdiv b = 28 fdiv 12 = 2 teks <.> )

Sekarang kita boleh menulis (a ) dalam bentuk (a = b cdot q + r text <:> )

Kami menulis (a = (b cdot q) + r ) dengan cara yang sedikit lebih rumit, iaitu sebagai ((1 cdot a) = (q cdot b) + r teks <.> ) Menyelesaikan ((1 cdot a) = (q cdot b) + r ) untuk (r ) kita mendapatkan ((1 cdot a) - (q cdot b) = r teks <.> ) Untuk memasukkannya ke dalam bentuk yang diinginkan ((s cdot a) + (t cdot b) = gcd (a, b) ) kita menulis (- (q cdot b) ) sebagai (+ ( (-q) cdot b) ) dan dapatkan

Memasukkan nilai kami untuk (a text <,> ) (b text <,> ) (q text <,> ) dan (r ) yang kami perolehi

Perhatikan, bahawa kita memperoleh (s = 1 ) kerana algoritma Euclidean hanya memerlukan dua langkah untuk mengira pembahagi biasa yang paling besar. Kofaktor (s ) dan (t ) tidak unik. Dengan menggunakan nombor dari contoh di atas, kita juga dapat memperoleh ((s cdot 28) + (t cdot 12) = 4 ) untuk (s = -5 ) dan (t = 12 teks < .> )

Masalah 4.4.3. Identiti Bézout untuk ( gcd (5,2) ).

Cari bilangan bulat (s ) dan (t ) sedemikian rupa sehingga (s cdot5 + t cdot2 = gcd (5,2) teks <.> )

Walaupun mudah dilihat bahawa pembahagi umum yang paling besar dari 5 dan 2 adalah 1, kita memerlukan beberapa hasil perantaraan dari algoritma Euclidean untuk mencari (s ) dan (t text <.> ) Mengikuti Euclidean algoritma (Algoritma 4.3.2) untuk nilai input (a: = 5 ) dan (b: = 2 ) kita mendapat:

langkah (r ) (a ) (b )
Masukan (5) (2)
(1) (5 fmod 2 = 1 ) (2) (1)
(1) (2 fmod 1 = 0 ) (1) (0)
Pengeluaran 1

Kami telah mengesahkan bahawa ( gcd (5,2) = 1 text <.> ) Oleh kerana algoritma Euclidean dihentikan setelah 2 lelaran, kita dapat menggunakan muslihat yang sama seperti pada Contoh 4.4.2. Kita mendapatkan

Memasukkannya ke dalam formula

Kami membaca nilai-nilai (s: = 1 ) dan (t: = - 2 teks <.> ) Perhatikan bahawa (t = - (5 fdiv 2) teks <.> )

Di Checkpoint 4.4.4 bekerja melalui contoh yang serupa.

Pusat Pemeriksaan 4.4.4. Cari kofaktor.

Pola yang diperhatikan dalam penyelesaian masalah dan Checkpoint 4.4.4 dapat digeneralisasikan. Kami memperoleh teorem berikut.

Teorem 4.4.5.

Biarkan (a ) dan (b ) menjadi nombor semula jadi. Sekiranya algoritma Euclidean untuk mengira pembahagi biasa yang paling besar (a ) dan (b ) mengembalikan ( gcd (a, b) ) setelah hanya melalui ulangi_sehingga gelung dua kali kemudian (s cdot a + t cdot b = gcd (a, b) ) dengan (s = 1 ) dan (t = - (a fdiv b) teks <.> )

Kami menerapkan teorem dalam penyelesaian masalah.

Masalah 4.4.6. Cari (s ) dan (t ) sedemikian rupa sehingga (s cdot 63 + t cdot 14 = gcd (63,14) ).

Untuk (a = 63 ) dan (b = 14 ) cari bilangan bulat (s ) dan (t ) sedemikian sehingga (s cdot a + t cdot b = gcd (a, b) teks <.> )

Kami menjumpai pembahagi biasa yang paling besar iaitu 63 dan 14 menggunakan Algoritma Euclidean.

Jadi Algoritma Euclidean berakhir setelah berjalan melalui gelung dua kali dan mengembalikan ( gcd (63,14) = 7 teks <.> ) Oleh Teorem 4.4.5. kita mempunyai (s = 1 ) dan (t = - (63 fdiv 14) = -4 teks <.> )

Kami memeriksa sama ada hasilnya betul:

Pusat Pemeriksaan 4.4.7. Cari kofaktor.

Dalam video dalam Gambar 4.4.8 kami meringkaskan hasil dari atas dan memberikan beberapa contoh tambahan.


