Artikel

2.2: Grafik Fungsi Secant dan Cosecant


Objektif Pembelajaran

  • Analisis graf (y = sec x ) dan (y = csc x ).
  • Variasi graf (y = sec x ) dan (y = csc x ).

Menganalisis Graf (y = sec x ) dan (y = csc x )

Fungsi pemisah ditentukan oleh identiti timbal balik (sec , x = dfrac {1} { cos x} ). Perhatikan bahawa fungsi tidak ditentukan ketika kosinus (0 ), membawa kepada asimtot menegak di ( dfrac { pi} {2} ), ( dfrac {3 pi} {2} ) dll Oleh kerana kosinus tidak pernah lebih dari (1 ) dalam nilai mutlak, maka pemisah, sebagai timbal balik, tidak akan pernah kurang dari (1 ) dalam nilai mutlak.

Kita dapat membuat grafik (y = sec x ) dengan memerhatikan graf fungsi kosinus kerana kedua fungsi ini saling timbal balik antara satu sama lain. Lihat Rajah ( PageIndex {1} ). Grafik kosinus ditunjukkan sebagai gelombang oren yang putus-putus sehingga kita dapat melihat hubungannya. Di mana graf fungsi kosinus menurun, grafik fungsi pemisah meningkat. Di mana graf fungsi kosinus meningkat, grafik fungsi pemisah menurun. Apabila fungsi kosinus adalah sifar, pemisah tidak ditentukan.

Graf pemisah mempunyai asimptot menegak pada setiap nilai (x ) di mana graf kosinus melintasi paksi (x ) - ini kerana kebalikan dari 0 tidak ditentukan. Kami menunjukkannya dalam grafik di bawah dengan garis menegak putus-putus, tetapi tidak akan menunjukkan semua asimptot secara eksplisit pada semua grafik kemudian yang melibatkan pemisah dan koseken.

Perhatikan bahawa, kerana kosinus adalah fungsi genap, sekata juga fungsi sekata. Iaitu, ( sec (−x) = sec x ).

Kerana tidak ada nilai maksimum atau minimum fungsi tangen, istilahnya amplitud tidak dapat ditafsirkan kerana ia adalah fungsi sinus dan kosinus. Sebaliknya, kita akan menggunakan frasa faktor regangan / pemampatan apabila merujuk kepada pemalar (A ).

CIRI-CIRI GRAF (Y = A sec (Bx) )

  • Faktor regangan ialah (| A | ).
  • Tempohnya adalah ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  • Domain adalah (x ≠ dfrac { pi} {2 | B |} k ), di mana (k ) adalah bilangan bulat ganjil.
  • Julatnya adalah ((- ∞, - | A |] ∪ [| A |, ∞) ).
  • Asimptot menegak berlaku pada (x = dfrac { pi} {2 | B |} k ), di mana (k ) adalah bilangan bulat ganjil.
  • Tidak ada amplitud.
  • (y = A sec (Bx) ) adalah fungsi genap kerana kosinus adalah fungsi genap.

Sama dengan pemisah, yang cosecant ditakrifkan oleh identiti timbal balik ( csc x = dfrac {1} { sin x} ). Perhatikan bahawa fungsi tidak ditentukan ketika sinus adalah (0 ), yang mengarah ke asimtot menegak dalam grafik di (0 ), ( pi ), dll. Oleh kerana sinus tidak pernah lebih dari (1 ) dalam nilai mutlak, cosecant, sebagai timbal balik, tidak akan kurang dari (1 ) dalam nilai mutlak.

Kita dapat membuat grafik (y = csc x ) dengan memerhatikan graf fungsi sinus kerana kedua fungsi ini adalah timbal balik antara satu sama lain. Lihat Rajah ( PageIndex {2} ). Graf sinus ditunjukkan sebagai gelombang oren yang putus-putus sehingga kita dapat melihat hubungannya. Di mana grafik fungsi sinus menurun, grafik fungsi kosenan meningkat. Di mana graf fungsi sinus meningkat, grafik dari fungsi kosecan berkurang.

Graf cosecant mempunyai asimptot menegak pada setiap nilai (x ) di mana graf sinus melintasi paksi (x ); kami menunjukkannya dalam grafik di bawah dengan garis menegak putus-putus.

Perhatikan bahawa, kerana sinus adalah fungsi ganjil, fungsi cosecant juga merupakan fungsi ganjil. Iaitu, ( csc (−x) = - csc x ).

Graf cosecant, yang ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex {2} ), mirip dengan graf secant.

CIRI-CIRI GRAF OF (Y = A csc (Bx) )

  • Faktor regangan ialah (| A | ).
  • Tempohnya adalah ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  • Domain adalah (x ≠ dfrac { pi} {| B |} k ), di mana (k ) adalah bilangan bulat.
  • Julatnya adalah ((- ∞, - | A |] ∪ [| A |, ∞) ).
  • Asimptot berlaku pada (x = dfrac { pi} {| B |} k ), di mana (k ) adalah bilangan bulat.
  • (y = A csc (Bx) ) adalah fungsi ganjil kerana sinus adalah fungsi ganjil.

Grafik Variasi (y = sec x ) dan (y = csc x )

Untuk versi peralihan, pemampatan, dan / atau peregangan fungsi pemisah dan kosekant, kami mencari asimptot menegak dan juga menilai fungsi untuk beberapa titik (khususnya ekstrem tempatan). Sekiranya kita ingin membuat graf satu tempoh sahaja, kita boleh memilih selang untuk tempoh tersebut dalam lebih dari satu cara. Prosedur untuk pemisah sangat serupa, kerana identiti kopensinya bermaksud bahawa graf pemisah sama dengan graf kosenan bergeser setengah titik ke kiri. Pergeseran menegak dan fasa boleh diterapkan pada fungsi cosecant dengan cara yang sama seperti fungsi pemisah dan fungsi lain. Persamaan menjadi berikut.

