Artikel

10.4E: Sistem Homogen I Pekali Tetap (Latihan)


S10.4.1

Dalam Latihan 10.4.1-10.4.15 cari jalan penyelesaian umum.

1. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {rr} 1 & 2 2 & 1 end {array} kanan] { bf y} )

2. ({ bf y} '= {1 over4} kiri [ begin {array} {rr} -5 & 3 3 & -5 end {array} kanan] { bf y} )

3. ({ bf y} '= {1 over5} kiri [ begin {array} {rr} -4 & 3 -2 & -11 end {array} kanan] { bf y} )

4. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {rr} -1 & -4 - 1 & -1 end {array} kanan] { bf y} )

5. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {rr} 2 & -4 - 1 & -1 end {array} kanan] { bf y} )

6. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {rr} 4 & -3 2 & -1 end {array} kanan] { bf y} )

7. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {rr} -6 & -3 1 & -2 end {array} kanan] { bf y} )

8. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {rrr} 1 & -1 & -2 1 & -2 & -3 - 4 & 1 & -1 end {array} kanan] { bf y} )

9. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {rrr} -6 & -4 & -8 - 4 & 0 & -4 - 8 & -4 & -6 end {array} kanan] { bf y} )

10. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {rrr} 3 & 5 & 8 1 & -1 & -2 - 1 & -1 & -1 end {array} kanan] { bf y } )

11. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {rrr} 1 & -1 & 2 12 & -4 & 10 - 6 & 1 & -7 end {array} kanan] { bf y } )

12. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {rrr} 4 & -1 & -4 4 & -3 & -2 1 & -1 & -1 end {array} kanan] { bf y} )

13. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {rrr} -2 & 2 & -6 2 & 6 & 2 - 2 & -2 & 2 end {array} kanan] { bf y} )

14. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {rrr} 3 & 2 & -2 - 2 & 7 & -2 -10 & 10 & -5 end {array} kanan] { bf y} )

15. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {rrr} 3 & 1 & -1 3 & 5 & 1 - 6 & 2 & 4 end {array} kanan] { bf y} )

S10.4.2

Dalam Latihan 10.4.16-10.4.27 menyelesaikan masalah nilai awal.

16. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} {- 7} & {4} {- 6} & {7} end {array} kanan] { bf y}, quad { bf y} (0) = kiri [ begin {array} {c} {2} {- 4} end {array} kanan] )

17. ({ bf y} '= frac {1} {6} kiri [ begin {array} {cc} {7} & {2} {- 2} & {2} akhir { array} kanan] { bf y}, quad { bf y} (0) = kiri [ begin {array} {c} {0} {- 3} end {array} kanan] )

18. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} {21} & {- 12} {24} & {- 15} end {array} kanan] { bf y}, quad { bf y} (0) = kiri [ begin {array} {c} {5} {3} end {array} kanan] )

19. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} {- 7} & {4} {- 6} & {7} end {array} kanan] { bf y}, quad { bf y} (0) = kiri [ begin {array} {c} {- 1} {7} end {array} kanan] )

20. ({ bf y} '= frac {1} {6} kiri [ begin {array} {ccc} {1} & {2} & {0} {4} & {- 1 } & {0} {0} & {0} & {3} end {array} kanan] { bf y}, quad { bf y} (0) = kiri [ start {array } {c} {4} {7} {1} end {array} kanan] )

21. ({ bf y} '= frac {1} {3} kiri [ begin {array} {ccc} {2} & {- 2} & {3} {- 4} & { 4} & {3} {2} & {1} & {0} end {array} kanan] { bf y}, quad { bf y} (0) = kiri [ mula { susunan} {c} {1} {1} {5} end {array} kanan] )

22. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {ccc} {6} & {- 3} & {- 8} {2} & {1} & {- 2} {3} & {- 3} & {- 5} end {array} kanan] { bf y}, quad { bf y} (0) = kiri [ start {array} {c} {0} {- 1} {- 1} end {array} kanan] )

23. ({ bf y} '= frac {1} {3} kiri [ begin {array} {ccc} {2} & {4} & {- 7} {1} & {5 } & {- 5} {- 4} & {4} & {- 1} end {array} kanan] { bf y}, quad { bf y} (0) = kiri [ mulakan {array} {c} {4} {1} {3} end {array} kanan] )

24. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {ccc} {3} & {0} & {1} {11} & {- 2} & {7} { 1} & {0} & {3} end {array} kanan] { bf y}, quad { bf y} (0) = kiri [ begin {array} {c} {2} {7} {6} end {array} kanan] )

25. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {ccc} {- 2} & {- 5} & {- 1} {- 4} & {- 1} & {1 } {4} & {5} & {3} end {array} kanan] { bf y}, quad { bf y} (0) = kiri [ start {array} {c} {8} {- 10} {- 4} end {array} kanan] )

26. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {ccc} {3} & {- 1} & {0} {4} & {- 2} & {0} {4} & {- 4} & {2} end {array} kanan] { bf y}, quad { bf y} (0) = kiri [ start {array} {c} {7 } {10} {2} end {array} kanan] )

27. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {ccc} {- 2} & {2} & {6} {2} & {6} & {2} { -2} & {- 2} & {2} end {array} kanan] { bf y}, quad { bf y} (0) = kiri [ start {array} {c} {6 } {- 10} {7} end {array} kanan] )

S10.4.3

28. Biarkan (A ) menjadi matriks malar (n kali n ). Kemudian Teorem 10.2.1 menunjukkan bahawa penyelesaian [{ bf y} '= A { bf y} tag {A} ]

semuanya ditakrifkan pada ((- infty, infty) ).

  1. Gunakan Teorema 10.2.1 untuk menunjukkan bahawa satu-satunya penyelesaian (A) yang dapat menyamai vektor sifar adalah ({ bf y} equiv { bf0} ).
  2. Katakan ({ bf y} _1 ) adalah penyelesaian (A) dan ({ bf y} _2 ) ditakrifkan oleh ({ bf y} _2 (t) = { bf y} _1 (t- tau) ), di mana ( tau ) adalah nombor nyata yang sewenang-wenangnya. Tunjukkan bahawa ({ bf y} _2 ) juga merupakan penyelesaian (A).
  3. Andaikan ({ bf y} _1 ) dan ({ bf y} _2 ) adalah penyelesaian dari (A) dan terdapat nombor nyata (t_1 ) dan (t_2 ) sehingga ({ bf y} _1 (t_1) = { bf y} _2 (t_2) ). Tunjukkan bahawa ({ bf y} _2 (t) = { bf y} _1 (t- tau) ) untuk semua (t ), di mana ( tau = t_2-t_1 ).

S10.4.4

Dalam Latihan 10.4.29-10.4.34 memerihalkan dan membuat graf lintasan sistem yang diberikan.

29. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} 1 & 1 1 & -1 end {array} kanan] { bf y} )

30. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} -4 & 3 - 2 & -11 end {array} kanan] { bf y} )

31. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} 9 & -3 - 1 & 11 end {array} kanan] { bf y} )

32. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} -1 & -10 - 5 & 4 end {array} kanan] { bf y} )

33. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} 5 & -4 1 & 10 end {array} kanan] { bf y} )

34. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} -7 & 1 3 & -5 end {array} kanan] { bf y} )

S10.4.5

35. Andaikan nilai eigen matriks (2 kali 2 ) (A ) adalah ( lambda = 0 ) dan ( mu ne0 ), dengan eigenvektor yang sesuai ({ bf x} _1 ) dan ({ bf x} _2 ). Biarkan (L_1 ) menjadi garis melalui asal selari dengan ({ bf x} _1 ).

  1. Tunjukkan bahawa setiap titik di (L_1 ) adalah lintasan penyelesaian berterusan ({ bf y} '= A { bf y} ).
  2. Tunjukkan bahawa lintasan penyelesaian tidak mantap ({ bf y} '= A { bf y} ) adalah garis separuh selari dengan ({ bf x} _2 ) dan di kedua-dua sisi (L_1 ), dan arah pergerakan di sepanjang lintasan ini jauh dari (L_1 ) jika ( mu> 0 ), atau ke arah (L_1 ) jika ( mu <0 ).

S10.4.6

Matriks sistem di Latihan 10.4.36-10.4.41 bersifat tunggal. Huraikan dan gambarkan lintasan penyelesaian tidak mantap dari sistem yang diberikan.

36. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} -1 & 1 1 & -1 end {array} kanan] { bf y} )

37. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} -1 & -3 2 & 6 end {array} kanan] { bf y} )

38. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} 1 & -3 - 1 & 3 end {array} kanan] { bf y} )

39. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} 1 & -2 - 1 & 2 end {array} kanan] { bf y} )

40. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} -4 & -4 1 & 1 end {array} kanan] { bf y} )

41. ({ bf y} '= kiri [ begin {array} {cc} 3 & -1 - 3 & 1 end {array} kanan] { bf y} )

S10.4.6

42. Biarkan (P = P (t) ) dan (Q = Q (t) ) menjadi populasi dua spesies pada masa (t ), dan anggap bahawa setiap populasi akan tumbuh secara eksponensial jika yang lain tidak wujud; iaitu, jika tidak ada persaingan,

[P '= aP quad text {dan} quad Q' = bQ, tag {A} ]

di mana (a ) dan (b ) adalah pemalar positif. Salah satu cara untuk memodelkan kesan persaingan adalah dengan menganggap bahawa kadar pertumbuhan setiap individu setiap populasi dikurangkan dengan jumlah yang sebanding dengan populasi yang lain, sehingga (A) digantikan oleh

[ start {aligned} P '& = phantom {-} aP- alpha Q Q' & = - beta P + bQ, end {aligned} ]

di mana ( alpha ) dan ( beta ) adalah pemalar positif. (Oleh kerana populasi negatif tidak masuk akal, sistem ini hanya berlaku sementara (P ) dan (Q ) keduanya positif.) Sekarang anggap (P (0) = P_0> 0 ) dan (Q ( 0) = Q_0> 0 ).

  1. Untuk beberapa pilihan (a ), (b ), ( alpha ), dan ( beta ), sahkan secara eksperimen (dengan membuat graf lintasan (A) di (P ) - (Q ) satah) bahawa terdapat pemalar ( rho> 0 ) (bergantung pada (a ), (b ), ( alpha ), dan ( beta )) dengan sifat berikut:
    1. Sekiranya (Q_0> rho P_0 ), maka (P ) menurun secara monoton menjadi sifar dalam masa terhingga, di mana (Q ) tetap positif.
    2. Sekiranya (Q_0 < rho P_0 ), maka (Q ) menurun secara monoton menjadi sifar dalam masa terhingga, di mana (P ) tetap positif.
  2. Membuat kesimpulan dari (a) bahawa salah satu spesies akan pupus dalam masa yang terhad jika (Q_0 ne rho P_0 ). Tentukan secara eksperimen apa yang berlaku jika (Q_0 = rho P_0 ).
  3. Sahkan hasil percubaan anda dan tentukan ( gamma ) dengan menyatakan nilai eigen dan vektor eigen yang berkaitan dengan [A = left [ begin {array} {cc} { alpha} & {- alpha} {- beta} & {b} end {array} kanan] bukan bilangan ] dari segi (a ), (b ), ( alpha ), dan ( beta ), dan berlaku argumen geometri yang dikembangkan pada akhir bahagian ini.

Dengan melakukan operasi baris dasar pada sistem homogen, kita memperoleh sistem setara yang semuanya homogen. Sebenarnya, operasi baris dasar (mengalikan persamaan dengan pemalar bukan sifar menambahkan gandaan satu persamaan ke persamaan lain yang menukar dua persamaan) membiarkan vektor sifar pemalar di sebelah kanan tanda sama tidak terjejas.

Akibatnya, kita dapat mengubah sistem asal menjadi sistem homogen yang setara di mana matriks berada dalam bentuk eselon baris (REF).


Persamaan Pesanan Kedua dengan Pekali Tetap

dipanggil PERALATAN LINEAR HOMOGENEOUS ORDER KEDUA DENGAN KOPI PENTING.

Mari kita anggap bahawa untuk menjadi penyelesaian Persamaan (8.3.1) (di mana pemalar, dan akan ditentukan). Untuk mempermudah perkara ini, kami menunjukkan

Sekarang, jelas bahawa itu adalah penyelesaian Persamaan (8.3.1) jika dan hanya jika

Persamaan (8.3.2) dipanggil PERISIAN KARAKTERISTIK Persamaan (8.3.1). Persamaan (8.3.2) adalah persamaan kuadratik dan mengakui 2 punca (akar berulang dikira dua kali).

Kes 1: Biarkan menjadi akar sebenar Persamaan (8.3.2) dengan
Kemudian dan merupakan dua penyelesaian Persamaan (8.3.1) dan lebih-lebih lagi ia bebas linear (sejak). Iaitu, membentuk sistem asas penyelesaian Persamaan (8.3.1).

