Artikel

14.6: Mengira Pusat Jisim dan Momen Inersia


Objektif Pembelajaran

  • Gunakan integral berganda untuk mencari pusat jisim objek dua dimensi.
  • Gunakan integral berganda untuk mencari momen inersia objek dua dimensi.
  • Gunakan segitiga tiga untuk mencari pusat jisim objek tiga dimensi.

Kami telah membincangkan beberapa aplikasi pelbagai integrasi, seperti mencari kawasan, jumlah, dan nilai rata-rata fungsi di kawasan yang dibatasi. Dalam bahagian ini kita mengembangkan teknik komputasi untuk mencari pusat jisim dan momen inersia beberapa jenis objek fizikal, menggunakan integral berganda untuk lamina (plat rata) dan segitiga tiga untuk objek tiga dimensi dengan kepadatan berubah. Ketumpatan biasanya dianggap sebagai nombor tetap apabila lamina atau objeknya homogen; iaitu, objek mempunyai ketumpatan seragam.

Pusat Jisim dalam Dua Dimensi

Pusat jisim juga dikenali sebagai pusat graviti jika objek berada dalam medan graviti yang seragam. Sekiranya objek mempunyai ketumpatan seragam, pusat jisim adalah pusat geometri objek, yang disebut pusat. Rajah ( PageIndex {1} ) menunjukkan titik (P ) sebagai pusat jisim lamina. Lamina seimbang dengan pusat jisimnya.

Untuk mencari koordinat pusat jisim (P ( bar {x}, bar {y}) ) lamina, kita perlu mencari momen (M_x ) lamina mengenai (x ) - paksi dan momen (M_y ) mengenai paksi (y ) -. Kita juga perlu mencari jisim lamina. Kemudian

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} ]

dan

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m}. ]

Rujuk Momen dan Pusat Jisim untuk definisi dan kaedah penyatuan tunggal untuk mencari pusat jisim objek satu dimensi (contohnya, batang nipis). Kami akan menggunakan idea yang serupa di sini kecuali bahawa objek itu adalah lamina dua dimensi dan kami menggunakan integral berganda.

Sekiranya kita membenarkan fungsi ketumpatan berterusan, maka ( bar {x} = dfrac {M_y} {m} ) dan ( bar {y} = dfrac {M_x} {m} ) berikan sentroid lamina.

Katakan bahawa lamina menempati kawasan (R ) dalam bidang (xy ) - dan biarkan ( rho (x, y) ) menjadi ketumpatannya (dalam unit jisim per unit luas) pada bila-bila masa ((x, y) ). Oleh itu,

[ rho (x, y) = lim _ { Delta A rightarrow 0} dfrac { Delta m} { Delta A} ]

di mana ( Delta m ) dan ( Delta A ) adalah jisim dan luas segi empat kecil yang mengandungi titik ((x, y) ) dan had diambil sebagai dimensi segi empat tepat menuju ke (0 ) (lihat gambar berikut).

Sama seperti sebelumnya, kita membahagikan wilayah (R ) menjadi segi empat kecil (R_ {ij} ) dengan luas ( Delta A ) dan memilih ((x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ) sebagai titik contoh. Maka jisim (m_ {ij} ) masing-masing (R_ {ij} ) sama dengan ( rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A ) (Rajah ( PageIndex {2} )). Biarkan (k ) dan (l ) menjadi bilangan subinterval di (x ) dan (y ) masing-masing. Juga, perhatikan bahawa bentuknya mungkin tidak selalu persegi panjang tetapi batasnya tetap berfungsi, seperti yang terlihat pada bahagian sebelumnya.

Oleh itu, jisim lamina adalah

[m = lim_ {k, l kananarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l m_ {ij} = lim_ {k, l kanan bawah infty} jumlah_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A = iint_R rho (x, y) dA. ]

Mari kita lihat contoh sekarang untuk mencari jisim lamina segitiga.

Contoh ( PageIndex {1} ): Mencari Jumlah Jisim Lamina

Pertimbangkan lamina segitiga (R ) dengan bucu ((0,0), , (0,3), , (3,0) ) dan dengan ketumpatan ( rho (x, y) = xy , kg / m ^ 2 ). Cari jumlah jisim.

