Artikel

9.1: Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dengan Identiti - Matematik


Dalam filem pengintipan, kita melihat mata-mata antarabangsa dengan banyak pasport, masing-masing menuntut identiti yang berbeza. Namun, kami tahu bahawa setiap pasport tersebut mewakili orang yang sama. Identiti trigonometri bertindak dengan cara yang serupa dengan beberapa pasport — terdapat banyak cara untuk mewakili ungkapan trigonometri yang sama. Sama seperti pengintip yang akan memilih pasport Itali ketika pergi ke Itali, kita juga memilih identiti yang berlaku untuk senario yang diberikan ketika menyelesaikan persamaan trigonometri.

Di bahagian ini, kita akan memulakan pemeriksaan mengenai identiti trigonometri asas, termasuk bagaimana kita dapat mengesahkannya dan bagaimana kita dapat menggunakannya untuk mempermudah ungkapan trigonometri.

Mengesahkan Identiti Trigonometri Asas

Identiti membolehkan kita mempermudah ungkapan yang rumit. Mereka adalah alat asas trigonometri yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, sama seperti pemfaktoran, mencari penyebut yang sama, dan menggunakan formula khas adalah alat asas untuk menyelesaikan persamaan algebra. Sebenarnya, kami menggunakan teknik algebra secara berterusan untuk mempermudah ungkapan trigonometri. Sifat asas dan formula algebra, seperti formula perbezaan kuasa dua dan formula kuasa dua sempurna, akan memudahkan kerja yang terlibat dengan ungkapan dan persamaan trigonometri. Kita sudah tahu bahawa semua fungsi trigonometri berkaitan kerana semuanya ditentukan dari segi bulatan unit. Oleh itu, sebarang identiti trigonometri dapat ditulis dengan pelbagai cara.

Untuk mengesahkan identiti trigonometri, kita biasanya bermula dengan sisi persamaan yang lebih rumit dan pada dasarnya menulis semula ungkapan sehingga ia berubah menjadi ungkapan yang sama dengan sisi lain dari persamaan. Kadang kala kita harus memperhitungkan ungkapan, memperluas ekspresi, mencari penyebut yang sama, atau menggunakan strategi aljabar lain untuk mendapatkan hasil yang diinginkan. Pada bahagian pertama ini, kami akan bekerjasama dengan identiti asas: Identiti Pythagoras, identiti genap, identiti timbal balik, dan identiti bagi.

Kami akan bermula dengan Identiti Pythagoras (Jadual ( PageIndex {1} )), yang merupakan persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri berdasarkan sifat segitiga tepat. Kami telah melihat dan menggunakan yang pertama dari pengenalan ini, tetapi sekarang kami juga akan menggunakan identiti tambahan.

Jadual ( PageIndex {1} ): Identiti Pythagoras
({ sin} ^ 2 theta + { cos} ^ 2 theta = 1 ) (1 + { cot} ^ 2 theta = { csc} ^ 2 theta ) (1 + { tan} ^ 2 theta = { sec} ^ 2 theta )

Identiti kedua dan ketiga dapat diperoleh dengan memanipulasi yang pertama. Identiti (1 + { cot} ^ 2 theta = { csc} ^ 2 theta ) dijumpai dengan menulis semula bahagian kiri persamaan dari segi sinus dan kosinus.

Buktikan: (1 + { cot} ^ 2 theta = { csc} ^ 2 theta )

[ start {align *} 1 + { cot} ^ 2 theta & = (1+ dfrac {{ cos} ^ 2} {{ sin} ^ 2}) qquad text {Tulis semula sebelah kiri } & = kiri ( dfrac {{ sin} ^ 2} {{ sin} ^ 2} kanan) + kiri ( dfrac {{ cos} ^ 2} {{ sin} ^ 2 } kanan) qquad text {Tulis kedua istilah dengan penyebut umum} & = dfrac {{ sin} ^ 2 + { cos} ^ 2} {{ sin} ^ 2} & = dfrac {1} {{ sin} ^ 2} & = { csc} ^ 2 end {align *} ]

Begitu juga, (1 + { tan} ^ 2 theta = { sec} ^ 2 theta ) dapat diperoleh dengan menulis semula bahagian kiri identiti ini dari segi sinus dan kosinus. Ini memberi

[ start {align *} 1 + { tan} ^ 2 theta & = 1 + { kiri ( dfrac { sin theta} { cos theta} kanan)} ^ 2 qquad text { Tulis semula sebelah kiri} & = { kiri ( dfrac { cos theta} { cos theta} kanan)} ^ 2 + { kiri ( dfrac { sin theta} { cos theta } kanan)} ^ 2 qquad text {Tulis kedua istilah dengan penyebut umum} & = dfrac {{ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta} {{ cos} ^ 2 theta} & = dfrac {1} {{ cos} ^ 2 theta} & = { sec} ^ 2 theta end {align *} ]

Ingatlah bahawa kita menentukan fungsi trigonometri mana yang ganjil dan yang genap. Kumpulan identiti asas seterusnya adalah kumpulan identiti ganjil. The identiti ganjil kaitkan nilai fungsi trigonometri pada sudut tertentu dengan nilai fungsi pada sudut yang bertentangan (Jadual ( PageIndex {2} )).