Kes 2: Biarkan menjadi akar berulang
Sekarang,

Oleh itu, dan merupakan dua penyelesaian Persamaan bebas secara linear (8.3.1). Dalam kes ini, kita mempunyai sistem asas penyelesaian Persamaan (8.3.1).

Kes 3: Biarkan menjadi akar Persamaan yang kompleks (8.3.2).
Jadi, juga merupakan akar Persamaan (8.3.2). Sebelum meneruskan, kami perhatikan:

Biarkan menjadi akar kompleks Kemudian

adalah penyelesaian Persamaan yang kompleks (8.3.1). Oleh Lemma 8.3.2, dan merupakan penyelesaian Persamaan (8.3.1). Sangat mudah untuk diperhatikan dan bebas secara linear. Ini sama baiknya dengan mengatakan bahawa membentuk sistem asas penyelesaian Persamaan (8.3.1).

  1. Cari penyelesaian umum bagi persamaan berikut.
    1. di mana pemalar sebenar.
    1. Juga, dalam setiap kes, cari

    Tunjukkan bahawa ia mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika Bandingkan ini dengan Latihan 4. Juga, tunjukkan bahawa jika ada banyak penyelesaian untuk (8.3.3).


    Catatan mengenai Diffy Qs: Persamaan Pembezaan untuk Jurutera

    Sekali lagi, penyatuan bermaksud bahawa setiap komponen vektor (e ^ vec(s) ) disatukan secara berasingan. Tidak sukar untuk melihat bahawa (3.6) benar-benar memenuhi keadaan awal ( vec(0) = vec teks <.> )

    Contoh 3.9.1.

    Anggaplah kita mempunyai sistem

    dengan syarat awal (x_1 (0) = 1, x_2 (0) = 0 teks <.> )

    Mari kita tulis sistem sebagai

    Matriks (P = kiri [ bermula 5 & ​​amp -3 3 & amp -1 akhir kanan] ) mempunyai nilai eigen 2 yang berlipat ganda dengan kecacatan 1, dan kami membiarkannya sebagai latihan untuk memeriksa semula kami mengira (e ^) dengan betul. Sebaik sahaja kita mempunyai (e ^ text <,> ) kita dapati (e ^ <-tP> text <,> ) hanya dengan meniadakan (t text <.> )

    Daripada mengira keseluruhan formula sekaligus, marilah kita melakukannya secara berperingkat. Pertama

    Mari kita periksa bahawa ini benar-benar berfungsi.

    Begitu juga (latihan) (x_2 '+ 3 x_1 - x_2 = 0 text <.> ) Keadaan awal juga berpuas hati (latihan).

    Untuk sistem, kaedah faktor penyatuan hanya berfungsi jika (P ) tidak bergantung pada (t text <,> ) iaitu (P ) adalah tetap. Masalahnya ialah secara umum

    kerana pendaraban matriks tidak bersifat komutatif.

    Subseksyen 3.9.1.2 Penguraian Eigenvektor

    Untuk kaedah seterusnya, perhatikan bahawa eigen vektor matriks memberikan arah di mana matriks bertindak seperti skalar. Sekiranya kita menyelesaikan sistem mengikut arah ini, pengiraannya lebih mudah kerana kita menganggap matriks sebagai skalar. Kami kemudian mengumpulkan penyelesaian tersebut untuk mendapatkan penyelesaian umum untuk sistem.

    Andaikan (A ) mempunyai (n ) eigenvectors bebas linear ( vec_1, vec_2, lots, vec_n text <.> ) Tulis

    Maksudnya, kami ingin menulis penyelesaian kami sebagai gabungan linear eigen vektor (A text <.> ) Sekiranya kami menyelesaikan fungsi skalar ( xi_1 ) hingga ( xi_n text <,> ) kami mempunyai penyelesaian kami ( vec text <.> ) Mari kita menguraikan ( vec) dari segi vektor eigen juga. Kami ingin menulis

    Maksudnya, kami ingin mencari (g_1 ) melalui (g_n ) yang memuaskan (3.9). Oleh kerana semua vektor eigen bebas, matriks (E = [, vec_1 quad vec_2 quad cdots quad vec_n ,] ) boleh ditukar. Tuliskan persamaan (3.9) sebagai ( vec = E vec text <,> ) di mana komponen ( vec) adalah fungsi (g_1 ) hingga (g_n text <.> ) Kemudian ( vec = E ^ <-1> vec text <.> ) Oleh itu, selalu dapat dijumpai ( vec) apabila terdapat (n ) eigen vektor bebas linear.

    Kami pasangkan (3.8) ke (3.7), dan perhatikan bahawa (A vec_k = lambda_k vec_k teks <:> )

    Sekiranya kita mengenal pasti pekali vektor ( vec_1 ) hingga ( vec_n text <,> ) kita mendapat persamaan

    vdots xi_n '& amp = lambda_n xi_n + g_n. akhir akhir

    Setiap persamaan ini bebas daripada yang lain. Kesemuanya adalah persamaan urutan pertama linear dan dapat diselesaikan dengan mudah dengan kaedah faktor penyatuan standard untuk persamaan tunggal. Iaitu, untuk teks (k ^ <> ) persamaan yang kita tulis

    Kami menggunakan faktor penyatuan (e ^ <- lambda_k t> ) untuk mendapatkannya

    Kami mengintegrasikan dan menyelesaikan ( xi_k ) untuk mendapatkannya

    Sekiranya kita mencari penyelesaian tertentu, kita boleh menetapkan (C_k ) menjadi sifar. Sekiranya kita membiarkan pemalar ini masuk, kita akan mendapat penyelesaian umum. Tulis ( vec(t) = vec_1 xi_1 (t) + vec_2 xi_2 (t) + cdots + vec_n xi_n (t) text <,> ) dan kami selesai.

    Seperti biasa, mungkin lebih baik menulis integral ini sebagai integral yang pasti. Anggaplah kita mempunyai keadaan awal ( vec(0) = vec text <.> ) Ambil ( vec = E ^ <-1> vec) untuk mencari ( vec = vec_1 a_1 + vec_2 a_2 + cdots + vec_n a_n text <,> ) seperti sebelumnya. Kemudian jika kita menulis

    kita mendapat penyelesaian tertentu ( vec(t) = vec_1 xi_1 (t) + vec_2 xi_2 (t) + cdots + vec_n xi_n (t) ) memuaskan ( vec(0) = vec text <,> ) kerana ( xi_k (0) = a_k text <.> )

    Mari kita perhatikan bahawa teknik yang baru saja kita gariskan adalah kaedah nilai eigen yang diterapkan pada sistem yang tidak homogen. Sekiranya sistem homogen, iaitu jika ( vec= vec <0> text <,> ) maka persamaan yang kita dapat ialah ( xi_k '= lambda_k xi_k text <,> ) dan begitu ( xi_k = C_k e ^ < lambda_k t > ) adalah penyelesaiannya dan itulah yang kami dapat di Bahagian 3.4.

    Contoh 3.9.2.

    Mari (A = kiri [ bermula 1 & amp 3 3 & amp 1 akhir kanan] teks <.> ) Selesaikan (< vec> '= A vec + vec) di mana ( vec(t) = kiri [ mula 2e ^ t 2t akhir kanan] ) untuk ( vec(0) = kiri [ mula 3/16 -5/16 akhir kanan] teks <.> )

    Nilai eigen (A ) adalah (- 2 ) dan 4 dan vektor eigen yang sesuai adalah ( kiri [ mula 1 -1 akhir kanan] ) dan ( kiri [ bermula 1 1 akhir kanan] ) masing-masing. Pengiraan ini dibiarkan sebagai latihan. Kami menuliskan matriks (E ) vektor eigen dan mengira terbalik (menggunakan formula terbalik untuk matriks (2 kali 2 ))

    Kami mencari penyelesaian bentuk ( vec = kiri [ bermula 1 -1 akhir kanan] xi_1 + kiri [ bermula 1 1 akhir kanan] xi_2 teks <.> ) Mula-mula kita perlu menulis ( vec) dari segi eigen vektor. Itulah kita ingin menulis ( vec = kiri [ bermula 2e ^ t 2t akhir kanan] = kiri [ bermula 1 -1 akhir kanan] g_1 + kiri [ bermula 1 1 akhir kanan] g_2 teks <.> ) Oleh itu

    Oleh itu (g_1 = e ^ t-t ) dan (g_2 = e ^ t + t teks <.> )

    Kita perlu menulis lagi ( vec(0) ) dari segi eigen vektor. Maksudnya, kami ingin menulis ( vec(0) = kiri [ mula 3/16 -5/16 akhir kanan] = kiri [ bermula 1 -1 akhir kanan] a_1 + kiri [ bermula 1 1 akhir kanan] a_2 teks <.> ) Oleh itu

    Oleh itu (a_1 = nicefrac <1> <4> ) dan (a_2 = nicefrac <-1> <16> text <.> ) Kami pasangkan ( vec kami) ke dalam persamaan dan dapatkan

    Kami menyelesaikan dengan faktor penyatuan. Pengiraan integral dibiarkan sebagai latihan kepada pelajar. Anda memerlukan penyatuan mengikut bahagian.

    (C_1 ) ialah pemalar perpaduan. Sebagai ( xi_1 (0) = nicefrac <1> <4> text <,> ) maka ( nicefrac <1> <4> = nicefrac <1> <3> + nicefrac <1> <4> + C_1 ) dan oleh itu (C_1 = nicefrac <-1> <3> text <.> ) Begitu juga

    Sebagai ( xi_2 (0) = nicefrac <-1> <16> ) kita mempunyai ( nicefrac <-1> <16> = nicefrac <-1> <3> - nicefrac <1> < 16> + C_2 ) dan oleh itu (C_2 = nicefrac <1> <3> text <.> ) Penyelesaiannya adalah

    Latihan 3.9.1.

    Pastikan (x_1 ) dan (x_2 ) menyelesaikan masalah. Periksa kedua-duanya bahawa mereka memenuhi persamaan pembezaan dan bahawa mereka memenuhi syarat awal.

    Subseksyen 3.9.1.3 Pekali yang tidak ditentukan

    Kaedah pekali yang tidak ditentukan juga berfungsi untuk sistem. Satu-satunya perbezaan ialah kita menggunakan vektor yang tidak diketahui dan bukan hanya nombor. Peringatan yang sama berlaku untuk pekali yang tidak ditentukan untuk sistem seperti untuk persamaan tunggal. Kaedah ini tidak selalu berfungsi. Tambahan pula, jika sebelah kanan rumit, kita harus menyelesaikan banyak pemboleh ubah. Setiap elemen vektor yang tidak diketahui adalah nombor yang tidak diketahui. Dalam sistem 3 persamaan dengan katakanlah 4 vektor yang tidak diketahui (ini tidak biasa), kita sudah mempunyai 12 nombor yang tidak diketahui untuk diselesaikan. Kaedahnya boleh berubah menjadi kerja yang membosankan jika dilakukan dengan tangan. Oleh kerana kaedah ini pada dasarnya sama dengan persamaan tunggal, mari kita buat contoh.

    Contoh 3.9.3.

    Mari (A = kiri [ bermula -1 & amp 0 -2 & amp 1 akhir kanan] teks <.> ) Cari penyelesaian tertentu dari (< vec> '= A vec + vec) di mana ( vec(t) = kiri [ mula e ^ t t akhir kanan] teks <.> )

    Perhatikan bahawa kita dapat menyelesaikan sistem ini dengan cara yang lebih mudah (dapatkah anda melihat caranya?), Tetapi untuk tujuan contoh, mari kita menggunakan kaedah nilai eigen ditambah dengan pekali yang tidak ditentukan. Nilai eigen (A ) adalah (- 1 ) dan 1 dan vektor eigen yang sesuai adalah ( kiri [ mula 1 1 akhir kanan] ) dan ( kiri [ bermula 0 1 akhir kanan] ) masing-masing. Oleh itu penyelesaian pelengkap kami adalah


    10.4E: Sistem Homogen I Pekali Tetap (Latihan)

    Gunakan penghapusan Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan homogen berikut.