Penyelesaian

Lakaran kawasan (R ) selalu berguna, seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikut.

Dengan menggunakan ungkapan yang dikembangkan untuk massa, kita melihatnya

[m = iint_R , dm = iint_R rho (x, y) dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} xy , dy , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 3} kiri [ kiri. x dfrac {y ^ 2} {2} kanan | _ {y = 0} ^ {y = 3} kanan] , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 3} dfrac {1 } {2} x (3 - x) ^ 2 dx = kiri. Kiri [ dfrac {9x ^ 2} {4} - x ^ 3 + dfrac {x ^ 4} {8} kanan] kanan | _ {x = 0} ^ {x = 3} = dfrac {27} {8}. ]

Pengiraannya mudah, memberikan jawapan (m = dfrac {27} {8} , kg ).

Latihan ( PageIndex {1} )

Pertimbangkan kawasan yang sama (R ) seperti pada contoh sebelumnya, dan gunakan fungsi ketumpatan ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Cari jumlah jisim.

Jawapan

( dfrac {9 pi} {8} , kg )

Sekarang setelah kita menetapkan ungkapan untuk massa, kita mempunyai alat yang kita perlukan untuk mengira momen dan pusat jisim. Momen (M_z ) mengenai paksi (x ) untuk (R ) adalah had jumlah momen kawasan (R_ {ij} ) mengenai paksi (x ) - . Oleh itu

[M_x = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k , l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A = iint_R y rho (x, y) , dA ]

Begitu juga, momen (M_y ) mengenai paksi (y ) - untuk (R ) adalah had jumlah momen kawasan (R_ {ij} ) mengenai (y ) -axis. Oleh itu

[M_y = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k , l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A = iint_R x rho (x, y) , dA ]

Contoh ( PageIndex {2} ): Mencari Momen

Pertimbangkan lamina segitiga yang sama (R ) dengan bucu ((0,0), , (0,3), , (3,0) ) dan dengan ketumpatan ( rho (x, y) = xy ). Cari momen (M_x ) dan (M_y ).

Penyelesaian

Gunakan integrasi berganda untuk setiap saat dan hitung nilainya:

[M_x = iint_R y rho (x, y) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} xy ^ 2 , dy , dx = dfrac {81} {20}, ]

[M_y = iint_R x rho (x, y) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} x ^ 2 y , dy , dx = dfrac {81} {20}, ]

Pengiraannya agak mudah.

Latihan ( PageIndex {2} )

Pertimbangkan lamina yang sama (R ) seperti di atas dan gunakan fungsi ketumpatan ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Cari momen (M_x ) dan (M_y ).

Jawapan

(M_x = dfrac {81 pi} {64} ) dan (M_y = dfrac {81 pi} {64} )

Akhirnya kami bersedia untuk menyatakan semula ungkapan untuk pusat jisim dari segi integral. Kami menunjukkan x-koordinat pusat jisim dengan ( bar {x} ) dan y-koordinasi dengan ( bar {y} ). Secara khusus,

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} ]

dan

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} ]

Contoh ( PageIndex {3} ): pusat jisim

Sekali lagi pertimbangkan kawasan segitiga yang sama (R ) dengan bucu ((0,0), , (0,3), , (3,0) ) dan dengan fungsi ketumpatan ( rho (x, y ) = xy ). Cari pusat jisim.