Jadual ( PageIndex {2} ): Identiti Genap-Ganjil
( tan (- theta) = - tan theta ) ( sin (- theta) = - sin theta ) ( cos (- theta) = cos theta )
( cot (- theta) = - cot theta ) ( csc (- theta) = - csc theta ) ( sec (- theta) = sec theta )

Ingat bahawa sebuah fungsi ganjil adalah satu di mana (f (−x) = −f (x) ) untuk semua (x ) dalam domain mati. f. Fungsi sinus adalah fungsi ganjil kerana ( sin (- theta) = - sin theta ). Graf fungsi ganjil adalah simetri mengenai asal usul. Sebagai contoh, pertimbangkan input yang sesuai dari ( dfrac { pi} {2} ) dan (- dfrac { pi} {2} ). Keluaran ( sin kiri ( dfrac { pi} {2} kanan) ) bertentangan dengan output ( sin kiri (- dfrac { pi} {2} kanan) ). Oleh itu,

[ start {align *} sin left ( dfrac { pi} {2} kanan) & = 1 [4pt] sin kiri (- dfrac { pi} {2} kanan ) & = - sin kiri ( dfrac { pi} {2} kanan) [4pt] & = - 1 end {align *} ]

Ini ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex {2} ).

Ingat bahawa sebuah malah berfungsi adalah satu di mana

(f (−x) = f (x) ) untuk semua (x ) dalam domain (f )

Graf fungsi genap adalah simetri mengenai y-paksi. Fungsi kosinus adalah fungsi genap kerana ( cos (- theta) = cos theta ). Sebagai contoh, pertimbangkan input yang sesuai ( dfrac { pi} {4} ) dan (- dfrac { pi} {4} ). Keluaran ( cos kiri ( dfrac { pi} {4} kanan) ) sama dengan keluaran ( cos kiri (- dfrac { pi} {4} kanan ) ). Oleh itu,

[ start {align *} cos left (- dfrac { pi} {4} kanan) & = cos kiri ( dfrac { pi} {4} kanan) [4pt] & ≈0.707 end {align *} ]

Lihat Rajah ( PageIndex {3} ).

Untuk semua ( theta ) dalam domain fungsi sinus dan kosinus, kita dapat menyatakan yang berikut:

  • Oleh kerana ( sin (- theta) = - sin theta ), sinus adalah fungsi yang ganjil.
  • Oleh kerana ( cos (- theta) = cos theta ), kosinus adalah fungsi genap.

Identiti genap yang lain berpunca dari sifat genap dan ganjil fungsi sinus dan kosinus. Contohnya, pertimbangkan identiti tangen, ( tan (- theta) = - tan theta ). Kita boleh mentafsirkan tangen sudut negatif sebagai

[ tan (- theta) = dfrac { sin (- theta)} { cos (- theta)} = dfrac {- sin theta} { cos theta} = - tan theta. nombor ]

Oleh itu tangen adalah fungsi ganjil, yang bermaksud bahawa ( tan (- theta) = - tan ( theta) ) untuk semua ( theta ) dalam domain fungsi tangen.

Identiti kotangen, ( cot (- theta) = - cot theta ), juga mengikuti identiti sinus dan kosinus. Kita boleh mentafsirkan kotangen sudut negatif sebagai

[ cot (- theta) = dfrac { cos (- theta)} { sin (- theta)} = dfrac { cos theta} {- sin theta} = - cot theta. bukan nombor ]

Oleh itu, Cotangent adalah fungsi ganjil, yang bermaksud bahawa ( cot (- theta) = - cot ( theta) ) untuk semua ( theta ) dalam domain fungsi kotangen.

The fungsi kosecan adalah timbal balik fungsi sinus, yang bermaksud bahawa koseken sudut negatif akan ditafsirkan sebagai

[ csc (- theta) = dfrac {1} { sin (- theta)} = dfrac {1} {- sin theta} = - csc theta. nombor ]

Oleh itu, fungsi cosecant adalah ganjil.

Akhirnya, fungsi pemisah adalah kebalikan dari fungsi kosinus, dan selendang sudut negatif ditafsirkan sebagai

[ sec (- theta) = dfrac {1} { cos (- theta)} = dfrac {1} { cos theta} = sec theta. nombor ]

Oleh itu, fungsi pemisah adalah sekata.

Kesimpulannya, hanya dua fungsi trigonometri, kosinus dan sekuat, genap. Empat fungsi lain adalah ganjil, mengesahkan identiti genap.

Kumpulan identiti asas seterusnya adalah kumpulan identiti timbal balik, yang, seperti namanya, mengaitkan fungsi trigonometri yang saling timbal balik. (Jadual ( PageIndex {3} )). Ingatlah bahawa kita pertama kali menemui identiti ini ketika menentukan fungsi trigonometri dari sudut tepat dalam Trigonometri Sudut Kanan.

Jadual ( PageIndex {3} ): Identiti timbal balik
( sin theta = dfrac {1} { csc theta} ) ( csc theta = dfrac {1} { sin theta} )
( cos theta = dfrac {1} { sec theta} ) ( sec theta = dfrac {1} { cos theta} )
( tan theta = dfrac {1} { cot theta} ) ( cot theta = dfrac {1} { tan theta} )

Kumpulan identiti terakhir adalah kumpulan identiti bagi, yang menentukan hubungan antara fungsi trigonometri tertentu dan dapat sangat membantu dalam mengesahkan identiti lain (Jadual ( PageIndex {4} )).

Jadual ( PageIndex {4} ): Identiti Kuota
( tan theta = dfrac { sin theta} { cos theta} ) ( cot theta = dfrac { cos theta} { sin theta} )

Identiti timbal balik dan quotient berasal dari definisi fungsi trigonometri asas.

RINGKASAN IDENTITI TRIGONOMETRIK

Identiti Pythagoras berdasarkan sifat segitiga tepat.

[{ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta = 1 ]

[1 + { cot} ^ 2 theta = { csc} ^ 2 theta ]

[1 + { tan} ^ 2 theta = { sec} ^ 2 theta ]

Identiti genap mengaitkan nilai fungsi trigonometri pada sudut tertentu dengan nilai fungsi pada sudut yang bertentangan.