[y = A sec (Bx − C) + D bukan nombor ]

[y = A csc (Bx − C) + D bukan nombor ]

CIRI-CIRI GRAF DARI (Y = A saat (Bx − C) + D )

  • Faktor regangan ialah (| A | ).
  • Tempohnya adalah ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  • Domain adalah (x ≠ dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {2 | B |} k ), di mana (k ) adalah bilangan bulat ganjil.
  • Julatnya adalah ((- ∞, - | A |] ∪ [| A |, ∞) ).
  • Asimptot menegak berlaku pada (x = dfrac {C} {B} + dfrac {π} {2 | B |} k ), di mana (k ) adalah bilangan bulat ganjil.
  • Tidak ada amplitud.
  • (y = A sec (Bx) ) adalah fungsi genap kerana kosinus adalah fungsi genap.

CIRI-CIRI GRAF DARI (Y = A csc (Bx − C) + D )

  1. Faktor regangan ialah (| A | ).
  2. Tempohnya adalah ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  3. Domain adalah (x ≠ dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {2 | B |} k ), di mana (k ) adalah bilangan bulat.
  4. Julatnya adalah ((- ∞, - | A |] ∪ [| A |, ∞) ).
  5. Asimptot menegak berlaku di (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {| B |} k ), di mana (k ) adalah bilangan bulat.
  6. Tidak ada amplitud.
  7. (y = A csc (Bx) ) adalah fungsi ganjil kerana sinus adalah fungsi ganjil.

HOWTO: Diberi fungsi bentuk (y = A sec (Bx) ), graf satu titik

  1. Lakarkan fungsi (y = A cos (Bx) ).
  2. Lukiskan asimptot menegak di mana lengkung melintasi garis tengah, yang merupakan paksi (x ) -
  3. Isi lengkung pemisah di antara asimptot. Di mana lengkung kosinus mempunyai maksimum, lengkung pemisah akan mempunyai U ke atas. Di mana lengkung kosinus mempunyai minimum, lengkung pemisah akan mempunyai U ke bawah.

Contoh ( PageIndex {1} ): Melakar Variasi Fungsi Aman

Grafkan satu tempoh (f (x) = 2.5 saat (0.4x) ).

Penyelesaian

  • Langkah 1. Lakarkan graf fungsi (f (x) = 2.5 cos (0.4x) ). (A = 2.5 ) jadi faktor peregangan adalah (2.5 ). (B = 0.4 ) jadi (P = dfrac {2 pi} {0.4} = 5 pi ). Tempohnya adalah (5 pi ) unit. Membahagi ini dengan 4 memberikan ( dfrac {5 pi} {4} ). Setiap kali menempuh jarak ( dfrac {5 pi} {4} ) kita akan mencapai maksimum, di garis tengah, atau minimum.
  • Langkah 2. Lukiskan asimptot menegak di mana lengkung melintasi garis tengah, yang merupakan paksi (x ) -
  • Langkah 3. Isi lengkung pemisah di antara asimptot. Di mana lengkung kosinus mempunyai minimum, lengkung pemisah akan mempunyai U ke bawah. Rajah ( PageIndex {3} ) menunjukkan graf. Lengkung putus-putus hijau adalah fungsi kosinus, yang bertindak pada "kerangka" untuk lengkung pemisah. Garis putus-putus biru adalah asimtot menegak. Lengkung merah adalah fungsi pemisah akut.

Latihan ( PageIndex {1} )

Grafkan satu tempoh (f (x) = - 2.5 saat (0.4x) ).

Jawapan

Ini adalah pantulan menegak graf sebelumnya kerana (A ) negatif.

Soal Jawab: Adakah pergeseran menegak dan regangan / mampatan mempengaruhi jarak pemisah?

Ya. Julat (f (x) = A sec (Bx − C) + D ) ialah ((- ∞, - | A | + D] ∪ [| A | + D, ∞) ).

Diberi fungsi bentuk (f (x) = A sec (Bx − C) + D ), graf satu titik.

  1. Lukiskan graf (f (x) = A cos (Bx − C) + D )
  2. Lakarkan asimptot menegak, yang berlaku di mana lengkung kosinus melewati garis tengahnya di (y = D )
  3. Isi lengkung pemisah di antara asimptot. Apabila kelengkungan kosinus mempunyai minimum, lengkung pemisah akan mempunyai U ke bawah.

Contoh ( PageIndex {2} ): Melakar Variasi Fungsi Aman

Grafkan satu tempoh (y = sec kiri (2x− dfrac { pi} {2} kanan) +3 ).

Penyelesaian

  • Langkah 1. Lakarkan lengkung (y = cos kiri (2x− dfrac { pi} {2} kanan) +3 ). Faktor regangan / pemampatan adalah (| A | = 1 ) sehingga amplitudnya 1. (B = 2 ) jadi noktahnya ( dfrac {2 pi} {2} = pi ). Membahagi noktah dengan 4 memberikan ( dfrac { pi} {4} ). Setiap kali menempuh jarak ini, kita akan berada pada tahap maksimum, garis tengah, atau minimum. Untuk mencari peralihan fasa, kami menyelesaikan persamaan (2x− dfrac { pi} {2} = 0 ), yang mempunyai penyelesaian (x = dfrac { pi} {4} ). Terdapat pergeseran fasa ( dfrac { pi} {4} ) ke kanan. Ini bermakna kita dapat "memulakan" kelengkungan kosinus pada maksimum yang terletak di ( kiri ( dfrac { pi} {4}, 4 kanan) ). Garisan tengah adalah garis mendatar (y = 3 ).
  • Langkah 2. Lakarkan asimptot menegak, yang berlaku apabila lengkung kosinus melewati garis tengahnya ((y = 3 ).
  • Langkah 3. Isi lengkung pemisah di antara asimptot. Di mana kelengkungan kosinus mempunyai minimum, lengkung pemisah akan mempunyai U ke bawah. Rajah ( PageIndex {5} ) menunjukkan graf. Lengkung hijau adalah fungsi kosinus dan garis biru menegak adalah asimtot menegak. Lengkung (y = sec kiri (2x− dfrac { pi} {2} kanan) +3 ) berwarna merah.

Latihan ( PageIndex {2} )

Grafkan satu tempoh (f (x) = - 6 saat (4x + 2) −8 ).

Jawapan

Soal Jawab: Domain ( csc , x ) diberi semua (x ) sedemikian rupa sehingga (x ≠ k pi ) untuk bilangan bulat (k ). Adakah domain (y = A csc (Bx − C) + D ) akan (x ≠ dfrac {C + k pi} {B} )?

