Artikel

7.1: Memudahkan Ekspresi Trigonometri dengan Identiti


Kemahiran yang Perlu Dikembangkan

  • Sahkan identiti trigonometri asas.
  • Permudahkan ungkapan trigonometri menggunakan aljabar dan identiti.

Dalam filem pengintipan, kita melihat mata-mata antarabangsa dengan banyak pasport, masing-masing menuntut identiti yang berbeza. Namun, kami tahu bahawa setiap pasport tersebut mewakili orang yang sama. Identiti trigonometri bertindak dengan cara yang serupa dengan beberapa pasport — terdapat banyak cara untuk mewakili ungkapan trigonometri yang sama. Sama seperti pengintip yang akan memilih pasport Itali ketika pergi ke Itali, kita juga memilih identiti yang berlaku untuk senario yang diberikan ketika menyelesaikan persamaan trigonometri.

Rajah ( PageIndex {1} ): Pasport antarabangsa dan dokumen perjalanan

Di bahagian ini, kita akan memulakan pemeriksaan mengenai identiti trigonometri asas, termasuk bagaimana kita dapat mengesahkannya dan bagaimana kita dapat menggunakannya untuk mempermudah ungkapan trigonometri.

Mengesahkan Identiti Trigonometri Asas

Identiti membolehkan kita mempermudah ungkapan yang rumit. Mereka adalah alat asas trigonometri yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, sama seperti pemfaktoran, mencari penyebut yang sama, dan menggunakan formula khas adalah alat asas untuk menyelesaikan persamaan algebra. Sebenarnya, kami menggunakan teknik algebra secara berterusan untuk mempermudah ungkapan trigonometri. Sifat asas dan formula algebra, seperti formula formula kuasa dua dan formula kuasa dua sempurna, akan memudahkan kerja yang terlibat dengan ungkapan dan persamaan trigonometri. Kita sudah tahu bahawa semua fungsi trigonometri berkaitan kerana semuanya ditentukan dari segi bulatan unit. Akibatnya, sebarang identiti trigonometri dapat ditulis dengan pelbagai cara.

Untuk mengesahkan identiti trigonometri, kita biasanya bermula dengan sisi persamaan yang lebih rumit dan pada dasarnya menulis semula ungkapan sehingga ia berubah menjadi ungkapan yang sama dengan sisi persamaan yang lain. Kadang-kadang kita harus memperhitungkan ungkapan, memperluas ungkapan, mencari penyebut yang sama, atau menggunakan strategi algebra lain untuk mendapatkan hasil yang diinginkan. Pada bahagian pertama ini, kami akan bekerjasama dengan identiti asas: Identiti Pythagoras, identiti genap, identiti timbal balik, dan identiti bagi.

Kami akan bermula dengan Identiti Pythagoras (Jadual ( PageIndex {1} )), yang merupakan persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri berdasarkan sifat segitiga tepat. Kami telah melihat dan menggunakan yang pertama dari pengenalan ini, tetapi sekarang kami juga akan menggunakan identiti tambahan.

Jadual ( PageIndex {1} ): Identiti Pythagoras
({ sin} ^ 2 theta + { cos} ^ 2 theta = 1 ) (1 + { cot} ^ 2 theta = { csc} ^ 2 theta ) (1 + { tan} ^ 2 theta = { sec} ^ 2 theta )

Identiti kedua dan ketiga dapat diperoleh dengan memanipulasi yang pertama. Identiti (1 + { cot} ^ 2 theta = { csc} ^ 2 theta ) dijumpai dengan menulis semula bahagian kiri persamaan dari segi sinus dan kosinus.

Buktikan: (1 + { cot} ^ 2 theta = { csc} ^ 2 theta ).

[ start {align *} 1 + { cot} ^ 2 theta & = kiri (1+ dfrac {{ cos} ^ 2 theta} {{ sin} ^ 2 theta} kanan) qquad text {Tulis semula sebelah kiri} & = kiri ( dfrac { sin ^ 2 theta} { sin ^ 2 theta} kanan) + kiri ( dfrac {{ cos} ^ 2 theta} {{ sin} ^ 2 theta} kanan) qquad text {Tulis kedua istilah dengan penyebut yang sama} [2pt] & = dfrac {{ sin} ^ 2 theta + { cos } ^ 2 theta} {{ sin} ^ 2 theta} & = dfrac {1} {{ sin} ^ 2 theta} & = { csc} ^ 2 theta akhir { sejajar *} ]

Begitu juga, (1 + { tan} ^ 2 theta = { sec} ^ 2 theta ) dapat diperoleh dengan menulis semula bahagian kiri identiti ini dari segi sinus dan kosinus:

[ start {align *} 1 + { tan} ^ 2 theta & = 1+ kiri ( dfrac { sin ^ 2 theta} { cos ^ 2 theta} kanan) qquad teks { Tulis semula sebelah kiri} & = kiri ( dfrac { cos ^ 2 theta} { cos ^ 2 theta} kanan) + kiri ( dfrac { sin ^ 2 theta} { cos ^ 2 theta} kanan) qquad text {Tulis kedua istilah dengan penyebut yang sama} & = dfrac {{ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta} {{ cos} ^ 2 theta} & = dfrac {1} { cos ^ 2 theta} & = sec ^ 2 theta. end {align *} ]

Dalam Bahagian 5.3, kami menentukan fungsi trigonometri mana yang ganjil dan yang genap. Jadual ( PageIndex {2} ) menunjukkan hubungan ini sebagai identiti ganjil.