    Penyelesaian: Dengan transformasi asas, matriks pekali dapat dikurangkan ke bentuk eselon baris

    Peringkat matriks ini sama dengan 3, sehingga sistem dengan empat yang tidak diketahui mempunyai sejumlah penyelesaian yang tidak terbatas, bergantung pada satu pemboleh ubah bebas. Sekiranya kita memilih x 4 sebagai pemboleh ubah bebas dan menetapkan x 4 = c, maka yang tidak diketahui yang terdahulu harus dinyatakan melalui parameter c. Matriks di atas sesuai dengan sistem homogen berikut

    Persamaan terakhir menunjukkan

    Dengan menggunakan kaedah penggantian belakang kita dapat

    Oleh itu, penyelesaian umum sistem yang diberikan diberikan dengan formula berikut:

    Untuk mendapatkan penyelesaian tertentu x 1 kita harus memberikan beberapa nilai pada parameter c. Sekiranya c = 4 maka

    Pemeriksaan penyelesaian: Tunjukkan bahawa set nilai yang tidak diketahui

    mengurangkan semua persamaan sistem linear yang diberikan kepada identiti:

    Biarkan. Cari penyelesaian sistem persamaan linear yang homogen

    Penyelesaian: Ubah matriks pekali ke bentuk eselon baris:

    Oleh kerana itu, kita harus menganggap dua yang tidak diketahui sebagai yang tidak diketahui yang terkemuka dan untuk memberikan nilai parametrik kepada yang tidak diketahui yang lain. Dengan menetapkan x 2 = c 1 dan x 3 = c 2 kita memperoleh sistem linear homogen berikut:

    Oleh itu, sistem yang diberikan mempunyai penyelesaian umum berikut:

    Memandangkan sifat matriks, penyelesaian umum juga dapat dinyatakan sebagai gabungan linear penyelesaian tertentu:

    membentuk sistem penyelesaian asas.

    Biarkan. Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut

    Terangkan mengapa tidak ada penyelesaian, sebilangan besar penyelesaian, atau tepat satu penyelesaian.

    Penyelesaian: Perhatikan bahawa mana-mana sistem homogen konsisten dan sekurang-kurangnya mempunyai penyelesaian yang remeh.

    Ubah matriks pekali ke bentuk eselon segitiga atau baris.

    Pangkat A sama dengan 3. Oleh itu, tidak ada pemboleh ubah bebas dan sistem


    10.4E: Sistem Homogen I Pekali Tetap (Latihan)

    Siapkan dan selesaikan masalah musim bunga berikut.

    Latihan 1

    Apabila jisim 5 gram digantung secara menegak dari mata air, pada waktu rehat, ia meregangkan mata air 2.45 cm. (Pecutan graviti adalah (g = 980 cm / saat ^ 2 ).) Pada (t = 0 ) jisim dipindahkan dari kedudukan keseimbangannya dengan halaju awal 2 cm / saat. Cari jalan keluar untuk masalah nilai awal ini untuk nilai yang agak kecil (t ) di mana kita akan menganggap kesan pelembapan tidak dapat diabaikan. Tulis penyelesaian anda sebagai (A cos ( omega_0t - delta) ) di mana (w_0 ) adalah frekuensi semula jadi, dan ( delta ) adalah peralihan fasa.

    Penyelesaian

    Mula-mula kita perhatikan keadaan awal untuk masalah ini ialah (u (0) = 0 ) cm dan (u & # 39 (0) = 2 ) cm / s. Kemudian kita dapati pemalar spring (k ). Kita tahu (mg = kL ) jadi (5 (980) = k (2.45) ) dan (k = 2000 ). Kemudian kami menyelesaikan persamaan (5u & # 39 & # 39 + 2000u = 0 ). Akar ciri polinomial adalah ( pm 20i ) jadi penyelesaian umum adalah (c_1 cos (20t) + c_2 sin (20t) ). Keadaan awal memberi kita bahawa (c_1 = 0 ) dan (c_2 = 0.1 ) jadi penyelesaiannya adalah [u (t) = 0.1 sin (20t) = 0.1 cos (20t - pi / 2) ,. ] Grafiknya ialah

    Latihan 2

    Apabila jisim 4 gram digantung secara menegak dari mata air, pada waktu rehat, ia meregangkan spring 9,8 cm. (Pecutan graviti adalah (g = 980 cm / saat ^ 2 ).) Pada (t = 0 ) jisim diregangkan 2 cm dari kedudukan keseimbangannya dan dilepaskan tanpa halaju awal. Cari jalan keluar untuk masalah nilai awal ini untuk nilai yang agak kecil dari (t ) di mana kita akan menganggap kesan pelembapan diabaikan. Tulis penyelesaian anda sebagai (A cos ( omega_0t - delta) ) di mana (w_0 ) adalah frekuensi semula jadi, dan ( delta ) adalah peralihan fasa.

    Penyelesaian

    Mula-mula kita perhatikan keadaan awal untuk masalah ini ialah (u (0) = 2cm ) dan (u & # 39 (0) = 0cm / s ). Kemudian kita dapati pemalar spring (k ). Kita tahu (mg = kL ) jadi (4 (980) = k (9.8) ) dan (k = 400 ). Kemudian kami menyelesaikan persamaan (4u & # 39 & # 39 + 400u = 0 ). Akar ciri polinomial adalah ( pm 10i ) jadi penyelesaian umum adalah (c_1 cos (10t) + c_2 sin (10t) ). Syarat awal memberi kita bahawa (c_1 = 2 ) dan (c_2 = 0 ) jadi penyelesaiannya adalah

    Latihan 3

    Anggap berat 8 lb membentangkan spring 6 inci. Ingat bahawa pemalar graviti bagi unit piawai adalah (32 kaki / s ^ 2 ) (juga ingat bahawa paun adalah satuan daya (berat) bukan jisim). Cari ungkapan yang mewakili kedudukan jisim berkenaan dengan kedudukan keseimbangannya jika kita menganggap kesan pelembapan tidak dapat diabaikan dan tidak ada daya luaran yang bertindak pada jisim, di mana jisim pada mulanya diregangkan penambahan 3 di luar kedudukan keseimbangan an dilepaskan dengan halaju awal 2 kaki / s.

    Penyelesaian

    Jisimnya adalah slug (1/4 ). Pemalar spring ialah (8 = k / 2 ) begitu (k = 16 ). Maka persamaannya adalah ((1/4) u & # 39 & # 39 + 16u = 0 ) dan syarat awalnya adalah (u (0) = 1/4 ) dan (u & # 39 (0) = 2 ). Penyelesaian umum ialah (u (t) = c_1 cos (8t) + c_2 sin (8t) ). Penyelesaiannya apabila kita memasukkan keadaan awal kita mendapat [u (t) = frac <1> <4> ( cos (8t) + sin (8t)) = frac < sqrt <2>> < 4> cos (8t - pi / 4) ]

    Latihan 4

    Anggap berat 4 lb meregangkan pegas 2 kaki. Ingat bahawa pemalar graviti bagi unit piawai adalah (32 kaki / s ^ 2 ) (juga ingat bahawa satu paun adalah satuan daya (berat) bukan jisim) Cari ungkapan yang mewakili kedudukan jisim berkenaan dengan kedudukan keseimbangan jika kita menganggap kesan pelembapan tidak dapat diabaikan dan tidak ada daya luaran yang bertindak pada jisim, di mana jisim pada mulanya diregangkan penambahan (1 / sqrt <3> ) kaki melebihi kedudukan keseimbangan yang dilepaskan dengan halaju awal 4 kaki / s.

    Penyelesaian

    Jisimnya adalah slug (1/8 ). Pemalar spring adalah (4 = 2k ) begitu (k = 2 ). Maka persamaannya adalah ((1/8) u & # 39 & # 39 + 2u = 0 ) dan syarat awalnya adalah (u (0) = 1 / sqrt <3> ) dan (u & # 39 ( 0) = 4 ). Penyelesaian umum ialah (u (t) = c_1 cos (4t) + c_2 sin (4t) ). Penyelesaiannya apabila kita memasukkan keadaan awal kita mendapat [u (t) = frac <1> < sqrt <3>> ( cos (4t) + sqrt <3> sin (4t)) = frac <2 sqrt <3>> <3> cos (4t - pi / 3) ]

    Katakan setiap persamaan berikut memodelkan pergerakan jisim pada musim bunga. Tentukan sama ada musim bunga dilembapkan secara kritikal, terlalu lembap, atau di bawah lembap.

    Latihan 5

    Penyelesaian

    Persamaan ciri ialah (4z ^ 2 + 2 z + 1 = 0 ) yang mempunyai akar (- 1/4 pm i sqrt <3> / 4 ). Oleh kerana akarnya rumit, sistem ini kurang berfungsi.

    Latihan 6

    Penyelesaian

    Persamaan ciri adalah (2x ^ 2 + 10 x + 3 = 0 ) yang mempunyai akar (- 2,5 pm sqrt <76> / 4 ). Oleh kerana akarnya berbeza dan nyata, sistem ini terlalu banyak.

    Latihan 7

    Penyelesaian

    Persamaan ciri ialah (2w ^ 2 + 5 w + 2 = 0 ) yang mempunyai akar (- 2, - frac <1> <2> ). Oleh kerana akarnya berbeza dan nyata sistemnya terlalu lembap.

    Latihan 8

    Penyelesaian

    Persamaan ciri adalah (3x ^ 2 + 12 x + 12 = 0 ) yang mempunyai satu akar (- 2 ). Oleh itu, sistem ini sangat lemah.

    Latihan 9

    Penyelesaian

    Persamaan ciri ialah (2v ^ 2 + 20 v + 50 = 0 ) yang mempunyai satu punca (- 5 ). Oleh itu, sistem ini sangat lemah.

    Latihan 10

    Penyelesaian

    Persamaan ciri adalah (3x ^ 2 + 2 x + 4 = 0 ) yang mempunyai akar (- 1 pm i sqrt <2> ). Oleh kerana akarnya rumit, sistem ini kurang berfungsi.

    Selesaikan masalah berikut

    Latihan 11

    Anggap berat 4 lb membentangkan spring 3 inci. Ingat bahawa pemalar graviti bagi unit piawai adalah (32 kaki / s ^ 2 ) (juga ingat bahawa paun adalah satuan daya (berat) bukan jisim). Katakan kita juga bahawa apabila jisim bergerak (2 kaki / saat ) medium di mana jisim bergerak memberikan kekuatan 6 lbs. Adakah sistem ini terlalu lembap, lemah secara kritikal, atau kurang lembap? Nyatakan dengan pengiraan yang sesuai. (Anda tidak perlu mencari jalan keluar. Kelaskan sistem ini).

    Penyelesaian

    Dalam kes ini jisimnya adalah slug ((1/8) ), dan pemalar pegas adalah (4 = k / 4 ) begitu (k = 16 ). Pemalar pelembap adalah 3. Jadi persamaannya adalah (u & # 39 & # 39/8 + 3u & # 39 + 16u = 0 ). Akar dari persamaan ciri adalah -8 dan -16, oleh kerana ia berbeza dan nyata sistemnya terlalu padat.

    Latihan 12

    Anggap berat 4 lb membentangkan spring 3 inci. Ingat bahawa pemalar graviti bagi unit piawai adalah (32 kaki / s ^ 2 ) (juga ingat bahawa paun adalah satuan daya (berat) bukan jisim). Katakan kita juga bahawa semasa jisim bergerak (2 kaki / saat ) medium di mana jisim bergerak memberikan kekuatan 6 lbs. Cari fungsi (u (t) ) yang mengukur kedudukan pegas jika pada mulanya digerakkan 2 inci dari kedudukan keseimbangannya dan dilepaskan tanpa halaju awal.

    Penyelesaian

    Dari masalah sebelumnya, kita mempunyai penyelesaian umum adalah (u (t) = c_1e ^ <-8t> + c_2e ^ <-16t> ). Kemudian pasangkan keadaan awal (u (0) = 1/6 ) ft atau (u (t) = 2 ) dan (u & # 39 (0) = 0 ) penyelesaiannya adalah sama ada [ u (t) = frac <2e ^ <-8t> - e ^ <-16t>> <6> teks u (t) = 4e ^ <-8t> - 2e ^ <-16t> teks ] Grafiknya adalah

    Latihan 13

    Anggap berat 8 lb membentangkan spring 6 inci. Ingat bahawa pemalar graviti bagi unit piawai adalah (32 kaki / s ^ 2 ) (juga ingat bahawa paun adalah satuan daya (berat) bukan jisim). Katakan kita juga mempertimbangkan kesan pelembapan, di mana ketika jisim bergerak (2 kaki / saat ) medium di mana jisim bergerak memberikan kekuatan 8 lbs. Adakah sistem ini terlalu lembap, lemah secara kritikal, atau kurang lembap? Nyatakan dengan pengiraan yang sesuai. (Anda tidak perlu mencari jalan keluar. Kelaskan sistem ini).

    Penyelesaian

    Jisimnya adalah (1/4) slug, dan pemalar spring adalah (8 = k / 2 ) jadi (k = 16 ). Pemalar pelembap adalah 4. Kemudian persamaannya adalah (u & # 39 & # 39/4 + 4u & # 39 + 16u = 0 ). Satu-satunya punca kepada persamaan ciri ialah -8, sehingga sistemnya dikaburkan secara kritis.