Pengendali, Matriks, dan Teori Kumpulan

Abstrak

Pengendali adalah simbol yang bermaksud satu atau lebih operasi matematik. Sekiranya pengendali A beroperasi pada fungsi f hasilnya adalah fungsi baru. Operator algebra memanipulasi simbol pengendali mengikut peraturan yang sedikit berbeza dengan algebra biasa. Satu perbezaan adalah bahawa pendaraban operator tidak semestinya bersifat komutatif, dan yang lain ialah pembahagian oleh pengendali tidak ditentukan. Persamaan nilai eigen mempunyai bentuk Af = af di mana A adalah pengendali, f adalah fungsi eigen, dan a adalah nilai eigen. Pengendali simetri menggerakkan titik di ruang relatif terhadap unsur simetri. Sekiranya pengendali simetri tergolong dalam objek simetri, ia akan meninggalkan objek itu dalam konformasi yang sama setelah beroperasi pada semua zarah objek. Pengendali simetri boleh beroperasi pada fungsi dan juga titik dan boleh mempunyai fungsi eigen dengan nilai eigen sama dengan 1 atau hingga −1. Fungsi gelombang elektronik molekul boleh menjadi fungsi eigen bagi pengendali simetri yang tergolong dalam kerangka nuklear molekul. Matriks adalah senarai kuantiti, disusun dalam baris dan lajur. Matriks dapat dimanipulasi mengikut peraturan aljabar matriks, yang serupa dengan peraturan aljabar operator. Pembalikan matriks adalah matriks sehingga produknya dengan matriks asal menghasilkan matriks identiti. Kebalikan dari matriks yang diberikan dapat diperoleh dengan prosedur penghapusan Gauss-Jordan. Kumpulan adalah sekumpulan elemen yang mematuhi syarat-syarat tertentu, dengan satu operasi menggabungkan dua elemen untuk memberikan unsur ketiga kumpulan. Operasi ini disebut pendaraban dan kemungkinan tidak komputatif. Pengendali simetri yang tergolong dalam objek simetri membentuk kumpulan matematik. Satu set matriks yang mematuhi jadual pendaraban yang sama dengan kumpulan adalah perwakilan kumpulan. Pelbagai teori teori kumpulan berguna dalam mengkaji sifat simetri molekul.


Had

Pada bahagian sebelumnya unit ini, kami memperkenalkan definisi asas dan hasil yang kami gunakan untuk menilai had. Kami memberikan beberapa penjelasan untuk menjadikannya masuk akal, tetapi adalah satu perkara untuk menerima sesuatu yang masuk akal, dan yang lain untuk memahami, tanpa alasan keraguan, bahawa sesuatu itu benar. Ahli matematik mencari hujah logik yang menjelaskan mengapa pernyataan atau hasilnya benar. Dalam bahagian ini, kami mempertimbangkan bagaimana hasil ini dihasilkan, sehingga pemahaman anda mengenai had menjadi lebih mendalam, dan agar anda dapat mengetahui bahawa semua perkara yang kami lakukan dengan matematik mempunyai asas yang kukuh. Bukan niat kita untuk membuktikan semua hasil yang telah kita gunakan - kekangan masa menghalangnya. Sebaliknya, kami akan memilih sebilangan daripadanya, dan kami menjemput anda untuk mencuba membuktikan yang lain sekiranya jadual anda membenarkannya.

Memahami mengapa sesuatu yang benar adalah yang menjadikan matematik menarik. Dalam usaha kita untuk menunjukkan bahawa sesuatu itu benar, kita mesti bermula dengan definisi dan aksioma.

Kita tahu bahawa pernyataan f (x) & # x2192 L sebagai x & # x2192 bermaksud bahawa kita dapat membuat nilai-nilai f (x) sewenang-wenangnya mendekati L (sedekat yang kita suka) dengan mengambil x agar cukup dekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a.

Ini sama dengan mengatakan bahawa kita dapat membuat nilai f (x) sewenang-wenangnya mendekati L (sedekat yang kita suka) kerana selalu ada x cukup dekat dengan yang f (x) dekat dengan L.

Adakah anda bersetuju dengan penyataan ini? Perlu diingat grafik fungsi dengan had L pada a (lihat Rajah 3.29, di bawah).

Rajah 3.29. Fungsi yang ditentukan pada titik a dan x dekat dengan a

Dalam Rajah 3.29, kita dapat melihat bahawa untuk sebilangan kecil m (sekecil yang kita suka), kita dapat menjumpai x dekat dengan a, sehingga jarak antara f (x) dan L kurang dari m. Cabarannya adalah dengan menulis idea ini dengan tepat menggunakan konsep matematik iaitu, untuk menterjemahkan idea ini menjadi pernyataan matematik.

Kita perlu menyatakan idea & ldquo x dekat dengan & rdquo dalam istilah matematik. Dua nombor dekat jika jarak di antara mereka kecil, jadi kita perlu menyatakan idea & ldquodistance antara dua nombor. & Rdquo Berapakah jarak antara nombor x dan a? How do we measure the distance between x and a ?

Figure 3.30. Real number line showing x < a

If x < a , as shown in the real line above, then their distance is a - x , regardless of whether both are positive, both are negative, or one is positive and the other negative. Convince yourself of this fact. Figures 7 and 8 on page 341 of the textbook may help you.

Figure 3.31. Real number line showing x > a

If x > a , as shown in the real line above, then their distance is x - a , regardless of whether both are positive, both are negative, or one is positive and the other negative.

Combining these two results, we can say that the distance between two distinct numbers x and a is | x - a | because

This is precisely what we say above!

As you can see, | 6 - 6 . 0 1 | = 0 . 0 1 because the distance between 6 and 6 . 0 1 is 0 . 0 1 , and | 3. 5 - 3 | = 0 . 5 , because the distance between 3 and 3 . 5 is 0 . 5.