Ya. Titik domain yang dikecualikan mengikuti asimptot menegak. Lokasi mereka menunjukkan peralihan dan pemampatan mendatar atau pengembangan yang tersirat oleh transformasi ke input fungsi asal.

Diberi fungsi bentuk (y = A csc (Bx) ), graf satu titik.

  1. Lakarkan fungsi (y = A sin (Bx) ).
  2. Lukiskan asimtot menegak di mana lengkung melintasi garis tengah, yang merupakan paksi (x ) -
  3. Isi lengkung koseken di antara asimptot. Di mana keluk sinus mempunyai maksimum, lengkung kosenan akan memiliki U ke atas. Di mana lengkung sinus mempunyai minimum, lengkung koseken akan mempunyai U ke bawah.

Contoh ( PageIndex {3} ): Melakar Variasi Fungsi Cosecant

Grafkan satu tempoh (f (x) = - 3 csc (4x) ).

Penyelesaian

  • Langkah 1. Lakarkan graf fungsi (f (x) = - 3 sin (4x) ). (| A | = | −3 | = 3 ), jadi amplitudanya adalah 3. (B = 4 ), jadi (P = dfrac {2 pi} {4} = dfrac { pi } {2} ). Tempohnya adalah unit ( dfrac { pi} {2} ). Membahagi tempoh dengan 4 memberikan ( dfrac { pi} {8} ). Setiap kali kita menempuh jarak ( dfrac { pi} {8} ) lengkung sinus akan memiliki maksimum, berada di garis tengah, atau minimum. Nilai (C ) adalah 0 sehingga tidak ada pergeseran fasa, kita dapat "memulakan" lengkung pada garis tengah di (x = 0 ). Nilai (D ) adalah 0 sehingga tidak ada pergeseran menegak - garis tengah adalah paksi (x ) -.
  • Langkah 2. Lukiskan asimptot menegak di mana lengkung melintasi garis tengah, yang merupakan paksi (x ) -.
  • Langkah 3. Isi lengkung koseken di antara asimptot. Di mana keluk sinus mempunyai minimum, lengkung kosecan akan mempunyai U ke bawah. Rajah ( PageIndex {7} ) menunjukkan grafik dalam satu tempoh.

Latihan ( PageIndex {3} )

Grafik (f (x) = 0.5 csc (2x) ) sekurang-kurangnya dua tempoh.

Jawapan

Diberi fungsi bentuk (f (x) = A csc (Bx − C) + D ), graf satu titik

  1. Lukiskan graf (f (x) = A sin (Bx − C) + D )
  2. Lakarkan asimptot menegak, yang berlaku di mana lengkung sinus melewati garis tengahnya di (y = D )
  3. Isi lengkung koseken di antara asimptot. Di mana keluk sinus mempunyai minimum, lengkung kosecan akan mempunyai U ke bawah.

Contoh ( PageIndex {4} ): Membuat Grafik Peregangan Vertikal, Mampat Mendatar, dan Kosecan Bergeser Secara Vertikal

Lakarkan graf (y = 2 csc kiri ( dfrac { pi} {2} x kanan) +1 ).

Penyelesaian

  • Langkah 1. Lakarkan graf (y = 2 sin kiri ( dfrac { pi} {2} x kanan) +1 ). (| A | = 2 ) jadi amplitudnya adalah 2. Tempohnya adalah ( dfrac {2 pi} {| B |} = dfrac {2 pi} { dfrac { pi} {2} } = 2 pi⋅ dfrac {2} { pi} = 4 ). Membahagi tempoh dengan 4 memberi 1. Setiap kali kita memindahkan unit 1, kurva sinus akan memiliki maksimum, berada di garis tengah, atau memiliki minimum. Untuk mencari peralihan fasa kita menyelesaikan persamaan ( dfrac { pi} {2} x = 0 ) yang mempunyai penyelesaian (x = 0 ). Kita boleh "memulakan" lengkung sinus di (x = 0 ) di garis tengah, yang berada di (y = 1 ).
  • Langkah 2. Lakarkan asimptot menegak, yang berlaku di mana lengkung sinus melewati garis tengahnya di (y = 1 ).
  • Langkah 3. Isi lengkung koseken di antara asimptot. Di mana keluk sinus mempunyai minimum, lengkung kosecan akan mempunyai U ke bawah.

Grafik untuk fungsi ini ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex {9} ) dengan warna biru tua. Garis putus-putus oren adalah lengkung sinus dan garis biru dan hijau menegak putus-putus adalah asimtot menegak.

Analisis

Asimptot menegak yang ditunjukkan pada grafik menandakan satu tempoh fungsi, dan ekstrem tempatan dalam selang ini ditunjukkan oleh titik. Perhatikan bagaimana graf cosecant berubah dengan graf (f (x) = 2 sin kiri ( frac { pi} {2} x kanan) +1 ), ditunjukkan sebagai gelombang putus-putus oren .

Latihan ( PageIndex {4} )

Diberi graf (f (x) = 2 cos kiri ( frac { pi} {2} x kanan) +1 ) ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex {10} ), lakarkan graf dari (g (x) = 2 sec kiri ( dfrac { pi} {2} x kanan) +1 ) pada paksi yang sama.

Jawapan

Persamaan Utama

Fungsi pemisah bergeser, dimampatkan, dan / atau diregangkan (y = A saat (Bx − C) + D )
Fungsi kosekant bergeser, dimampatkan, dan / atau diregangkan (y = A csc (Bx − C) + D )

Konsep kunci

  • Secant dan cosecant adalah fungsi berkala dengan jangka masa (2 pi ).
  • (f (x) = A sec (Bx − C) + D ) memberikan graf fungsi terpencang yang digeser, dimampatkan, dan / atau diregangkan. Lihat Contoh ( PageIndex {4} ) dan Contoh ( PageIndex {5} ).
  • (f (x) = A csc (Bx − C) + D ) memberikan graf fungsi kokanan yang diubah, dimampatkan, dan / atau diregangkan. Lihat Contoh ( PageIndex {6} ) dan Contoh ( PageIndex {7} ).