[ tan (- theta) = - tan theta ]

[ cot (- theta) = - cot theta ]

[ sin (- theta) = - sin theta ]

[ csc (- theta) = - csc theta ]

[ cos (- theta) = cos theta ]

[ sec (- theta) = sec theta ]

Identiti timbal balik menentukan timbal balik fungsi trigonometri.

[ sin theta = dfrac {1} { csc theta} ]

[ cos theta = dfrac {1} { sec theta} ]

[ tan theta = dfrac {1} { cot theta} ]

[ csc theta = dfrac {1} { sin theta} ]

[ sec theta = dfrac {1} { cos theta} ]

[ cot theta = dfrac {1} { tan theta} ]

The identiti pemetik tentukan hubungan antara fungsi trigonometri.

[ tan theta = dfrac { sin theta} { cos theta} ]

[ cot theta = dfrac { cos theta} { sin theta} ]

Contoh ( PageIndex {1} ): Merangka Persamaan Identiti

Grafkan kedua-dua sisi identiti ( cot theta = dfrac {1} { tan theta} ). Dengan kata lain, pada kalkulator grafik, grafik (y = cot theta ) dan (y = dfrac {1} { tan theta} ).

Penyelesaian

Lihat Rajah ( PageIndex {4} ).

Analisis

Kami hanya melihat satu graf kerana kedua-dua ungkapan menghasilkan gambar yang sama. Satu berada di atas yang lain. Ini adalah kaedah yang baik untuk membuktikan sebarang identiti. Sekiranya kedua-dua ungkapan tersebut memberikan graf yang sama, maka mestilah identiti.

Cara: Memandangkan identiti trigonometri, sahkan bahawa ia benar.

  1. Bekerja pada satu sisi persamaan. Biasanya lebih baik untuk memulakan dengan sisi yang lebih kompleks, kerana lebih mudah untuk disederhanakan daripada membuat.
  2. Cari peluang untuk memfaktorkan ungkapan, buatkan bulatan, atau tambah pecahan.
  3. Perhatikan fungsi mana yang ada dalam ungkapan terakhir, cari peluang untuk menggunakan identiti dan buat pengganti yang tepat.
  4. Sekiranya langkah-langkah ini tidak memberikan hasil yang diinginkan, cuba ubah semua istilah menjadi sinus dan kosinus.

Contoh ( PageIndex {2} ): Mengesahkan Identiti Trigonometri

Sahkan ( tan theta cos theta = sin theta ).

Penyelesaian

Kami akan bermula di sebelah kiri, kerana ia adalah bahagian yang lebih rumit:

[ start {align *} tan theta cos theta & = kiri ( dfrac { sin theta} { cos theta} kanan) cos theta [4pt] & = sin theta end {align *} ]

Analisis

Identiti ini agak mudah untuk disahkan, kerana ia hanya memerlukan penulisan ( tan theta ) dari segi ( sin theta ) dan ( cos theta ).

Latihan ( PageIndex {1} )

Sahkan identiti ( csc theta cos theta tan theta = 1 ).

Jawapan

[ start {align *} csc theta cos theta tan theta = kiri ( dfrac {1} { sin theta} kanan) cos theta kiri ( dfrac { sin theta} { cos theta} kanan) [4pt] & = dfrac { cos theta} { sin theta} ( dfrac { sin theta} { cos theta}) [4pt] & = dfrac { sin theta cos theta} { sin theta cos theta} [4pt] & = 1 end {align *} ]

Contoh ( PageIndex {3A} ): Mengesahkan Kesetaraan Menggunakan Identiti Genap-Ganjil

Sahkan kesetaraan berikut menggunakan identiti genap:

((1+ sin x) [1+ sin (−x)] = { cos} ^ 2 x )

Penyelesaian

Kami bekerja di sebelah kiri persamaan

((1+ sin x) [1+ sin (−x)] = (1+ sin x) (1- sin x) )

Sejak

[ start {align *} sin (-x) & = - sin x [5pt] & = 1 - { sin} ^ 2 x qquad text {Perbezaan kotak} [5pt] & = { cos} ^ 2 x { cos} ^ 2 x & = 1 - { sin} ^ 2 x end {align *} ]

Contoh ( PageIndex {3B} ): Mengesahkan Trigonometrik Identiti yang Melibatkan ({ sec} ^ 2 theta )

Sahkan identiti ( dfrac {{ sec} ^ 2 theta − 1} {{ sec} ^ 2 theta} = { sin} ^ 2 theta )

Penyelesaian

Oleh kerana sebelah kiri lebih rumit, mari kita mulakan dari sana.

[ mulakan {align *}
dfrac {{ sec} ^ 2 theta-1} {{ sec} ^ 2 theta} & = dfrac {({ tan} ^ 2 theta +1) -1} {{ sec} ^ 2 theta}
{ sec} ^ 2 theta & = { tan} ^ 2 theta +1
& = dfrac {{ tan} ^ 2 theta} {{ sec} ^ 2 theta}
& = { tan} ^ 2 theta kiri ( dfrac {1} {{ sec} ^ 2 theta} kanan)
& = { tan} ^ 2 theta kiri ({ cos} ^ 2 theta kanan)
{ cos} ^ 2 theta & = dfrac {1} {{ sec} ^ 2 theta}
& = kiri ( dfrac {{ sin} ^ 2 theta} {{ cos} ^ 2 theta} kanan)
{ tan} ^ 2 theta & = dfrac {{ sin} ^ 2 theta} {{ cos} ^ 2 theta}
& = { sin} ^ 2 theta
end {align *} ]

Terdapat lebih daripada satu cara untuk mengesahkan identiti. Inilah kemungkinan lain. Sekali lagi, kita boleh bermula dengan sebelah kiri.