Penyelesaian

Dengan menggunakan formula yang kami kembangkan, kami ada

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} = dfrac {81/20} {27/8} = dfrac {6} {5}, ]

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} = dfrac {81/20} {27/8} = dfrac {6} {5}. ]

Oleh itu, pusat jisim adalah titik ( kiri ( dfrac {6} {5}, dfrac {6} {5} kanan). )

Analisis

Sekiranya kita memilih ketumpatan ( rho (x, y) ) untuk menjadi seragam di seluruh rantau ini (iaitu, pemalar), seperti nilai 1 (sebarang pemalar akan dilakukan), maka kita dapat mengira centroid,

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x , dA} { iint_R , dA} = dfrac {9/2} {9/2} = 1, ]

[y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y , dA} { iint_R , dA} = dfrac {9/2} {9/2} = 1. ]

Perhatikan bahawa pusat jisim ( kiri ( dfrac {6} {5}, dfrac {6} {5} kanan) ) tidak sama persis dengan centroid ((1,1) ) dari kawasan segitiga. Ini disebabkan oleh ketumpatan pemboleh ubah (R ) Sekiranya ketumpatannya tetap, maka kita hanya menggunakan ( rho (x, y) = c ) (pemalar). Nilai ini dibatalkan dari formula, jadi untuk ketumpatan tetap, pusat jisim bertepatan dengan sentroid lamina.

Latihan ( PageIndex {3} )

Sekali lagi gunakan wilayah yang sama (R ) seperti di atas dan gunakan fungsi ketumpatan ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Cari pusat jisim.

Jawapan

( bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac {81 pi / 64} {9 pi / 8} = dfrac {9} {8} ) dan ( bar { y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac {81 pi} {9 pi / 8} = dfrac {0} {8} ).

Sekali lagi, berdasarkan komen di akhir Contoh ( PageIndex {3} ), kami mempunyai ungkapan untuk pusat wilayah di satah:

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x , dA} { iint_R , dA} , text {dan} , y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y , dA} { iint_R , dA}. ]

Kita harus menggunakan formula ini dan mengesahkan pusat wilayah segitiga R yang disebut dalam tiga contoh terakhir.

Contoh ( PageIndex {4} ): Mencari Jisim, Momen, dan Pusat Jisim

Cari jisim, momen, dan pusat jisim lamina ketumpatan ( rho (x, y) = x + y ) yang menempati kawasan (R ) di bawah lengkung (y = x ^ 2 ) dalam selang (0 leq x leq 2 ) (lihat rajah berikut).

Penyelesaian

Mula-mula kita mengira jisim (m ). Kita perlu menerangkan kawasan antara graf (y = x ^ 2 ) dan garis menegak (x = 0 ) dan (x = 2 ):

[m = iint_R , dm = iint_R rho (x, y) , dA = int_ {x = 0} {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} (x + y) dy , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 2} kiri [ kiri. xy + dfrac {y ^ 2} {2} kanan | _ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} kanan] , dx ]

[= int_ {x = 0} ^ {x = 2} kiri [x ^ 3 + dfrac {x ^ 4} {2} kanan] dx = kiri. kiri [ dfrac {x ^ 4 } {4} + dfrac {x ^ 5} {10} kanan] kanan | _ {x = 0} ^ {x = 2} = dfrac {36} {5}. ]

Sekarang hitung momen (M_x ) dan (M_y ):

[M_x = iint_R y rho (x, y) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} y (x + y) , dy , dx = dfrac {80} {7}, ]

[M_y = iint_R x rho (x, y) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} x (x + y) , dy , dx = dfrac {176} {15}. ]

Akhirnya, menilai pusat jisim,

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} = dfrac {176/15} {36/5} = dfrac {44} {27}, ]

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} = dfrac {80/7} {36/5} = dfrac {100} {63}. ]

Oleh itu pusat jisim adalah (( bar {x}, bar {y}) = kiri ( dfrac {44} {27}, dfrac {100} {63} kanan) ).

Latihan ( PageIndex {4} )

Hitung jisim, momen, dan pusat jisim kawasan antara lengkung (y = x ) dan (y = x ^ 2 ) dengan fungsi ketumpatan ( rho (x, y) = x ) dalam selang (0 leq x leq 1 ).

Jawapan

( bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac {1/20} {1/12} = dfrac {3} {5} ) dan ( bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac {1/24} {1/12} = dfrac {1} {2} )

Contoh ( PageIndex {5} ): Mencari Centroid

Cari pusat wilayah di bawah lengkung (y = e ^ x ) sepanjang selang (1 leq x leq 3 ) (Rajah ( PageIndex {6} )).