Graf Secant dan Cosecant



Contoh, penyelesaian, video, lembaran kerja, dan aktiviti untuk membantu pelajar Algebra 2 belajar bagaimana membuat grafik fungsi sekatan dan kosen.

Gambar rajah berikut menunjukkan graf pemisah dan kosinus. Tatal ke bawah halaman untuk mendapatkan lebih banyak contoh dan penyelesaian untuk graf terpencil.

Gambar rajah berikut menunjukkan graf kosen dan sinus. Tatal ke bawah halaman untuk lebih banyak contoh dan penyelesaian untuk graf kosenan.

Cuba kalkulator Mathway dan penyelesaian masalah percuma di bawah untuk mempraktikkan pelbagai topik matematik. Cuba contoh yang diberikan, atau taipkan masalah anda sendiri dan periksa jawapan anda dengan penjelasan langkah demi langkah.

Kami mengalu-alukan maklum balas, komen dan pertanyaan anda mengenai laman web atau halaman ini. Sila hantarkan maklum balas atau pertanyaan anda melalui halaman Maklum Balas kami.


2.8.1: Menggambarkan Tangen, Cotangent, Secant dan Cosecant

Sekiranya anda sudah mengetahui hubungan antara persamaan dan grafik fungsi sinus dan kosinus, maka empat fungsi lain dapat dijumpai dengan mengenal pasti angka nol, asimptot dan perkara utama. Adakah empat fungsi baru transformasi fungsi sinus dan kosinus?

Membuat Grafik Fungsi Trigonometri Lain

Selamat dan Cosecant

Oleh kerana sepitan adalah kebalikan dari kosinus maka grafiknya sangat berkait rapat.

Rajah ( PageIndex <1> )

Perhatikan di mana sahaja kosinus adalah sifar, pemisah mempunyai a asimptot menegak dan di mana ( cos x = 1 ) kemudian ( sec x = 1 ) juga. Kedua-dua bahagian logik ini membolehkan anda membuat graf fungsi terpencil dalam bentuk:

Kaedahnya adalah untuk menggambarkannya seperti yang anda mahukan kosinus dan kemudian memasukkan asimtot dan lengkung pemisah sehingga mereka menyentuh lengkung kosinus pada nilai maksimum dan minimumnya. Teknik ini sama dengan membuat graf kosenan. Cukup gunakan grafik sinus untuk mencari lokasi dan asimptot.

Tangen dan Cotangent

Graf tangen dan kotangen lebih sukar kerana nisbah fungsi sinus dan kosinus.

Cara berfikir melalui graf f (x) = tan x adalah dengan menentukan asimptotnya terlebih dahulu. Asimptot berlaku apabila penyebutnya, kosinus, adalah sifar. Ini berlaku pada ( pm dfrac < pi> <2> ), ( pm dfrac <3 pi> <2> ) & hellip Perkara seterusnya untuk plot adalah sifar yang berlaku apabila pengangka, sinus, adalah sifar. Ini berlaku pada 0, pm pi, pm, 2 pi & hellip Dari bulatan unit dan trigonometri segi tiga tepat asas, anda sudah mengetahui beberapa nilai ( tan x ):

Dengan memplot semua maklumat ini, anda dapat memahami bagaimana bentuk graf tangen dan anda dapat mengisi yang lain.

Rajah ( PageIndex <1> )

Perhatikan bahawa tempoh tangen tidak ( pi ) bukan (2 pi ), kerana ia mempunyai kitaran yang lebih pendek.

Graf cotangent boleh didapati menggunakan logik yang sama dengan tangen. Anda tahu ( cot x = dfrac <1> < tan x> ). Ini bererti bahawa graf cotangent akan mempunyai nol di mana tangen mempunyai asimptot dan asimptot di mana pun tangen mempunyai sifar. Anda juga tahu bahawa di mana tangennya adalah 1, cotangent juga 1. Oleh itu, graf cotangent adalah:

Rajah ( PageIndex <2> )

Sebelumnya, anda ditanya apakah empat fungsi baru adalah transformasi sinus dan kosinus.

Keempat fungsi baru bukan semata-mata transformasi fungsi sinus dan kosinus. Walau bagaimanapun, secant dan cosecant adalah transformasi antara satu sama lain seperti tangen dan cotangent.

Grafkan fungsi (f (x) = & minus2 cdot csc ( pi (x & minus1)) + 1 ).

Grafkan fungsi seolah-olah fungsi sinus. Kemudian masukkan asimptot di mana sahaja fungsi sinus melintasi paksi sinoid sin. Akhir sekali masukkan lengkung kosecan.

Amplitudinya ialah 2. Bentuknya sinus negatif. Fungsi dialihkan ke atas satu unit dan ke kanan satu unit.

Rajah ( PageIndex <3> )

Perhatikan bahawa hanya bahagian biru grafik yang mewakili fungsi yang diberikan.

Bagaimana anda menulis fungsi tangen sebagai fungsi kotangen?

Terdapat dua cara utama antara fungsi tangen dan fungsi kotangen. Kaedah pertama dibincangkan dalam Contoh A: (f (x) = tan x = dfrac <1> < cot x> ).

Pendekatan kedua melibatkan dua transformasi. Mulakan dengan memantulkan pada paksi x atau y. Perhatikan bahawa ini menghasilkan hasil yang serupa. Selanjutnya beralih fungsi ke kanan atau kiri dengan ( dfrac < pi> <2> ). Sekali lagi ini menghasilkan hasil yang serupa.

Cari persamaan fungsi dalam graf berikut.

Rajah ( PageIndex <4> )

Sekiranya anda menghubungkan maksimum dan minimum relatif fungsi, ia menghasilkan lengkung kosinus beralih yang lebih senang digunakan.

Rajah ( PageIndex <5> )

Amplitudinya ialah 3. Peralihan menegak adalah 2 ke bawah. Tempohnya adalah 4 yang menunjukkan bahawa (b = dfrac < pi> <2> ). Bentuknya adalah kosinus positif dan jika anda memilih untuk memulakan pada x = 0 tidak ada peralihan fasa.

Di manakah asimptot bagi tangen dan mengapa ia berlaku?