Jadual ( PageIndex {2} ): Identiti Genap-Ganjil
( tan (- theta) = - tan theta ) ( sin (- theta) = - sin theta ) ( cos (- theta) = cos theta )
( cot (- theta) = - cot theta ) ( csc (- theta) = - csc theta ) ( sec (- theta) = sec theta )

Ingat bahawa sebuah fungsi ganjil adalah satu di mana (f (−x) = −f (x) ) untuk semua (x ) dalam domain (f ). Fungsi sinus adalah fungsi ganjil kerana ( sin (- theta) = - sin theta ). Graf fungsi ganjil adalah simetri mengenai asal usul. Sebagai contoh, pertimbangkan input yang sesuai dari ( dfrac { pi} {2} ) dan (- dfrac { pi} {2} ). Keluaran ( sin kiri ( dfrac { pi} {2} kanan) ) adalah kebalikan dari output ( sin kiri (- dfrac { pi} {2} kanan ) ). Oleh itu,

[ start {align *} sin left ( dfrac { pi} {2} kanan) & = 1 [5pt] sin kiri (- dfrac { pi} {2} kanan ) & = - sin kiri ( dfrac { pi} {2} kanan) [5pt] & = - 1 end {align *} ]

Ini ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex {2} ).

Rajah ( PageIndex {2} ): Grafik (y = sin theta )

Ingat bahawa sebuah malah berfungsi adalah satu di mana

(f (−x) = f (x) ) untuk semua (x ) dalam domain (f )

Graf fungsi sekata adalah simetri melintasi (y )-paksi. Fungsi kosinus adalah fungsi genap kerana ( cos (- theta) = cos theta ). Sebagai contoh, pertimbangkan input yang sesuai ( dfrac { pi} {4} ) dan (- dfrac { pi} {4} ). Keluaran ( cos kiri ( dfrac { pi} {4} kanan) ) sama dengan keluaran ( cos kiri (- dfrac { pi} {4} kanan ) ). Oleh itu,

[ start {align *} cos left (- dfrac { pi} {4} kanan) & = cos kiri ( dfrac { pi} {4} kanan) [5pt] & ≈0.707 end {align *} ]

Lihat Rajah ( PageIndex {3} ).

Rajah ( PageIndex {3} ): Grafik (y = cos theta )

Identiti genap yang lain berpunca dari sifat genap dan ganjil fungsi sinus dan kosinus. Contohnya, pertimbangkan identiti tangen, ( tan (- theta) = - tan theta ). Kita boleh mentafsirkan tangen sudut negatif sebagai

[ tan (- theta) = dfrac { sin (- theta)} { cos (- theta)} = dfrac {- sin theta} { cos theta} = - tan theta. nombor ]

Oleh itu tangen adalah fungsi yang ganjil.

Identiti kotangen, ( cot (- theta) = - cot theta ), juga mengikuti identiti sinus dan kosinus. Kita boleh mentafsirkan kotangen sudut negatif sebagai

[ cot (- theta) = dfrac { cos (- theta)} { sin (- theta)} = dfrac { cos theta} {- sin theta} = - cot theta. bukan nombor ]

Oleh itu, Cotangent adalah fungsi yang ganjil.

Fungsi cosecant adalah kebalikan dari fungsi sinus, yang bermaksud bahawa cosecant dari sudut negatif akan ditafsirkan sebagai

[ csc (- theta) = dfrac {1} { sin (- theta)} = dfrac {1} {- sin theta} = - csc theta. nombor ]

Oleh itu, fungsi cosecant adalah ganjil.

Akhirnya, fungsi pemisah adalah kebalikan dari fungsi kosinus, dan celah sudut negatif ditafsirkan sebagai

[ sec (- theta) = dfrac {1} { cos (- theta)} = dfrac {1} { cos theta} = sec theta. nombor ]

Oleh itu, fungsi pemisah adalah sekata.

Kesimpulannya, hanya dua fungsi trigonometri, kosinus dan sekuat, genap. Empat fungsi lain adalah ganjil, mengesahkan identiti genap.

Kumpulan identiti asas seterusnya adalah kumpulan identiti timbal balik, yang, seperti namanya, mengaitkan fungsi trigonometri yang saling timbal balik (Jadual ( PageIndex {3} )). Kami pertama kali menemui identiti ini di Bahagian 5.3.

Jadual ( PageIndex {3} ): Identiti timbal balik
( sin theta = dfrac {1} { csc theta} ) ( csc theta = dfrac {1} { sin theta} )
( cos theta = dfrac {1} { sec theta} ) ( sec theta = dfrac {1} { cos theta} )
( tan theta = dfrac {1} { cot theta} ) ( cot theta = dfrac {1} { tan theta} )

Kumpulan identiti terakhir adalah kumpulan identiti bagi, yang menentukan hubungan antara fungsi trigonometri tertentu dan dapat sangat membantu dalam mengesahkan identiti lain (Jadual ( PageIndex {4} )).

Jadual ( PageIndex {4} ): Identiti Kuantiti
( tan theta = dfrac { sin theta} { cos theta} ) ( cot theta = dfrac { cos theta} { sin theta} )

Identiti timbal balik dan quotient berasal dari definisi fungsi trigonometri asas.

