Artikel

11.5: E- Dinamika Persamaan Hamilton - Matematik


Dalam lampiran ini kami memberikan pengenalan ringkas mengenai beberapa ciri dan hasil yang berkaitan dengan persamaan pembezaan Hamilton (atau, persamaan Hamilton atau medan vektor Hamilton). .

Tujuan kami di sini bukanlah untuk mendapatkan persamaan Hamilton dari persamaan Newton. Perbincangan mengenai perkara itu terdapat di banyak buku teks mengenai mekanik (walaupun sering dianggap sebagai "mekanik maju"). Sebagai contoh, eksposisi klasik topik ini boleh didapati di buku klasik Landau, dan pameran yang lebih moden boleh didapati di Abraham dan Marsden dan Arnold. Sebaliknya, pendekatan kami adalah untuk memulakan dengan persamaan Hamilton dan memahami beberapa aspek dan akibat sederhana dari struktur khas yang berkaitan dengan persamaan Hamilton. Menjelang akhir ini, titik permulaan kami adalah persamaan Hamilton. Selaras dengan pendekatan mudah sepanjang kuliah ini, perbincangan kami mengenai persamaan Hamilton adalah untuk sistem dua dimensi.

Kita mulakan dengan fungsi nilai skalar yang ditentukan pada ( mathbb {R} ^ 2 )

[H = H (q, p), (q, p) in mathbb {R} ^ 2. label {E.1} ]

Fungsi ini disebut sebagai Hamiltonian. Dari Hamiltonian, persamaan Hamilton mengambil bentuk berikut:

( dot {q} = frac { partial H} { partial p} (q, p) ),

[ dot {p} = frac { partial H} { partial q} (q, p), (q, p) in mathbb {R} ^ 2. label {E.2} ]

Bentuk persamaan Hamilton menunjukkan bahawa Hamiltonian tetap pada lintasan. Ini dapat dilihat dari pengiraan berikut:

( frac {dH} {dt} = frac { partial H} { partial q} dot {q} + frac { partial H} { partial p} dot {p} )

[= frac { partial H} { partial q} frac { partial H} { partial p} - frac { partial H} { partial p} frac { partial H} { separa q} = 0. label {E.3} ]

Selanjutnya, pengiraan ini menunjukkan bahawa set tahap Hamiltonian adalah manifold invarian. Kami menunjukkan set tahap Hamiltonian sebagai:

[H_ {E} = {(q, p) in mathbb {R} ^ 2 | H (q, p) = E } label {E.4} ]

Secara umum, set tahap adalah lengkung (atau mungkin titik keseimbangan). Oleh itu, dalam kes dua dimensi, lintasan persamaan Hamilton diberikan oleh set tahap Hamiltonian.

Medan vektor Jacobian dari Hamiltonian (E.2), dilambangkan J, diberikan oleh:

[J (p, q) = begin {pmatrix} { frac { partial ^ {2} H} { partial q partial p}} & { frac { partial ^ {2} H} { separa p ^ 2}} {- frac { partial ^ {2} H} { partial q ^ 2}} & {- frac { partial ^ {2} H} { partial p partial q }} end {pmatrix}, label {E.5} ]

pada titik sewenang-wenang ((q, p) in mathbb {R} ^ 2 ). Perhatikan bahawa jejak J (q, p), dilambangkan trJ (q, p), adalah sifar. Ini menunjukkan bahawa nilai eigen J (q, p), dilambangkan dengan ( lambda_ {1, 2} ), diberikan oleh:

[ lambda_ {1, 2} = pm sqrt {-det J (q, p)}, label {E.6} ]

di mana detJ (q, p) menunjukkan penentu J (q, p). Oleh itu, jika ((q_ {0}, p_ {0}) ) adalah titik keseimbangan (E.1) dan (detJ (q_ {0}, p_ {0}) = 0 ), maka titik keseimbangan adalah pusat untuk (detJ (q_ {0}, p_ {0})> 0 ) dan pelana untuk (detJ (q_ {0}, p_ {0}) <0 ).

Seterusnya kita menerangkan beberapa contoh medan vektor Hamiltonian autonomi linear dua dimensi.

Contoh ( PageIndex {41} ) (Pelana Hamiltonian)

Kami menganggap Hamiltonian:

[H (q, p) = frac { lambda} {2} (p ^ {2} -q ^ {2}) = frac { lambda} {2} (pq) (p + q), (q, p) in mathbb {R} ^ 2, label {E.7} ]

dengan ( lambda> 0 ). Dari Hamiltonian ini, kami memperoleh persamaan Hamilton:

( dot {q} = frac { partial H} { partial p} (q, p) = lambda p ),

[ dot {p} = frac { partial H} { partial p} (q, p) = lambda q, label {E.8} ]

atau dalam bentuk matriks:

[ start {pmatrix} { dot {q}} { dot {p}} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {0} & { lambda} { lambda} & { 0} end {pmatrix} mula {pmatrix} {q} {p} akhir {pmatrix}. label {E.9} ]

Asal adalah titik tetap, dan nilai eigen yang berkaitan dengan linearisasi diberikan oleh ( pm lambda ). Oleh itu, asalnya adalah titik pelana. Nilai Hamiltonian pada asalnya adalah sifar. Kami juga melihat dari (E.7) bahawa Hamiltonian adalah sifar pada garis (p - q = 0 ) dan p + q = 0. Ini adalah manifold asal yang tidak stabil dan stabil. Potret fasa digambarkan dalam Rajah E.1.