Oleh kerana ( tan x = dfrac < sin x> < cos x> ) asimptot berlaku setiap kali ( cos x = 0 ) yang ( pm dfrac < pi> <2>, pm dfrac <3 pi> <2>, ldots )

Kaji semula

1. Fungsi apa yang dapat anda gunakan untuk membantu anda membuat lakaran (f (x) = sec x )? Kenapa?

2. Fungsi apa yang dapat anda gunakan untuk membantu anda membuat lakaran (g (x) = csc x )? Kenapa?

Buat lakaran setiap yang berikut dari ingatan.

Grafkan setiap perkara berikut.

  1. (f (x) = 2 csc (x) +1 )
  2. (g (x) = 2 csc ( dfrac < pi> <2> x) +1 )
  3. (h (x) = 2 csc kiri ( dfrac < pi> <2> (x & minus3) kanan) +1 )
  4. (j (x) = cot kiri ( dfrac < pi> <2> x kanan) +3 )
  5. (k (x) = & minus sec kiri ( dfrac < pi> <3> (x + 1) kanan) & tolak4 )
  6. (m (x) = & tolak tan (x) +1 )
  7. (p (x) = & minus2 tan kiri (x & minus dfrac < pi> <2> kanan) +1 )
  8. Cari dua cara untuk menulis ( sec x ) dari segi fungsi trigonometri yang lain.
  9. Cari dua cara untuk menulis ( csc x ) dari segi fungsi trigonometri yang lain.

Ulasan (Jawapan)

Untuk melihat jawapan Ulasan, buka fail PDF ini dan cari 5.7 bahagian 5.7.


2.8.5: Grafik Kosin dan Secant

Gelombang berdasarkan nilai x dan jejari graf bulatan berdasarkan timbal balik.

Bayangkan sejenak bahawa anda mempunyai jam yang hanya mempunyai satu tangan - yang berputar berlawanan arah jarum jam !. Walau bagaimanapun, tangannya sangat langsing hingga hujungnya, di mana terdapat bola di hujungnya. Sebenarnya, tangannya sangat ramping sehingga anda tidak akan menyedarinya. Anda hanya melihat bola di hujung tangan yang berpusing. Tangan ini berpusing lebih pantas daripada biasa.

Rajah ( PageIndex <1> )

Pertimbangkan bagaimana rasanya jika anda meletakkan lampu di atas jam dan membiarkan bayangan tangan jatuh di dinding di bawah jam. Apakah corak bayangan itu? Sekiranya anda memikirkannya, anda mungkin menyedari bahawa bayangan itu akan membuat gerakan kiri dan kanan berulang-ulang ketika tangan jam berputar. Sekarang bayangkan bahawa bukannya dinding, ada sekeping kertas besar untuk bayangan jatuh. Dan di mana sahaja bayangan itu jatuh, akan ada tanda di atas kertas. Akhirnya, bayangkan menggerakkan kertas semasa jam berputar. Bolehkah anda bayangkan corak seperti ini?

Grafik Cosine dan Secant

Sekiranya anda telah membaca bahagian Trigonometri lain dalam kursus ini, anda mungkin telah mengetahui bahawa sinus dan kosinus sangat berkaitan. Kosinus sudut adalah sama dengan sinus sudut pelengkapnya. Oleh itu, tidak mengejutkan bahawa gelombang sinus dan kosinus sangat serupa kerana keduanya berkala dengan jangka masa (2 pi ), berkisar antara -1 hingga 1, dan domain dari semua sudut nyata.

Kosinus sudut adalah nisbah ( dfrac), jadi dalam bulatan unit, kosinus adalah koordinat x & min dari titik putaran. Sekiranya kita mengesan koordinat x & minus melalui putaran, perhatikan perubahan jarak ( cos x ) bermula pada satu. X & minuscoordinate di (0 ^ < circ> ) adalah 1 dan x & minuscoordinate untuk (90 ^ < circ> ) adalah 0, jadi nilai kosinus menurun dari 1 ke 0 hingga kuadran pertama.

Rajah ( PageIndex <2> ) Rajah ( PageIndex <3> ) Rajah ( PageIndex <4> ) Rajah ( PageIndex <5> )

Berikut adalah urutan putaran. Bandingkan koordinat x & tolak titik putaran dengan ketinggian titik kerana jejak sepanjang mendatar. Gambar-gambar ini plot (( theta, cos theta) ) pada satah koordinat sebagai ((x, y) ).

Rajah ( PageIndex <6> ) Rajah ( PageIndex <7> ) Rajah ( PageIndex <8> ) Rajah ( PageIndex <9> ) Rajah ( PageIndex <10> )

Memetakan sudut kuadran dan mengisi nilai di antara menunjukkan graf (y = cos x )

Rajah ( PageIndex <11> ) Rajah ( PageIndex <12> )

Grafik (y = cos x ) mempunyai tempoh (2 pi ). The julat lengkung kosinus ialah (<& minus1 leq y leq 1> ) dan domain dari ( cos x ) adalah semua kenyataan. Sekiranya anda telah mengkaji fungsi sinus, anda mungkin melihat bahawa bentuk lengkungnya sama, tetapi beralih oleh ( dfrac < pi> <2> ).

Secant adalah timbal balik kosinus, atau ( dfrac <1>). Oleh itu, apabila kosinus adalah sifar, pemisah akan mempunyai asimtot menegak kerana ia tidak akan ditentukan. Ia juga mempunyai tanda yang sama dengan fungsi kosinus dalam kuadran yang sama. Berikut adalah graf.

Rajah ( PageIndex <13> )

Tempoh fungsi adalah (2 pi ), sama seperti kosinus. Domain fungsi adalah semua nombor nyata, kecuali gandaan ( pi ) bermula pada ( dfrac < pi> <2> ). (< ldots, & minus dfrac < pi> <2>, dfrac < pi> <2>, 0, dfrac <3 pi> <2>, dfrac <5 pi> <2> lots> ). Julatnya adalah semua nombor nyata lebih besar daripada atau sama dengan 1 serta semua nombor nyata kurang daripada atau sama dengan -1. Perhatikan bahawa jarak adalah segalanya kecuali di mana kosinus ditakrifkan (selain bahagian atas dan bawah keluk kosinus).