Persamaan Utama

Identiti Pythagoras

({ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta = 1 )

(1 + { cot} ^ 2 theta = { csc} ^ 2 theta )

(1 + { tan} ^ 2 theta = { sec} ^ 2 theta )

Identiti ganjil

( tan (- theta) = - tan theta )

( cot (- theta) = - cot theta )

( sin (- theta) = - sin theta )

( csc (- theta) = - csc theta )

( cos (- theta) = cos theta )

( sec (- theta) = sec theta )

Identiti timbal balik

( sin theta = dfrac {1} { csc theta} )

( cos theta = dfrac {1} { sec theta} )

( tan theta = dfrac {1} { cot theta} )

( csc theta = dfrac {1} { sin theta} )

( sec theta = dfrac {1} { cos theta} )

( cot theta = dfrac {1} { tan theta} )

Pengenalpastian yang banyak

( tan theta = dfrac { sin theta} { cos theta} )

( cot theta = dfrac { cos theta} { sin theta} )

Konsep kunci

  • Terdapat pelbagai cara untuk mewakili ungkapan trigonometri. Mengesahkan identiti menggambarkan bagaimana ungkapan dapat ditulis semula untuk memudahkan masalah.
  • Memudahkan satu sisi persamaan untuk menyamai sisi yang lain adalah kaedah untuk mengesahkan identiti. Lihat Contoh ( PageIndex {1} ) dan Contoh ( PageIndex {2} ).
  • Pendekatan untuk mengesahkan identiti bergantung pada sifat identiti. Selalunya berguna untuk memulakan persamaan yang lebih kompleks. Lihat Contoh ( PageIndex {3} ).
  • Kita boleh membuat identiti dari ungkapan tertentu. Lihat Contoh ( PageIndex {4} ).
  • Mengesahkan identiti mungkin melibatkan algebra dengan identiti asas. Lihat Contoh ( PageIndex {5} ) dan Contoh ( PageIndex {6} ).

Pilih langkah yang betul untuk mempermudah fungsi trigonometri. Gunakan maklum balas langkah demi langkah untuk mendiagnosis langkah yang salah.

BAHAN PENGAJARAN:

DARI MASYARAKAT KAMI

Bahan Pelajaran Yang Dikemukakan oleh Pengguna (2):

Trigonométriques penyederhanaan despresi (E)

Dokumen ini adalah terjemahan Perancis Panduan Penerokaan Pelajar untuk Memudahkan Trigonometri Ex. (lebih banyak) tekanan. Terjemahan ini dimungkinkan oleh Alberta Regional Professional Development Consortia dan ExploreLearning.

Terbaik Untuk: Gred 10, Matematik Gred 11

Trigonométriques ringkas penyataan (Q)

Dokumen ini adalah terjemahan Bahasa Perancis untuk Soalan Penilaian untuk Memudahkan Trigonometrik Express. (lebih banyak) ion. Terjemahan ini dimungkinkan oleh Alberta Regional Professional Development Consortia dan ExploreLearning.

Terbaik Untuk: Gred 10, Matematik Gred 11

Bahan Pelajaran Gizmo / Pengguna

Guru yang melanggan boleh memuat turun bahan pelajaran yang disumbangkan oleh guru lain, dan juga menyumbangkan bahan pelajaran mereka sendiri untuk Gizmos. Untuk maklumat mengenai cara melanggan, sila hubungi kami.


Muat turun sekarang!

Kami telah memudahkan anda mencari Ebook PDF tanpa perlu digali. Dan dengan mempunyai akses ke ebook kami dalam talian atau dengan menyimpannya di komputer anda, anda mempunyai jawapan yang mudah dengan 7 1 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Dengan Identiti. Untuk mula mencari 7 1 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Dengan Identiti, anda betul-betul mencari laman web kami yang mempunyai koleksi manual lengkap yang disenaraikan.
Perpustakaan kami adalah yang terbesar di mana terdapat ratusan ribu produk yang berbeza.

Akhirnya saya mendapat ebook ini, terima kasih untuk semua 7 1 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Dengan Identiti yang saya dapat sekarang!

Saya tidak menyangka bahawa ini akan berjaya, sahabat saya menunjukkan laman web ini kepada saya, dan memang begitu! Saya mendapat eBook yang paling saya mahukan

adakah ebook hebat ini percuma ?!

Kawan-kawan saya sangat marah sehingga mereka tidak tahu bagaimana saya mempunyai semua ebook berkualiti tinggi yang tidak mereka miliki!

Sangat senang mendapatkan ebook berkualiti)

begitu banyak laman web palsu. ini adalah yang pertama berjaya! Terima kasih banyak

wtffff saya tidak faham ini!

Cukup pilih butang klik anda kemudian muat turun, dan lengkapkan tawaran untuk mula memuat turun ebook. Sekiranya terdapat tinjauan, hanya memerlukan 5 minit, cubalah sebarang tinjauan yang sesuai untuk anda.


Trigonometri

berlaku hanya jika (x = 2 ) atau (x = 5 text <.> ) Persamaan yang benar hanya untuk nilai-nilai pemboleh ubah tertentu, dan salah untuk yang lain, disebut a. Apabila anda menyelesaikan persamaan bersyarat, anda mencari nilai pemboleh ubah yang menjadikan persamaan itu benar.

Beberapa persamaan berlaku untuk semua nilai pemboleh ubah yang sah. Persamaan sedemikian disebut. Berikut adalah beberapa contoh identiti.

Dalam identiti, ungkapan di kedua sisi tanda sama adalah ungkapan setara, kerana mereka mempunyai nilai yang sama untuk semua nilai pemboleh ubah.

Identiti.

An adalah persamaan yang berlaku untuk semua nilai pemboleh ubah yang sah.

Contoh 5.41.

Antara persamaan berikut, yang manakah identiti?

  1. ( displaystyle 3s + 7s = 10s )
  2. ( displaystyle 5c (c - 2s) = 5c ^ 2 - 10cs )
  3. ( displaystyle 2t - 1 = 3 )

Banyak operasi algebra yang telah anda pelajari, seperti menggabungkan istilah seperti atau menggunakan undang-undang distributif, menghasilkan ungkapan yang setara.