Aliran yang dihasilkan oleh medan vektor ini diberikan dalam Bab 2, Masalah Set 2, masalah 6.

Contoh ( PageIndex {42} ) (Pusat Hamiltonian)

Kami menganggap Hamiltonian:

[H (q, p) = frac { omega} {2} (p ^ {2} + q ^ {2}), (q, p) in mathbb {R} ^ 2, label { E.10} ]

dengan ( omega> 0 ). Dari Hamiltonian ini, kami memperoleh persamaan Hamilton:

( dot {q} = frac { partial H} { partial p} (q, p) = omega p ),

[ dot {p} = frac { partial H} { partial p} (q, p) = - omega q, label {E.11} ]

atau dalam bentuk matriks:

[ begin {pmatrix} { dot {q}} { dot {p}} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {0} & { omega} {- omega} & {0} end {pmatrix} mula {pmatrix} {q} {p} akhir {pmatrix}. label {E.12} ]

Set level Hamiltonian adalah bulatan, dan digambarkan dalam Gambar. E.2.

Aliran yang dihasilkan oleh medan vektor ini diberikan dalam Bab 2, Masalah Set 2, masalah 5.

Kita sekarang akan mempertimbangkan dua contoh penyebaran keseimbangan dalam sistem Hamiltonian dua dimensi. Bifurcation yang berkaitan dengan satu nilai eigen sifar (seperti yang kita pelajari dalam Bab 8) tidak mungkin dilakukan kerana, berikut (E.6), jika ada satu nilai eigen sifar, nilai eigen yang lain juga mesti sifar. Kami akan mempertimbangkan contoh simpul pelana Hamiltonian dan bifurkasi padang rumput Hamilton. Perbincangan versi Hamilton dari bifurkasi ini juga boleh didapati di Golubitsky et al.

Contoh ( PageIndex {43} ) (bifurkasi simpul Hamiltonian)

Kami menganggap Hamiltonian:

[H (q, p) = frac {p ^ 2} {2} - lambda q + frac {q ^ {3}} {3}), (q, p) in mathbb {R} ^ 2, label {E.13} ]

di mana ( lambda ) dianggap sebagai parameter yang dapat dipelbagaikan. Dari Hamiltonian ini, kami memperoleh persamaan Hamilton:

( dot {q} = frac { partial H} { partial p} (q, p) = p ),

[ dot {p} = - frac { partial H} { partial p} (q, p) = lambda - q ^ 2, label {E.14} ]

Titik tetap untuk (E.14) adalah:

[(q, p) = ( pm sqrt { lambda}, 0), label {E.15} ]

yang menunjukkan bahawa tidak ada titik tetap untuk ( lambda <0 ), satu titik tetap untuk ( lambda = 0 ), dan dua titik tetap untuk ( lambda> 0 ). Ini adalah senario pembelahan simpul-simpul.

Seterusnya kita mengkaji kestabilan titik tetap. Jacobian dari (E.14) diberikan oleh:

[ mula {pmatrix} {0} & {1} {-2q} & {0} akhir {pmatrix}. label {E.16} ]

Nilai eigen matriks ini adalah:

( lambda_ {1, 2} = pm sqrt {-2q} ).

Oleh itu ((q, p) = (- sqrt { lambda}, 0) ) adalah pelana, ((q, p) = ( sqrt { lambda}, 0) ) adalah pusat, dan (q, p) = (0, 0) mempunyai dua nilai eigen sifar. Potret fasa ditunjukkan dalam Rajah E.3.

Contoh ( PageIndex {44} ) (Hamiltonian pitchfork bifurcation)

Kami menganggap Hamiltonian:

[H (q, p) = frac {p ^ 2} {2} - lambda frac {q ^ 2} {2} + frac {q ^ {4}} {4}), (q, p) in mathbb {R} ^ 2, label {E.17} ]

di mana ( lambda ) dianggap sebagai parameter yang dapat dipelbagaikan. Dari Hamiltonian ini, kami memperoleh persamaan Hamilton:

( dot {q} = frac { partial H} { partial p} (q, p) = p ),

[ dot {p} = - frac { partial H} { partial p} (q, p) = lambda q - q ^ 3, label {E.18} ]

Titik tetap untuk (E.18) adalah:

[(q, p) = (0, 0), ( pm p lambda, 0), label {E.19} ]

yang menunjukkan bahawa terdapat satu titik tetap untuk ( lambda <0 ), satu titik tetap untuk ( lambda = 0 ), dan tiga titik tetap untuk ( lambda> 0 ). Ini adalah senario pembelahan babi.

Seterusnya kita mengkaji kestabilan titik tetap. Jacobian dari (E.18) diberikan oleh:

[ bermula {pmatrix} {0} & {1} { lambda-3q ^ 2} & {0} end {pmatrix}. label {E.20} ]

Nilai eigen matriks ini adalah:

( lambda_ {1,2} = pm sqrt { lambda-3q ^ 2} ).

Oleh itu (q, p) = (0, 0) adalah pusat untuk ( lambda <0 ), pelana untuk ( lambda> 0 ) dan mempunyai dua nilai eigen sifar untuk ( lambda = 0 ) . Titik tetap ((q, p) = (p lambda, 0) ) adalah pusat untuk ( lambda> 0 ). E.4.