Rajah ( PageIndex <14> )

Perhatikan lagi hubungan timbal balik di 0 dan asimptot. Lihat juga titik persilangan grafik pada 1 dan -1. Sekali lagi, grafik ini kelihatan parabola, tetapi tidak.

Lakarkan graf

Lakarkan graf (h (x) = 5 + dfrac <1> <2> sec 4x ) sepanjang selang ([0,2 pi] ).

Sekiranya anda membandingkan contoh ini dengan (f (x) = sec x ), ia akan diterjemahkan 5 unit ke atas, dengan amplitudo ( dfrac <1> <2> ) dan frekuensi 4. Ini bermaksud dalam selang 0 hingga (2 pi ) kita, akan terdapat 4 lengkung terpencil.

Rajah ( PageIndex <15> )

Cari persamaan untuk graf di bawah.

Rajah ( PageIndex <16> )

Pertama sekali, ini boleh menjadi fungsi pemisah atau koseken. Katakan & rsquos mengatakan bahawa ini adalah fungsi pemisah. Secant biasanya memotong y & minusaxis pada (0,1) minimum. Sekarang, minimum yang sepadan adalah ( kiri ( dfrac < pi> <2>, & tolak2 kanan) ). Kerana tidak ada perubahan amplitud, kita dapat mengatakan bahawa pergeseran menegak adalah perbezaan antara dua nilai y & minus, -3. Nampaknya ada pergeseran fasa dan perubahan tempoh. Dari minimum ke minimum adalah satu tempoh, iaitu ( dfrac <9 pi> <2> & tolak dfrac < pi> <2> = dfrac <8 pi> <2> = 4 pi ) dan (B = dfrac <2 pi> <4p49=dfrac<1> <2> ). Terakhir, kita perlu mencari peralihan mendatar. Oleh kerana pemisah biasanya memotong y & minusaxis di ((0,1) ) minimum, dan sekarang minimum yang sesuai adalah ( kiri ( dfrac < pi> <2>, & minus2 kanan) ), kita boleh katakan bahawa peralihan mendatar adalah perbezaan antara dua nilai x & minus, ( dfrac < pi> <2> ). Oleh itu, persamaan kami adalah (f (x) = & minus3 + sec kiri ( dfrac <1> <2> kiri (x & minus dfrac < pi> <2> kanan) kanan) ).

Grafkan fungsi (h (x) = 2 & tolak3 cos 4x )

Rajah ( PageIndex <17> )

Sebelumnya, anda ditanya apa bayangan yang akan keluar.

Seperti yang telah anda ketahui di bahagian ini, cahaya yang bersinar di tangan berputar akan membuat bayangan dalam corak fungsi kosinus, bermula pada nilai maksimum ketika tangan berbaring di sepanjang paksi & quotx & quot, melalui nol hingga negatif maksimum nilai semasa tangan terletak di sepanjang paksi negatif & quoty & quot. Ia kemudian akan mula meningkat sehingga kembali ke nilai maksimum apabila tangan berputar sekali lagi terletak di sepanjang paksi positif & quotx & quot.

Rajah ( PageIndex <18> )

Tentukan fungsi membuat grafik ini:

Rajah ( PageIndex <19> )

Ini boleh menjadi fungsi sekuat atau kosenan. Kami akan menggunakan model cosecant. Pertama, peralihan menegak ialah -1. Tempohnya adalah perbezaan antara dua nilai x & minus yang diberikan, (7 dfrac < pi> <4> & tolak dfrac <3 pi> <4> = pi ), jadi frekuensi adalah ( dfrac <2 pi> < pi> = 2 ). Peralihan mendatar menggabungkan frekuensi, jadi dalam (y = csc x ) nilai x & minus yang sepadan ke ( kiri ( dfrac <3 pi> <4>, 0 kanan) ) adalah ( kiri ( dfrac < pi> <2>, 1 kanan) ). Perbezaan antara nilai x & minus ialah ( dfrac <3 pi> <4> & tolak dfrac < pi> <2> = dfrac <3 pi> <4> & tolak dfrac <2 pi> <4> = dfrac < pi> <4> ) dan kemudian kalikan dengan frekuensi, (2 cdot dfrac < pi> <4> = dfrac < pi> <2> ). Persamaannya adalah (y = & minus1 + csc kiri (2 kiri (x & minus dfrac < pi> <2> kanan) kanan) ).

Rajah ( PageIndex <20> )


Graf Cosecant dengan Transformasi



Contoh, penyelesaian, video, lembaran kerja, dan aktiviti untuk membantu pelajar Algebra 2 belajar bagaimana membuat grafik fungsi kosenan.

Gambar rajah berikut menunjukkan cara membuat graf fungsi kosenan dengan transformasi. Tatal ke bawah halaman untuk lebih banyak contoh dan penyelesaian untuk graf kosenan dengan transformasi.

Cuba kalkulator Mathway dan penyelesaian masalah percuma di bawah untuk mempraktikkan pelbagai topik matematik. Cuba contoh yang diberikan, atau taipkan masalah anda sendiri dan periksa jawapan anda dengan penjelasan langkah demi langkah.

Kami mengalu-alukan maklum balas, komen dan pertanyaan anda mengenai laman web atau halaman ini. Sila hantarkan maklum balas atau pertanyaan anda melalui halaman Maklum Balas kami.


2.2: Grafik Fungsi Secant dan Cosecant

Fungsi Trigonometri dan Grafiknya:
Fungsi Bersama
(halaman 3 dari 3)

Bagaimana dengan fungsi bersama, pemisah, koseken, dan kotangen?

Cosecant adalah timbal balik sinus. Di mana sahaja sinus adalah sifar, cosecant tidak akan ditentukan, jadi akan ada asimptot menegak. Di mana sahaja sinus mencapai nilai maksimum 1, cosecant akan mencapai nilai minimumnya 1 di mana sinus mencapai nilai minimum & ndash1, cosecant akan mencapai nilai maksimum & ndash1. Di mana sinus positif tetapi kurang dari 1, cosecant akan positif tetapi lebih besar daripada 1 di mana sinus negatif tetapi lebih besar daripada & ndash1, cosecant akan negatif tetapi kurang daripada & ndash1.