The distance between two distinct numbers x and a can be very small, and this fact can be expressed mathematically as follows:

We use the Greek letter δ (delta) to denote a small number. It is a convention, and it has its historical reasons.

If we write | x - 3 | < 0 . 0 1 , then the distance between x and 3 is less than 0 . 0 1 . These numbers are on the interval ( 2 . 9 9 , 3 . 0 1 ) .

Figure 3.32. Real number line showing the interval ( 2 . 9 9 , 3 . 0 1 )

If we write | x - 3 | < δ , then we are referring to the numbers x whose distance to 3 is less than the small number δ .

When we write 0 < | x - 3 | < δ , we are referring to all numbers x very close to 3 , but not equal to 3 , because | x - 3 | = 0 only of x = 3 .

Now we must express the idea of &ldquomaking the values of f ( x ) arbitrarily close to L (as close as we like)&rdquo mathematically.

We know that &ldquo f ( x ) is close to L &rdquo is written as | f ( x ) − L | < ε for a small number ε > 0 .

Note that ε is the Greek letter epsilon.

But &ldquothe distance is as small as we want&rdquo is the same as saying that the distance is less than any number we want to give.

| f ( x ) − L | < ε for any given small number ε > 0 ,

we are saying that the distance between f ( x ) and L is as small as any number we want to give.

we can find a δ > 0 such that, for any 0 < | x − a | < δ , it is the case that | f ( x ) − L | < ε . for any given small number ε > 0

we can find x s very close to a , but not equal to a , so that f ( x ) can be as close to L as we like.

This is precisely the definition of a limit.

Definition 3.30. Let f be a function defined around a .

The limit of f , as x approaches a , is L if

given any ε > 0 , we can find δ > 0 such that

for any 0 < | x − a | < δ it is the case that | f ( x ) − L | < ε .

Note that this definition expresses what we understood a limit to be.

We will need the following definition in our further discussions.

Definition 3.31. If a and b are two numbers, the number min < a , b >is the smaller of the two for instance, min < 3 , - 4 >= - 4 . Similarly, max < a , b >is the larger of the two hence, max < 3 , - 4 >= 3 . It is true that min < 4 , 4 >= 4 = max < 4 , 4 >.

Definition 3.31 extends naturally to any finite number or numbers for example,

The results about limits that we presented to you are consequences of Definition 3.30 and the properties of the real numbers. For example, let us see why the first and third laws of limits in Theorem 3.23 are true.

Sum of limits: If lim x → a f ( x ) = L and lim x → a g ( x ) = M , then

lim x → a f ( x ) + g ( x ) = L + M .

Bukti. We start with knowing what we want to show (prove).

Given any ε > 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < | x - a | < δ , it is the case that

We are given ε > 0 , and we must find δ > 0 with the property indicated above.

To proceed from this point, we must determine what we know.

In this case, we know that lim x → a f ( x ) = L and lim x → a g ( x ) = M . Definition 3.30 is true for any positive number, so

  1. for ε 2 > 0 , there is a δ 1 > 0 such that, for any 0 < | x − a | < δ 1 , it is the case that | f ( x ) − L | < ε 2 , and
  2. for ε 2 > 0 , there is a δ 2 > 0 such that, for any 0 < | x − a | < δ 2 , it is the case that | g ( x ) − M | < ε 2 .

Hence, statements 1 and 2 above are true for this δ .

From the triangle inequality, we have

| f ( x ) + g ( x ) − ( L + M ) | ≤ | f ( x ) − L | + | g ( x ) − M ) | < ε 2 + ε 2 = ε .

Therefore, given ε > 0 , we have found δ = min ( δ 1 , δ 2 ) , such that if 0 < | x − a | < δ then | f ( x ) + g ( x ) − ( L + M ) | < ε .

Nota: The end of a proof is indicated by the initials &ldquoQ.E.D.,&rdquo an abbreviation of the Latin phrase quod erat demonstrandum (&ldquowhich was to be proved&rdquo).

Product of limits: If lim x → a f ( x ) = L and lim x → a g ( x ) = M , then

lim x → a f ( x ) g ( x ) = L M .

Bukti. We want to show that, for any given ε > 0 , we can find a δ > 0 such that

We know that lim x → a f ( x ) = L and lim x → a g ( x ) = M hence,

  1. for any ε 1 > 0 , there is a δ 1 > 0 such that for any 0 < | x − a | < δ 1 , it is the case that | f ( x ) − L | < ε 1 , and
  2. for any ε 2 > 0 , there is a δ 2 > 0 such that for any 0 < | x − a | < δ 2 , it is the case that | g ( x ) − M | < ε 2 .

See how the addition of 0 = g ( x ) L - g ( x ) L allows us to relate what we want to show with what we know.

By the triangle inequality,

| f ( x ) g ( x ) − L M | = | f ( x ) g ( x ) − L M + g ( x ) L − g ( x ) L | = | f ( x ) g ( x ) − g ( x ) L + g ( x ) L − L M | = | g ( x ) ( f ( x ) − L ) + L ( g ( x ) − M ) | ≤ | g ( x ) | | f ( x ) − L | + | L | | ( g ( x ) − M ) |

We want the final inequality above to be less than any ε > 0 , and we can achieve this result by taking particular values for ε 1 > 0 and ε 2 > 0 in statements 1 and 2 above.