Penyelesaian

Untuk mengira centroid, kami menganggap bahawa fungsi ketumpatannya tetap dan oleh itu ia membatalkan:

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x , dA} { iint_R dA} , dan , y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y , dA} { iint_R dA}, ]

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x , dA} { iint_R dA} = dfrac { int_ {x = 1} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = e ^ x} x , dy , dx} { int_ {x = 1} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = e ^ x} , dy , dx} = dfrac { int_ {x = 1} ^ {x = 3} xe ^ x dx} { int_ {x = 1} ^ {x = 3} e ^ x dx} = dfrac {2e ^ 3} {e ^ 3 - e} = dfrac {2e ^ 2} {e ^ 2 - 1}, ]

[y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y , dA} { iint_R dA} = dfrac { int_ {x = 1} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = e ^ x} y , dy , dx} { int_ {x = 1} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = e ^ x} , dy , dx} = dfrac { int_ {x = 1} ^ {x = 3} dfrac {e ^ {2x}} {2} dx} { int_ {x = 1} ^ {x = 3} e ^ x dx} = dfrac { dfrac {1} {4} e ^ 2 (e ^ 4 - 1)} {e (e ^ 2 - 1)} = dfrac {1} {4} e (e ^ 2 + 1). ]

Oleh itu pusat wilayah adalah

[(x_c, y_c) = kiri ( dfrac {2e ^ 2} {e ^ 2 - 1}, dfrac {1} {4} e (e ^ 2 + 1) kanan). ]

Latihan ( PageIndex {5} )

Hitung pusat bahagian antara lengkung (y = x ) dan (y = sqrt {x} ) dengan ketumpatan seragam dalam selang (0 leq x leq 1 ).

Jawapan

(x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac {1/15} {1/6} = dfrac {2} {5} ) dan (y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac {1/12} {1/6} = dfrac {1} {2} )

Detik Inersia

Untuk pemahaman yang jelas tentang cara mengira momen inersia menggunakan integral berganda, kita perlu kembali kepada definisi umum di Bahagian (6.6 ). Momen inersia zarah jisim (m ) mengenai paksi adalah (mr ^ 2 ) di mana (r ) adalah jarak zarah dari paksi. Kita dapat melihat dari Rajah (PageIndex {3} ) bahawa momen inersia dari subrectangle (R_ {ij} ) mengenai paksi (x ) - ((y_ {ij} ^ *) ^ 2 rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A ). Begitu juga, momen inersia subrektrik (R_ {ij} ) mengenai paksi (y ) - ((x_ {ij} ^ *) ^ 2 rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A ). Momen inersia berkaitan dengan putaran jisim; secara khusus, ia mengukur kecenderungan jisim untuk menolak perubahan gerakan putaran mengenai paksi.

Momen inersia (I_x ) mengenai paksi (x ) untuk wilayah (R ) adalah had jumlah momen inersia kawasan (R_ {ij} ) mengenai (x ) - paksi. Oleh itu

[I_x = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) ^ 2 m_ {ij} = lim_ {k, l kananarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) ^ 2 rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij } ^ *) , Delta A = iint_R y ^ 2 rho (x, y) , dA. ]

Begitu juga, momen inersia (I_y ) mengenai paksi (y ) - untuk (R ) adalah had jumlah momen inersia kawasan (R_ {ij} ) mengenai (y ) - paksi. Oleh itu

[I_y = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) ^ 2 m_ {ij} = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) ^ 2 rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij } ^ *) , Delta A = iint_R x ^ 2 rho (x, y) , dA. ]

Kadang kala, kita perlu mencari momen inersia objek mengenai asal usulnya, yang dikenali sebagai momen inersia kutub. Kami menandakannya dengan (I_0 ) dan memperolehnya dengan menambahkan momen inersia (I_x ) dan (I_y ). Oleh itu

[I_0 = I_x + I_y = iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) rho (x, y) , dA. ]

Semua ungkapan ini boleh ditulis dalam koordinat kutub dengan menggantikan (x = r , cos , theta, , y = r , sin , theta ), dan (dA = r , dr , d theta ). Contohnya, (I_0 = iint_R r ^ 2 rho (r , cos , theta, , r , sin , theta) , dA ).