Oleh itu, saya akan menarik gelombang sinus dengan ringan.

Hak Cipta & salinan Elizabeth Stapel 2010-2011 Hak Cipta Terpelihara

. Saya akan menarik asimtot menegak melalui angka nolnya dan mencatat titik min / maksimum.

. dan kemudian saya akan mengisi grafik.

Graf Cosecant

Dengan menggunakan penalaran yang sama dengan gelombang kosinus, saya dapat membuat graf pemisah:

Graf Aman

Secant dan cosecant mempunyai jangka panjang 2 & pi, dan kami tidak mempertimbangkan amplitud untuk lengkung ini.

Cotangent adalah timbal balik dari tangen. Di mana tangennya sifar, kotangen akan mempunyai asimptot menegak di mana tangen mempunyai asimptot menegak, kotenten akan mempunyai sifar. Dan tanda pada setiap selang akan sama. Jadi graf kotangen kelihatan seperti ini:

Graf Cotangent

Cotangent mempunyai tempoh & pi, dan kami tidak peduli dengan amplitud.

Apabila anda perlu membuat graf, anda mungkin tergoda untuk mencuba banyak titik plot. Tetapi yang perlu anda ketahui adalah di mana grafnya sifar, di mana sama dengan 1, dan / atau di mana ia mempunyai asimptot menegak. Sekiranya anda mengetahui kelakuan fungsi pada sifar, & pi / 2, & pi, 3 & pi / 2, dan 2 & pi, maka anda boleh mengisi selebihnya. Itu sahaja yang anda & quotneed & quot.


Trigonometri: Petua dan Trik

Semasa kita meneroka identiti trig dan graf mereka lebih jauh, penting untuk menekankan bagaimana masing-masing saling berkaitan antara satu sama lain. Apabila kita melihat segitiga yang betul, kita tahu itu sinus = yang sebaliknya sisi (dari sudut yang dipilih) di atas hipotenus, yang merupakan sisi terpanjang. Kosinus = bersebelahan berakhir hipotenus, dan tangen = sebaliknya berakhir bersebelahan.

SOH CAH TOA menarik diri dari:
http://mathworld.wolfram.com/SOHCAHTOA.html

SOH - CAH - TOA adalah mnemonik yang sangat berguna untuk mengingati hubungan ini, dan kemungkinan anda telah diperkenalkan dengan peringatan sederhana ini. Walau bagaimanapun, jika kita melepaskan pecahan tersebut, kita membuat tiga fungsi yang lebih unik.

Sinus (dosa) - & gt Cosecant (csc): sin = O / H - & gt csc = H / O

Cosine (cos) - & gt Secant (sec): cos = A / H - & gt sec = H / A

Tangen (tan) - & gt Cotangent (cot): tan = O / A - & gt cot = A / O

Itu selalu membantu saya untuk mengingat jika kita membuang pecahan, anda menambah "co" pada awalnya, atau membuangnya. Benar menjadi Pengasing CO. Kosinus sudah mempunyai "co", jadi kami membuangnya, dan ia menjadi sekeping. Tangen bertukar kepada CO-tangen.

Ini diturunkan dengan menggunakan undang-undang mengalikan dan membahagi pecahan. Dengan menggunakan identiti trig, kita dapat dengan mudah membatalkan fungsi dan hanya banyak formula yang menyeramkan dan menakutkan. Dengan menulis semua fungsi ini dari segi sinus dan kosinus, kita dapat bekerja dengan sesuatu yang jauh lebih mudah dan lebih biasa bagi kita. Kami akan membuktikannya di kelas, tetapi untuk rujukan pantas:

cot = cos / dosa

Juga, ingat bahawa kerana ini adalah timbal balik, ingat bahawa fungsi ini boleh ditulis sebagai 1 berbanding timbal baliknya.

Sebagai contoh:
1 / sin = csc
1 / cos = saat
1 / tan = katil bayi
_______________________________________________________

3 identiti trig yang paling penting adalah berdasarkan undang-undang ini, dan syukurlah ada lebih banyak cara yang sukar untuk mengingatnya. Ini adalah Identiti Pythagoras, dan berasal dari bermain-main dengan Theorum Pythagoras sederhana yang kita semua tahu a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2


Diperolehi dari
http://www.rachel.worldpossible.org/modules/olpc/wikislice-en/files/articles/Trigonometry.htm

sin ^ 2 + cos ^ 2 = 1, kita hanya perlu ingat, dan ia akan menjadi identiti yang paling biasa. Dua yang lain tidak semudah itu. Inilah cara saya selalu mengingati mereka:

1 + tan = saat - & gt 1 TAN lelaki mempunyai SEKret.

1 + cot = csc - & gt 1 lelaki pada a COT Canotasi Slintah Cdengan senang hati.


Aduan DMCA

Sekiranya anda percaya bahawa kandungan yang tersedia melalui Laman Web (seperti yang ditentukan dalam Syarat Perkhidmatan kami) melanggar satu atau lebih hak cipta anda, harap maklumkan kepada kami dengan memberikan pemberitahuan bertulis ("Pemberitahuan Pelanggaran") yang mengandungi maklumat yang dijelaskan di bawah ini kepada yang ditentukan ejen yang disenaraikan di bawah. Sekiranya Varsity Tutor mengambil tindakan sebagai tindak balas terhadap Pemberitahuan Pelanggaran, ia akan berusaha dengan niat baik untuk menghubungi pihak yang menyediakan kandungan tersebut melalui alamat e-mel terbaru, jika ada, yang diberikan oleh pihak tersebut kepada Varsity Tutor.

Pemberitahuan Pelanggaran Anda boleh dikemukakan kepada pihak yang menyediakan kandungan tersebut atau kepada pihak ketiga seperti ChillingEffects.org.

Harap maklum bahawa anda akan bertanggungjawab atas ganti rugi (termasuk kos dan yuran pengacara) jika anda secara salah menyatakan bahawa produk atau aktiviti melanggar hak cipta anda. Oleh itu, jika anda tidak yakin kandungan yang terdapat di atau dihubungkan oleh Laman Web melanggar hak cipta anda, anda harus mempertimbangkan terlebih dahulu menghubungi pengacara.