    Latihan 14

    Anggap berat 8 lb membentangkan spring 6 inci. Ingat bahawa pemalar graviti bagi unit piawai adalah (32 kaki / s ^ 2 ) (juga ingat bahawa paun adalah satuan daya (berat) bukan jisim). Katakan kita juga mempertimbangkan kesan pelembapan, di mana ketika jisim bergerak (2 kaki / saat ) medium di mana jisim bergerak memberikan kekuatan 8 lbs. Cari fungsi (u (t) ) yang mengukur kedudukan pegas jika bergerak dari kedudukan keseimbangannya dengan halaju awal 2 kaki / saat.

    Penyelesaian

    Dari masalah sebelumnya, penyelesaian umum akan (u (t) = (c_1 + c_2t) e ^ <-8t> ) dengan keadaan awal (u (0) = 0 ) dan (u & # 39 (0 ) = 2 ). Penyelesaiannya ialah [u (t) = 2 t e ^ <-8t> text ,. ] Grafiknya ialah

    Latihan 15

    Andaikan jisim 4 kg membentangkan spring 19.6 cm, dan apabila jisim bergerak dengan halaju 5 cm / s, medium di mana jisim bergerak memberikan daya likat 3 N. atau kekurangan perhatian? Nyatakan dengan pengiraan yang sesuai. (Anda tidak perlu mencari jalan keluar. Kelaskan sistem ini).

    Penyelesaian

    Mula-mula kita harus berhati-hati dengan unit. Oleh kerana daya berada di Newton, kita perlu menukar cm ke m. Jisimnya ialah 4kg, dan pemalar spring adalah (k = 200 ). Maka pemalar pelembapan adalah (3 = 0,05 gamma ) begitu ( gamma = 60 ). Maka persamaannya ialah (4u & # 39 & # 39 + 60u & # 39 + 200u = 0 ). Akar persamaan ciri adalah (- 5, -10 ), sehingga sistemnya terlalu padat.

    Latihan 16

    Anggap jisim 4 kg membentangkan spring 19.6 cm, dan bahawa apabila jisim bergerak dengan halaju 5 cm / s, medium di mana jisim bergerak memberikan daya likat 3 N. Cari ungkapan yang mewakili kedudukan jisim berkenaan dengan kedudukan keseimbangannya jika tidak ada daya luaran yang bertindak pada jisim, dan ia dilepaskan dari kedudukan keseimbangannya dengan halaju awal 5 cm / s.

    Penyelesaian

    Dari masalah sebelumnya IVP kami ialah [4 u & # 39 & # 39 + 60 u & # 39 + 200 u = 0 , qquad u (0) = 0 ,, quad u & # 39 (0) = 5 , . ] Ini mempunyai penyelesaian umum (u (t) = c_1e ^ <-5t> + c_2e ^ <-10t> ). Memasukkan pada keadaan awal kita mempunyai (c_1 + c_2 = 0 ) dan (- 5c_1-10c_2 = 5 ), dan kita ada penyelesaiannya ialah [u (t) = e ^ <-5t> - e ^ <-10t> text ,. ] Grafiknya ialah

    Latihan 17

    Andaikan jisim 2 kg membentangkan spring 4.9 meter. Katakan kita juga mempertimbangkan kesan pelembapan dan bahawa ketika jisim bergerak 1 m / s, medium di mana jisim bergerak memberikan daya 4 N. Adakah sistem ini terlalu lembap, lemah secara kritis, atau kurang lembap? Nyatakan dengan pengiraan yang sesuai. (Anda tidak perlu mencari jalan keluar. Kelaskan sistem ini).

    Penyelesaian

    Persamaannya ialah (2u & # 39 & # 39 + 4u & # 39 + 4u = 0 ). Punca persamaan ciri adalah (- 1 pm i ) sehingga sistemnya kurang berfungsi.

    Latihan 18

    Andaikan jisim 2 kg membentangkan spring 4.9 meter. Katakan kita juga mempertimbangkan kesan pelembapan dan bahawa ketika jisim bergerak 1 m / s, medium di mana jisim bergerak memberikan daya 4 N. Katakan jisim ini diregangkan 50 cm dari kedudukan keseimbangannya dan ditolak ke belakang dengan halaju awal 1 m / s (dengan menolak ke belakang kita bermaksud bahawa halaju awal sebenarnya -1m / s untuk sistem ini). Cari fungsi yang memodelkan kedudukan jisim (t ) saat selepas jisim dilepaskan.

    Penyelesaian

    IVP ialah (2u & # 39 & # 39 + 4u & # 39 + 4u = 0 ) dengan keadaan awal (u (0) = 0.5 ) m dan (u & # 39 (0) = -1 ) m / s. Penyelesaian umum ialah (u (t) = e ^ <-t> (c_1 cos (t) + c_2 sin (t)) ). Memasukkan pada keadaan awal kita mendapat (1/2 = c_1 ) dan (- 1 = - frac <1> <2> + c_2 ). Oleh itu, penyelesaiannya ialah [u (t) = tfrac12 e ^ <-t> ( cos (t) - sin (t)) text ,. ]

    Latihan 19

    Katakan bahawa jisim 2 slug membentangkan spring 1/2 kaki. Anggap juga bahawa apabila jisim bergerak dengan kelajuan 0.5 kaki / saat media di mana jisim bergerak memberikan daya likat 16 lbs.

    (a) Adakah sistem ini kurang baik, dilembutkan secara kritis atau berlebihan?

    (b) Memandangkan beberapa set keadaan awal, mari (u (t) ) menerangkan kedudukan jisim berkenaan dengan kedudukan keseimbangannya apabila tidak ada daya luaran yang bertindak terhadap jisim, dan (U (t) ) menerangkan kedudukan jisim apabila daya luaran (2 cos (t) ) ft-lbs diberikan. Bandingkan tingkah laku mengehadkan (u (t) ) dan (U (t) ). (Anda tidak perlu menjumpai (u (t) ) atau (U (t) ), tetapi anda harus mengatakan apa yang berlaku pada masing-masing sebagai (t to infty )).

    Penyelesaian

    (a) Kita perlu mencari persamaan pemodelan sistem ini. Dengan menggunakan Hooke's Law, kita mempunyai (mg-kL = 0 ) jadi (2 (32) -k (1/2) = 0 ). Jadi (k = 128 ). Kami juga mendapat ( gamma (0.5) = 16 ) sehingga pemalar pelembapan untuk medium ini ialah 32.Ini memberi kita persamaan [2u & # 39 & # 39 + 32u & # 39 + 128u = 0. ] Persamaan ciri untuk persamaan ini adalah (2r ^ 2 + 32r + 128 = 0 ) begitu (2 (r + 8) ^ 2 ). Ini bermaksud bahawa penyelesaian umum adalah ((c_1 + c_2t) e ^ <-8t> ). Akar berulang mengatakan bahawa sistem ini dibasahi secara kritikal.

    (b) (u (t) ) akan pergi ke 0 sebagai (t to infty ), sementara daya luaran akan membuat (U (t) ) terus berayun sebagai (t to infty ).

    Latihan 20

    Apabila jisim 4 gram digantung secara menegak dari mata air, ketika rehat meregangkan mata air 39.2 cm. (Pecutan graviti adalah (g = 980 cm / saat ^ 2 ).) Anggapkan bahawa kesan pelembapan tidak dapat dielakkan dan jisim tersebut akan terus dilanjutkan oleh kekuatan (44 cos (6t) ) dyn di mana jisimnya pada mulanya berehat dalam kedudukan keseimbangannya. Selesaikan masalah nilai awal. Gunakan juga formula ( cos (x pm y) = cos (x) cos (y) mp sin (x) sin (y) ) untuk menulis jawapan anda dalam bentuk (A sin ( frac < omega_0 + omega> <2>) sin ( frac < omega_0 - omega> <2>) ) dan lakarkan jawapan anda untuk (0 & lt t & lt 6 pi ).

    Penyelesaian

    Persamaan pemodelan sistem ini ialah (4u & # 39 & # 39 + 100u = 44 cos (6t) ) dengan keadaan awal (u (0) = u & # 39 (0) = 0 ). Mula-mula kita mencari penyelesaian untuk persamaan tidak homogen. Kita dapat meneka (a cos (6t) ). Kita mendapat (a = 1 ), jadi jalan penyelesaiannya ialah [u (t) = cos (5t) - cos (6t) = 2 sin (11t / 2) sin (t / 2) Grafiknya ialah

    Latihan 21

    Apabila jisim 5 gram digantung secara menegak dari mata air, ketika rehat meregangkan mata air 2.45 cm. (Pecutan graviti adalah (g = 980 cm / saat ^ 2 ).) Anggapkan bahawa kesan pelembapan tidak dapat dielakkan dan jisim itu terus bertindak secara berterusan oleh kekuatan (256 cos (12t) ) dynes di mana jisim pada mulanya berada dalam keadaan rehat dalam kedudukan keseimbangannya. Selesaikan masalah nilai awal. Gunakan juga formula ( cos (A pm B) = cos (A) cos (B) mp sin (A) sin (B) ) untuk menulis jawapan anda dalam bentuk (A sin ( frac < omega_0 + omega> <2>) sin ( frac < omega_0 - omega> <2>) ) dan lakarkan jawapan anda untuk (0 & lt t & lt pi / 2 ).

    Penyelesaian

    Di sini syarat awal adalah (u (0) = u & # 39 (0) = 0 ). Kami menyelesaikan (5u & # 39 & # 39 + 2000u = 256 cos (12t) ). Kami meneka penyelesaian (U (t) = A cos (12t) ) dan dapatkan (5 (-144A) + 2000A = 256 ). Oleh itu (A = 1/5 ). Maka kita ada penyelesaian umum (c_1 cos (20t) + c_2 sin (20t) + (1/5) cos (12t) ). Memasukkan pada keadaan awal kita mendapat (c_1 = -1/5 ) dan (c_2 = 0 ). Jadi penyelesaiannya adalah [u (t) = (1/5) ( cos (12t) - cos (20t)) = (2/5) sin (4t) sin (16t). ]

    Latihan 22

    Anggap jisim 10 kg membentangkan spring 19.6 cm, dan bahawa apabila jisim bergerak dengan halaju 4 cm / s, medium di mana jisim bergerak memberikan daya likat 4 N.

    (a) Cari ungkapan yang mewakili kedudukan jisim berkenaan dengan kedudukan keseimbangannya jika tidak ada daya luaran yang bertindak pada jisim, dan pada mulanya meregangkan pegas 1 cm di luar kedudukan keseimbangan dan dilepaskan tanpa halaju awal .

    (b) Anggaplah bahawa kita memberikan kekuatan luaran (10 ​​ cos (t / 2) ) N di mana pada mulanya jisim berada pada kedudukan keseimbangannya. Cari ungkapan yang mewakili kedudukan jisim berkenaan dengan kedudukan keseimbangannya.

    (c) Bandingkan tingkah laku hasil anda di bahagian (a) dengan hasil anda di bahagian (b) sebagai (t rightarrow infty ).

    Penyelesaian

    (a) Mula-mula kita menjumpai semua pemalar yang sesuai supaya kita dapat menulis persamaan. Kita tahu (10 ​​(9.8) - k (.196) = 0 ) begitu (k = 500 kg / s ^ 2 ). Juga, kita mempunyai ( gamma (.04 m / s) = 4 ) N jadi ( gamma = 100 ). Maka IVP kami adalah [10u & # 39 & # 39 + 100 u & # 39 + 500u = 0 , , u (0) = 1, , , u & # 39 (0) = 0. ] Kami dapati bahawa (u & # 39 & # 39 + 10 u & # 39 + 50u = 0 ) mempunyai penyelesaian umum (u (t) = c_1e ^ <-5t> cos (5t) + c_2e ^ <-5t> sin (5t ) ). Setelah membezakan kita mendapat (u & # 39 (t) = c_1 (-5e ^ <-5t> cos (5t) -5e ^ <-5t> sin (5t)) + c_2 (5e ^ <-5t> cos (5t) -5e ^ <-5t> sin (5t)) ). Oleh itu (u (0) = c_1 = 1 ) dan (u & # 39 (0) = -5c_1 + 5c_2 = 0 ) begitu (c_1 = c_2 = 1 ), dan penyelesaian untuk IVP adalah [u (t) = e ^ <-5t> cos (5t) + e ^ <-5t> sin (5t). ]

    (b) Sekarang kita ingin mencari jalan keluar untuk IVP [10u & # 39 & # 39 + 100u & # 39 + 500u = 10 cos (t / 2) , , u (0) = u & # 39 (0) = 0. ] Bahagian larutan yang tidak homogen akan berbentuk (U (t) = A cos (t / 2) + B sin (t / 2) ). Membezakan kita mendapat (U & # 39 (t) = - (A / 2) sin (t / 2) + (B / 2) cos (t / 2) ) dan (U & # 39 & # 39 (t ) = - (A / 4) cos (t / 2) - (B / 4) sin (t / 2) ). Memasukkan persamaan (setelah pertama kali membahagikan persamaan dengan 10) kita mendapat [(- A / 4 + 5B + 50A) cos (t / 2) + (-B / 4 -5A + 50B) sin (t / 2) = cos (t / 2). ] Jadi dari pekali ( sin (t / 2) ) kita mendapat (A = (199/20) B ). Kemudian dari pekali ( cos (t / 2) ) kita mempunyai ((- 199/80) B + 5B + (39800/80) B = 1 ). Jadi ((40001/80) B = 1 ) dan (B = 80/40001 ), jadi (A = 796/40001 ). Maka penyelesaian umum ialah (u (t) = c_1e ^ <-5t> cos (5t) + c_2e ^ <-5t> sin (5t) + (796/40001) cos (t / 2) + ( 80/40001) sin (t / 2). ) Oleh itu, kita membezakan dan mendapatkan (u & # 39 (t) = c_1 (-5e ^ <-5t> cos (5t) -5e ^ <-5t> sin (5t)) + c_2 (5e ^ <-5t> cos (5t) -5e ^ <-5t> sin (5t)) - (796/40001) sin (t / 2) + (80/40001 ) cos (t / 2). ) Jadi (c_1 = (-796/40001) ) dan (5c_2 ​​- 5c_1 = (80/40001) ) begitu (c_2 = 812/40001 ). Jadi penyelesaiannya ialah [u (t) = (-796/40001) e ^ <-5t> cos (5t) + (812/40001) e ^ <-5t> sin (5t) + (796/40001 ] cos (t / 2) + (80/40001) sin (t / 2). ]

    (c) Penyelesaian di bahagian (a) akan cenderung 0 sebagai (t kananarrow infty ) yang diharapkan kerana ia adalah sistem yang lembab tanpa kekuatan luaran. Penyelesaian di bahagian (b) akan terus berayun, mendekati larutan paksa (U (t) ) sebagai (t rightarrow infty ) kerana penyelesaian sementara akan cenderung 0 sebagai (t rightarrow infty ). Jadi had di bahagian (b) tidak ada, sementara had di bahagian (a) adalah 0.