[ start {align *} dfrac {{ sec} ^ 2 theta-1} {{ sec} ^ 2 theta} & = dfrac {{ sec} ^ 2 theta} {{ sec } ^ 2 theta} - dfrac {1} {{ sec} ^ 2 theta} & = 1 - { cos} ^ 2 theta & = { sin} ^ 2 theta akhir {sejajar *} ]

Analisis

Pada kaedah pertama, kami menggunakan identiti ({ sec} ^ 2 theta = { tan} ^ 2 theta + 1 ) dan terus menyederhanakan. Dalam kaedah kedua, kita membahagikan pecahan, meletakkan kedua-dua istilah di pengangka di atas penyebut biasa. Masalah ini menggambarkan bahawa terdapat banyak cara untuk mengesahkan identiti. Menggunakan kreativiti kadang-kadang dapat mempermudah prosedur. Selagi penggantian betul, jawapannya akan sama.

Latihan ( PageIndex {2} )

Tunjukkan bahawa ( dfrac { cot theta} { csc theta} = cos theta ).

Jawapan

[ start {align *} dfrac { cot theta} { csc theta} & = dfrac { tfrac { cos theta} { sin theta}} { dfrac {1} { sin theta}} & = dfrac { cos theta} { sin theta} cdot dfrac { sin theta} {1} & = cos theta end {align *} ]

Contoh ( PageIndex {4} ): Membuat dan Mengesahkan Identiti

Buat identiti untuk ungkapan (2 tan theta sec theta ) dengan menulis semula dengan tegas dari segi sinus.

Penyelesaian

Terdapat beberapa cara untuk memulakan, tetapi di sini kita akan menggunakan identiti bagi dan timbal balik untuk menulis semula ungkapan:

[ start {align *} 2 tan theta sec theta & = 2 kiri ( dfrac { sin theta} { cos theta} kanan) kiri ( dfrac {1} { cos theta} kanan) & = dfrac {2 sin theta} {{ cos} ^ 2 theta} & = dfrac {2 sin theta} {1 - { sin} ^ 2 theta} qquad text {Pengganti} 1 - { sin} ^ 2 theta text {for} { cos} ^ 2 theta end {align *} ]

Oleh itu,

(2 tan theta sec theta = dfrac {2 sin theta} {1 - { sin} ^ 2 theta} )

Contoh ( PageIndex {5} ): Mengesahkan Identiti Menggunakan Identiti Algebra dan Genap / Ganjil

Sahkan identiti:

( dfrac {{ sin} ^ 2 (- theta) - { cos} ^ 2 (- theta)} { sin (- theta) - cos (- theta)} = cos theta− sin theta )

Penyelesaian

Mari mulakan dengan sebelah kiri dan permudahkan:

[ start {align *} dfrac {{ sin} ^ 2 (- theta) - { cos} ^ 2 (- theta)} { sin (- theta) - cos (- theta )} & = dfrac {{[ sin (- theta)]} ^ 2 - {[ cos (- theta)]} ^ 2} { sin (- theta) - cos (- theta )} & = dfrac {{(- sin theta)} ^ 2 - {( cos theta)} ^ 2} {- sin theta - cos theta} ; ; ; , sin (-x) = - sin space x text {dan} cos (-x) = cos space x & = dfrac {{( sin theta)} ^ 2- { ( cos theta)} ^ 2} {- sin theta - cos theta} qquad text {Perbezaan kotak} & = dfrac {( sin theta- cos theta) ( sin theta + cos theta)} {- ( sin theta + cos theta)} & = cos theta- sin theta end {align *} ]

Latihan ( PageIndex {3} )

Sahkan identiti ( dfrac {{ sin} ^ 2 theta − 1} { tan theta sin theta− tan theta} = dfrac { sin theta + 1} { tan theta } ).

Jawapan

[ start {align *} dfrac {{ sin} ^ 2 theta-1} { tan theta sin theta- tan theta} & = dfrac {( sin theta +1) ( sin theta -1)} { tan theta ( sin theta -1)} & = dfrac { sin theta + 1} { tan theta} end {align *} ]

Contoh ( PageIndex {6} ): Mengesahkan Identiti yang Melibatkan Kosin dan Cotangents

Sahkan identiti: ((1 - { cos} ^ 2 x) (1 + { cot} ^ 2 x) = 1 ).

Penyelesaian

[ start {align *} (1 - { cos} ^ 2 x) (1 + { cot} ^ 2 x) & = (1 - { cos} ^ 2 x) kiri (1+ dfrac {{ cos} ^ 2 x} {{ sin} ^ 2 x} kanan) & = (1 - { cos} ^ 2 x) kiri ( dfrac {{ sin} ^ 2 x} {{ sin} ^ 2 x} + dfrac {{ cos} ^ 2 x} {{ sin} ^ 2 x} kanan) qquad text {Cari penyebut umum} & = (1- { cos} ^ 2 x) kiri ( dfrac {{ sin} ^ 2 x + { cos} ^ 2 x} {{ sin} ^ 2 x} kanan) & = ({ sin } ^ 2 x) kiri ( dfrac {1} {{ sin} ^ 2 x} kanan) & = 1 end {align *} ]

Menggunakan Algebra untuk Memudahkan Ekspresi Trigonometri

Kami telah melihat bahawa aljabar sangat penting dalam mengesahkan identiti trigonometri, tetapi sama pentingnya dalam menyederhanakan ungkapan trigonometri sebelum menyelesaikannya. Mengetahui sifat asas dan formula algebra, seperti formula kuasa dua, formula kuasa dua sempurna, atau penggantian, akan memudahkan kerja yang terlibat dengan ungkapan dan persamaan trigonometri.

Contohnya, persamaan (( sin x + 1) ( sin x − 1) = 0 ) menyerupai persamaan ((x + 1) (x − 1) = 0 ), yang menggunakan bentuk pemfaktoran daripada perbezaan kuasa dua. Menggunakan aljabar menjadikan penyelesaiannya mudah dan biasa. Kita boleh menetapkan setiap faktor sama dengan sifar dan menyelesaikan. Ini adalah salah satu contoh mengenali corak algebra dalam ungkapan atau persamaan trigonometri.

