Artikel

6.E: Persamaan Parabola (Latihan) - Matematik


Ini adalah latihan kerja rumah untuk menyertai Peta Teks "Persamaan Pembezaan Separa" Miersemann. Ini adalah buku teks yang disasarkan untuk kursus pertama semester mengenai persamaan pembezaan, yang ditujukan untuk pelajar kejuruteraan. Persamaan pembezaan separa adalah persamaan pembezaan yang mengandungi fungsi multivariabel yang tidak diketahui dan terbitan separa mereka. Prasyarat kursus adalah urutan kalkulus asas.

S6.1

Tunjukkan bahawa penyelesaian (u (x, t) ) yang diberikan oleh formula Poisson memuaskan

[ inf_ {z in mathbb {R} ^ n} varphi (z) le u (x, t) le sup_ {z in mathbb {R} ^ n} varphi (z) , $$ disediakan ( varphi (x) ) berterusan dan dibatasi pada ( mathbb {R} ^ n ).

S6.2

Selesaikan untuk f (x) ) dan ( mu in mathbb {R} ^ 1 ) yang diberi masalah nilai awal begin {eqnarray *} u_t + u_x + mu u_ {xxx} & = & 0 quad mbox {in} quad mathbb {R} ^ 1 times mathbb {R} ^ 1 _ + u (x, 0) & = & f (x) . tamat {eqnarray *}

S6.3

Tunjukkan dengan menggunakan formula Poisson: (i) Setiap fungsi (f in C ([a, b]) ) dapat didekati secara seragam dengan urutan (f_n in C ^ infty [a, b] ). (ii) Di (i) kita boleh memilih polinomial (f_n ) (teorema penghampiran Weierstrass).

Petunjuk: Mengenai (ii), gantikan kernel (K = exp (- {| yx | ^ 2 over4t}) ) dengan urutan polinomial Taylor dalam pemboleh ubah (z = - frac {| yx | ^ 2} {4t} ).

S6.4

Mari (u (x, t) ) menjadi penyelesaian positif $$ u_t = mu u_ {xx}, t> 0, $$ di mana ( mu ) adalah pemalar. Tunjukkan bahawa ( theta: = - 2 mu u_x / u ) adalah penyelesaian persamaan Burger $$ theta_t + theta theta_x = mu theta_ {xx}, t> 0. ]

S6.5

Andaikan (u_1 (s, t), ..., u_n (s, t) ) adalah penyelesaian (u_t = u_ {ss} ). Tunjukkan bahawa ( prod_ {k = 1} ^ nu_k (x_k, t) ) adalah penyelesaian persamaan haba (u_t- segitiga u = 0 ) di ( mathbb {R} ^ n kali (0, infty) ).

S6.6

Mari (A ), (B ) adalah matriks nyata, simetri dan bukan negatif. Bukan negatif bermaksud bahawa semua nilai eigen tidak negatif. Buktikan jejak itu ((AB) equiv sum_ {i, j = 1} ^ na ^ {ij} b_ {ij} ge0 ).

Petunjuk: (i) Biarkan (U = (z_1, ldots, z_n) ), di mana (z_l ) adalah sistem ortonormal evevektor kepada nilai eigen ( lambda_l ) matriks (B ). Kemudian $$ X = U kiri ( begin {array} {llcl} sqrt { lambda_1} & 0 & cdots & 0 0 & sqrt { lambda_2} & cdots & 0 cdots & cdots & cdots & cdots 0 & 0 & cdots & sqrt { lambda_n} end {array} kanan) U ^ T $$ adalah punca kuasa dua (B ). Kami ingat bahawa $$ U ^ TBU = kiri ( begin {array} {llcl} lambda_1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda_2 & cdots & 0 cdots & cdots & cdots & cdots 0 & 0 & cdots & lambda_n end {array} kanan). $$ (ii) jejak ((QR) = ) jejak ((RQ) ). (iii) Biarkan ( mu_1 (C), ldots mu_n (C) ) adalah nilai eigen dari matriks sebenar (n kali n ) - matriks. Kemudian jejak (C = sum_ {l = 1} ^ n mu_l (C) ), yang mengikuti dari lemma asas aljabar: begin {eqnarray *} mbox {det} ( lambda IC) & = & lambda ^ n- (c_ {11} + ldots + c_ {nn}) lambda ^ {n-1} + ldots & equiv & ( lambda- mu_1) cdot ldots cdot ( lambda- mu_n) & = & lambda ^ n - ( mu_1 + ldots + mu_n) lambda ^ {n + 1} + ldots akhir {eqnarray *}

S6.7

Andaikan ( Omega ) terikat, (u ) adalah penyelesaian persamaan haba dan (u ) memenuhi andaian keteraturan prinsip maksimum (Teorema 6.2). Tunjukkan bahawa (u ) mencapai maksimum dan minimum pada (S_T ).

S6.8

Buktikan prinsip perbandingan berikut: Andaikan ( Omega ) terikat dan (u, v ) memenuhi andaian keteraturan prinsip maksimum. Kemudian begin {eqnarray *} u_t- segitiga u & le & v_t- segitiga v mbox {in} D_T u & le & v mbox {on} S_T end {eqnarray *} menyiratkan bahawa (u le v ) di (D_T ).

S6.9

Tunjukkan bahawa prinsip perbandingan menyiratkan prinsip maksimum.