    Latihan 23

    Apabila jisim 4 gram digantung secara menegak dari mata air, ketika rehat membentangkan spring 39.2 cm. (Pecutan graviti adalah (g = 980 cm / saat ^ 2 ).) Anggapkan bahawa kesan pelembapan tidak dapat dielakkan dan jisim bertindak terus oleh kekuatan (40 cos (5t) ) dynes di mana jisimnya pada mulanya berehat dalam kedudukan keseimbangannya. Selesaikan masalah nilai awal. Bincangkan penyelesaiannya sebagai (t to infty )

    Penyelesaian

    Persamaan pemodelan sistem ini ialah (4u & # 39 & # 39 + 100u = 40 cos (5t) ) dengan keadaan awal (u (0) = u & # 39 (0) = 0 ). Mula-mula kita mencari penyelesaian untuk persamaan tidak homogen. Kita dapat meneka (At cos (5t) + Bt sin (5t) ). Kami dapati bahawa (A = 0 ) dan (B = 1 ). Maka syarat memberi kita jalan penyelesaian [u (t) = t sin (5t) ]. Penyelesaian ini akan berayun dan amplitudnya akan bertambah dengan masa.

    Latihan 24

    Perpindahan menegak jisim pada spring diberikan oleh (w (x) = 4e ^ <-x> cos (14x) - 3e ^ <-x> sin (14x) ), di mana anjakan positif adalah ke arah menaik.

    Ungkapkan (w (x) ) dalam bentuk fasa amplitud, iaitu dalam bentuk (w (x) = Ae ^ <-x> cos ( omega x - delta) ), di mana (A & gt0 ) dan ( delta in [0, 2 pi) ). Kenal pasti fasa ayunan (anda dapat menyatakannya sebagai fungsi trig terbalik) dan jangka masa osilasi.

    Penyelesaian

    Di sini, kami menulis semula (w (x) = 4e ^ <-x> cos (14x) - 3e ^ <-x> sin (14x) = Ae ^ <-x> cos ( omega x - delta ) ) sebagai (w (x) = Ae ^ <-x> cos ( omega x) cos ( delta) + Ae ^ <-x> sin ( omega x) sin ( delta) ) dan komponen demi komponen, cari bahawa (A cos ( delta) = 4 ) dan (A sin ( delta) = -3 ), dengan ( omega = 14. ) dapatkan bahawa (A = sqrt (4 ^ 2 + (-3) ^ 2) = 5 ) dan dengan itu, bahawa ( sin ( delta) = frac <-3> <5> ) dan ( cos < delta> = frac <4> <5>. )

    Dari sini, kami menyimpulkan bahawa sudut ( delta ) terletak pada kuadran keempat, dan dengan itu ( delta in ( frac <3 pi> <2>, 2 pi) ). Selesaikan untuk ( delta ), kami memperolehnya ( delta = 2 pi - cos ^ <-1>(frac<4> <5>) ).

    Kuasiperiod dari ayunan adalah (T = frac <2 pi> < omega> = frac < pi> <7> ).

    Latihan 25

    Mesin stamping menggunakan daya tukul pada kepingan logam melalui die yang dipasang pada pelocok. Ia menggambarkan pergerakan naik dan turun melalui roda gila yang berputar pada kelajuan tetap. Pangkalan di mana kepingan logam terletak mempunyai jisim (4000 kg ). Daya yang bertindak di dasar digambarkan oleh fungsi (F (t) = 4000 sin (10t) ), di mana (t ) mengukur masa dalam beberapa saat. Pangkalannya disokong oleh asas elastik dengan pemalar pegas setara (4 kali 10 ^ 5 frac. ) Mengetahui bahawa asasnya awalnya diturunkan oleh (0.1 m ) dalam keadaan rehat, tuliskan dan jawab yang berikut:

    a) persamaan pembezaan yang menggambarkan kedudukan seketika asas (mis. (x (t) ))

    b) Adakah beban menghasilkan getaran resonan? Bagaimana anda dapat menentukan sama ada resonans berlaku?

    c) kedudukan sekejap asas (mis. (x (t) )) yang menyelesaikan persamaan pembezaan yang anda hitung dalam a).

    Penyelesaian

    a) Dari data yang bermasalah, ini adalah ayunan paksa dan tidak teredam dengan data berikut: (m = 4000 kg ), (k = 2 kali 10 ^ 5 ). Persamaan pembezaan pekali malar pesanan kedua kelihatan seperti: [4000 x & # 39 & # 39 + 4 kali 10 ^ 5 x = 4000 sin (10t),

    b) Persamaan homogen yang berkaitan dengan persamaan yang ditulis dalam a) adalah (4000 x & # 39 & # 39 + 4 kali 10 ^ 5 x = 0 ), dengan ciri polinomial yang sepadan (4000z ^ 2 + 4 kali 10 ^ 5 z = 0 = z ^ 2 + 100z = 0 ), dan akar ciri yang sesuai ( pm 10i ). Oleh itu, kita dapati bahawa frekuensi semula jadi gerakan berayun ini adalah ( omega_0 = 10 ), yang sepadan dengan frekuensi gerakan paksa, ( omega = 10 ) di (F (t) = 4000 sin ( 10t) ). Oleh itu, ini adalah getaran resonan. Kita dapat mengetahui bahawa ( omega_0 = omega. )

    c) Kedudukan seketika asas yang menyelesaikan persamaan pembezaan dalam a) adalah dalam bentuk berikut (x (t) = x_h (t) + x_p (t), ) di mana (x_h (t) = c_1 cos (10t) + c_2 sin (10t) ). Kita sekarang perlu menyelesaikan untuk (c_1 ), (c_2 ) dan menentukan penyelesaian tertentu (x_p (t) ).

    Perhatikan bahawa istilah paksa (F (t) = 4000 sin (10t) ) mempunyai (d = 0, m = 1 ) dan bentuk ciri (10i ). Dengan menggunakan kaedah pekali yang tidak ditentukan, (x_p (t) = t (A cos (10t) + B sin (10t)) ) menyelesaikan (x & # 39 & # 39 + 100 x = sin (10t). ) Menyelesaikan dua persamaan algebra dalam hasil (A ) dan (B ) (B = 0 ) dan (A = - frac <1> <20>. )

    Oleh itu, penyelesaian umum untuk (4000 x & # 39 & # 39 + 4 kali 10 ^ 5 x = 4000 sin (10t),

    ) kelihatan seperti (x (t) = c_1 cos (10t) + c_2 sin (10t) - frac <20> sin (10t). ) Menyelesaikan (c_1 ) dan (c_2 ) sekarang, kami memperolehnya (c_1 = 0.1 ) dan (c_2 = frac <1> <200>. )

    Oleh itu, penyelesaian umum adalah dalam bentuk (x (t) = 0.1 cos (10t) - frac <1> <200> sin (10t) - frac <20> sin (10t). )

    Latihan 26

    Salah satu persamaan di bawah menerangkan sistem spring-mass yang mengalami resonans. Kenal pasti persamaan dan cari penyelesaian umum.

    Penyelesaian

    Menyelesaikan persamaan ciri dari persamaan homogen yang berkaitan dalam setiap kes, dan menentukan punca ciri, kita perhatikan bahawa hanya untuk persamaan (b) ) bahawa penyelesaian homogen (w (t) = c_1 cos (2t ) + c_2 sin (2t) ) mempunyai frekuensi yang sama dengan istilah paksa, iaitu ( omega_0 = omega = 2 ). Dalam kes ini, resonans berlaku.

    Penyelesaian umum adalah dalam bentuk (w (t) = c_1 cos (2t) + c_2 sin (2t) + w_p (t) ). Perhatikan bahawa istilah paksa mempunyai bentuk ciri (i ), (d = 0, m = 1 ). Oleh itu, dengan menggunakan kaedah pekali yang tidak ditentukan, kami berpendapat bahawa bentuk penyelesaian tertentu adalah (w_p (t) = A t cos (2t) + B t sin (2t) ) dan sekarang terus menyelesaikan untuk ( A ) dan (B ). Setelah beberapa pengiraan algebra, kami memperolehnya (A = 0 ) dan (B = frac <7> <16> ). Oleh itu, penyelesaian umum untuk (4w & # 39 & # 39 + 16w = 7 cos (2t) ) adalah dalam bentuk (w (t) = c_1 cos (2t) + c_2 sin (2t) + frac <7> <16> sin (2t). )

    Latihan 27

    Pertimbangkan sistem spring-spring yang dijelaskan oleh persamaan pembezaan berikut (2u & # 39 & # 39 + 3u & # 39 + alpha u = 0 ). Untuk apa nilai ( alpha ) sistem menggambarkan ayunan bawah, lebih atau lemah secara kritikal?

    Penyelesaian

    Persamaan ciri yang berkaitan dengan persamaan pembezaan homogen adalah dalam bentuk (2z ^ 2 + 3z + alpha z = 0 ), dan sama ada akarnya nyata, berbeza atau tidak, atau kompleks, ditentukan oleh bagaimana diskriminasi (9 - 8 alpha ) tambang untuk hubungan ke (0 ).

    Oleh itu, jika ( alpha = frac <9> <8> ), sistem akan dibendung secara kritikal. Sekiranya ( alpha & gt frac <9> <8> ), sistemnya kurang padat. Sekiranya ( alpha & lt frac <9> <8> ), sistem terlalu padat. Oleh kerana ( alpha ) dalam persamaan itu mempunyai makna fizikal (berkaitan dengan pemalar spring, yang tidak boleh menjadi nombor negatif), kita dapat menyimpulkan bahawa agar sistem terlalu padat, sebenarnya kita harus mempunyai itu ( alpha in (0, frac <9> <8>). )

    Latihan 28

    Untuk apa nilai ( beta ) sistem yang dijelaskan dalam persamaan berikut mengalami resonans?

    Penyelesaian

    a) Bentuk ciri yang berkaitan dengan persamaan pembezaan adalah ( pm i ), dengan (d = 0, m = 0 ). Persamaan homogen yang dikaitkan dengan (3z & # 39 & # 39 + beta z = - pi ^ 2 cos (x) ) mempunyai persamaan ciri (3r ^ 2 + beta = 0 ), dan untuk ( pm i ) untuk menjadi akar ciri, kami memerlukan ( beta = 3. )

    b) Bentuk ciri yang berkaitan dengan persamaan pembezaan adalah ( pm 6i ), dengan (d = 0, m = 0 ). Persamaan homogen yang dikaitkan dengan (8v & # 39 & # 39 + beta v = 28 sin (6x) ) mempunyai persamaan ciri (8r ^ 2 + beta = 0 ), dan untuk ( pm 6i ) untuk menjadi akar ciri, kita memerlukan ( beta = 8 kali 36 = 288. )

    Latihan 29

    Pertimbangkan sistem spring-spring yang dijelaskan oleh persamaan pembezaan berikut (4v & # 39 & # 39 + gamma v & # 39 + 36v = 0 ). Untuk apa nilai ( gamma ) apakah sistem menggambarkan ayunan bawah, lebih atau lemah?