  1. Persamaan (a) adalah identiti yang diperoleh dengan menggabungkan sebutan seperti di sebelah kiri.
  2. Persamaan (b) adalah identiti yang diperoleh dengan menerapkan undang-undang distributif di sebelah kiri.
  3. Persamaan (c) bukan identiti, kerana persamaan itu berlaku hanya untuk (t = 2 text <.> )
Pusat Pemeriksaan 5.42.

Antara persamaan berikut, yang manakah identiti?

  1. ( displaystyle (c - s) (c + s) = c ^ 2 - s ^ 2 )
  2. ( displaystyle 3t ^ 2 = 1 )
  3. ( displaystyle (2c + 1) + (s - 3) = 2c + s - 2 )

Sudah tentu, anda tidak akan diminta menyelesaikan satu identiti, kerana semua nilai pemboleh ubah adalah penyelesaian. Sebagai gantinya, kami menggunakan identiti untuk menggantikan satu bentuk ungkapan dengan bentuk yang lebih berguna. Anda melakukan ini apabila anda menyelesaikan persamaan kuadratik dengan memfaktorkan. Sebagai contoh,

Kerana ((2x + 1) (x - 1) ) setara dengan (2x ^ 2 - x - 1 text <,> ) kami tidak mengubah persamaan atau penyelesaiannya. Tetapi sekarang kita dapat menerapkan prinsip Zero Factor dan menyelesaikan persamaannya.

Menggunakan identiti sangat berguna ketika kita bekerja dengan nisbah trigonometri.

Subseksyen Menggunakan Nisbah Trigonometri dalam Identiti

adalah benar untuk sebarang nilai (x text <,> ) itu benar apabila (x ) diganti, misalnya, oleh ( cos theta text <.> ) Ini memberi kita baru identiti

Ungkapan yang melibatkan ( sin theta, cos theta, text tan theta ) dapat dimanipulasi oleh peraturan yang sama (seperti undang-undang distributif atau undang-undang eksponen) yang kita gunakan dengan pemboleh ubah sederhana.

Contoh 5.43.

Antara persamaan berikut, yang manakah identiti?

  1. ( displaystyle 3 sin theta + 7 sin theta = 10 sin theta )
  2. ( displaystyle 5 cos theta ( cos theta - 2 sin theta) = 5 cos theta ^ 2 - 10c sin theta )
  3. ( displaystyle 2 tan theta - 1 = 3 )

Persamaan ini diperoleh dari persamaan dalam contoh sebelumnya dengan menggantikan pemboleh ubah (s ) dengan ( sin theta text <,> ) pemboleh ubah (c ) dengan ( cos theta text <,> ) dan pemboleh ubah (t ) dengan ( tan theta text <.> ) Persamaan (a) dan (b) adalah identiti, dan persamaan (c) tidak, untuk alasan yang sama seperti dahulu.

Pusat Pemeriksaan 5.44.

Antara persamaan berikut, yang manakah identiti?

  1. ( displaystyle ( cos theta - sin theta) ( cos theta + sin theta) = cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta )
  2. ( displaystyle 3 tan ^ 2 theta = 1 )
  3. ( displaystyle (2 cos theta + 1) + ( sin theta - 3) = 2 cos theta + sin theta - 2 )
Awas 5.45.

Untuk menunjukkan bahawa persamaan adalah tidak satu identiti, kita hanya perlu mencari satu nilai pemboleh ubah yang mana persamaannya salah. Namun, untuk menunjukkan bahawa persamaan yang diberikan adalah satu identiti, tidak cukup untuk menunjukkan bahawa persamaan itu benar untuk satu atau bahkan selusin nilai pemboleh ubah. Persamaan mesti berlaku untuk semua nilai sah pemboleh ubah. Oleh kerana kita tidak dapat memeriksa semua nilai pemboleh ubah secara numerik, kita mesti menggunakan kaedah algebra untuk membuktikan bahawa persamaan adalah identiti.

Subseksyen Menyemak Identiti Secara Grafik

Adakah persamaan ( sqrt = x ) identiti? Jawapannya adalah tidak! Walaupun persamaan itu berlaku untuk semua positif nilai (x text <,> ) adalah salah untuk nilai negatif (x text <.> ) Contohnya, jika (x = -3 text <,> ) maka

jadi ( sqrt not = x text <.> ) Kerana simbol radikal ( sqrt <> ) adalah singkatan dari bukan negatif punca kuasa dua, sebelah kiri persamaan, ( sqrt text <,> ) tidak pernah negatif. Oleh itu, ( sqrt) tidak boleh sama dengan (x ) apabila (x ) adalah nombor negatif. Persamaan adalah salah untuk (x lt 0 text <.> )

Satu cara untuk melihat bahawa ( sqrt) dan (x ) tidak setara adalah membandingkan graf (Y_1 = sqrt) dan (Y_2 = x teks <,> ) ditunjukkan di bawah. Anda dapat melihat bahawa ( sqrt) dan (x ) tidak mempunyai nilai yang sama untuk (x lt 0 text <.> )

Oleh itu, untuk memeriksa sama ada persamaan adalah identiti, kita dapat membandingkan graf (Y_1 = ) (sebelah kiri persamaan) dan (Y_2 = ) (sebelah kanan persamaan). Sekiranya kedua-dua graf itu sama, persamaannya adalah identiti. Sekiranya kedua-dua graf tersebut tidak sama, persamaan itu bukan identiti.

Contoh 5.46.

Antara persamaan berikut, yang manakah identiti?