In statement 1, we take ε 1 = ε 2 ( 1 + | M | ) > 0 . So, there is a δ 1 > 0 such that

In statement 2 we take ε 2 = 1 . So, for 1 > 0 there is a δ 2 > 0 such that, for any 0 < | x − a | < δ 2 , it is the case that | g ( x ) − M | < 1.

Since | g ( x ) | = | g ( x ) − M + M | ≤ | g ( x ) − M | + | M | , we conclude that

Again, in statement 2, we take ε 3 = ε 2 | L | > 0 . So, there is a δ 3 > 0 such that

Hence, if δ = min ( δ 1 , δ 2 , δ 3 ) , then, for any 0 < | x - a | < δ , statements 3, 4 and 5, above, are valid. Oleh itu,

| f ( x ) g ( x ) − L M | ≤ | g ( x ) | | f ( x ) − L | + | L | | ( g ( x ) − M ) | < ( 1 + | M | ) ε 2 ( 1 + | M | ) + | L | ε 2 | L | = ε .

Limit of the reciprocal: If lim x → a g ( x ) = M and M ≠ 0 , then lim x → a   1 g ( x ) = 1 M .

Bukti. We want to show that for any given ε > 0 , we can find a δ > 0 such that for any

We know that lim x → a g ( x ) = M hence,

  1. for any ε 1 > 0 , there is a δ 1 > 0 such that for any 0 < | x − a | < δ 1 it is the case that | g ( x ) − M | < ε 1 .

To relate what we know to what we want to show, we do the operations and obtain

| 1 g ( x ) − 1 M | = | M − g ( x ) g ( x ) M | = | g ( x ) − M | 1 | g ( x ) M |

From statement 1, if | g ( x ) − M | < ε 1 , then by the properties of the absolute value,

| g ( x ) − M | 1 | g ( x ) M | < ε 1 | M | ( | M | − ε 1 ) .

If we want ε = ε 1 | M | ( | M | − ε 1 ) , we solve for ε 1 , and we determine that

From statement 1, above, we know that for this value of ε 1 , there is a δ such that if

| 1 g ( x ) − 1 M | = | g ( x ) − M | 1 | g ( x ) M | < ε 1 | M | ( | M | − ε 1 ) = ε .

Finally, we can use the fact that

f ( x ) g ( x ) = f ( x ) 1 g ( x ) ,

and determine, from the product of limits and the limit of the reciprocal, the limit of the quotient.

If lim x → a f ( x ) = L and lim x → a g ( x ) = M where M ≠ 0 , then

lim x → a   f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ( x ) 1 g ( x ) = lim x → a f ( x ) lim x → a   1 g ( x ) = L 1 M = L M

Latihan
  1. Use Definition 3.30 and the properties of the absolute value to show that
    1. if c is any number and lim x → a f ( x ) = L , then lim x → a   c f ( x ) = c L .
    2. if lim u → b f ( u ) = L and lim x → a g ( x ) = b , then lim x → a f ( g ( x ) ) = L .

    Petunjuk: | L − K | = | f ( x ) − K + L − f ( x ) | ≤ | f ( x ) − K | + | f ( x ) − L | .

    The formal definition of the side limits should indicate when an x is very close to a from the right (or left) but is not a . We denote this situation by

    Observe that the statement 0 < x - a says that x ≠ a and that a < x that is, x is on the right of a .

    Definition 3.32.

    Let f be a function defined on the right of a .

    The limit of f , as x approaches a from the right, is L if,

    given any ε > 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < x - a < δ , we have | f ( x ) − L | < ε .

    Let f be a function defined on the left of a .

    The limit of f , as x approaches a from the left, is L if,

    given any ε > 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < a - x < δ , we have | f ( x ) − L | < ε .

    Remember that a function f is continuous at a if, lim x → a f ( x ) = f ( a ) . By Definition 3.30, the formal definition of continuity is as follows.

    Definition 3.33. A function f is continuous at a if

    given any ε > 0 , we can find δ > 0 such that, for any | x − a | < δ , it is the case that | f ( x ) − f ( a ) | < L .

    From the laws of limits we have the following laws for continuous functions.

    Proposition 3.34. If f and g are continuous at a , then

    1. lim x → a f ( x ) ± g ( x ) = f ( a ) ± g ( a ) .
    2. lim x → a   c f ( x ) = c f ( a ) , for any constant c .
    3. lim x → a f ( x ) g ( x ) = f ( a ) g ( a ) .
    4. lim x → a   f ( x ) g ( x ) = f ( a ) g ( a ) , if g ( a ) ≠ 0 .

    Proposition 3.34 is saying that the sum (difference), constant product, product and quotient of continuous functions at a are continuous at a .

    Example 3.78. Using Definition 3.33, above, we can also prove that the identity function I ( x ) = x is continuous everywhere. We want to show that, for any number a , the function is continuous at a that is, given ε > 0 , we can find δ > 0 such that

    for any 0 < | x − a | < δ , it is the case that | I ( x ) − I ( a ) | < ε .