Kami menyatakan bahawa, dengan sedikit pemikiran, harus jelas bahawa dalam dua dimensi tidak ada analog dari bifurkasi Hopf untuk bidang vektor Hamiltonian yang serupa dengan situasi yang kami analisis sebelumnya dalam konteks non-Hamilton. Terdapat situasi yang disebut sebagai bifurkasi Hamiltonian Hopf, tetapi tanggapan ini memerlukan sekurang-kurangnya empat dimensi, lihat Van Der Meer.

Dalam sistem Hamiltonian parameter bifurkasi semula jadi adalah nilai set tahap Hamiltonian, atau "tenaga". Dari sudut pandang ini, mungkin calon yang lebih semula jadi untuk penyebaran Hopf dalam sistem Hamiltonian digambarkan oleh teorema subcenter Lyapunov, lihat Kelley. Pengaturan untuk teorema ini juga memerlukan sekurang-kurangnya empat dimensi, tetapi fenomena yang berkaitan sering berlaku dalam aplikasi.


Sir William Rowan Hamilton (1805-1865): Makalah Matematik

Koleksi ini terdiri daripada kertas matematik Sir William Rowan Hamilton yang diterbitkan semasa hayatnya, ditranskripsikan dan diedit oleh David R. Wilkins. Dengan satu pengecualian, makalah-makalah ini terdapat di sini dalam edisi berdasarkan teks yang diterbitkan asal. (Pengecualiannya adalah makalah Remarques de M. Hamilton, Directeur de l'Observatoire de Dublin, sur un M & eacutemoire de M. Plana ins & eacuter & eacute dans le Tome VII de la Correspondance Math.)

Kertas matematik Hamilton juga telah diterbitkan semula dalam empat jilid The Mathematical Papers Sir William Rowan Hamilton, diedit untuk Royal Irish Academy oleh JL Synge, AW Conway, AJ McConnell, H. Halberstam, RE Ingram dan BKP Scaife, dan diterbitkan oleh Cambridge University Press. (Jilid 4 diterbitkan oleh Cambridge University Press pada bulan Disember 2000.) Jilid ini juga merangkumi sejumlah besar makalah dan manuskrip Hamilton yang sebelumnya tidak diterbitkan.

Berikut adalah karya Sir William Rowan Hamilton yang terdapat di sini:


Persamaan Lagrange dan Hamilton

Kaedah yang elegan dan hebat juga telah dirancang untuk menyelesaikan masalah dinamik dengan kekangan. Salah satu yang paling terkenal disebut persamaan Lagrange. Orang Lagrangian L ditakrifkan sebagai L = TV, di mana T adalah tenaga kinetik dan V potensi tenaga sistem yang dimaksudkan. Secara amnya, tenaga berpotensi sistem bergantung pada koordinat semua zarahnya yang mungkin ditulis sebagai V = V(x1, y1, z1, x2, y2, z2,. . . ). Tenaga kinetik umumnya bergantung pada halaju, yang menggunakan notasi vx = dx/dt = , boleh ditulis T = T(1, 1, ż1, 2, 2, ż2,. . . ). Oleh itu, masalah dinamik mempunyai enam pemboleh ubah dinamik untuk setiap zarah — iaitu, x, y, z dan ẋ, ẏ, ż- dan Lagrangian bergantung pada semua 6N pemboleh ubah sekiranya ada N zarah.

Akan tetapi, dalam banyak masalah, kekangan masalah membenarkan persamaan ditulis yang berkaitan dengan sekurang-kurangnya beberapa pemboleh ubah ini. Dalam kes ini, 6N pemboleh ubah dinamik yang berkaitan boleh dikurangkan kepada sebilangan kecil koordinat umum bebas (ditulis secara simbolik sebagai q1, q2, . . . qi,. . . dan halaju umum (ditulis sebagai 1, 2, . . . i,. . . sama seperti badan kaku, 3N koordinat dikurangkan kepada enam koordinat umum bebas (masing-masing mempunyai halaju yang berkaitan). Lagrangian, kemudian, dapat dinyatakan sebagai fungsi dari semua qi dan i. Adalah mungkin, bermula dari undang-undang Newton sahaja, untuk mendapatkan persamaan Lagrange

di mana notasi ∂L/∂qi bermaksud membezakan L berkenaan dengan qi hanya, mengekalkan semua pemboleh ubah lain tetap. Terdapat satu persamaan bentuk (94) untuk setiap koordinat umum qi (mis., enam persamaan untuk badan yang kaku), dan penyelesaiannya menghasilkan dinamika sistem yang lengkap. Penggunaan koordinat umum memungkinkan banyak persamaan gabungan bentuk (91) dikurangkan menjadi lebih sedikit, persamaan bebas bentuk (94).

Terdapat kaedah yang lebih hebat lagi yang disebut persamaan Hamilton. Ia bermula dengan menentukan momentum umum hlmi, yang berkaitan dengan Lagrangian dan halaju umum i oleh hlmi = ∂L/∂i. Fungsi baru, Hamiltonian, kemudian ditentukan oleh H = Σi ihlmiL. Dari sudut ini tidak sukar untuk diturunkan dan />

Ini dipanggil persamaan Hamilton. Terdapat dua daripadanya untuk setiap koordinat umum. Mereka boleh digunakan sebagai pengganti persamaan Lagrange, dengan kelebihan bahawa hanya derivatif pertama - bukan derivatif kedua - yang terlibat.