Bandingkan graf (Y_1 = sin 2x ) dan (Y_2 = 2 sin x text <.> ) Masukkan dua persamaan di tetingkap ZTrig dan tekan ZOOM (7 ) untuk melihat grafik yang ditunjukkan di bawah.

Untuk membezakan grafik mana, kita boleh menggunakan ciri jejak kalkulator, yang digambarkan dalam gambar di sebelah kanan. Kerana terdapat dua graf yang berbeza, ungkapan ( sin 2x ) dan (2 sin x ) tidak setara, dan akibatnya ( sin 2 alpha = 2 sin alpha ) bukanlah identiti .

Kali ini kita grafik (Y_1 = cos (x + 1) ) dan (Y_2 = cos x text <.> ) Walaupun grafik kelihatan sama, ketika kita menggunakan ciri jejak, kita melihatnya (y ) - nilai berbeza pada (x = 0 ) (dan pada banyak lagi nilai (x text <.> )) Lihat rajah di bawah.

Grafik sangat dekat sehingga resolusi kalkulator tidak membezakannya, tetapi melacak grafik menunjukkan bahawa mereka tidak serupa. Kerana kedua-dua graf berbeza, persamaan ( cos (x + 1) = cos x ) bukanlah identiti.

Awas 5.47.
  • Contoh di atas menggambarkan fakta bahawa grafik boleh menipu: walaupun dua grafik kelihatan sama, adalah idea yang baik untuk memeriksa beberapa nilai berangka juga.
  • Ingatlah bahawa kita boleh menggunakan grafik untuk membuktikan bahawa persamaan itu tidak satu identiti, jika kedua-dua grafik itu jelas berbeza, tetapi untuk membuktikan bahawa persamaan adalah identiti, kita akan memerlukan kaedah algebra.
Pusat Pemeriksaan 5.48.

Gunakan grafik untuk menentukan persamaan berikut yang manakah identiti.

  1. ( displaystyle cos 2 theta = 2 cos theta )
  2. ( displaystyle cos 2 theta = cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta )
  3. ( displaystyle cos ( theta ^ 2) = cos ^ 2 theta )

Subseksyen Pythagoras Identity

Semua fungsi trigonometri berkaitan. Kita mulakan dengan mempertimbangkan hubungan antara ( sin theta ) dan ( cos theta text <.> ) Lengkapkan jadual berikut dengan nilai yang tepat.

( theta ) ( cos theta ) ( sin theta ) ( cos ^ 2 theta ) ( sin ^ 2 theta ) ( cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta )
(0 darjah ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
(30 darjah ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
(45 darjah ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
(60 darjah ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )
(90 darjah ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> ) ( hphantom <0000> )

Anda harus mengetahui bahawa semua entri di lajur terakhir adalah 1.

Untuk semua sudut dalam jadual,

Kami dapat mengesahkan bahawa persamaan ini berlaku untuk semua sudut dengan membuat grafik ungkapan di kedua sisi tanda sama. Grafik kedua fungsi ini di tetingkap ZTrig ditunjukkan di sebelah kanan.

Kami melihat bahawa grafik (Y_1 = cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta ) kelihatan sama dengan garis mendatar (Y_2 = 1 teks <.> ) Sebenarnya, grafiknya serupa , dan persamaan ( cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta = 1 ) adalah identiti. Ia cukup penting untuk memperoleh nama khas.

Identiti Pythagoras.

Seperti yang anda duga dari namanya, identiti Pythagoras adalah benar kerana berkaitan dengan teorem Pythagoras. Kami sebenarnya belum membuktikan identiti, dan pelajar yang ragu-ragu mungkin bertanya-tanya apakah (

) hanya sangat dekat dengan 1, atau jika sama dengan 1 hanya untuk beberapa nilai ( theta text <.> ) Masalah Kerja Rumah 77 menawarkan bukti identiti Pythagoras.

Contoh 5.49.

cos ^ 2 (27 darjah) + sin ^ 2 (27 darjah)

) tanpa menggunakan kalkulator.

Kerana identiti ( cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta = 1 ) adalah benar untuk sebarang nilai ( theta text <,> ) itu benar terutamanya untuk ( theta = 27 darjah teks <.> ) Jadi ( cos ^ 2 (27 darjah) + sin ^ 2 (27 darjah) = 1 teks <.> )

Pusat Pemeriksaan 5.50.

5 kiri [ cos ^ 2 (12 darjah) + sin ^ 2 (12 darjah) kanan]

) tanpa menggunakan kalkulator.

Apabila kita menyelesaikan persamaan trigonometri yang lebih rumit dalam bab-bab berikutnya, kita perlu mempermudah ungkapan trigonometri sehingga hanya melibatkan salah satu fungsi trigonometri. Identiti Pythagoras berguna apabila kita ingin menulis ungkapan yang setara untuk ( cos ^ 2 theta ) atau untuk ( sin ^ 2 theta text <.> ) Perhatikan bahawa kita dapat menulis identiti di dua bentuk gantian:

Bentuk Alternatif Identiti Pythagoras.
Contoh 5.51.

Tulis semula ( sin theta cos ^ 2 theta ) sebagai ungkapan yang hanya melibatkan ( sin theta ).

Dengan menggunakan salah satu bentuk alternatif identiti Pythagoras, kami mengganti ( cos ^ 2 theta ) dengan (1 - sin ^ 2 theta ) untuk mendapatkan


IDENTITI TRIGONOMETRIK

Pentingnya identiti adalah bahawa, dalam pengiraan, kita boleh mengganti salah satu anggota dengan yang lain. Kami menggunakan identiti untuk memberikan ungkapan bentuk yang lebih senang. Dalam kalkulus dan semua aplikasinya, identiti trigonometri sangat penting.