    Since I ( x ) = x , we have | I ( x ) − I ( a ) | = | x − a | , and for ε = δ , the statement is true. Since a is any number, the function I is continuous everywhere.

    Example 3.79. By Example 3.78 and Proposition 3.34(c), we know that for any positive integer n , the function I ( x ) n = x n is the n product of the everywhere-continuous identity function. Hence, by the second law of limits, the function f ( x ) = c x n is continuous everywhere for any constant c . You can conclude, again by the law of limits, that polynomial functions are continuous everywhere.

    Example 3.80. Since a rational function is the quotient of polynomial functions, rational functions are continuous on their domains by Example 3.79 and Proposition 3.34(d).

    Example 3.81. By the definition of radians, for any numbers (radians) θ and η , it is true that | sin   θ −  sin  η | ≤ | θ − η | .

    This result shows that the sine function is continuous at η however, since η is arbitrary, we conclude that sine is continuous everywhere.

    Theorem 3.35. If the function g is continuous at a , and the function f is continuous at g ( a ) , then the composition f ∘ g is continuous at a . [Note that this theorem was presented earlier as Theorem 3.13.]

    Bukti. We have lim x → a g ( x ) = g ( a ) and lim x → b f ( x ) = f ( b ) for b = g ( a ) . Then, by Exercise 34(b), which you just completed, lim x → a f ( g ( x ) ) = f ( g ( a ) ) , and therefore, lim x → a f ( g ( x ) ) is continuous at a .

    Example 3.82. From the addition formula of the sine function, we have

    Hence, cosine is the composition of the outside function sine and the inside polynomial function x + π ∕ 2 .

    By Examples 3.79 and 3.81, these two functions are continuous everywhere hence, by Theorem 3.35, cosine is continuous everywhere.

    At this point, we want to consider the formal definition of

    By Definition 3.6, we have lim x → a + f ( x ) = ∞ if we can make the values of f ( x ) arbitrarily large (as large as we like) by taking x to be sufficiently close to a from the right but not equal to a .

    This statement is the same as saying that it does not matter how large a number M we have, we can always find an x close to a from the right, but not equal to a , such that f ( x ) is bigger than M .

    Do you agree with this statement? Again, keep in mind the graph of a function with an infinite limit at a from the right.

    Figure 3.33. Function with an infinite positive limit at a from the right

    From Figure 3.33, above, we can see that, given any large M > 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < x - a < δ , we have f ( x ) > M .

    Figure 3.34. Function with an infinite negative limit at a from the right

    Figure 3.34, above, is the graph of a function with a negative infinite limit at a from the right. We can see that it does not matter how small and negative a number N we have, we can always find an x close to a from the right, but not equal to a , so that f ( x ) is less than N .

    In Figure 3.34, we can see that, given a small N < 0 we can find δ > 0 such that for any 0 < x - a < δ , we have f ( x ) < N .

    We leave it to you to analyse the limits lim x → a - f ( x ) = ± ∞ and lim x → a f ( x ) = ± ∞ in the definition below.

    Definition 3.36.

    Let f be a function defined at the right of a . The limit of f , as x approaches a from the right, is infinity if

    given any M > 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < x - a < δ , we have f ( x ) > M .

    The limit of f , as x approaches a from the right, is negative infinity if

    given any N < 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < x - a < δ , we have f ( x ) < N .

    Let f be a function defined at the left of a . The limit of f , as x approaches a from the left, is infinity if

    given any M > 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < a - x < δ , we have f ( x ) > M .

    The limit of f , as x approaches a from the left, is negative infinity if

    given any N < 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < a - x < δ , we have f ( x ) < N .

    Let f be a function defined around a . The limit of f , as x approaches a , is infinity if

    given any M > 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < | x − a | < δ , we have f ( x ) > M .

    The limit of f , as x approaches a , is negative infinity if

    given any N < 0 , we can find δ > 0 such that, for any 0 < | x − a | < δ , we have f ( x ) < N .

    Definition 3.37.

    1. If g ( x ) > 0 for x → a + , then there is a δ > 0 such that g ( x ) > 0 for any 0 < x - a < δ .
    2. If g ( x ) ≤ f ( x ) for x → a + , then there is a δ > 0 such that g ( x ) ≤ f ( x ) for any 0 < x - a < δ .

    In the discussion below, we present some proofs about infinite limits. We strongly recommend that you try other proofs.

    Theorem 3.38. If lim x → a + g ( x ) = 0 and g ( x ) > 0 for x → a + , then

    Bukti. We want to show that, given M > 0 , there is a δ > 0 such that, for any 0 < x - a < δ , we have 1 g ( x ) > M .

    1. for any ε > 0 , there is δ 1 > 0 such that | g ( x ) | < ε for any 0 < x - a < δ 1 .
    2. there is a δ 2 > 0 , such that g ( x ) > 0 for any 0 < x - a < δ 2 .

    In particular, for ε = 1 M > 0 in statement 1, we have

    If δ = min ( δ 1 , δ 2 ) , then for 0 < x - a < δ , statements 2 and 3 hold, and

    Theorem 3.39. If lim x → a f ( x ) = L > 0 , and lim x → a g ( x ) = ∞ , then

    Bukti. We want to show that, given M > 0 , there is a δ > 0 such that, for any 0 < | x − a | < δ , we have f ( x ) g ( x ) > M .