11.2 Rumusan variasi

Kita dapat memperoleh dari mana-mana buku mengenai pemindahan haba persamaan pembezaan yang mengatur untuk konduksi haba keadaan stabil dan tidak stabil (sementara). Bentuk persamaan konduksi haba yang paling umum, dalam arah koordinat utama bahan adalah persamaan tiga dimensi sementara:

di mana, kx, ky, kz = pekali kekonduksian terma, θ = suhu, Q = penjanaan haba per unit isipadu, ρ = ketumpatan, dan chlm = haba tentu pada tekanan berterusan. Sekiranya kita menumpukan perhatian kita kepada dua dimensi (∂ / ∂z = 0) keadaan tetap (∂ / ∂t = 0) masalah, seperti Rajah 11.1, persamaan yang berlaku menjadi

Rajah 11.1. Kawasan pemindahan haba anisotropik

di mana kx, ky, dan Q dikenali. Persamaan 11.1 atau 2, bersama dengan syarat sempadan (dan awal) menentukan masalah sepenuhnya. Keadaan sempadan yang paling sering dijumpai adalah keadaan di mana suhu, θ, ditentukan pada sempadan,

atau fluks haba biasa ke sempadan, ditentukan:

atau fluks haba biasa kerana perolakan:

di mana nx dan ny adalah kosinus arah dari luar normal ke permukaan sempadan, qs mewakili fluks haba yang diketahui per unit permukaan, dan h(θ - θ) adalah kehilangan haba perolakan per unit kawasan kerana pekali perolakan h dan cecair di sekitarnya pada suhu θ. Hanya satu daripada dua item terakhir ini yang bukan sifar pada permukaan tertentu. Perhatikan bahawa dua permukaan yang terakhir dapat ditulis dalam bentuk yang lebih umum jika kita menggabungkannya menjadi a bercampur atau Robin syarat ditulis sebagai:

di mana g sama ada kemasukan yang diketahui (ketika h = 0), atau h θ pada permukaan perolakan.

Dalam Bahagian 2.13.2 kami menggambarkan bagaimana menerapkan kaedah Galerkin pada persamaan ini. Seperti yang dinyatakan sebelumnya, rumusan alternatif untuk masalah konduksi haba di atas adalah mungkin dengan menggunakan kalkulus variasi. Telah ditunjukkan bahawa jika wujud bentuk variasi untuk persamaan pembezaan, maka bentuk Galerkin dan bentuk variasi Euler akan menghasilkan definisi matriks elemen yang sama. Teorema Euler & kalkulus variasi menyatakan bahawa jika kamiran

harus diminimumkan, syarat yang perlu dan mencukupi agar minimum ini dapat dicapai adalah fungsi yang tidak diketahui awak(x, y, zmemenuhi persamaan pembezaan berikut

dalam wilayah Ω, dengan syarat awak memenuhi syarat sempadan penting pada ΓD dan

pada baki Γ. Kami dapat mengesahkan bahawa pengurangan jumlah terpadu

mengarah terus ke formulasi yang setara dengan Persamaan. 11.2 untuk kes keadaan stabil. Perlu juga diperhatikan bahawa permukaan Γ akan dibahagikan kepada kawasan yang berlainan untuk setiap set input permukaan yang berbeza. Salah satu segmen tersebut biasanya merupakan wilayah Dirichlet, ΓD, dan permukaan yang terpadu itu mewakili aliran reaksi yang tidak diketahui pada nod yang disatukan ke dalam RHS sistem algebra. Sumbangan isipadu fungsional adalah

Oleh itu, jika hendak diminimumkan, ia mesti memenuhi Persamaan. 11.6. Di sini

mengesahkan bahawa fungsi tersebut membawa kepada perumusan keadaan mantap yang betul, sekiranya keadaan sempadan juga dipenuhi. Euler juga menyatakan bahawa keadaan batas semula jadi yang berkaitan dengan Persamaan. 11.5 di permukaan dengan unit normal vektor n → adalah

pada sempadan di mana nilai awak tidak ditetapkan. Sekiranya kedua-duanya g dan h bukan sifar keadaan sempadan jenis ini adalah keadaan Robin, atau bercampur, kerana ia memaksakan kombinasi linear pada larutan dan kecerunan normal pada bahagian batas.