Contoh lain ialah formula formula kuasa dua, (a ^ 2 − b ^ 2 = (a − b) (a + b) ), yang banyak digunakan di banyak bidang selain matematik, seperti kejuruteraan, seni bina, dan fizik. Kita juga dapat membuat identiti kita sendiri dengan terus mengembangkan ekspresi dan membuat penggantian yang sesuai. Menggunakan sifat dan formula algebra menjadikan banyak persamaan trigonometri lebih mudah difahami dan diselesaikan.

Contoh ( PageIndex {7A} ): Menulis Ungkapan Trigonometri sebagai Ungkapan Algebra

Tuliskan ungkapan trigonometri berikut sebagai ungkapan algebra: (2 { cos} ^ 2 theta + cos theta − 1 ).

Penyelesaian

Perhatikan bahawa corak yang ditampilkan mempunyai bentuk yang sama dengan ungkapan kuadratik standard, (ax ^ 2 + bx + c ). Dengan membiarkan ( cos theta = x ), kita dapat menulis semula ungkapan seperti berikut:

(2x ^ 2 + x − 1 )

Ungkapan ini boleh difaktorkan sebagai ((2x + 1) (x − 1) ). Sekiranya ia ditetapkan sama dengan sifar dan kami ingin menyelesaikan persamaannya, kami akan menggunakan sifat faktor sifar dan menyelesaikan setiap faktor untuk (x ). Pada ketika ini, kita akan menggantikan (x ) dengan ( cos theta ) dan menyelesaikan ( theta ).

Contoh ( PageIndex {7B} ): Menulis semula Ekspresi Trigonometri Menggunakan Perbezaan Kuadrat

Tulis semula ungkapan trigonometri menggunakan perbezaan kuasa dua: (4 {cos} ^ 2 theta − 1 ).

Penyelesaian

Perhatikan bahawa pekali dan ungkapan trigonometri pada istilah pertama adalah kuasa dua, dan segiempat sama nombor 1 adalah 1. Ini adalah perbezaan kuasa dua.

[ start {align *} 4 { cos} ^ 2 theta-1 & = {(2 cos theta)} ^ 2-1 & = (2 cos theta-1) (2 cos theta + 1) end {align *} ]

Analisis

Sekiranya ungkapan ini ditulis dalam bentuk set persamaan sama dengan sifar, kita dapat menyelesaikan setiap faktor menggunakan sifat faktor sifar. Kita juga boleh menggunakan penggantian seperti yang kita lakukan pada masalah sebelumnya dan membiarkan ( cos theta = x ), menulis semula ungkapan sebagai (4x ^ 2−1 ), dan faktor ((2x − 1) (2x +1) ). Kemudian gantikan (x ) dengan ( cos theta ) dan selesaikan sudut.

Latihan ( PageIndex {4} )

Tulis semula ungkapan trigonometri menggunakan perbezaan kuasa dua: (25−9 { sin} ^ 2 theta ).

Jawapan

Ini adalah formula perbezaan kuasa dua: (25−9 { sin} ^ 2 theta = (5−3 sin theta) (5 + 3 sin theta) ).

Contoh ( PageIndex {8} ): Permudahkan dengan Menulis Semula dan Menggunakan Penggantian

Permudahkan ungkapan dengan menulis semula dan menggunakan identiti:

({ csc} ^ 2 theta - { cot} ^ 2 theta )

Penyelesaian

Kita boleh bermula dengan identiti Pythagoras.

[ start {align *} 1 + { cot} ^ 2 theta & = { csc} ^ 2 theta text {Sekarang kita dapat mempermudah dengan menggantikan} 1 + { cot} ^ 2 theta teks {untuk} { csc} ^ 2 theta { csc} ^ 2 theta - { cot} ^ 2 theta & = 1 + { cot} ^ 2 theta - { cot} ^ 2 theta & = 1 end {align *} ]

Latihan ( PageIndex {5} )

Gunakan teknik algebra untuk mengesahkan identiti: ( dfrac { cos theta} {1+ sin theta} = dfrac {1− sin theta} { cos theta} ).

(Petunjuk: Gandakan pengangka dan penyebut di sebelah kiri dengan (1− sin theta ).)

Jawapan

[ start {align *} dfrac { cos theta} {1+ sin theta} kiri ( dfrac {1- sin theta} {1- sin theta} kanan) & = dfrac { cos theta (1- sin theta)} {1 - { sin} ^ 2 theta} & = dfrac { cos theta (1- sin theta)} {{ cos} ^ 2 theta} & = dfrac {1- sin theta} { cos theta} end {align *} ]

Media

Akses sumber dalam talian ini untuk arahan dan latihan tambahan dengan identiti trigonometri asas.

  • Identiti Trigonometri Asas
  • Mengesahkan Identiti Trigonometri

Menggunakan trig identiti untuk menyelesaikan persamaan kubik

Saya perlu menggunakan identiti $ cos (3 theta) = 4 cos ^ 3 ( theta) -3 cos ( theta) $ untuk menyelesaikan persamaan kubik $ t ^ 3 + pt + q = 0 $ ketika $ 27q ^ 2 + 4p ^ 3 & lt0 $.

Saya percaya saya perlu membiarkan $ t = Acos ( phi) $ ketika $ A = 2 sqrt < frac <-p> <3>> $, supaya persamaan saya lebih menyerupai identiti dan saya mempunyai $ A ^ 3 cos ( theta) ^ 3 + Ap cos ( theta) + q = 0 $. Seterusnya saya darabkan dengan $ frac <4>$ untuk mendapat $ 4 cos ( theta) ^ 3 + frac <4p>cos ( theta) + frac <4q>=0$.