    1. for any ε > 0 , there is δ 1 > 0 such that | f ( x ) − L | < ε for any 0 < | x − a | < δ 1 .
    2. for any M ′ > 0 , there is a δ 2 > 0 such that g ( x ) > M ′ for any 0 < | x − a | < δ 2 .

    In particular, in statement 1, for

    Adding L to each side of the inequality, we conclude that

    In statement 2, we take M ′ = 2 M L > 0 . There is a δ 2 > 0 , such that

    If δ = min ( δ 1 , δ 2 ) , then statements 3 and 4 hold for all 0 < | x − a | < δ , and we have

    f ( x ) g ( x ) > L 2 2 M L = M .

    Latihan
    1. Use Definitions 3.36 and 3.37 to prove the statements below.
      1. If lim x → a + g ( x ) = 0 and g ( x ) < 0 for x → a + , then lim x → a +   1 g ( x ) = - ∞ .
      2. If lim x → a g ( x ) = 0 and g ( x ) > 0 for x → a , then lim x → a   1 g ( x ) = ∞ .
      3. If lim x → a f ( x ) = L < 0 and lim x → a g ( x ) = ∞ , then lim x → a f ( x ) g ( x ) = - ∞ .
      4. If lim x → a f ( x ) = L > 0 and lim x → a g ( x ) = - ∞ , then lim x → a f ( x ) g ( x ) = - ∞ .

      Finally, let us consider the formal definition of

      means that the values of f ( x ) can be made arbitrarily close to L by taking x sufficiently large and positive (see Figure 3.35, below).

      Figure 3.35. Formal definition of lim x → + ∞ f ( x ) = L

      For any small number ε > 0 (as small as we want), we can always find a large number M > 0 such that, for any x > M , the distance between f ( x ) and L is less than ε .

      Definition 3.40. Let f be a function defined on an interval ( c , ∞ ) for some c . The limit of f , as x approaches infinity, is L if

      given any ε > 0 , we can find an M > 0 such that, for any x > M , it is the case that | f ( x ) − L | < ε .

      We leave it to you to give the formal definitions of the statements in Definition 3.40 for x → a - and x → a .

      means that the values of f ( x ) can be made arbitrarily close to L by taking x sufficiently small and negative (see Figure 3.36, below).

      For any small number ε > 0 (as small as we want), we can always find a small number N < 0 such that, for any x < N , the distance between f ( x ) and L is less than ε .

      Figure 3.36. Formal definition of lim x → - ∞ f ( x ) = L

      Definition 3.41. Let f be a function defined on an interval ( - ∞ , c ) for some c . The limit of f , as x approaches negative infinity, is L if

      given any ε > 0 we can find an N < 0 such that, for any x < N , it is the case that | f ( x ) − L | < ε .

      We have provided a set of theorems that hold for limits at infinity one of them is the laws of limits. Compare the following proof with the product of limits we gave before (see Theorem 3.23).

      Theorem 3.42. If lim x → ∞ f ( x ) = L and lim x → ∞ g ( x ) = K , then

      Bukti. We want to show that, for any given ε > 0 , we can find an M > 0 such that, for any

      x > M it is the case that | f ( x ) g ( x ) − L M | < ε .

      We know that, for any positive number,

      1. ε 1 > 0 , there is an M 1 > 0 such that, for any x > M 1 , it is the case that | f ( x ) − L | < ε 1 .
      2. ε 2 > 0 , there is an M 2 > 0 such that, for any x > M 2 , it is the case that | g ( x ) − K | < ε 2 .

      As before, we add 0 = g ( x ) L - g ( x ) L to relate what we want to show with what we know. By the triangle inequality, we know that

      | f ( x ) g ( x ) − L K | = | f ( x ) g ( x ) − g ( x ) L + g ( x ) L − L K | ≤ | g ( x ) | | f ( x ) − L | + | L | | g ( x ) − K |

      Since we want this inequality to be less than ε , and since statements 1 and 2 above are true for any positive real number, we take values for ε 1 and ε 2 that fit these criteria.

      In statement 2, we take ε 2 = 1 , and we find that for 1 > 0 , there is an M 2 > 0 such that for any x > M 2 it is the case that | g ( x ) − K | < ε 2 .

      Since | g ( x ) | = | g ( x ) − K + K | ≤ | g ( x ) − K | + | K | , we conclude that

      Again, in statement 2, we take ε 2 = ε 2 | L | > 0 , and we find that there is an M 3 > 0 such that

      In statement 1, we take ε 1 = ε 2 ( 1 + | K | ) > 0 , and we find that there is an M 1 > 0 such that

      Hence, if M = max ( M 1 , M 2 , M 3 ) , then for any x > M , statements 3, 4 and 5 are valid. Oleh itu,

      | f ( x ) g ( x ) − L K | ≤ | g ( x ) | | f ( x ) − L | + | L | | g ( x ) − K | < ( 1 + | K | ) ε 2 ( 1 + | K | ) + | L | ε 2 | L | = ε

      From this proof, you can see intuitively why some results for limits at finite numbers are also true for limits at infinity.