Matriks elemen dan sempadan yang timbul daripada Persamaan. 11.7 dan kaedah Galerkin akan serupa. Oleh itu, kita mempunyai alat untuk membina model termal anisotropik pepejal dari geometri kompleks. Seperti yang digambarkan dalam Rajah 11.2, ini sering memerlukan penggabungan kesan unsur konduksi dan elemen perolakan pada nod bersama. Hari ini kod komersial dapat menghasilkan dan menyelesaikan jaring halus dengan cepat untuk kajian terma 3-D. Namun, masih umum untuk menghampiri beberapa pepejal 3-D dengan model 2-D seperti yang terlihat dalam gambar itu. Sekiranya kita membiarkan ketebalan yang ditentukan berbeza dari elemen ke elemen, kadang-kadang kita menyebutnya model 2½-D. Elemen perolakan dalam model 2-D dapat terjadi di atas permukaan elemen konduksi 2-D dan / atau di sepanjang pinggir yang mempunyai ketebalan yang ditentukan. Begitu juga, penghampiran 1-D boleh mempunyai kesan perimeter perimeter, sebagai elemen garis, digabungkan dengan elemen konduksi 1-D. Mereka juga dapat melakukan perolakan di kawasan hujung yang diwakili sebagai elemen titik perolakan. Kemudian kita akan melihat bahawa pelaksanaan satu komputer dapat menangani semua kombinasi yang ditunjukkan dalam gambar di atas. Masih disarankan agar pelbagai jenis model elemen hingga dapat dibandingkan antara satu sama lain sebagai kaedah untuk mengesahkan hasilnya kepada masalah yang jawapannya tidak diketahui. Kadang kala model yang dapat diselesaikan dengan tangan memberikan pengesahan hasil yang berguna dari kod komersial. Untuk kesederhanaan, di bahagian seterusnya kita melihat model 2-D yang dapat menghasilkan matriks yang dapat dimanipulasi dalam bentuk tertutup, dan kemudian kembali kemudian ke elemen yang disatukan secara berangka untuk penggunaan 3-D umum.

Rajah 11.2. Model terma tiga dimensi dan penghampirannya


Sir William Rowan Hamilton

Editor kami akan menyemak apa yang telah anda kirimkan dan menentukan apakah akan menyemak semula artikel tersebut.

Sir William Rowan Hamilton, (lahir 3/4 Agustus 1805, Dublin, Ireland - meninggal 2 September 1865, Dublin), ahli matematik Ireland yang menyumbang kepada pengembangan optik, dinamika, dan aljabar - khususnya, menemukan aljabar kuarterion. Karyanya terbukti penting untuk pengembangan mekanik kuantum.

Hamilton adalah anak seorang peguam cara. Dia dididik oleh bapa saudaranya, James Hamilton, seorang pendeta Anglikan yang dengannya dia tinggal sebelum usia tiga hingga dia memasuki kuliah. Kemampuan berbahasa segera terlihat: pada usia lima tahun dia sudah membuat kemajuan dengan bahasa Latin, Yunani, dan Ibrani, memperluas pelajarannya untuk memasukkan bahasa Arab, Sanskrit, Parsi, Syria, Perancis, dan Itali sebelum dia berusia 12 tahun.

Hamilton mahir dalam aritmetik pada usia dini. Tetapi minat serius dalam matematik terbangun ketika membaca Geometri Analitik dari Bartholomew Lloyd pada usia 16 tahun (Sebelum itu, perkenalannya dengan matematik hanya terhad kepada Euclid, bahagian Isaac Newton Principia, dan buku teks pengantar mengenai aljabar dan optik.) Bacaan selanjutnya termasuk karya ahli matematik Perancis Pierre-Simon Laplace dan Joseph-Louis Lagrange.

Hamilton memasuki Trinity College, Dublin, pada tahun 1823. Dia cemerlang sebagai sarjana bukan sahaja dalam matematik dan fizik tetapi juga klasik, sementara dia meneruskan penyelidikan matematiknya sendiri. Sebuah makalah besar mengenai optiknya diterima untuk diterbitkan oleh Royal Irish Academy pada tahun 1827. Pada tahun yang sama, ketika masih menjadi sarjana, Hamilton dilantik sebagai profesor astronomi di Trinity College dan Royal Astronomer of Ireland. Rumahnya selepas itu berada di Dunsink Observatory, beberapa batu di luar Dublin.

Hamilton sangat berminat dengan sastera dan metafizik, dan dia menulis puisi sepanjang hidupnya. Semasa melawat England pada tahun 1827, dia mengunjungi William Wordsworth. Persahabatan segera terjalin, dan mereka sering berkomunikasi sesudahnya. Hamilton juga mengagumi puisi dan tulisan metafizik Samuel Taylor Coleridge, yang dikunjunginya pada tahun 1832. Hamilton dan Coleridge sama-sama banyak dipengaruhi oleh tulisan-tulisan falsafah Immanuel Kant.

Kertas matematik Hamilton yang pertama kali diterbitkan, "Teori Sistem Sinar," bermula dengan membuktikan bahawa sistem sinar cahaya yang mengisi kawasan ruang boleh difokuskan ke satu titik oleh cermin melengkung yang sesuai jika dan hanya jika sinar cahaya itu ortogonal ke beberapa siri permukaan. Lebih-lebih lagi, harta benda terakhir dipelihara dalam pantulan dalam sebilangan cermin. Inovasi Hamilton adalah untuk menghubungkan dengan sistem sinar seperti fungsi ciri, tetap pada setiap permukaan yang sinarnya ortogonal, yang digunakannya dalam penyelidikan matematik fokus dan kaustik cahaya yang dipantulkan.

Teori fungsi ciri sistem optik dikembangkan lebih lanjut dalam tiga suplemen. Pada ketiga ini, fungsi ciri bergantung pada koordinat Cartesian dua titik (awal dan akhir) dan mengukur masa yang diperlukan agar cahaya bergerak melalui sistem optik dari satu ke yang lain. Sekiranya bentuk fungsi ini diketahui, maka sifat asas sistem optik (seperti arah sinar yang muncul) dapat diperoleh dengan mudah. Dalam menerapkan metodenya pada tahun 1832 untuk mempelajari penyebaran cahaya di media anisotropik, di mana kelajuan cahaya bergantung pada arah dan polarisasi sinar, Hamilton membawa kepada ramalan yang luar biasa: jika satu sinar cahaya adalah berlaku pada sudut tertentu pada permukaan kristal dwiaksial (seperti aragonit), maka cahaya yang dibiaskan akan membentuk kerucut berongga.