Maka $ 4 cos ( theta) ^ 3-3 cos ( theta) - frac <3q>=0$.

Sekarang saya buntu dan tidak pasti apa langkah seterusnya.


9.3. Fungsi dan Pengendali Matematik

Pengendali matematik disediakan untuk banyak jenis PostgreSQL. Untuk jenis tanpa konvensyen matematik standard (mis., Jenis tarikh / masa) kami menerangkan tingkah laku sebenar di bahagian berikutnya.

Jadual 9-2 menunjukkan pengendali matematik yang ada.

Jadual 9-2. Pengendali Matematik

Pengendali bitwise hanya berfungsi pada jenis data integral, sementara yang lain tersedia untuk semua jenis data berangka. Pengendali bitwise juga tersedia untuk jenis rentetan bit sedikit dan sedikit berbeza, seperti yang ditunjukkan dalam Jadual 9-11.

Jadual 9-3 menunjukkan fungsi matematik yang ada. Di dalam jadual, dp menunjukkan ketepatan berganda. Banyak fungsi ini disediakan dalam pelbagai bentuk dengan jenis argumen yang berbeza. Kecuali dinyatakan, sebarang bentuk fungsi yang diberikan mengembalikan jenis data yang sama dengan argumennya. Fungsi berfungsi dengan ketepatan berganda data kebanyakannya dilaksanakan di atas ketepatan perpustakaan C sistem host dan tingkah laku dalam kes sempadan boleh berbeza-beza bergantung pada sistem host.

Jadual 9-3. Fungsi Matematik

Fungsi Jenis Pulangan Penerangan Contohnya Keputusan
abs (x) (sama dengan input) nilai mutlak abs (-17.4) 17.4
cbrt (dp) dp akar kiub cbrt (27.0) 3
siling (dp atau berangka) (sama dengan input) bilangan bulat terdekat lebih besar daripada atau sama dengan argumen siling (-42.8) -42
siling (dp atau berangka) (sama dengan input) bilangan bulat terdekat lebih besar daripada atau sama dengan argumen (sama dengan siling) siling (-95.3) -95
darjah(dp) dp radian hingga darjah darjah (0.5) 28.6478897565412
div (y berangka, x berangka) berangka hasil tambah integer daripada y/x div (9,4) 2
tamat (dp atau berangka) (sama dengan input) eksponensial luput (1.0) 2.71828182845905
lantai (dp atau berangka) (sama dengan input) bilangan bulat terdekat kurang daripada atau sama dengan argumen lantai (-42.8) -43
di (dp atau berangka) (sama dengan input) logaritma semula jadi ln (2.0) 0.693147180559945
log (dp atau berangka) (sama dengan input) asas 10 logaritma log (100.0) 2
log (b berangka, x berangka) berangka logaritma ke asas b log (2.0, 64.0) 6.0000000000
mod (y, x) (sama dengan jenis hujah) selebihnya dari y/x mod (9,4) 1
pi () dp pemalar "π" pi () 3.14159265358979
kuasa(a dp, b dp) dp a dinaikkan ke kekuatan b kuasa (9.0, 3.0) 729
kuasa(a berangka, b berangka) berangka a dinaikkan ke kekuatan b kuasa (9.0, 3.0) 729
radian (dp) dp darjah hingga radian radian (45.0) 0.785398163397448
bulat (dp atau berangka) (sama dengan input) bulat ke nombor bulat terdekat bulat (42.4) 42
bulat (v berangka, s int) berangka bulat ke s tempat perpuluhan bulat (42.4382, 2) 42.44
tanda (dp atau berangka) (sama dengan input) tanda hujah (-1, 0, +1) tanda (-8.4) -1
sqrt (dp atau berangka) (sama dengan input) punca kuasa dua sqrt (2.0) 1.4142135623731
pemotongan (dp atau berangka) (sama dengan input) terpotong ke arah sifar batang (42.8) 42
pemotongan (v berangka, s int) berangka pemotongan ke s tempat perpuluhan trunc (42.4382, 2) 42.43
width_bucket (op berangka, b1 berangka, b2 berangka, mengira int) int kembalikan baldi ke mana operan akan ditugaskan dalam histogram jarak yang sama dengan mengira baldi, dalam julat b1 ke b2 width_bucket (5.35, 0.024, 10.06, 5) 3
width_bucket (op dp, b1 dp, b2 dp, mengira int) int kembalikan baldi ke mana operan akan ditugaskan dalam histogram jarak yang sama dengan mengira baldi, dalam julat b1 ke b2 width_bucket (5.35, 0.024, 10.06, 5) 3

Jadual 9-4 menunjukkan fungsi untuk menghasilkan nombor rawak.

Jadual 9-4. Fungsi Rawak

Fungsi Jenis Pulangan Penerangan
rawak () dp nilai rawak dalam julat 0.0 & lt = x & lt 1.0
biji benih (dp) batal tetapkan benih untuk seterusnya rawak () panggilan (nilai antara -1.0 dan 1.0, termasuk)

Ciri-ciri nilai yang dikembalikan oleh rawak () bergantung pada pelaksanaan sistem. Ia tidak sesuai untuk aplikasi kriptografi lihat modul pgcrypto sebagai alternatif.

Akhirnya, Jadual 9-5 menunjukkan fungsi trigonometri yang ada. Semua fungsi trigonometri mengambil argumen dan mengembalikan nilai jenis ketepatan berganda. Argumen fungsi trigonometri dinyatakan dalam radian. Nilai kembali fungsi terbalik dinyatakan dalam radian. Lihat fungsi transformasi unit radian () dan darjah() di atas.


Muat turun sekarang!