Contoh ( PageIndex {6} ): Mencari Momen Inersia untuk Lamina Segitiga

Gunakan kawasan segitiga (R ) dengan bucu ((0,0), , (2,2) ), dan ((2,0) ) dan dengan ketumpatan ( rho (x, y ) = xy ) seperti contoh sebelumnya. Cari momen inersia.

Penyelesaian

Dengan menggunakan ungkapan yang dinyatakan di atas untuk momen inersia, kita ada

[I_x = iint_R y ^ 2 rho (x, y) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} xy ^ 3 , dy , dx = dfrac {8} {3}, ]

[I_y = iint_R x ^ 2 rho (x, y) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} x ^ 3y , dy , dx = dfrac {16} {3}, ]

[I_0 = iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) rho (x, y) , dA = int_0 ^ 2 int_0 ^ x (x ^ 2 + y ^ 2) xy , dy , dx = I_x + I_y = 8 ]

Latihan ( PageIndex {6} )

Sekali lagi gunakan kawasan yang sama (R ) seperti di atas dan fungsi ketumpatan ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Cari momen inersia.

Jawapan

[I_x = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} y ^ 2 sqrt {xy} , dy , dx = dfrac {64} {35} ] dan

[I_y = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} x ^ 2 sqrt {xy} , dy , dx = dfrac {64} {35}. ] Juga,

[I_0 = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} (x ^ 2 + y ^ 2) sqrt {xy} , dy , dx = dfrac {128} {21} ]

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, momen inersia zarah jisim (m ) mengenai sumbu adalah (mr ^ 2 ) di mana (r ) adalah jarak zarah dari paksi, juga dikenal sebagai jejari gyration.

Oleh itu, jari-jari gyration berkenaan dengan paksi (x ), sumbu (y ) - dan asalnya adalah

[R_x = sqrt { dfrac {I_x} {m}}, , R_y = sqrt { dfrac {I_y} {m}}, , dan , R_0 = sqrt { dfrac {I_0} { m}}, ]

masing-masing. Dalam setiap kes, jejari gyration memberitahu kita sejauh mana (jarak tegak lurus) dari paksi putaran seluruh jisim objek mungkin tertumpu. Momen objek berguna untuk mencari maklumat mengenai keseimbangan dan daya kilas objek mengenai paksi, tetapi jejari gyration digunakan untuk menggambarkan pembahagian jisim di sekitar paksi sentroidnya. Terdapat banyak aplikasi dalam bidang kejuruteraan dan fizik. Kadang-kadang perlu mencari jejari gyration, seperti pada contoh seterusnya.

Contoh ( PageIndex {7} ): Mencari Radius Gyration untuk Segitiga Lamina

Pertimbangkan lamina segitiga yang sama (R ) dengan bucu ((0,0), , (2,2) ), dan ((2,0) ) dan dengan ketumpatan ( rho (x, y) = xy ) seperti contoh sebelumnya. Cari jejari gyration berkenaan dengan paksi (x ) - paksi (y ) - dan asalnya.

Penyelesaian

Sekiranya kita mengira jisim wilayah ini, kita dapati bahawa (m = 2 ). Kami menemui momen inersia lamina ini dalam Contoh ( PageIndex {4} ). Dari data-data ini, jari-jari gyration berkenaan dengan sumbu (x ) - sumbu, (y ) - dan asalnya adalah

[ start {align} R_x = sqrt { dfrac {I_x} {m}} = sqrt { dfrac {8/3} {2}} = sqrt { dfrac {8} {6}} = dfrac {2 sqrt {3}} {3}, R_y = sqrt { dfrac {I_y} {m}} = sqrt { dfrac {16/3} {2}} = sqrt { dfrac {8} {3}} = dfrac {2 sqrt {6}} {3}, R_0 = sqrt { dfrac {I_0} {m}} = sqrt { dfrac {8} {2 }} = sqrt {4} = 2. end {align} ]

Latihan ( PageIndex {7} )

Gunakan kawasan yang sama (R ) dari Contoh ( PageIndex {7} ) dan fungsi ketumpatan ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Cari jejari gyration berkenaan dengan paksi (x ) - paksi (y ) - dan asal.