Di halaman ini kami akan menunjukkan identiti utama. Pelajar tidak akan mempunyai kaedah yang lebih baik untuk mempraktikkan aljabar daripada membuktikannya. Pautan ke bukti ada di bawah.

Sekali lagi, dalam pengiraan kita boleh menggantikan salah satu anggota identiti dengan yang lain. Oleh itu, jika kita melihat "sin & theta", maka kita boleh, jika kita mahu, mengganti

dengan " 1
csc & theta
"dan, secara simetris, jika kita melihat" 1
csc & theta
",

maka kita boleh menggantinya dengan "sin & theta".

Masalah 1. Apa yang dimaksudkan dengan mengatakan bahawa csc & theta adalah timbal balik
dosa & theta?

Untuk melihat jawapannya, arahkan tetikus anda ke kawasan berwarna.
Untuk menjawab jawapannya lagi, klik "Refresh" ("Muat semula").

Ini bermaksud bahawa produk mereka adalah 1.

tan 30 & deg csc 30 & deg cot 30 & deg = tan 30 & deg cot 30 & deg csc 30 & deg
= 1 & middot csc 30 & deg
= 2.

Contoh 1. Tunjukkan: tan & theta cos & theta = sin & theta.

Penyelesaian: Masalahnya bermaksud kita menulis sebelah kiri, dan kemudian menunjukkan, melalui penggantian dan aljabar, bahawa kita dapat mengubahnya agar kelihatan seperti sebelah kanan.

= semasa menggunakan identiti tangen,
= kerana membatalkan kos & theta.

Kami telah sampai di sebelah kanan.

a) sin 2 & theta + cos 2 & theta = 1.
b) 1 + tan 2 & theta = sek 2 & theta
c) 1 + katil 2 & theta = csc 2 & theta
a ') dosa 2 & theta = 1 & tolak cos 2 & theta.
cos 2 & theta = 1 & tolak sin 2 & theta.

Ini disebut identiti Pythagoras, kerana, seperti yang akan kita lihat dalam buktinya, mereka adalah versi trigonometri dari teorem Pythagoras.

Kedua-dua identiti berlabel a ') - "a-prime" - hanyalah versi yang berbeza dari a). Yang pertama menunjukkan bagaimana kita dapat menyatakan dosa & theta dari segi cos & theta yang kedua menunjukkan bagaimana kita dapat menyatakan cos & theta dari segi sin & theta.

Catatan: sin 2 & theta - "sine squared theta" - bermaksud (sin & theta) 2.

Masalah 3. Segi tiga 3-4-5 bersudut tegak.

Untuk melihat jawapannya, arahkan tetikus anda ke kawasan berwarna.
Untuk menjawab jawapannya lagi, klik "Refresh" ("Muat semula").

Ia memenuhi teorema Pythagoras.

dosa 2 & theta = 16
25
cos 2 & theta = 9
25
sin 2 & theta + cos 2 & theta = 1.

Penyelesaian. Sekali lagi, kita akan mengubah sebelah kiri ke kanan. Kita mulakan:
Identiti timbal balik
semasa menambahkan pecahan
Identiti Pythagoras
Identiti timbal balik

Itulah yang ingin kami tunjukkan.

sin (& alpha + & beta) = sin & alpha cos & beta + cos & alpha sin & beta
sin (& alpha & tolak & beta) = sin & alpha cos & beta & tolak cos & alpha sin & beta
cos (& alpha + & beta) = cos & alpha cos & beta & minus sin & alpha sin & beta
cos (& alpha & tolak & beta) = cos & alpha cos & beta + sin & alpha sin & beta

Catatan: Dalam formula sinus, + atau & tolak di sebelah kiri juga + atau & tolak di sebelah kanan. Tetapi dalam formula kosinus, + di sebelah kiri menjadi & tolak di sebelah kanan dan sebaliknya.

Oleh kerana identiti ini dibuktikan secara langsung dari geometri, pelajar biasanya tidak diminta untuk menguasai buktinya. Walau bagaimanapun, semua identiti yang diikuti berdasarkan formula jumlah dan perbezaan ini. Pelajar itu semestinya mengenali mereka.

Inilah bukti formula penjumlahan.

Contoh 3. Nilaikan dosa 15 & deg.

Penyelesaian. Identiti tangen
Rumusan
Kami sekarang akan membina tan & alpha dengan membahagikan istilah pertama di
pengangka oleh cos & alpha cos & beta. Tetapi kita mesti membahagikan setiap istilah dengan
cos & alpha cos & beta:

Itulah yang ingin kami buktikan.

Terdapat tiga versi cos 2 & alpha. Yang pertama adalah dari segi kos & alpha dan sin & alpha. Yang kedua adalah dari segi kos & alpha sahaja. Yang ketiga hanyalah dari segi dosa & alpha

Contoh 5. Tunjukkan: sin 2 & alpha
Penyelesaian. sin 2 & alpha = 2 sin & alpha cos & alpha Rumusan
Kami sekarang akan membina tan & alpha dengan membahagi dengan cos & alpha. Tetapi untuk mengekalkan persamaan, kita juga mesti membiak dengan cos & alpha.
Pelajaran 5 Algebra
Identiti timbal balik
Identiti Pythagoras

Itulah yang ingin kami buktikan.

Contoh 6. Tunjukkan:
Penyelesaian. dosa x

Rumus separuh sudut berikut adalah terbalik dari formula sudut dua, kerana & alpha adalah separuh daripada 2 & alpha.