Rakan sekerja Hamilton, Humphrey Lloyd, profesor falsafah semula jadi di Trinity College, berusaha mengesahkan ramalan ini secara eksperimen. Lloyd sukar mendapatkan kristal aragonit dengan ukuran dan kemurnian yang mencukupi, tetapi akhirnya dia dapat melihat fenomena pembiasan kerucut ini. Penemuan ini menggembirakan minat dalam komuniti saintifik dan membina reputasi Hamilton dan Lloyd.

Dari tahun 1833 dan seterusnya, Hamilton menyesuaikan kaedah optiknya untuk mengkaji masalah dalam dinamika. Dari hasil kerja persiapan yang sukar muncul teori yang elegan, mengaitkan fungsi ciri dengan sistem menarik atau menghalau zarah titik. Sekiranya bentuk fungsi ini diketahui, maka penyelesaian persamaan gerakan sistem dapat diperoleh dengan mudah. Dua makalah utama Hamilton "Pada Kaedah Umum dalam Dinamika" diterbitkan pada tahun 1834 dan 1835. Pada yang kedua, persamaan gerakan sistem dinamik dinyatakan dalam bentuk yang sangat elegan (persamaan gerakan Hamilton). Pendekatan Hamilton diperhalusi lagi oleh ahli matematik Jerman Carl Jacobi, dan kepentingannya menjadi jelas dalam pengembangan mekanik cakerawala dan mekanik kuantum. Mekanik Hamiltonian mendasari penyelidikan matematik kontemporari dalam geometri simplektik (bidang penyelidikan dalam geometri algebra) dan teori sistem dinamik.

Pada tahun 1835, Hamilton diketuai oleh tuan letnan Ireland semasa perjumpaan di Dublin Persatuan British untuk Kemajuan Sains. Hamilton berkhidmat sebagai presiden Royal Irish Academy dari tahun 1837 hingga 1846.

Hamilton mempunyai minat mendalam terhadap prinsip asas algebra. Pandangannya mengenai sifat bilangan nyata dinyatakan dalam sebuah karangan panjang, "Tentang Algebra sebagai Ilmu Waktu Murni." Nombor kompleks kemudian dinyatakan sebagai "pasangan algebra" - iaitu, memerintahkan pasangan nombor nyata, dengan operasi algebra yang ditentukan dengan tepat. Selama bertahun-tahun Hamilton berusaha untuk membina teori kembar tiga, yang serupa dengan kuplet nombor kompleks, yang akan berlaku untuk kajian geometri tiga dimensi. Kemudian, pada 16 Oktober 1843, ketika berjalan bersama isterinya di samping Royal Canal dalam perjalanan ke Dublin, Hamilton tiba-tiba menyedari bahawa penyelesaiannya bukan pada triplet tetapi pada quadruplets, yang dapat menghasilkan algebra empat dimensi nonkomputasi, aljabar kuarterion. Teruja dengan ilhamnya, dia berhenti untuk mengukir persamaan asas aljabar ini di atas batu jambatan yang mereka lalui.

Hamilton mengabdikan 22 tahun terakhir hidupnya untuk pengembangan teori kuarter dan sistem yang berkaitan. Baginya, quaternions adalah alat semula jadi untuk penyiasatan masalah dalam geometri tiga dimensi. Banyak konsep dan hasil asas dalam analisis vektor berasal dari makalah Hamilton mengenai kuarterion. Sebuah buku besar, Kuliah di Quaternions, diterbitkan pada tahun 1853, tetapi gagal mencapai banyak pengaruh di kalangan ahli matematik dan ahli fizik. Rawatan yang lebih lama, Elemen Quaternions, masih belum selesai pada saat kematiannya.

Pada tahun 1856 Hamilton menyiasat jalan tertutup di sepanjang tepi dodecahedron (salah satu pepejal Platonik) yang mengunjungi setiap bucu tepat sekali. Dalam teori grafik, jalan seperti ini dikenali hari ini sebagai litar Hamilton.