      Next, we give some other proofs to illustrate the different arguments we can use to prove a statement logically. Observe also how we use the properties of the absolute value.

      Theorem 3.43. If lim x → a f ( x ) = L and lim x → a g ( x ) = K and g ( x ) ≤ f ( x ) for x → a , then K ≤ L .

      This theorem is saying that if g ( x ) ≤ f ( x ) for x → a , then lim x → a g ( x ) ≤ lim x → a f ( x ) .

      Bukti. We will argue by contradiction. If we assume that K > L , this assumption will take us to a contradiction, and from the contradiction, we can conclude that our assumption is false, and that K ≤ L .

      By the sum of limits, we know that

      lim x → a g ( x ) - f ( x ) = K - L .

      If K > L , then K - L > 0 . We have two hypotheses:

      1. for any ε 1 > 0 , there is a δ 1 > 0 such that | g ( x ) − K | < ε 1 for any 0 < | x − a | < δ 1 .
      2. for any ε 2 > 0 there is a δ 2 > 0 such that | g ( x ) − f ( x ) − ( K − L ) | < ε 2 for any 0 < | x − a | < ε 2 .

      In particular, we take ε 2 = K - L > 0 in statement 2, and we find that there is δ 2 > 0 such that

      If we take δ = min ( δ 1 , δ 2 ) , then statements 1 and 3 are true, and for any 0 < | x − a | < δ , we know that

      - ( K - L ) < g ( x ) - f ( x ) - ( K - L ) < K - L .

      Adding ( K - L ) to both sides, we obtain

      Therefore, f ( x ) < g ( x ) for 0 < | x − a | < δ . This inequality states that f ( x ) < g ( x ) for x → a , contrary to our assumption. Thus, we conclude that K ≤ L .

      Corollary 3.44. Squeeze Theorem.

      If g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) for x → a , and lim x → a g ( x ) = L = lim x → a   h ( x ) , then lim x → a f ( x ) = L .

      Bukti. From Theorem 3.43, we know that

      lim x → a g ( x ) ≤ lim x → a f ( x ) ≤ lim x → a   h ( x ) .

      Hence, L ≤ lim x → a f ( x ) ≤ L , and lim x → a f ( x ) = L .

      Theorem 3.45. If lim x → a g ( x ) = ∞ and g ( x ) ≤ f ( x ) for x → a , then lim x → a f ( x ) = ∞ .

      Bukti. We want to show that for any M > 0 , there is a δ > 0 such that f ( x ) > M for any 0 < | x - a | < δ .

      1. there is δ 1 > 0 such that g ( x ) ≤ f ( x ) for any 0 < | x − a | < δ 1
      2. for M > 0 , there is a δ 2 > 1 such that g ( x ) > M for any 0 < | x − a | < δ 2 .

      For δ = min ( δ 1 , δ 2 ) , both statements are true and for any 0 < | x − a | < δ , it is the case that f ( x ) ≥ g ( x ) > M .


      Properties of Infinity

      I am passionate about travelling and currently live and work in Paris. I like to spend my time reading, gardening, running, learning languages and exploring new places.

      Cancel reply

      Value of +infinity=2.5×10power19

      infinity is not a number. it’s just an expression for a really small or large number like 0.9999999… or 0.00000000 then a number or 10000000… . in math the sideway 8 or infinity involved with an operation addition, subtraction, multiplication, division, etc. It is very important to understand and remember the properties there is no other way.


      Topological Vector Spaces

      3.4.2 Fréchet spaces

      Definition 3.51

      A Fréchet space (or ( ℱ )-space) is a metrizable and complete locally convex space. Seorang ( ℒℱ )-space is an inductive limit of a sequence of Fréchet spaces an ( ℒ s ℱ )-space is a strict inductive limit of a sequence of Fréchet spaces 8 .

      The category of Fréchet spaces is preabelian, and, in particular, any Hausdorff quotient of a Fréchet space is a Fréchet space. By Theorem 3.34 :

      Corollary 3.52

      Every ( ℒ s ℱ )-space is Hausdorff and complete.

      (II) A locally convex space E is quasi-complete if and only if every closed and bounded subset of E is complete ( Definition 2.99 ). Any closed subspace of a Fréchet space is a Fréchet space. If (Ei, ψi j Saya) is an inverse system of complete Hausdorff (resp. quasi-complete Hausdorff) locally convex spaces, then lim ← E i is complete Hausdorff (resp. quasi-complete Hausdorff) by Theorems 2.79 and 2.100 . We will see to what extent the converse holds below.

      Theorem 3.53

      If a locally convex space is complete and Hausdorff, then it is the decreasing projective limit ( Definition 3.32 (2)) of a family of Banach spaces.

      A locally convex space E is a Fréchet space if and only if it is the decreasing projective limit of a sequence of Banach spaces.