    Penyelesaian

    Persamaan ciri yang berkaitan dengan persamaan pembezaan homogen adalah dalam bentuk (4z ^ 2 + gamma z + 36 = 0 ), dan sama ada akarnya nyata, berbeza atau tidak, atau kompleks, ditentukan oleh bagaimana diskriminasi ( gamma ^ 2 - 16 kali 36 ) tambang untuk hubungan ke (0 ).

    Oleh itu, jika ( gamma = 24 ), sistem ini akan dibendung secara kritikal. Sekiranya ( gamma & gt 24 ), sistemnya terlalu padat. Sekiranya ( gamma & lt 24 ), sistemnya kurang padat. Perhatikan bahawa apabila ( gamma = 0 ), sistem tidak tergendala, dan bukannya redup!

    Latihan 30

    Sistem getaran memenuhi persamaan pembezaan berikut: [z & # 39 & # 39 + alpha z & # 39 + z = 0. ] Berapakah nilai ( alpha ) yang mana tempoh kuasipergerakan yang dilembapkan adalah (50 \% ) lebih tinggi daripada jangka masa gerakan yang sepadan?

    Penyelesaian

    Pergerakan tidak terpendam yang sesuai dijelaskan oleh persamaan pembezaan (z & # 39 & # 39 + z = 0 ), yang frekuensi semula jadi adalah (w_0 = 1 ), dan tempoh yang sesuai (2 pi ). Ini bermaksud bahawa tempoh kuasipergerakan yang dilembapkan mestilah (1,5 kali 2 pi = 3 pi ), menyiratkan ( frac <2 pi> < omega> = 3 pi ), maka kekerapan ( omega = frac <2> <3>. )

    Sekarang mari kita lihat persamaan ciri yang sesuai, (r ^ 2 + alpha r + 1 = 0 ), yang akar konjugasi kompleks dari bentuk (a + ib, a - ib ) memenuhi dua persamaan berikut: [ bermula r_1 + r_2 = 2a = alpha, r_1 r_2 = a ^ 2 + b ^ 2 = 1. akhir] Tetapi ( omega = frac <2> <3> = b ), menyiratkan bahawa (a ^ 2 = frac <5> <9> ), dengan (a = pm frac < sqrt <5>> <3> ). Oleh itu, ( alpha = 2a = frac <2 sqrt <5>> <3> ), dengan mempertimbangkan nilai positif pekali peredam.

    Latihan 31

    Gerakan sistem jisim musim bunga yang tidak terganggu memenuhi masalah nilai awal berikut: [v & # 39 & # 39 + 2v = 0,

    v & # 39 (0) = 2. ] Apakah penyelesaian masalah nilai awal ini? Bagaimana (v (x) ) dan (v & # 39 (x) ) membandingkan antara satu sama lain?

    Penyelesaian

    Persamaan ciri yang sepadan dengan (v & # 39 & # 39 + 2v = 0 ) adalah (z ^ 2 + 2z = 0 ), dengan akar ciri yang sesuai ( pm sqrt <2> i ). Penyelesaian umum kelihatan seperti (v (x) = c_1 cos ( sqrt <2> x) + c_2 sin ( sqrt <2> x) ). Dengan mengambil kira syarat awal, kita memperolehnya (c_1 = 0 ), dan (c_2 = ) ( sqrt <2> ). Oleh itu (v (x) = sqrt <2> sin ( sqrt <2> x) ) dan (v & # 39 (x) = 2 cos ( sqrt <2> x) ). Perhatikan bahawa (v & # 39 (x) = 2 cos ( sqrt <2> x - frac <3 pi> <2>) ), yang bermaksud bahawa besarnya vektor halaju (v & # 39 ( x) ) pada titik masa tertentu ( sqrt <2> ) lebih besar daripada magnitud vektor kedudukan (v (x) ) dan diubah fasa oleh ( frac <3 pi> <2 > ).

    Latihan 32

    Kedudukan sistem jisim spring digambarkan oleh masalah nilai awal: [3z & # 39 & # 39 + beta z = 0,

    z & # 39 (0) = gamma. ] Sekiranya jangka masa gerakan yang dihasilkan adalah ( pi ) dan amplitud gerakan yang sama adalah (3 ), tentukan nilai ( beta ) dan ( gamma ) sehingga syaratnya terjamin.

    Penyelesaian

    Tempohnya adalah ( pi ), oleh itu frekuensi semula jadi yang sesuai adalah ( omega_0 = frac <2 pi> < pi> = 2 ). Persamaan ciri yang sesuai adalah (3r ^ 2 + 12 = 0 ), dan dengan itu ( beta = 12. ) Oleh itu, penyelesaian umum persamaan pembezaan kelihatan seperti (z (t) = c_1 cos ( 2t) + c_2 sin (2t) ). Oleh kerana (z (0) = 2 ), maka (c_1 = 2 ), dan (c_2 = frac < gamma> <2>. ) Oleh itu, (z (t) = 2 cos (2t) + frac < gamma> <2> sin (2t) ).

    Amplitud gerakan adalah (3 ), dengan demikian (9 = 4 + frac < gamma ^ 2> <4> ), yang bersamaan dengan ( gamma = pm 2 sqrt <5> ).


    13.2: Pemalar Keseimbangan

    • Disumbangkan oleh Paul Flowers, Klaus Theopold & amp Richard Langley et al.
    • Kimia Umum di OpenStax CNX
    • Turunkan reaksi reaksi dari persamaan kimia yang mewakili tindak balas homogen dan heterogen
    • Hitung nilai kuota tindak balas dan pemalar keseimbangan, menggunakan kepekatan dan tekanan
    • Kaitkan magnitud pemalar keseimbangan dengan sifat sistem kimia

    Sekarang kita mempunyai simbol ( ( rightleftharpoons )) untuk menunjukkan reaksi yang boleh dibalikkan, kita memerlukan kaedah untuk menyatakan secara matematik bagaimana jumlah reaktan dan produk mempengaruhi keseimbangan sistem. Persamaan umum untuk tindak balas boleh balik boleh ditulis seperti berikut:

    Kita boleh menuliskan hasil tindak balas ( (Q )) untuk persamaan ini. Apabila dinilai menggunakan kepekatan, ia dipanggil (Q_c ). Kami menggunakan tanda kurung untuk menunjukkan kepekatan molar reaktan dan produk.

    Hasil tindak balas sama dengan kepekatan molar produk persamaan kimia (didarabkan bersama) ke atas reaktan (juga didarabkan bersama), dengan setiap kepekatan dinaikkan kepada kekuatan pekali bahan tersebut dalam persamaan kimia seimbang. Contohnya, hasil tindak balas untuk tindak balas boleh balik

    diberikan oleh ungkapan ini:

    Contoh ( PageIndex <1> ): Menulis Ungkapan Quotient Reaksi

    Tuliskan ungkapan untuk hasil tindak balas untuk setiap tindak balas berikut:

    1. ( ce <3O> _ <2 (g)> rightleftharpoons ce <2O> _ <3 (g)> )
    2. ( ce_ <2 (g)> + ce <3H> _ <2 (g)> rightleftharpoons ce <2NH> _ <3 (g)> )
    3. ( ce <4NH> _ <3 (g)> + ce <7O> _ <2 (g)> rightleftharpoons ce <4NO> _ <2 (g)> + ce <6H_2O> _ <( g)> )

    Tuliskan ungkapan untuk hasil tindak balas untuk setiap tindak balas berikut:

    1. ( ce <2SO2> (g) + ce(g) rightleftharpoons ce <2SO3> (g) )
    2. ( ce(g) rightleftharpoons ce <2C2H4> (g) )
    3. ( ce <2C4H10> (g) + ce <13O2> (g) rightleftharpoons ce <8CO2> (g) + ce <10H2O> (g) )

    Nilai numerik (Q_c ) untuk tindak balas tertentu berbeza-beza bergantung pada kepekatan produk dan reaktan yang ada pada saat (Q_c ) ditentukan. Apabila reaktan tulen dicampurkan, (Q_c ) pada mulanya adalah sifar kerana tidak ada produk yang ada pada ketika itu. Semasa tindak balas berlanjutan, nilai (Q_c ) meningkat apabila kepekatan produk meningkat dan kepekatan reaktan secara serentak menurun (Gambar ( PageIndex <1> )). Apabila tindak balas mencapai keseimbangan, nilai bagi hasil reaksi tidak lagi berubah kerana kepekatannya tidak lagi berubah.

    Rajah ( PageIndex <1> ): (a) Perubahan kepekatan reaktan dan produk digambarkan sebagai ( ce <2SO2> (g) + ce(g) rightleftharpoons ce <2SO3> (g) ) menghampiri keseimbangan. (b) Perubahan kepekatan reaktan dan produk digambarkan sebagai tindak balas ( ce <2SO3> (g) rightleftharpoons ce <2SO2> (g) + ce(g) ) menghampiri keseimbangan. (c) Grafik menunjukkan perubahan nilai bagi hasil tindak balas ketika reaksi menghampiri keseimbangan.

    Apabila campuran reaktan dan produk tindak balas mencapai keseimbangan pada suhu tertentu, hasil tindak balasnya selalu mempunyai nilai yang sama. Nilai ini dipanggil pemalar keseimbangan ( (K )) tindak balas pada suhu tersebut. Bagi keputusan tindak balas, apabila dinilai dari segi kepekatan, ia dicatat sebagai (K_c ).

    Bahawa hasil bagi tindak balas selalu menganggap nilai yang sama pada keseimbangan dapat dinyatakan sebagai:

    Persamaan ini adalah pernyataan matematik hukum tindakan massa: Apabila tindak balas mencapai keseimbangan pada suhu tertentu, hasil tindak balas untuk tindak balas selalu mempunyai nilai yang sama.

    Contoh ( PageIndex <2> ): Menilai Kuantiti Reaksi

    Nitrogen dioksida gas membentuk dinitrogen tetroxida mengikut persamaan ini:

    Apabila 0.10 mol ( ce) ditambahkan ke termos 1.0-L pada suhu 25 & degC, kepekatannya berubah sehingga pada keseimbangan, [TIDAK2] = 0.016 M dan [N2O4] = 0.042 M.

    1. Berapakah nilai hasil tindak balas sebelum tindak balas berlaku?
    2. Berapakah nilai pemalar keseimbangan untuk tindak balas?
    1. Sebelum sebarang produk dibentuk, ( mathrm <[NO_2] = dfrac <0.10 : mol> <1.0 : L >> = 0.10 : M ), dan [N2O4] = 0 M. Oleh itu, [Q_c = ce < dfrac <[N2O4]> <[NO2] ^ 2 >> = dfrac <0> <0.10 ^ 2> = 0 bukan nombor ]
    2. Pada keseimbangan, nilai pemalar keseimbangan sama dengan nilai hasil tindak balas. Pada keseimbangan, [K_c = Q_c = ce < dfrac <[N2O4]> <[NO2] ^ 2 >> = dfrac <0.042> <0.016 ^ 2> = 1.6 kali 10 ^ 2. nombor ]

    Pemalar keseimbangan ialah 1.6 & kali 10 2.

    Perhatikan bahawa analisis dimensi akan menunjukkan unit untuk nilai (K_c ) ini seharusnya M & tolak1. Namun, adalah kebiasaan untuk menghilangkan unit untuk nilai (K_c ) yang dihitung seperti yang dijelaskan di sini, kerana besarnya pemalar keseimbangan yang menyampaikan maklumat berguna. Seperti yang akan dibincangkan kemudian dalam modul ini, pendekatan ketat untuk mengira pemalar keseimbangan menggunakan kuantiti tanpa dimensi yang berasal dari kepekatan dan bukannya kepekatan sebenar, dan nilai (K_c ) benar-benar tanpa unit.

    [ ce <2SO2> (g) + ce(g) rightleftharpoons ce <2SO3> (g) bukan nombor ]

    kepekatan pada keseimbangan adalah [SO2] = 0.90 M, [O2] = 0.35 M, dan juga3] = 1.1 M. Berapakah nilai pemalar keseimbangan, Kc?

    Besarnya pemalar keseimbangan adalah ukuran hasil tindak balas ketika mencapai keseimbangan. Nilai besar untuk (K_c ) menunjukkan bahawa keseimbangan dicapai hanya setelah reaktan sebahagian besarnya ditukar menjadi produk. Nilai kecil (K_c ) & mdashmuch kurang dari 1 & mdashindicates bahawa keseimbangan dicapai apabila hanya sebilangan kecil reaktan yang telah diubah menjadi produk.