Kami telah memudahkan anda mencari Ebook PDF tanpa perlu digali. Dan dengan mempunyai akses ke ebook kami secara dalam talian atau dengan menyimpannya di komputer anda, anda mempunyai jawapan yang sesuai dengan Verifikasi Masalah dan Penyelesaian Identiti Trigonometri. Untuk mula mencari Mengesahkan Masalah Dan Penyelesaian Identiti Trigonometri, anda betul-betul mencari laman web kami yang mempunyai koleksi manual yang lengkap.
Perpustakaan kami adalah yang terbesar di mana terdapat ratusan ribu produk yang berbeza.

Akhirnya saya mendapat ebook ini, terima kasih atas semua Masalah dan Penyelesaian Identifikasi Trigonometri ini yang dapat saya dapatkan sekarang!

Saya tidak menyangka bahawa ini akan berjaya, sahabat saya menunjukkan laman web ini kepada saya, dan memang begitu! Saya mendapat eBook yang paling saya mahukan

adakah ebook hebat ini percuma ?!

Kawan-kawan saya sangat marah sehingga mereka tidak tahu bagaimana saya mempunyai semua ebook berkualiti tinggi yang tidak mereka miliki!

Sangat senang mendapatkan ebook berkualiti)

begitu banyak laman web palsu. ini adalah yang pertama berjaya! Terima kasih banyak

wtffff saya tidak faham ini!

Cukup pilih butang klik anda kemudian muat turun, dan lengkapkan tawaran untuk mula memuat turun ebook. Sekiranya terdapat tinjauan, hanya memerlukan 5 minit, cubalah sebarang tinjauan yang sesuai untuk anda.


Identiti Trigonometri - Identiti timbal balik

Segi tiga enam tepat identiti timbal balik ditakrifkan di bawah.

dosa 30 & # 176 = csc 30 & # 176 = 2

adalah timbal balik oleh itu dosa dan cosecant adalah timbal balik.

Pertanyaan yang ingin diajukan adalah "Apa perbedaan antara persamaan dan identiti?" Jawapannya adalah bahawa persamaan hanya berlaku untuk nilai pemboleh ubah tertentu dan pengenalpastian adalah benar untuk SEMUA nilai & # 952. Sebagai contoh:

Dalam persamaan 3x + 9 = 18 hanya ada satu nilai x yang akan menjadikan pernyataan ini benar: x = 3

Namun, apabila kita mengganti & # 952 dengan pelbagai nilai seperti:

kita melihat bahawa tanpa mengira nilai & # 952 identiti akan menjadi pernyataan yang benar. Kepentingan identiti akan menjadi lebih jelas dalam penggunaan kalkulus di mana menggunakan identiti akan memberikan ungkapan bentuk yang lebih mudah.

Untuk menghubungkan ke ini Identiti Trigonometri - Identiti timbal balik halaman, salin kod berikut ke laman web anda:


Matematik Komik # 283 - & quotDead Maths Society & quot (6-11-17)

Berikut adalah 20+ soalan trigonometri pelbagai pilihan untuk membantu mempersiapkan diri untuk ujian ACT.

Ingin meningkatkan skor ujian standard? Lihat lebih banyak soalan latihan ACT dan SAT.


Semua hasil menyokong penyelenggaraan dan penambahbaikan laman web. (Plus, makanan untuk Norway yang Husky!)


Mengapa kita mengambil berat tentang identiti trig?

Soalan yang baik. Beberapa sebab:

1. Kerana anda harus (alasan terburuk). Banyak kelas trig yang menghendaki anda menghafal identiti ini supaya anda dapat disoal kemudian (argh). Anda tidak perlu hafal mereka, anda boleh menyelesaikan formula dalam masa lebih kurang satu minit. Jimat ruang otak anda yang berharga untuk perkara lain.

2. Kita sekarang boleh & # 8220factor & # 8221 trig berfungsi menjadi bahagian yang lebih sederhana. Kita sekarang boleh memisahkan sinus menjadi bahagian yang lebih kecil, yang berguna dalam Kalkulus.

Sebagai contoh, untuk mencari turunan sinus, kita memerlukan:

dan kita membiarkan $ dx $ menjadi sifar. Ini sukar untuk diusahakan secara langsung, tetapi menggunakan formula $ sin (a + b) $ yang kita ada

Apabila $ dx $ menjadi sifar, $ cos (dx) = 1 $ (sudut sifar adalah lebar penuh), jadi kami mempunyai:

Dan apabila $ dx $ menjadi sifar, $ sin (dx) $ dan $ dx $ menjadi sama:

Dengan memasukkannya, kita mendapat $ cos (a) $ sebagai turunan dari $ sin (a) $. Phew! Bekerja dengan fungsi trig tidak selalu mudah, tetapi sekurang-kurangnya ia dapat dikendalikan.

3. Ia berkesan secara komputasi. Sekiranya anda melakukan grafik komputer, dan sering mengira sinus / kosinus (untuk produk titik katakan & # 8217), identiti trig adalah pintasan yang berguna. Pada masa lalu, identiti ini digunakan serupa dengan jadual log untuk membuat pengiraan buatan tangan lebih mudah.

4. Matematik adalah mengenai melihat hubungan. Oleh kerana fungsi trig berasal dari lingkaran dan fungsi eksponensial, fungsi ini muncul di mana-mana. Kadang-kadang anda mempermudahkan senario dengan beralih dari trigon ke eksponen, atau sebaliknya.

5. Mendalami pengetahuan anda mengenai Euler & # 8217s Formula. Formula Master Euler & # 8217s dan anda & # 8217 telah menguasai kalangan. Dan dari sana, dunia! (Nota editor & # 8217: Kalid & # 8217s nampaknya dilekatkan ke mulutnya. Kami sedang mengusahakannya.)