      Biarkan E be a complete Hausdorff locally convex space, and let U be a fundamental system of disked and closed neighborhoods of 0, ordered by inclusion. For all V ∈ U , let hlmV be the gauge of V ( section 3.3.2 (I)). Then ker (hlmV) ≔ <xE : hlmV(x) = 0> is a vector subspace of E dan EV = E / ker (hlmV) is a normed vector space (said to be associated with V) when equipped with the norm x ¯ V V = p V x , where x ¯ V ≔ x + ker p V . Let E V ^ be the completion of EV ( Definition 2.81 ). Biarkan U, V ∈ U be such that UV. Then ker (hlmU) ⊂ ker (hlmV), so there exists a canonical mapping ψV U : EUEV induced by 1E ([P1], section 2.2.3(1)) ψV U is surjective (ibid.) and is continuous, since x ¯ V V ≤ x ¯ U U . Thus, by Theorem 2.80 , there exist canonical mappings ψ V U ^ : E U ^ → E V ^ and ψ U ^ : E → E U ^ clearly, if UVW (U, V, W ∈ U ), then ψ V ^ : ψ V U ^ ∘ ψ U ^ and ψ W U ^ = ψ W V ^ ∘ ψ V U ^ . We therefore have the inverse system ℑ = E V ^ ψ V U ^ U , and F ≔ lim ← E V ^ ⊂ ∏ V ∈ U E V ^ is equipped with the coarsest topology for which the canonical mappings F → E V ^ are continuous. Since E is Hausdorff, there exists a canonical injection j : E↪F : x ↦ x ¯ V V ∈ U j is a strict monomorphism ( [SCF 99] , Chapter II, section 5.4 ), j (E) is dense in F dan Ej (E) is complete, thus j (E) = F and via j, which is an isomorphism of Tvs, E dan F are identified.

      Sekiranya E is a Fréchet space, then U may be chosen to be countable ( section 2.1.3 (II)).


      4.4: Infinite Limits. Operations in E* - Mathematics

      MAT 305: Combinatorics Topics for K-8 Teachers

      Summation and Product Notation

      At times when we add, there is a pattern by which we can express the addends. For instance, in the sum

      1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

      the smallest addend is 1, each successive addend is one larger than the one before it, and the largest addend is 10. Likewise, in the sum

      the smallest addend is 2, each successive addend is 4 larger than the previous, and the largest addend is 18. See whether you can detect and describe the addend patterns in the following sums.

      (1) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21
      (2) 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160
      (3) 2a + 4a + 6a + 8a + 10a + 12a + 14a
      (4) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + . . .
      (5) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + . . .
      (6) 10 - 16 + 22 - 28 + 34 - . . .

      Summation notation provides for us a compact way to represent the addends in sums such as these. For instance, here is the summation notation to represent the sum of the first 10 positive integers, the first sum described on this page.

      The annotated symbolism shown below identifies important elements used in summation notation (also called sigma notation).

      • The Greek letter sigma is closely associated with the word "sum." The letter sigma is a signal that summation notation is being used.
      • The index of summation , here the letter i, is a dummy variable whose value will change as the addends of the sum change. The dummy variable will usually show up one or more times in the expression to the right of the Greek letter sigma.
      • The lower limit of summation indicates the smallest value the index will take on. Here, the smallest value i will take is 1. Unless indicated otherwise, we increase this value by 1 until we reach the upper limit of summation.
      • The upper limit of summation indicates the largest value the index will take on. Here, the largest value i will take on is 10.
      • The expression to the right of sigma describes or represents each addend, in terms of the index variable i. Here, that expression is just the index variable. Often is is much more involved than this.

      To expand this summation notation, that is, to determine the set of addends that we are to sum, we replace any occurance of the dummy variable in the addend representation with the lower limit of the index variable. We evaluate the resulting expression. This is our first addend. We repeat this process with the next value of the index variable, using that specific value for the index variable in the addend representation and simplifying as desired or necessary. The replace and simplify process continues until the last index value to be used is the upper limit of summation.

      Determine the expansion of this summation notation:

      Each addend in the sum will be the square of an index value. The index values begin with 3 and increase by 1 until reaching 7. Thus, we have the index values 3, 4, 5, 6, and 7, and the squares of those are 9, 16, 25, 36, and 49. The summation notation above, therefore, represents the sum 9 + 16 + 25 + 36 + 49.

      In some cases we may not identify the upper limit of summation with a specific value, instead usingf a variable. Inilah contohnya.

      The lower limit of summation is 0 and the upper limit is n. Each addend in the sum is found by multiplying the index value by 3 and then adding 1 to that. When j=0, the addend is (3)(0)+1=1. When j=1, the addend is (3)(1)+1=4. When we reach the upper limit, the addend is (3)(n)+1. Because we do not know the specific value for n, we use an elipsis (. . .) to signal that the addend pattern continues. Here's the expansion of this summation notation.

      We may also create sums with an infinite number of addends. In this situation, the upper limit of summation is infinity. Inilah contohnya.

      When k=1, the addend is (1+1)^3=8, when k=2 the addend is (2+1)^3=27, and so on. There is no last addend, because the upper limit of summation is infinity, indicating we simply continue to create addends following the pattern shown. Here's the expansion for this infinite summation.

      Once you've learned how to use summation notation to express patterns in sums, product notation has many similar elements that make it straightforward to learn to use. The only difference is that we use product notation to express patterns in products, that is, when the factors in a product can be represented by some pattern. Instead of the Greek letter sigma, we use the Greek letter pi. Here is product notation to represent the product of the first several squares:


      Tonton videonya: Matematik: Operasi bergabung (Oktober 2021).