Petunjuk

Ikuti langkah-langkah yang ditunjukkan dalam contoh sebelumnya.

Jawapan

(R_x = dfrac {6 sqrt {35}} {35}, , R_y = dfrac {6 sqrt {15}} {15}, ) dan (R_0 = dfrac {4 sqrt { 42}} {7} ).

Latihan ( PageIndex {9} )

Pertimbangkan kawasan yang sama (Q ) (Rajah ( PageIndex {7} )) dan gunakan fungsi ketumpatan ( rho (x, y, z) = xy ^ 2z ). Cari pusat jisim.

Petunjuk

Pastikan bahawa (M_ {xy} = dfrac {27} {35}, , M_ {xz} = dfrac {243} {140}, ) dan (M_ {yz} = dfrac {81} { 35} ). Kemudian gunakan (m ) dari soalan pusat pemeriksaan sebelumnya.

Jawapan

( kiri ( dfrac {3} {2}, dfrac {9} {8}, dfrac {1} {2} kanan) )

Kami menyimpulkan bahagian ini dengan contoh mencari momen inersia (I_x, , I_y ), dan (I_z ).

Contoh ( PageIndex {10} ): Mencari Momen Inersia Pepejal

Katakan bahawa (Q ) adalah kawasan yang padat dan dibatasi oleh (x + 2y + 3z = 6 ) dan satah koordinat dengan ketumpatan ( rho (x, y, z) = x ^ 2 yz ) (lihat Gambar ( PageIndex {7} )). Cari momen inersia tetrahedron (Q ) mengenai satah (yz ) - satah, (xz ) - satah, dan satah (xy ) -.

Penyelesaian

Sekali lagi, kita dapat segera menulis had integrasi dan dengan itu kita dapat dengan cepat menilai saat-saat inersia. Dengan menggunakan formula yang dinyatakan sebelumnya, momen inersia tetrahedron (Q ) mengenai satah (yz ) - satah, (xz ) - satah, dan satah (xy ) -

[I_x = iiint_Q (y ^ 2 + z ^ 2) rho (x, y, z) , dV, ]

[I_y = iiint_Q (x ^ 2 + z ^ 2) rho (x, y, z) , dV, ] dan

[I_z = iiint_Q (x ^ 2 + y ^ 2) rho (x, y, z) , dV , dengan , rho (x, y, z) = x ^ 2yz. ]

Kami meneruskan proses pengiraannya

[ start {align *} I_x = iiint_Q (y ^ 2 + z ^ 2) x ^ 2 rho (x, y, z) , dV [4pt] = int_ {x = 0} ^ {x = 6} int_ {y = 0} ^ {y = frac {1} {2} (6-x)} int_ {z = 0} ^ {z = frac {1} {3} ( 6-x-2y)} (y ^ 2 + z ^ 2) x ^ 2 yz , dz , dy , dx = dfrac {117} {35} lebih kurang 3.343, akhir {align *} ]

[ start {align *} I_y = iiint_Q (x ^ 2 + z ^ 2) x ^ 2 rho (x, y, z) , dV [4pt] = int_ {x = 0} ^ {x = 6} int_ {y = 0} ^ {y = frac {1} {2} (6-x)} int_ {z = 0} ^ {z = frac {1} {3} ( 6-x-2y)} (x ^ 2 + z ^ 2) x ^ 2 yz , dz , dy , dx = dfrac {684} {35} kira-kira 19.543, akhir {align *} ]

[ start {align *} I_z = iiint_Q (x ^ 2 + y ^ 2) x ^ 2 rho (x, y, z) , dV [4pt] = int_ {x = 0} ^ {x = 6} int_ {y = 0} ^ {y = frac {1} {2} (6-x)} int_ {z = 0} ^ {z = frac {1} {3} ( 6-x-2y)} (x ^ 2 + y ^ 2) x ^ 2 yz , dz , dy , dx = dfrac {729} {35} lebih kurang 20.829. end {align *} ]

Oleh itu, momen inersia tetrahedron (Q ) mengenai satah (yz ), satah (xz ) - dan satah (xy ) - ialah (117/35, , 684/35 ), dan (729/35 ), masing-masing.