Lihat, formula Euler & # 8217s membolehkan kita menarik bulatan dan membaca kedudukan. Itu & # 8217s luar biasa! Kita dapat mengelakkan geometri yang menyakitkan dengan beberapa pendaraban. Sekiranya anda melakukan matematik lanjutan, membiarkan Leonhard Euler jauh ke dalam jiwa anda sangat berbaloi. Dia syarikat yang baik.

Itu & # 8217 untuk hari ini. Selamat berjaya matematik.


Masalah Amalan

Baiklah, sekarang kita boleh beralih ke masalah latihan. Jeda video dan kami akan membincangkan perkara ini.

Baiklah, dalam segitiga di sebelah kanan, dari segi b dan c, yang manakah antara berikut adalah nilai tangen tangen?

Baiklah, mari kita fikirkan perkara ini. Kami mempunyai dua sisi di sana, kami diberi b dan c. Dan tentu saja, c adalah hipotenus, b adalah sebaliknya, dan tangen bertentangan berbanding bersebelahan. Kita ada yang sebaliknya, kita tidak bersebelahan, jadi kita akan memerlukan pihak ketiga.


9.1: Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dengan Identiti - Matematik

Sebagai catatan, kaedah yang digunakan dalam pelajaran ini tidak unik untuk persamaan trigonometri. Kaedah ini dapat digunakan pada persamaan apa pun yang dapat digambarkan pada kalkulator grafik, yang boleh merangkumi bukan fungsi (lihat persamaan kutub).

Untuk menunjukkan cara menggunakan kalkulator grafik sebagai strategi, mari kita lihat masalahnya.

Contoh: Selesaikan sinus persamaan trigonometri 2 x + 0.5 = 3cosx pada selang [0, 2 & pi).

Untuk tujuan masalah ini, TI-Nspire sedang digunakan.

Pertama, pastikan kalkulator ditetapkan dalam radian. Kita harus menggunakan radian kerana selang waktu ditetapkan dalam radian. Kami kemudian membuat grafik setiap sisi persamaan secara berasingan.

Melihat gambar di bawah ini, anda akan melihat bahagian kiri persamaan berwarna biru dan sebelah kanan berwarna merah.

Seterusnya, cari persimpangan antara [0, 2 & pi), yang bermaksud [0, 6.28) lebih kurang. Untuk TI-Nspire, gunakan ini:

Menu :: Windows :: Analisis Grafik :: Persimpangan.

Inilah hasilnya pada grafik.

Oleh kerana persamaan asal mengandungi nilai-x, penyelesaian untuk persamaan tersebut adalah nilai-x sahaja. Jadi, set penyelesaiannya ialah <1.119, 5.164>.

Anda mungkin tertanya-tanya, Mengapa penyelesaian persamaan lain dari persamaan ini?

Sekiranya tidak ada selang waktu yang terikat, kami dapat memberikan sejumlah penyelesaian yang tidak terbatas. Walau bagaimanapun, kami hanya dibenarkan melaporkan persimpangan yang berlaku antara x> 0 dan x ideo: Menyelesaikan Persamaan Trigonometri
ideo: Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dengan Pemfaktoran


Persamaan Trigonometri

Persamaan yang mengandungi fungsi trigonometri atau nisbah t dari sudut yang tidak diketahui atau nombor nyata dikenali sebagai persamaan trigonometri.

cos x = ½, sin x = 0, tan x = √3 dll adalah persamaan trigonometri.

Penyelesaian persamaan trigonometri:

Penyelesaian persamaan trigonometri adalah nilai sudut tidak diketahui yang memenuhi persamaan.

Pertimbangkan persamaan sin θ = ½. Persamaan ini, jelas, dipuaskan oleh θ = ( frac<π><6> ), ( frac <5π> <6> ) dll jadi ini adalah penyelesaiannya. Menyelesaikan persamaan bermaksud mencari set semua nilai dari nilai yang tidak diketahui yang memenuhi persamaan yang diberikan.

Penyelesaian yang terletak di antara 0 hingga 2π atau antara 0 ° hingga 360 ° dipanggil penyelesaian utama .

Dengan jelas kita melihat bahawa penyelesaian utama sin persamaan θ = ½ adalah π / 6 dan 5π / 6 kerana penyelesaian ini terletak antara 0 hingga 2π.

Pertimbangkan persamaan 2 cos θ + 1 = 0 atau cos θ = -1/2. Persamaan ini jelas, memuaskan dengan θ = ( frac <2π> <3> ), ( frac <4π> <3> ) dan lain-lain Oleh kerana fungsi trigonometri berkala, oleh itu, jika persamaan trigonometri mempunyai penyelesaiannya, ia akan mempunyai banyak penyelesaian. Contohnya, θ = ( frac <2π> <3> ), 2π ± ( frac <2π> <3> ), 4π ± ( frac <2π> <3> ), …… …… are solutions of  2 cos θ + 1 = 0. These solutions can be put together in compact form as 2nπ ± (frac<2π><3>) where n is an integer. This solution is known as the general solution. Thus, a solution generalize by means of periodicity is known as the general solution.

It also follows from the above discussion that solving an equation means to find its general solution.

Let us observe the difference in the relation involving one or more trigonometrical function

This relation is satisfied by all real values of x for which the function sin x and cos x are defined. Such a relation involving one or more trigonometrical function is called trigonometrical identity.

We know the range of sin θ is - 1 ≤ sin θ ≤ 1. Therefore, there is no real value of θ will satisfy the equation sin θ = -5

This relation is not satisfied by any value of the angle x It is satisfied by a definite set of value of x. Such a relation involving one or more trigonometrical function which is satisfied by a definite set of value (finite or infinite) of the associated angle (or angles) is called a trigonometrical equation.


Tonton videonya: Matematika kelas XI - Persamaan Trigonometri (Oktober 2021).