Tanda tambah atau tolak akan bergantung pada kuadran. Di bawah radikal, kosinus mempunyai tanda + sinus, tanda & tolak.

Contoh 7. Nilai cos & pi
8
.
Penyelesaian. Sejak & pi
8
adalah separuh daripada & pi
4
, maka menurut
formula separuh sudut:

untuk membahagi kedua-dua pengangka dan penyebut dengan cos & alpha.

a) sin & alpha cos & beta = & frac12 [sin (& alpha + & beta) + sin (& alpha & minus & beta)]
b) cos & alpha sin & beta = & frac12 [sin (& alpha + & beta) & tolak sin (& alpha & minus & beta)]
c) cos & alpha cos & beta = & frac12 [cos (& alpha + & beta) + cos (& alpha & minus & beta)]
d) sin & alpha sin & beta = & minus & frac12 [cos (& alpha + & beta) & minus cos (& alpha & minus & beta)]
e) dosa A + dosa B = 2 sin & frac12 (A + B) cos & frac12 (A & minus B)
f) dosa A & tolak dosa B = 2 sin & frac12 (A & minus B) cos & frac12 (A + B)
g) cos A + cos B = 2 cos & frac12 (A + B) cos & frac12 (A & minus B)
h) cos A & tolak cos B = & tolak2 sin & frac12 (A + B) sin & frac12 (A & tolak B)

Dalam bukti tersebut, pelajar akan melihat bahawa identiti e) hingga h) adalah penyongsangan a) hingga d) masing-masing, yang dibuktikan terlebih dahulu. Identiti f) digunakan untuk membuktikan salah satu teorema utama kalkulus, iaitu terbitan sin x.

Pelajar tidak boleh berusaha untuk menghafal identiti ini. Mempraktikkan bukti mereka - dan melihat bahawa ia berasal dari formula jumlah dan perbezaan - sudah cukup.


Identiti Asas

"Identiti trigonometri asas" adalah identiti asas:

• Identiti timbal balik
• Identiti pythagoras
• Identiti bagi

Kesemuanya ditunjukkan dalam gambar berikut:

Ketika menyederhanakan identiti ini, kita mesti menggunakan kombinasi identiti ini untuk mengurangkan ungkapan yang jauh lebih kompleks kepada bentuknya yang paling sederhana.

Berikut adalah beberapa contoh yang telah saya sediakan:

a) Permudahkan: # tanx / cscx xx secx #

Gunakan identiti bagi #tantheta = sintheta / costheta # dan identiti timbal balik #csctheta = 1 / sintheta # dan #sectheta = 1 / costheta #.

# = sinx / cosx xx sinx / 1 xx 1 / cosx #

Memohon semula identiti bagi, dalam bentuk terbalik:

b) Permudahkan: # (cscbeta - sin beta) / cscbeta #

Gunakan identiti timbal balik #cscbeta = 1 / sinbeta #:

# = (1 / sinbeta - sin beta) / (1 / sinbeta) #

Letakkan penyebut pada penyebut yang sama:

Susun semula identiti pythagoras # cos ^ 2theta + sin ^ 2theta = 1 #, selesaikan untuk # cos ^ 2theta #:

# = cos ^ 2beta / sinbeta xx sin beta / 1 #

c) Permudahkan: # sinx / cosx + cosx / (1 + sinx) #:

Sekali lagi, pakai penyebut yang sama:

# = (sinx (1 + sinx)) / (cosx (1 + sinx)) + (cosx (cosx)) / (cosx (1 + sinx)) #

# = (sinx + sin ^ 2x + cos ^ 2x) / (cosx (1 + sinx)) #

Menerapkan identiti pythagoras # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #:

Membatalkan #sinx + 1 # kerana ia muncul di pengangka dan penyebut.

# = batal (sinx + 1) / (cosx (batal (sinx + 1)) #

Menerapkan identiti timbal balik # 1 / costheta = فرقa #

Akhirnya, pada catatan terakhir, saya tahu bahawa di Kanada, British Columbia secara lebih spesifik, identiti ini diberikan pada helaian formula, tetapi saya tidak tahu bagaimana rasanya di tempat lain. Bagaimanapun, banyak pelajar, termasuk saya, menghafal identiti ini kerana mereka sangat penting bagi matematik. Saya sangat mengesyorkan menghafal.


Pilih langkah yang betul untuk mempermudah fungsi trigonometri. Gunakan maklum balas langkah demi langkah untuk mendiagnosis langkah yang salah.

BAHAN PENGAJARAN:

DARI MASYARAKAT KAMI

Bahan Pelajaran Yang Dikemukakan oleh Pengguna (2):

Trigonométriques penyederhanaan despresi (E)

Dokumen ini adalah terjemahan Perancis Panduan Penerokaan Pelajar untuk Memudahkan Trigonometri Ex. (lebih banyak) tekanan. Terjemahan ini dimungkinkan oleh Alberta Regional Professional Development Consortia dan ExploreLearning.

Terbaik Untuk: Gred 10, Matematik Gred 11

Trigonométriques ringkas penyataan (Q)

Dokumen ini adalah terjemahan Bahasa Perancis untuk Soalan Penilaian untuk Memudahkan Trigonometrik Express. (lebih banyak) ion. Terjemahan ini dimungkinkan oleh Alberta Regional Professional Development Consortia dan ExploreLearning.