Dinamika global model wabak SIR pecahan pesanan dengan ingatan

Dalam makalah ini, penyelidikan dan analisis model epidemi SIR fraksional-urutan tak linear dengan tindak balas fungsional jenis Crowley-Martin dan kadar rawatan Holling tipe-II dibuat di sepanjang ingatan. Kewujudan dan kestabilan titik keseimbangan disiasat. Keadaan yang mencukupi untuk ketahanan penyakit ini disediakan. Pertama, nilai ambang, R 0, diperoleh yang menentukan kestabilan keseimbangan, kemudian keseimbangan model ditentukan dan analisis kestabilannya dipertimbangkan dengan menggunakan kriteria kestabilan fractional Routh-Hurwitz dan prinsip invariant pecahan La-Salle. Derivatif pecahan diambil dalam arti Caputo dan penyelesaian berangka model diperoleh dengan skema L1 yang melibatkan jejak memori yang dapat menangkap dan mengintegrasikan semua aktiviti masa lalu. Sementara itu, dengan menggunakan pendekatan fungsional Lyapunov, dinamika global titik keseimbangan endemik dibincangkan. Selanjutnya, beberapa simulasi berangka dilakukan untuk menggambarkan keberkesanan hasil teori yang diperoleh. Hasil kajian menunjukkan bahawa skema L1 yang diterapkan sangat kuat dan berkesan untuk menganalisis persamaan pembezaan pecahan-urutan yang timbul dalam dinamika penyakit. Hasil kajian menunjukkan bahawa urutan derivatif pecahan mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap proses dinamik. Juga, dari hasilnya, jelas bahawa kesan memori adalah sifar untuk ρ = 1. Apabila pecahan-urutan ρ diturunkan dari 1, jejak memori secara tidak linear meningkat dari 0, dan dinamika sangat bergantung pada masa. Kesan ingatan menunjukkan perbezaan antara terbitan urutan pecahan dan tertib integer.


Apa yang boleh kita harapkan di masa hadapan?

Pengiraan dan teori matematik abad ke-20 menyokong kehidupan moden, produk, perdagangan pembuatan dan pelbagai kajian, termasuk dinamika penduduk, reaksi kimia dan degupan jantung yang tidak teratur. Algoritma dan kecerdasan buatan adalah asas pembelajaran mesin, dengan aplikasi praktikal masa kini dilihat dalam robotik, perdagangan tenaga dan pengembangan ubat baru. Benang umum di seluruh matematik.

Matematik adalah satu set alat yang telah berkembang dan berkembang dari masa ke masa, membantu umat manusia dalam perkembangannya selama berabad-abad. Hari ini, ia digunakan dalam semua aspek masyarakat kita, sama ada di tempat kerja, berehat dan bermain, termasuk dalam perjuangan terdesak melawan COVID-19. Satu perkara yang jelas, matematik mempunyai masa depan yang cerah dan menarik pada abad-abad akan datang dalam membawa manusia menjadi bintang.


Saya bermain dengan persamaan Schrodinger dan menyedari bahawa ia dapat ditafsirkan sebagai persamaan aliran.

Kita boleh meletakkan Schrodinger dalam bentuk ∂ψ∂t = (- ∇ψ) ⋅v + iEψ

Saya mendapati ini intuitif secara peribadi kerana ia menunjukkan bahawa fungsi gelombang mengalir. Adakah terdapat buku yang menyebutkan perkara ini?

Dalam saya Kaedah Matematik untuk Fizik buku oleh Wyld dari tahun 1976 ia disebut sebagai persamaan difusi dengan pemalar penyebaran khayalan. Baym (1969) menyebutnya dalam bukunya Kuliah mengenai Mekanik Kuantum dengan andaian itulah yang anda maksudkan dengan persamaan aliran.

Dalam Kuliahnya mengenai Fizik (Jilid 3, bab 16, bahagian 1) Feynman bercakap mengenai persamaan Schrödinger mengatakan

Sebenarnya, persamaan itu kelihatan seperti persamaan penyebaran yang telah kita gunakan dalam Jilid I. Tetapi ada satu perbezaan utama: pekali khayalan di hadapan turunan waktu menjadikan tingkah laku sama sekali berbeza dari penyebaran biasa seperti yang anda miliki untuk gas menyebar di sepanjang tiub nipis. Penyebaran biasa menimbulkan penyelesaian eksponen nyata, sedangkan penyelesaian Persamaan. (16.13) adalah gelombang kompleks.


Hipotesis Riemann

Nol sifar fungsi zeta terletak pada baris Re s = 1 2. tekss = frac12. Re s = 2 1.

Keindahan hipotesis Riemann adalah bahawa ia mempunyai implikasi yang kuat mengenai pembahagian bilangan prima. Khususnya, ini menunjukkan batasan kuat pada istilah kesalahan dalam teorema nombor perdana, serta banyak hasil lain dari teori nombor. Sebagai contoh, hipotesis Riemann setara dengan salah satu daripada tiga pernyataan berikut:

The hipotesis Riemann umum adalah pernyataan mengenai sifar fungsi tertentu yang dikenali sebagai fungsi L L L, yang ditentukan oleh siri Dirichlet, yang merupakan generalisasi fungsi zeta Riemann. Hipotesis Riemann yang umum dapat digunakan untuk membuktikan banyak persoalan terbuka dalam teori nombor, termasuk dugaan Artin pada akar primitif dan yang disebut dugaan Goldbach yang lemah bahawa setiap perdana ganjil lebih besar daripada 5 adalah jumlah tiga prima ganjil.


Bibliografi

Arnol'd, V. I., "Kaedah Matematik Mekanik Klasik", (Springer, New York, 1974).

Benton, S. H., "The Hamilton-Jacobi Equation: A Global Approach", (Akademik Akhbar, New York, 1977).

Dilahirkan, M. dan Wolf, E., "Principles of Optics", (Pergamon Press, Oxford, 1965).

Carathéodory, C., "Geometrische Optik", (Springer, Berlin, 1937).

Carathéodory, C., "Kalkulus Variasi dan Persamaan Pembezaan Sebahagian dari Tertib Pertama", (Chelsea, New York, 1982).