S6.10

Pertimbangkan masalah nilai awal-sempadan begin {eqnarray *} u_t- segitiga u & = & f (x, t) mbox {in} D_T u (x, t) & = & phi (x, t) mbox {on} S_T, end {eqnarray *} di mana (f ), ( phi ) diberikan. Buktikan keunikan dalam kelas (u, u_t, u_ {x_ix_k} in C ( overline {D_T}) ).

S6.11

Andaikan (u, v_1, v_2 in C ^ 2 (D_T) cap C ( overline {D_T}) ), dan (u ) adalah penyelesaian masalah nilai awal-sempadan sebelumnya dan (v_1 ), (v_2 ) memuaskan mula {eqnarray *} (v_1) _t- segitiga v_1 & le & f (x, t) le (v_2) _t- segitiga v_2 mbox {in} D_T v_1 & le & phi le v_2 mbox {on} S_T. end {eqnarray *} Tunjukkan bahawa (teorema penyertaan) $$ v_1 (x, t) le u (x, t) le v_2 (x, t) mbox {on} overline {D_T}. ]

S6.12

Tunjukkan dengan menggunakan prinsip perbandingan: biarkan (u ) menjadi penyelesaian biasa begin {eqnarray *} u_t - segitiga u & = & 1 quad mbox {in} quad D_T u & = & 0 quad mbox {on} quad S_T, end {eqnarray *} kemudian (0 le u (x, t) le t quad mbox {in} quad D_T ).

S6.13

Bincangkan hasil Teorema 6.3 untuk kes $$ Lu = sum_ {i, j = 1} ^ n a_ {ij} (x, t) u_ {x_ix_j} + sum_i ^ nb_i (x, t) u_ {x_i } + c (x, t) u (x, t). ]

S6.14

Tunjukkan bahawa $$ u (x, t) = sum_ {n = 1} ^ infty c_ne ^ {- n ^ 2t} sin (nx), $$ di mana $$ c_n = {2 over pi} int_0 ^ pi f (x) sin (nx) dx, $$ adalah penyelesaian masalah nilai sempadan awal begin {eqnarray *} u_t & = & u_ {xx}, x in (0, pi), t> 0, u (x, 0) & = & f (x), u (0, t) & = & 0, u ( pi, t) & = & 0, akhir {eqnarray *} jika (f di C ^ 4 ({ mathbb R}) ) ganjil sehubungan dengan (0 ) dan (2 pi ) - berkala.

S6.15

(i) Cari penyelesaian masalah penyebaran (c_t = Dc_ {zz} ) di (0 le z le l $, $ 0 le t < infty ), (D = konst.> 0 ), dalam keadaan sempadan (c_z (z, t) = 0 ) jika (z = 0 ) dan (z = l ) dan dengan kepekatan awal yang diberikan

[c (z, 0) = c_0 (z): = kiri { begin {array} {r @ { quad mbox {if} quad} l} c_0 = const. & 0 le z le h 0 & h

(ii) Hitung ( lim_ {t to infty} c (z, t) ).

S6.16

Selesaikan masalah nilai awal-sempadan (penyelesaian simetri berputar dalam bola): cari (c (r, t) ) pada ((0, R) kali (0, infty) ) mula {eqnarray } label {equr} frac { partial c} { partial t} & = & frac {1} {r ^ 2} frac { partial} { partial r} kiri (Dr ^ 2 frac { partial c} { partial r} right) -kc label {initial} c (r, 0) & = & h (r), 0 0 ) diperbaiki, (k ), (c_0 ), (D ) adalah pemalar positif, dan $$ h (r) = kiri { begin {array} {r @ { quad: quad} l} 0 & 0

S6.17

Buktikan formula Black-Scholes untuk pilihan put Eropah.

Petunjuk: Pariti panggilan.

S6.18

Buktikan keseimbangan put-call untuk pilihan Eropah $$ C (S, t) -P (S, t) = S-Ee ^ {- r (Tt)} $$ dengan menggunakan hasil keunikan berikut: Andaikan (W adalah penyelesaian (6.5.1) di bawah keadaan sisi (W (S, T) = 0 ), (W (0, t) = 0 ) dan (W (S, t) = O (S) ) sebagai (S to infty ), secara seragam pada (0 le t le T ). Kemudian (W (S, t) equiv 0 ).

S6.19

Buktikan bahawa penyelesaian (V (S, t) ) masalah nilai sempadan awal (6.5.1) di ( Omega ) di bawah keadaan sisi (i) (V (S, T) = 0 ), (S ge0 ), (ii) (V (0, t) = 0 ), (0 le t le T ), (iii) ( lim_ {S to infty} V (S, t) = 0 ) secara seragam di (0 le t le T ), ditentukan secara unik dalam kelas (C ^ 2 ( Omega) cap C ( overline { Omega}) ).

S6.20

Buktikan bahawa penyelesaian (V (S, t) ) masalah nilai sempadan awal (6.5.1) di ( Omega ), di bawah keadaan sisi (i) (V (S, T) = 0 ), (S ge0 ), (ii) (V (0, t) = 0 ), (0 le t le T ), (iii) (V (S, t ) = S + o (S) ) sebagai (S to infty ), secara seragam pada (0 le t le T ), memenuhi (| V (S, t) | le c S ) untuk semua (S ge 0 ) dan (0 le t le T ).


Tonton videonya: II Одделение - Математика - Заокружување на двоцифрен број од најблиската десетка (Oktober 2021).