Terbaik Untuk: Gred 10, Matematik Gred 11

Bahan Pelajaran Gizmo / Pengguna

Guru yang melanggan boleh memuat turun bahan pelajaran yang disumbangkan oleh guru lain, dan juga menyumbangkan bahan pelajaran mereka sendiri untuk Gizmos. Untuk maklumat mengenai cara melanggan, sila hubungi kami.


jadi apakah identiti untuk sec ^ 2x, cotx, dan cscx?

bagaimana anda menyiapkannya sekiranya anda menulisnya dalam bentuk asal (dari segi dosa dan cos).

soalan, adakah kita hanya mempermudah? anda tidak menyatakannya dalam & quot1 & quot jadi saya hanya menganggap.

jika kita mempermudahkan, langkah pertama saya adalah menetapkannya menjadi pecahan kompleks, kemudian mempermudah CF. saya sebenarnya mempunyai 2 langkah CF supaya saya tidak keliru.

Identiti adalah perkara seperti sek 2x sama dengan 1 + Tan ^ 2x, dan lain-lain yang asas.

Mengenai bentuk asalnya, itulah yang saya cuba fikirkan. Saya rasa saya harus meletakkan masalah dari segi Sin dan Cos untuk mempermudahnya. Saya harap itulah jawapannya.

baiklah, jadi kami berada di halaman yang sama. bukannya menggunakan 1 + tan ^ 2x, gunakan sin dan cos.

sediakan pecahan kompleks kemudian permudahkannya (petunjuk, jangan meletakkan cotx dari segi kosx / sinx)


7.1: Memudahkan Ekspresi Trigonometri dengan Identiti

Berakar dalam trigonometri segitiga kanan, terdapat:

Identiti Pythagoras terbukti benar dalam bahagian berikut: Mendapatkan Identiti Pythagoras.

Ungkapan-ungkapan ini adalah identiti trigonometri timbal balik mengikut definisi.

Ungkapan-ungkapan ini mewakili hubungan antara fungsi tangen dan sinus / kosinus.

Contohnya, ungkapan ini kompleks.

Ungkapan ini sederhana.

Anehnya, kedua ungkapan itu secara matematik sama antara satu sama lain. Sebelum kita melihat spesifik bagaimana mempermudah ekspresi rumit dengan ungkapan sederhana, kita perlu memperoleh strategi menyeluruh untuk bekerja dengan ungkapan trigonometri.

Berikut adalah beberapa strategi untuk menangani ungkapan trigonometri.

Kami akan menumpukan perhatian di sebelah kiri persamaan kerana ia adalah sisi paling rumit. Langkah pertama ialah mengganti fungsi tangen dengan sinus dan kosinus menggunakan formula pertama.

Untuk mendapatkan pendaraban pecahan, kita harus melihat fungsi sinus juga sebagai pecahan.

Sekarang, kita akan menggandakan sin x dan pecahan di sebelahnya.

Perlu diingat, (sin x) (sin x) = sin 2 x. Inilah hasilnya.

Sekarang, mari kita gunakan langkah ketiga dalam senarai strategi kita. Kita perlu mendapatkan penyebut yang sama. Penyebut yang sama ialah cos x. Ini bermaksud kita perlu mengalikan pembilang dan penyebut pecahan paling kiri dengan kos x, seperti itu.

Oleh kerana terdapat penyebut yang sama, kedua pengangka sekarang dapat ditambahkan.

Sekiranya kita melihat pengangka, kita dapat melihatnya sesuai dengan sebelah kiri Identiti Pythagoras pertama.

Pecahan terakhir ini dapat dipermudahkan sekali lagi. Looking at the first inverse relation, we can see that it is equal to sec x.

Since both sides have been found to be equal, this is proof that the original equation is an identity and our work is complete. Here are all eight steps listed in order.

Now that you have read a lesson on simplifying trigonometric expressions, watch these videos and try our interactive quiz.

Our first job will require us to take a look at the first Pythagorean Identity.

Unfortunately, we need to manipulate it slightly so that it can be of use for us. If we subtract the cosine-squared from both sides, it will be more clear how we can use it.

Taking a look at the last step of the process above, we can see this slightly new relationship.

The left side of this new relationship matches up perfectly with the left side of our problem. We are ready to substitute.

Our new equation becomes this.

Now, we will simplify the right side of our equation. We will similarly replace the tangent with its quotient identity.

It can be seen that the cosines will cancel.

Since both sides of the equation are identical, we have shown that the original equation is an identity and we are done. Here are all the steps written in order without the explanation.

Now that you have read a lesson on simplifying trigonometric expressions, try these videos and interactive quiz.


This challenging activity combines the skill of simplifying trigonometric expressions by using basic trig identities with the classic board game CLUE. Students will use the clues they gather from correctly solving equations to solve the mystery of Who Killed Mr. I. Dentity?

This item is editable using Adobe Acrobat Reader! Now you can customize the suspects, weapons and locations! You can even change the “crime” in the title.
Please note that the file may not function correctly in all PDF Readers. Please use Acrobat Reader to ensure best functionality.

This kit offers two ways to use this activity.

Use as a Scavenger Hunt: The download includes 23 full-color cards for you to print and hang around your room for a class activity. As students solve their problems, they look around the room for their answer to see what clue they should eliminate.

Use as an Individual Activity: The download also includes a version that has all of the necessary clue information so students can complete this activity outside of the classroom. This is perfect for students who were absent during the class activity.

In both versions, the worksheet contains 20 questions.

Each answer is associated with either a suspect, a weapon or a location. When a student gets the answer, that option is eliminated from the mystery. When they are finished, students will only have one suspect, one weapon and location left, and they will have solved the mystery!


Tonton videonya: KSSM Matematik Tingkatan 2 Bab 7 koordinat jom cuba no2 buku teks form2 (Oktober 2021).