Ikuti langkah-langkah ini untuk mengemukakan notis:

Anda mesti memasukkan perkara berikut:

Tanda tangan fizikal atau elektronik pemilik hak cipta atau orang yang diberi kuasa untuk bertindak bagi pihaknya Pengenalan hak cipta yang didakwa telah dilanggar Keterangan mengenai sifat dan lokasi sebenar kandungan yang anda tuntut melanggar hak cipta anda, cukup perincian untuk membolehkan Varsity Tutor mencari dan mengenal pasti kandungan itu secara positif. Contohnya, kami memerlukan pautan ke soalan tertentu (bukan hanya nama soalan) yang mengandungi kandungan dan keterangan bahagian tertentu dari soalan - gambar, pautan, teks, dll - aduan anda merujuk kepada nama, alamat, nombor telefon dan alamat e-mel anda dan pernyataan oleh anda: (a) bahawa anda percaya dengan niat baik bahawa penggunaan kandungan yang anda tuntut melanggar hak cipta anda adalah tidak dibenarkan oleh undang-undang, atau oleh pemilik hak cipta atau ejen pemilik tersebut (b) bahawa semua maklumat yang terkandung dalam Pemberitahuan Pelanggaran anda adalah tepat, dan (c) di bawah hukuman sumpah palsu, bahawa anda sama ada pemilik hak cipta atau orang yang diberi kuasa untuk bertindak bagi pihaknya.

Hantarkan aduan anda kepada ejen kami di:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Louis, MO 63105


Grafik fungsi trigonometri ini:

Fikirkan: Seperti apakah graf fungsi trigonometri ini? Untuk memahami prosedur yang diikuti untuk memplot grafik fungsi trigonometri, lihat fungsi sinus, fungsi kosinus, dan fungsi tangen.

Untuk rujukan anda, grafik ditunjukkan di bawah:

(f kiri (x kanan) = nolimits> , x )

Kenyataan:

Oleh kerana ( sin x = 0 ) untuk (x = n pi ), maka domain fungsi (< mathop < rm cosec> nolimits> x ) adalah ( mathbb - kiri < kanan > ), di mana (n ) terletak pada set integer.

Besarnya fungsi sinus tidak melebihi kesatuan. Besarnya fungsi cosecant tidak berada di bawah kesatuan. Dari grafik, terbukti bahawa julat fungsi (< mathop < rm cosec> nolimits> x ) adalah ( kiri (<- infty, - 1> kanan] cawan kiri [<1, infty> kanan) ).

Panjang kitaran fungsi ini (tempoh selepas ia mula berulang) adalah (2 pi ). Oleh itu, untuk setiap nilai (x ) dalam domain, kita dapat mengatakan bahawa (< mathop < rm cosec> nolimits> left ( kanan) = < mathop < rm cosec> nolimits> , x ).

(f kiri (x kanan) = saat x )

Kenyataan:

Untuk mengira domain dari fungsi pemisah, kita perlu mengecualikan semua nilai dari set sebenar yang fungsi kosinusnya adalah 0. Oleh itu, domain fungsi ( sec x ) adalah ( mathbb - kiri << kiri (<2n + 1> kanan) frac < pi> <2>> kanan > ), di mana (n ) terletak pada set bilangan bulat.

Seperti dalam fungsi cosecant, the julat fungsi pemisah adalah ( kiri (<- infty, - 1> kanan] cawan kiri [<1, infty> kanan) ).

Kitaran fungsi ini juga (2 pi ). Oleh itu, untuk setiap (x ) (dalam domain), kita dapat mengatakan bahawa (sec kiri ( kanan) = secx ).

(f kiri (x kanan) = cot x )

Kenyataan:

Dari grafik, jelas bahawa gandaan ( pi ) tidak terletak pada domain fungsi ini. Oleh itu, domain fungsi ( cot x ) adalah ( mathbb - kiri < kanan > ).

Seperti fungsi tan, yang julat fungsi katil bayi adalah ( mathbb).

Panjang kitaran fungsi katil bayi, seperti fungsi tan, adalah ( pi ). Oleh itu, untuk setiap nilai (x ) dalam domainnya, kita dapat mengatakan bahawa ( cot left ( kanan) = cot x ).


Q: Fikirkanlah Adakah mungkin dua garis dengan cerun positif tegak lurus? Terangkan.

J: Biarkan cerun baris pertama menjadi & # x27m1 & # x27. Biarkan cerun baris kedua menjadi & # x27m2 & # x27.

S: Cari nilai tepat bagi setiap perkara berikut. cos 135 darjah

Q: Cari persamaan graf dalam rajah 6

J: Klik untuk melihat jawapannya

Q: Panjang Matahari berada 25 ° di atas ufuk. Cari panjang bayangan yang dilancarkan oleh bangunan yang berukuran 100 f.

J: Diberikan: Dengan ketinggian 25 °, sinar matahari akan membuat sudut yang sama dengan tanah. Biarkan t.

S: Tunjukkan bahawa setiap perkara berikut adalah benar. sin (x + 2pi) = sin x

J: Kita harus menunjukkan bahawa: sinx + 2π = sin x Kita tahu formula rumus untuk fungsi sinus, sinA + B = sin A cos B + cos A.

J: Kami telah memberikan segitiga bersudut tegak yang dasarnya 5 dan tegak lurus ialah 5. Kita harus mencari dosa (QRS.

S: Jarak Seorang penumpang di kapal terbang pada ketinggian 10 kilometer melihat dua bandar terus ke ea.

J: Kami melukis angka itu kerana jarak antara bandar C dan D menjadi y. Juga, biarkan BC = x kemudian, BD = x + y

Q: Fikirkanlah Kerana f (t) = sin t adalah fungsi tidak wajar dan g (t) = cos t adalah fungsi genap, apa yang boleh.

A: Diberi: f (t) = sin t adalah fungsi ganjil, g (t) = cos t adalah fungsi genap, h (t) = f (t).

Q: cari nilai θ, di mana 0 ≤θ≤360 °, yang memenuhi persamaan: cosθ = -sqrt3 / 2 * Saya memasukkan.


Tonton videonya: How to Graph Secant and Cosecant (Oktober 2021).