    Setelah nilai (K_c ) dikenali untuk tindak balas, ia dapat digunakan untuk memprediksi pergeseran arah jika dibandingkan dengan nilai (Q_c ). Sistem yang tidak berada pada keseimbangan akan bergerak ke arah yang mewujudkan keseimbangan. Data dalam Rajah ( PageIndex <2> ) menggambarkan ini. Apabila dipanaskan pada suhu yang konsisten, 800 & degC, campuran permulaan yang berbeza dari ( ce), ( ce), ( ce), dan ( ce) bertindak balas untuk mencapai komposisi yang berpegang pada keseimbangan yang sama (nilai (Q_c ) berubah sehingga sama dengan nilai Kc). Nilai ini ialah 0.640, pemalar keseimbangan bagi tindak balas dalam keadaan ini.

    [ ce(g) + ce(g) rightleftharpoons ce(g) + ce(g) hspace K_c = 0.640 hspace mathrm label ] Penting untuk menyedari bahawa keseimbangan dapat dibuat bermula dari reaktan atau dari produk, atau dari campuran kedua-duanya. Sebagai contoh, keseimbangan dibuat dari Campuran 2 dalam Rajah ( PageIndex ) apabila produk tindak balas dipanaskan dalam bekas tertutup. Sebenarnya, satu teknik yang digunakan untuk menentukan sama ada reaksi benar-benar berada pada keseimbangan adalah dengan mendekati keseimbangan bermula dengan reaktan dalam satu eksperimen dan bermula dengan produk yang lain. Sekiranya nilai yang sama bagi hasil tindak balas diperhatikan ketika konsentrasi berhenti berubah dalam kedua eksperimen, maka kita mungkin yakin bahawa sistem telah mencapai keseimbangan. Rajah ( PageIndex ): Kepekatan tiga campuran ditunjukkan sebelum dan selepas mencapai keseimbangan pada 800 & degC untuk tindak balas peralihan gas air yang disebut (Persamaan ref ). Contoh ( PageIndex ): Meramalkan Arah Tindak Balas Diberikan di sini adalah kepekatan awal reaktan dan produk untuk tiga eksperimen yang melibatkan tindak balas ini: [ ce(g) + ce(g) rightleftharpoons ce(g) + ce(g) bukan nombor ] dengan (K_c = 0.64 ). Tentukan ke arah arah mana tindak balas berjalan ketika menuju keseimbangan dalam setiap tiga eksperimen yang ditunjukkan. 10.4E: Sistem Homogen I Pekali Tetap (Latihan)

    di mana simetri (iaitu,) dan tanpa jejak (iaitu,) adalah isotropik, dan hanya mempunyai tiga komponen bebas.

    Tunjukkan bahawa pekali dalam ungkapan sebelumnya berubah di bawah putaran paksi koordinat seperti komponen tensor urutan kedua simetri. Oleh itu, tunjukkan bahawa persamaan permukaan dapat ditulis dalam bentuk

    di mana komponen-komponen dari tensor tersebut di atas.

    kemudian dan dikatakan sebagai nilai eigen dan vektor eigen dari tensor orde kedua, masing-masing. Nilai eigen dikira dengan menyelesaikan persamaan matriks homogen yang berkaitan

    Sekarang, adalah hasil standard dalam aljabar linier bahawa persamaan bentuk sebelumnya hanya mempunyai penyelesaian bukan sepele ketika (Riley 1974)

    Tunjukkan bahawa nilai eigen memenuhi polinomial kubik

    di mana dan. Oleh itu, simpulkan bahawa mempunyai tiga nilai eigen--, dan (katakanlah). Lebih-lebih lagi, tunjukkan bahawa

    1. Tunjukkan bahawa nilai eigen semuanya nyata, dan vektor eigen boleh dipilih menjadi nyata.
    2. Tunjukkan bahawa vektor eigen yang sepadan dengan nilai eigen yang berbeza saling ortogonal. Oleh itu, simpulkan bahawa tiga vektor eigen adalah, atau boleh dipilih, saling ortogonal.
    3. Tunjukkan yang mengambil bentuk pepenjuru (tanpa jumlah) dalam sistem koordinat Cartesian di mana paksi koordinat masing-masing selari dengan salah satu vektor eigen.

    di manakah tegangan tegangan (perhatikan bahawa), ketumpatan jisim (yang merupakan pemalar seragam), dan


    15.4: Keseimbangan Heterogen

    Apabila produk dan reaktan tindak balas keseimbangan membentuk satu fasa, sama ada gas atau cecair, sistem adalah keseimbangan homogen. Dalam situasi seperti itu, kepekatan reaktan dan produk boleh berbeza-beza dalam jarak yang luas. Sebaliknya, sistem yang reaktan, produk, atau keduanya berada dalam lebih dari satu fasa adalah keseimbangan heterogen, seperti reaksi gas dengan pepejal atau cecair.

    Seperti yang dinyatakan dalam bahagian sebelumnya, ungkapan malar keseimbangan sebenarnya adalah nisbah aktiviti. Untuk mempermudah pengiraan dalam kursus kimia umum, aktiviti setiap bahan dalam tindak balas sering dihampirkan menggunakan nisbah molariti suatu bahan berbanding dengan keadaan standard bahan tersebut. Bagi bahan yang merupakan cecair atau pepejal, keadaan standard hanyalah kepekatan bahan dalam cecair atau pepejal. Oleh kerana kepekatan molar cecair tulen dan pepejal biasanya tidak banyak berubah dengan suhu, nisbah molariti dengan keadaan standard bagi bahan yang merupakan cecair atau pepejal selalu mempunyai nilai 1. Contohnya, untuk sebatian seperti CaF2(s), istilah yang menuju ke ungkapan keseimbangan adalah [CaF2] / [CaF2] yang membatalkan perpaduan. Oleh itu, apabila aktiviti pepejal dan cecair (termasuk pelarut) dimasukkan ke dalam ungkapan keseimbangan, mereka tidak mengubah nilainya.

    Pertimbangkan reaksi berikut, yang digunakan dalam penembakan terakhir beberapa jenis tembikar untuk menghasilkan kaca logam yang cemerlang:

    Lapisan dihasilkan apabila logam oksida diturunkan menjadi logam oleh produk, karbon monoksida. Ungkapan berterusan keseimbangan untuk tindak balas ini adalah seperti berikut:

    Pemalar keseimbangan bagi tindak balas ini juga boleh ditulis dari segi tekanan separa gas:

    Memasukkan semua nilai tetap ke (K & prime ) atau (K_p ) membolehkan kita memberi tumpuan kepada bahan yang kepekatannya berubah semasa tindak balas.

    Walaupun aktiviti cecair tulen atau pepejal tidak ditulis secara eksplisit dalam ungkapan malar keseimbangan, bahan-bahan ini mesti ada dalam campuran reaksi agar keseimbangan kimia berlaku. Apa pun kepekatan ( ce) dan ( ce), sistem yang dijelaskan dalam Persamaan ( ref) akan mencapai keseimbangan kimia hanya jika jumlah stoikiometrik karbon pepejal atau karbon pepejal berlebihan telah ditambahkan sehingga sebahagiannya masih ada setelah sistem mencapai keseimbangan. Seperti yang ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex <1> ), tidak kira sama ada 1 g atau 100 g karbon pepejal terdapat dalam kedua-dua kes tersebut, komposisi komponen gas sistem akan sama pada keseimbangan.

    Rajah ( PageIndex <2> ): Kesan Jumlah Kehadiran Pepejal pada Keseimbangan dalam Sistem Pepejal & ndashGas Heterogen. Dalam sistem, komposisi keseimbangan fasa gas pada suhu tertentu, 1000 K dalam kes ini, sama seperti sejumlah kecil karbon pepejal (kiri) atau sejumlah besar (kanan) hadir.

    Tulis setiap ungkapan untuk (K ), menggabungkan semua pemalar, dan (K_p ) untuk tindak balas keseimbangan berikut.

    Diberikan: persamaan keseimbangan seimbang.

    Diminta untuk: ungkapan untuk (K ) dan (K_p ).

    Cari (K ) dengan menulis setiap ungkapan malar keseimbangan sebagai nisbah kepekatan produk dan reaktan, masing-masing dinaikkan kepada pekali dalam persamaan kimia. Kemudian ungkapkan (K_p ) sebagai nisbah tekanan separa produk dan reaktan, masing-masing juga dinaikkan kepada pekali dalam persamaan kimia.

    Tindak balas ini mengandungi pepejal tulen ( (PCl_5 )) dan cecair tulen ( (PCl_3 )). Kegiatan mereka sama dengan 1, jadi apabila dimasukkan ke dalam ungkapan malar keseimbangan, mereka tidak mengubah nilainya. Jadi

    Tindak balas ini mengandungi dua pepejal tulen ( (Fe_3O_4 ) dan (Fe )), yang masing-masing diberi nilai 1 dalam ungkapan malar keseimbangan:

    Tuliskan ungkapan untuk (K ) dan (K_p ) untuk tindak balas berikut.

    Untuk tindak balas yang dilakukan dalam larutan, pelarut dianggap tulen, dan oleh itu diberikan aktiviti yang sama dengan 1 dalam ungkapan malar keseimbangan. Kegiatan zat terlarut dihampiri oleh molaritasnya. Hasilnya adalah bahawa ungkapan malar keseimbangan nampaknya hanya bergantung pada kepekatan zat terlarut.

    Kegiatan pepejal tulen, cecair tulen, dan pelarut didefinisikan sebagai mempunyai nilai '1'. Sering kali, dikatakan bahawa aktiviti ini & quot; keluar & quot & quot; ungkapan berterusan keseimbangan. Ini adalah penggunaan perkataan yang malang. Aktiviti tersebut tidak & quot; keluar & quot & quot; ungkapan berterusan keseimbangan. Sebaliknya, kerana mereka mempunyai nilai '1', mereka tidak mengubah nilai pemalar keseimbangan ketika didarabkan bersama dengan istilah lain. Kegiatan zat terlarut dihampiri oleh molaritasnya.


    Konsep dan Ringkasan Utama

    Untuk sebarang reaksi yang berada pada keseimbangan, hasil tindak balas Q sama dengan pemalar keseimbangan K untuk tindak balas. Sekiranya reaktan atau produk adalah pepejal tulen, cecair tulen, atau pelarut dalam larutan cair, kepekatan komponen ini tidak muncul dalam ungkapan untuk pemalar keseimbangan. Pada keseimbangan, nilai kepekatan reaktan dan produk adalah tetap. Nilai tertentu mereka mungkin berbeza-beza bergantung pada keadaan, tetapi nilai bagi hasil tindak balas akan selalu sama K (Kc semasa menggunakan kepekatan atau KP semasa menggunakan tekanan separa).

    Keseimbangan homogen adalah keseimbangan di mana semua komponen berada dalam fasa yang sama. Keseimbangan heterogen adalah keseimbangan di mana komponen berada dalam dua fasa atau lebih. Kita boleh menentukan sama ada reaksi berada pada keseimbangan dengan membandingkan hasil reaksi dengan pemalar keseimbangan bagi tindak balas.

    Persamaan Utama

    Latihan Akhir Bab Kimia

    1. Terangkan mengapa mungkin ada sebilangan besar nilai untuk hasil tindak balas tindak balas pada suhu tertentu tetapi hanya boleh ada satu nilai untuk pemalar keseimbangan pada suhu tersebut.
    2. Terangkan mengapa keseimbangan antara Br2(l) dan Br2(g) tidak akan dibentuk sekiranya kontena itu bukan kapal tertutup seperti dalam Gambar 3.