Chapman, S., Garrett, B. C., dan Miller, W. H., "Nilai Eigen Semiklasik untuk Sistem yang Tidak Dapat Dipisahkan: Penyelesaian Nonperturbatif dari Persamaan Hamilton-Jacobi dalam Pembolehubah Tindakan-Sudut", J. Chem. Fiz. 64, 502-509 (1976).

Courant, R. dan Hilbert, D., "Kaedah Fizik Matematik, Jilid II", (Interscience, New York, 1962).

Erdelyi, B. dan Berz, M., "Pendekatan Symplectic Optimal dari Aliran Hamiltonian", Phys. Pendeta Lett. 87, 114302 (2001).

Evans, L., "Teori KAM yang lemah dan persamaan pembezaan separa", dalam Kalkulus Variasi dan Persamaan Pembezaan Separa Nonlinear, hlm. 123-154, Nota Kuliah dalam Matematik. 1927 (Springer, Berlin, 2008).

Feng, K., Wu, H., Quin, M., dan Wang, D., J. Comp. Matematik. 7, 71 (1989).

Fleming, W. H. dan Rishel, R. "Deterministic and Stochastic Optimal Control", (Springer, Berlin, 1975).

Gallavotti, G., "The Elements of Mechanics", (Springer, New York, 1983).

Gantmacher, F., "Kuliah dalam Mekanik Analitik", (MIR Publishers, Moscow, 1970).

Goldstein, H., "Mekanik Klasik", (Addison-Wesley, Menlo Park, 1981).

Guillemin, V., dan Sternberg, S., "Geometric Asymptotics", (Amer. Math. Soc., Providence, 1977).

Gutzwiller, M. C., "Kekacauan dalam Mekanik Klasik", (Springer, New York, 1991).

Hamilton, WR, "The Mathematical Papers of William Rowan Hamilton, Vol. I, Geometrical Optics, Vol.II, Dynamics" (Cambridge University Press, Cambridge, 1931), terutama tiga Tambahan (1830-1832) kepada "Teori Sistem of Rays "(1827) di Vol.I, dan" On a General Method in Dynamics "(1832) di Vol.II.

Jammer, M., "Pengembangan Konseptual Kuantum Mekanik", (McGraw-Hill, New York, 1966).

Jacobi, C. G. J., "Vorlesungen über Dynamik", Königsberg lectures of 1842-1843, (reprinted by Chelsea Publishing Co., New York, 1969).

Keller, J., "Corrected Bohr-Sommerfeld Quantum Conditions for Nonseparable Systems", Ann. Physics 4, 100-188 (1958).

Leimkuhler, B. and Reich, S., "Simulating Hamiltonian Dynamics", (Cambridge U. Press, Cambridge, 2004).

Ludwig, D., "Uniform Asymptotic Expansions at a Caustic", Comm. Pure Appl. Math., 19, 215-250 (1966).

Lanczos, C., "The Variational Principles of Mechanics", (U. Toronto Press, Toronto, 1949).

Landau, L. D. and Lifshitz, E. M., "Mechanics", (Pergamon Press, Oxford, 1969).

Lions, P.-L., "Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations", (Pitman, Boston, 1982).

Martens, C. C. and Ezra, G. S., "Semi-classical Mechanics of Strongly Resonant Systems: a Fourier Transform Approach", J. Chem. Phys. 86, 279-307 (1987).

Maslov, V. P., "Perturbation Theory and Asymptotic Methods", (Moscow State U., Moscow, 1965).

Maslov, V. P. and Fedoriuk, M. V., "Semi-classical Approximation in Quantum Mechanics", (Reidel, Dordrecht, 1981).

Meyer, K., Hall, G., and Offin, D., "Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the N-Body Problem", (Springer, New York, 2008).

Nekhoroshev, N. N., "An Exponential Estimate of the Time of Stability of Nearly Integrable Hamiltonian Systems", Russ. Math. Tinjauan 32, 6, 1-65 (1977).

Percival, I. C., "Semiclassical Theory of Bound States", in Advances in Chemical Physics 36 (Wiley, New York, 1977).

Perelomov, A. M., "Integrable Systems of Classical Mechanics and Lie Algebras" (Birkhäuser, Basel, 1990).

Pöschel, J., "Integrability of Hamiltonian Systems on Cantor Sets", Comm. Pure Appl. Math. 35, 653-695 (1982).

Scovel, C. and Channel, P., "Symplectic Integration of Hamiltonian Systems", Nonlinearity 3, 231-259 (1990).

Synge, J. L., "Geometrical Optics, an Introduction to Hamilton's Method", (Cambridge University Press, 1937).

Warnock, R. and Ruth, R. D., "Long Term Bounds on Nonlinear Hamiltonian Motion", Physica D 56 188-215 (1992).

Warnock, R. and Ruth, R. D., "Invariant Tori through Direct Solution of the Hamilton-Jacobi Equation", Physica D 26, 1-36 (1987).

Warnock, R. and Berg, J. S., "Fast Symplectic Mapping and Long-term Stability Near Broad Resonances", AIP Conf. Pro. 395 (Amer. Inst. Phys., 1997).

Warnock, R. and Cai, Y., "Construction of Large Period Symplectic Maps by Interpolative Methods", SLAC National Accelerator Laboratory report SLAC-PUB-13867 (2009), to be published in Proc. 10th International Computational Accelerator Physics Conference.


Tonton videonya: PERSAMAAN HAMILTON (Oktober 2021).