Latihan ( PageIndex {10} )

Pertimbangkan kawasan yang sama (Q ) (Rajah ( PageIndex {7} )), dan gunakan fungsi ketumpatan ( rho (x, y, z) = xy ^ 2z ). Cari momen inersia mengenai tiga satah koordinat.

Jawapan

Detik inersia tetrahedron (Q ) mengenai satah (yz ) - satah, (xz ) - satah, dan (xy ) - satah adalah (99/35, , 36 / 7 ) dan (243/35 ), masing-masing.

Konsep kunci

Mencari jisim, pusat jisim, momen, dan momen inersia dalam integral berganda:

  • Untuk lamina (R ) dengan fungsi ketumpatan ( rho (x, y) ) di mana-mana titik ((x, y) ) dalam satah, jisimnya adalah [m = iint_R rho (x, y) , dA. ]
  • Momen mengenai paksi (x ) - dan paksi (y ) - [M_x = iint_R y rho (x, y) , dA , dan , M_y = iint_R x rho ( x, y) , dA. ]
  • Pusat jisim diberikan oleh ( bar {x} = dfrac {M_y} {m}, , bar {y} = dfrac {M_x} {m} ).
  • Pusat jisim menjadi pusat satah apabila ketumpatannya tetap.
  • Momen inersia mengenai paksi (x ) - paksi, (y ) - dan asalnya adalah [I_x = iint_R y ^ 2 rho (x, y) , dA, , I_y = iint_R x ^ 2 rho (x, y) , dA, , dan , I_0 = I_x + I_y = iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) rho (x, y) , dA. ]

Mencari jisim, pusat jisim, momen, dan momen inersia dalam tiga integral:

  • Untuk objek padat (Q ) dengan fungsi ketumpatan ( rho (x, y, z) ) di mana-mana titik ((x, y, z) ) di ruang angkasa, jisimnya adalah [[m = iiint_Q rho (x, y, z) , dV. ]
  • Momen mengenai satah (xy ) - satah, (xz ) - satah, dan satah (yz ) - ialah [M_ {xy} = iiint_Q z rho (x, y, z) , dV, , M_ {xz} = iiint_Q y rho (x, y, z) , dV, , M_ {yz} = iiint_Q x rho (x, y, z) , dV ]
  • Pusat jisim diberikan oleh ( bar {x} = dfrac {M_ {yz}} {m}, , bar {y} = dfrac {M_ {xz}} {m}, , bar {z} = dfrac {M_ {xy}} {m}. )
  • Pusat jisim menjadi pusat pepejal apabila ketumpatannya tetap.
  • Momen inersia mengenai satah (yz ) - satah, (xz ) - satah, dan satah (xy ) - ialah [I_x = iiint_Q (y ^ 2 + z ^ 2) , rho (x, y, z) , dV, , I_y = iiint_Q (x ^ 2 + z ^ 2) , rho (x, y, z) , dV, , I_z = iiint_Q ( x ^ 2 + y ^ 2) , rho (x, y, z) , dV. ]

Persamaan Utama

  • Jisim lamina [m = lim_ {k, l kananarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l m_ {ij} = lim_ {k, l kanan bawah infty} jumlah_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A = iint_R rho (x, y) , dA ]
  • Detik mengenai x-axis [M_x = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k , l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A = iint_R y rho (x, y) , dA ]
  • Detik mengenai y-axis [M_y = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k , l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A = iint_R x rho (x, y) , dA ]
  • Pusat jisim lamina [ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} , dan , bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} ]

Glosari

jejari gyration
jarak dari pusat jisim objek ke paksi putarannya


Tonton videonya: JISIM DAN INERSIA SAINS TING 4 KSSM EKSPERIMEN WAJIB (Oktober 2021).