    Rajah 3. Contoh bromin cecair pada keseimbangan dengan wap bromin dalam bekas tertutup. (kredit: http://images-of-elements.com/bromine.php)

    1. Tuliskan ungkapan untuk pemalar keseimbangan untuk tindak balas yang ditunjukkan oleh teks persamaan [lateks] left (s right) rightleftharpoons < teks> ^ <+> kiri (aq kanan) + < teks> ^ <-> kiri (aq kanan) teks <.> [/ lateks] Is Kc & gt 1, & lt1, atau ≈1? Terangkan jawapan anda.
    2. Tuliskan ungkapan untuk pemalar keseimbangan untuk tindak balas yang ditunjukkan oleh persamaan [lateks] < teks> ^ <2 +> kiri (aq kanan) +2 < teks> ^ <-> kiri (aq kanan) rightleftharpoons < teks> _ <2> kiri (s kanan) teks <.> [/ Lateks] Is Kc & gt 1, & lt1, atau ≈1? Terangkan jawapan anda.
    1. Tuliskan ungkapan untuk pemalar keseimbangan untuk tindak balas yang ditunjukkan oleh persamaan [lateks] < teks> _ <3> kiri (s kanan) rightleftharpoons < teks> ^ <2 +> kiri (aq kanan) + < teks> _ <3> <> ^ <-> kiri (aq kanan) teks <.> [/ Lateks] Adakah Kc & gt 1, & lt1, atau ≈1? Terangkan jawapan anda.
    2. Tuliskan ungkapan untuk pemalar keseimbangan untuk tindak balas yang ditunjukkan oleh persamaan [lateks] 3 < teks> ^ <2 +> kiri (aq kanan) +2 < teks> _ <4> <> ^ <3-> kiri (aq kanan) rightleftharpoons < text> _ <3> < kiri (< teks> _ <4> kanan)> _ <2> kiri (s kanan) teks <.> [/ Lateks] Adakah Kc & gt 1, & lt1, atau ≈1? Terangkan jawapan anda.
    1. [lateks] < teks> _ <4> kiri (g kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons < teks> _ <3> teks kiri (g kanan) + teks kiri (g kanan) [/ lateks]
    2. [lateks] < teks> _ <2> kiri (g kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 teks kiri (g kanan) [/ lateks]
    3. [lateks] 2 < teks> _ <2> kiri (g kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 < teks> _ <3> kiri (g kanan) [/ lateks]
    4. [lateks] < teks> _ <3> kiri (s kanan) kananleftharpoons teks kiri (s kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan) [/ lateks]
    5. [lateks] < teks

      > _ <4> kiri (g kanan) +5 < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons < teks

      > _ <4> < teks> _ <10> kiri (s kanan) [/ lateks]

    6. [lateks] < teks
      > _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 teks
      kiri (g kanan) [/ lateks]
    7. [lateks] < teks> _ <4> kiri (g kanan) +2 < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons < teks> _ <2> kiri (g kanan) +2 < teks> _ <2> teks kiri (l kanan) [/ lateks]
    8. [lateks] < teks> _ <4> cdot 5 < teks> _ <2> teks left (s right) rightleftharpoons < teks> _ <4> kiri (s kanan) +5 < teks> _ <2> teks kiri (g kanan) [/ lateks]
    1. [lateks] < teks> _ <2> kiri (g kanan) +3 < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 < teks> _ <3> kiri (g kanan) [/ lateks]
    2. [lateks] 4 < teks> _ <3> kiri (g kanan) +5 < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons4 teks kiri (g kanan) +6 < teks> _ <2> teks kiri (g kanan) [/ lateks]
    3. [lateks] < teks> _ <2> < teks> _ <4> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 < teks> _ <2> kiri (g kanan) [/ lateks]
    4. [lateks] < teks> _ <2> kiri (g kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons teks kiri (g kanan) + < teks> _ <2> teks kiri (g kanan) [/ lateks]
    5. [lateks] < teks> _ <4> teks left (s right) rightleftharpoons < teks> _ <3> kiri (g kanan) + teks kiri (g kanan) [/ lateks]
    6. [lateks] 2 teks< kiri (< teks> _ <3> kanan)> _ <2> kiri (s kanan) kananleftharpoons2 teks kiri (s kanan) +4 < teks> _ <2> kiri (g kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan) [/ lateks]
    7. [lateks] 2 < teks> _ <2> kiri (g kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 < teks> _ <2> teks kiri (l kanan) [/ lateks]
    8. [lateks] < teks> _ <8> kiri (g kanan) kananleftharpoons8 teks kiri (g kanan) [/ lateks]
    1. [lateks] 2 < teks> _ <3> kiri (g kanan) kananleftharpoons < teks> _ <2> kiri (g kanan) +3 < teks> _ <2> kiri (g kanan)_= 17 teks <> [/ lateks] [NH3] = 0.20 M, [N2] = 1.00 M, [H2] = 1.00 M
    2. [lateks] 2 < teks> _ <3> kiri (g kanan) kananleftharpoons < teks> _ <2> kiri (g kanan) +3 < teks> _ <2> kiri (g kanan)_

      = 6.8 kali <10> ^ <4> teks <> [/ lateks] tekanan awal: NH3 = 3.0 atm, N2 = 2.0 atm, H2 = 1.0 atm

    3. [lateks] 2 < teks> _ <3> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 < teks> _ <2> kiri (g kanan) + < teks> _ <2> teks <(> g teks <)>_= 0.230 teks <> [/ lateks] [JADI3] = 0.00 M, [JADI2] = 1.00 M, [O2] = 1.00 M
    4. [lateks] 2 < teks> _ <3> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 < teks> _ <2> kiri (g kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan)_

      = 16.5 text <> [/ lateks] tekanan awal: JADI3 = 1.00 atm, JADI2 = 1.00 atm, O2 = 1.00 atm

    5. [lateks] 2 teks kiri (g kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 teks kiri (g kanan)_= 4.6 kali <10> ^ <4> teks <> [/ lateks] [TIDAK] = 1.00 M, [Cl2] = 1.00 M, [NOCl] = 0 M
    6. [lateks] < teks> _ <2> kiri (g kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 teks kiri (g kanan)_

      = 0.050 teks <> [/ lateks] tekanan awal: NO = 10.0 atm, N2 = O2 = 5 atm

    1. [lateks] 2 < teks> _ <3> kiri (g kanan) kananleftharpoons < teks> _ <2> kiri (g kanan) +3 < teks> _ <2> kiri (g kanan)_= 17 teks <> [/ lateks] [NH3] = 0.50 M, [N2] = 0.15 M, [H2] = 0.12 M
    2. [lateks] 2 < teks> _ <3> kiri (g kanan) kananleftharpoons < teks> _ <2> kiri (g kanan) +3 < teks> _ <2> kiri (g kanan)_

      = 6.8 kali <10> ^ <4> teks <> [/ lateks] tekanan awal: NH3 = 2.00 atm, N2 = 10.00 atm, H2 = 10.00 atm

    3. [lateks] 2 < teks> _ <3> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 < teks> _ <2> kiri (g kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan)_= 0.230 teks <> [/ lateks] [JADI3] = 2.00 M, [JADI2] = 2.00 M, [O2] = 2.00 M
    4. [lateks] 2 < teks> _ <3> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 < teks> _ <2> kiri (g kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan)_

      = 6.5 teks[/ lateks] tekanan awal: JADI2 = 1.00 atm, O2 = 1.130 atm, JADI3 = 0 atm

    5. [lateks] 2 teks kiri (g kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 teks kiri (g kanan)_

      = 2.5 kali <10> ^ <3> teks <> [/ lateks] tekanan awal: NO = 1.00 atm, Cl2 = 1.00 atm, NOCl = 0 atm

    6. [lateks] < teks> _ <2> kiri (g kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 teks kiri (g kanan)_= 0.050 teks <> [/ lateks] [N2] = 0.100 M, [O2] = 0.200 M, [TIDAK] = 1.00 M
    1. [lateks] < teks> _ <2> kiri (g kanan) +3 < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 < teks> _ <3> kiri (g kanan)_= 0.50 teks400 teks < textdegree C> [/ lateks]
    2. [lateks] < teks> _ <2> + < teks> _ <2> rightleftharpoons2 teks_= 50.2 teks448 text < textdegree C> [/ lateks]
    3. [lateks] < teks> _ <2> < teks> _ <4> cdot 10 < teks> _ <2> teks left (s right) rightleftharpoons < teks> _ <2> < teks> _ <4> kiri (s kanan) +10 < teks> _ <2> teks kiri (g kanan)_

      = 4.08 kali <10> ^ <-25> teks25 text < textdegree C> [/ lateks]

    4. [lateks] < teks> _ <2> teksteks kiri (l kanan) kananleoparpo <> _ <2> teks kiri (g kanan)_

      = 0.122 teks50 text < textdegree C> [/ lateks]

    1. [lateks] < teks> _ <2> kiri (g kanan) + < teks
      > _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 teks kiri (g kanan)_= 4.7 kali <10> ^ <-2> teks25 text < textdegree C> [/ lateks]
    2. [lateks] 2 < teks> _ <2> kiri (g kanan) + < teks> _ <2> kiri (g kanan) kananleftharpoons2 < teks> _ <3> kiri (g kanan)_

      = 48.2 teks500 teks < textdegree C> [/ lateks]

    3. [lateks] < teks> _ <2> cdot 6 < teks> _ <2> teks left (s right) rightleftharpoons < teks> _ <2> kiri (s kanan) +6 < teks> _ <2> teks kiri (g kanan)_

      = 5.09 kali <10> ^ <-44> teks25 text < textdegree C> [/ lateks]

    4. [lateks] < teks> _ <2> teksteks kiri (l kanan) kananleoparpo <> _ <2> teks kiri (g kanan)_

      = 0.196 teks60 text < textdegree C> [/ lateks]

    Jawapan Terpilih

    2. Keseimbangan tidak dapat dicapai antara fasa cair dan gas jika bahagian atas dikeluarkan dari botol, kerana sistem tidak ditutup salah satu komponen keseimbangan, Br2 wap, akan terlepas dari botol sehingga semua cecair hilang. Oleh itu, lebih banyak cecair akan menguap daripada dapat mengembun kembali dari fasa gas ke fasa cecair.

    4. (a) Kc = [Ag +] [Cl-] & lt 1. AgCl tidak larut sehingga, kepekatan ion jauh lebih sedikit daripada 1 M

    (b) [susu getah]_= frac <1> < kiri [< teks> ^ <2 +> kanan] < kiri [< teks> ^ <-> kanan]> ^ <2>> [/ lateks] & gt 1 kerana PbCl2 tidak larut dan pembentukan pepejal akan mengurangkan kepekatan ion ke tahap rendah (& lt1 M).

    6. Sejak [susu getah]_= frac < kiri [< teks> _ <6> < teks> _ <6> kanan]> << kiri [< teks> _ <2> < teks> _ <2> kanan]> ^ <3>> [/ lateks], nilai Kc ≈ 10 bermaksud bahawa C6H6 mengatasi C2H2. Dalam kes seperti itu, reaksi akan dapat dilaksanakan secara komersial sekiranya kadar keseimbangan sesuai.

    8. Kc & gt 1 produk mesti dibentuk dalam jumlah yang sangat besar.

    14. Ungkapan hasil reaksi untuk masalah ini ialah [lateks]_

    = frac << kiri (

    _ << teks> _ <3>> kanan)> ^ <2>> < kiri (

    _ << teks> _ <2>> kanan) < kiri (

    _ << teks> _ <2>> kanan)> ^ <3>> teks <.> [/ Lateks] Memasukkan nilai tekanan separa yang diberikan memberikan [lateks] frac << kiri (93 kanan)> ^ < 2 >> < kiri ( kiri (48 kanan) kali < kiri (52 kanan)> ^ <3> kanan)> [/ lateks], jadi Qhlm = 1.3 × 10 -3. Oleh kerana nilai ini lebih besar daripada KP (4.50 × 10 -5), sistem akan beralih ke reaktan untuk mencapai keseimbangan.

    16. (a) homogen (b) homogen (c) homogen (d) heterogen (e) heterogen (f) homogen (g) heterogen (h) heterogen

    18. Apabila bilangan komponen gas sama pada kedua-dua sisi ungkapan keseimbangan, Kc akan sama KP. Keadaan ini berlaku di (a) dan (b).

    22. Ungkapan keseimbangan untuk transformasi ini adalah [lateks]_

    =

    _ << teks> _ <2> teks> text <.> [/ lateks] Tekanan wap H2O pada suhu 30 ºC ialah 31.8 torr. Menukar ke atmosfera memberikan [lateks] 3.18 batal < teks> kali frac <1 teks> <760 batal < teks>> = 0.042 teks[/ lateks] Oleh itu, [lateks]_

    = < teks

    > _ << teks> _ <2> teks> = 0.042 teks <.> [/ Lateks]

    24. [lateks] < teks> _ <3> kiri (aq kanan) + < teks> _ <2> teksteks kiri (l kanan) kananleoparpo <> _ <4> <> ^ <+> kiri (aq kanan) + < teks> ^ <-> kiri (aq kanan) teks <.> [/ lateks] Oleh kerana kepekatan air adalah pemalar, maka istilah [H2O] biasanya dimasukkan ke dalam hasil tindak balas serta pemalar keseimbangan akhir. [susu getah]_= frac < kiri [< teks> _ <4> <> ^ <+> kanan] kiri [< teks> ^ <-> kanan]> < kiri [< teks> _ <3> kanan]> [/ lateks]

    Glosari

    pemalar keseimbangan (K)
    nilai bagi reaksi bagi sistem pada keseimbangan

    keseimbangan heterogen
    keseimbangan antara reaktan dan produk dalam fasa yang berbeza

    keseimbangan homogen
    keseimbangan dalam satu fasa

    Kc
    pemalar keseimbangan untuk tindak balas berdasarkan kepekatan reaktan dan produk

    KP
    pemalar keseimbangan untuk tindak balas fasa gas berdasarkan tekanan separa reaktan dan produk

    undang-undang tindakan massa
    apabila tindak balas yang boleh dipulihkan telah mencapai keseimbangan pada suhu tertentu, hasil tindak balas tetap

    hasil tindak balas (Q)
    nisbah produk kepekatan molar (atau tekanan) produk dengan reaktan, setiap kepekatan (atau tekanan) dinaikkan ke daya sama dengan pekali dalam persamaan