Artikel

4.4: Teorema Fungsi Terbalik


4.4: Teorema Fungsi Terbalik

Pembezaan dilakukan dengan betul: 4. Fungsi terbalik dan tersirat

Sekarang kita akan membuktikan teorema fungsi terbalik dan fungsi tersirat untuk ruang Banach.

Teorem 32 (Prinsip kontraksi). Biarkan ((X, d) ) menjadi ruang metrik yang lengkap dan biarkan ( varphi: X hingga X ) menjadi peta yang memuaskan $
d ( varphi (x), varphi (y)) le cd (x, y)
$ untuk semua (x, y di X ) dan beberapa pemalar (c n ), mula
d (x_n, x_m) & # 038 le d (x_n, x_) + cdots + d (x_, x_m)
& # 038 le (c ^ n + cdots + c ^) d (x_1, x_0)
& # 038 le c ^ n (1-c) ^ <-1> d (x_1, x_0),
akhir yang menunjukkan bahawa () adalah urutan Cauchy. Oleh kerana (X ) selesai, (x_n hingga x ) untuk beberapa (x di X ). Tambahan pula, $
x = lim_x_= lim_ varphi (x_n) = varphi (x)
$ sejak ( varphi ) berterusan. Keunikan jelas kelihatan. ( persegi )

Teorem 33 (Teorema fungsi terbalik). Biarkan (A subseteq E ) menjadi set terbuka dan biarkan (f: A to F ) dari kelas (C ^ p ) (dengan (p ge 1 )). Katakan bahawa (f '(p) ) tidak dapat dibalikkan untuk beberapa (p di A ). Kemudian terdapat kejiranan (U subseteq A ) dari (p ) sehingga (f (U) ) terbuka dan (f | _U: U to f (U) ) adalah (C ^ p ) diffeomorphism.

Bukti. Mari ( iota: E to E ) menjadi peta identiti. Dengan menggantikan (f ) dengan (f '(p) ^ <-1> circ f ), kita mungkin menganggap bahawa (E = F ) dan (f' (p) = iota ) . Oleh kerana (f & # 8217 ) berterusan di (p ), terdapat bola terbuka (U subseteq A ) di sekitar (p ) sehingga (| f '(x) - iota |


Untuk setiap perkara berikut, cari nilai dalam ukuran radian

Pastikan MODE kalkulator & rsquos anda RAD (radian)

Rajah ( PageIndex <1> )

Rajah ( PageIndex <2> )

Rajah ( PageIndex <3> )

Sebelumnya, anda diminta untuk menilai ( sec ^ <& minus1> dfrac <2> < sqrt <3>> )


Fungsi songsang

Gambaran keseluruhan
& Ketidakstabilan lembu.
& bull Definisi Fungsi Berbalik.
& ungkapan bull dan Invers.
& bull Contoh Pembalikan Asas.
& bull Grafik dan Invers.
& bull Ujian Garisan Mendatar.
& bull Graphin a Inverse.
& mesin jentera dan Invers.

Kebolehtukaran
Pada bahagian 2.1, kami menentukan sama ada hubungan adalah fungsi dengan mencari nilai x pendua.
Kebolehbalikan adalah sebaliknya. Fungsi tidak dapat dipulihkan jika dan hanya jika tidak mengandungi dua perintah
berpasangan dengan nilai y yang sama, tetapi nilai x yang berbeza. Oleh itu, untuk menentukan sama ada a
fungsi tidak dapat dipulihkan, kami mencari pendua-nilai-y. Fungsi yang boleh ditukar juga disebut satu-ke-satu.

Contohnya
Fungsi manakah yang boleh ditukar?

Penyelesaian
f tidak dapat dipulihkan kerana mengandungi kedua-duanya (3, 3) dan (6, 3).
g tidak boleh diterbalikkan.
h tidak boleh ditarik balik.

Definisi Fungsi Berbalik
Sekiranya f adalah fungsi yang tidak dapat diubah, maka terbalik, dilambangkan f & # 82111
, adalah set pasangan tertib (y, x) sedemikian
bahawa (x, y) berada dalam f. Iaitu, f & # 82111 adalah f dengan nilai x dan y ditukar. f & # 82111 (x) tidak
1 / f (x).

Contohnya
Cari kebalikan dari fungsi yang tidak dapat diubah dari contoh terakhir.
Penyelesaian
g & # 82111 = <(2, 1), (3, 2), (5, 4)>
h & # 82111 =

Nota
1. Kebolehbalikan memastikan bahawa fungsi & # 8217s terbalik adalah fungsi.
2. Fungsi boleh menjadi kebalikannya sendiri. Perhatikan bagaimana fungsi h pada contoh terakhir mempunyai ini
harta benda.
3. Apabila g adalah f & # 8217s terbalik maka f adalah g & # 8217 juga terbalik.
4. Penukaran menukar domain dengan julat. Itu dia
dom f = berlari f -1
berlari f = dom

Ungkapan dan Pembalikan
Contohnya
Huraikan dengan kata-kata apa fungsi f (x) = x terhadap inputnya.
Penyelesaian
Tidak ada.

Teorema Pembatalan
Fungsi f adalah g saling terbalik jika dan hanya jika kedua-dua undang-undang pembatalan berikut
tahan:
() (x) = x untuk semua x dalam dom g
() (x) = x untuk semua x dalam dom f

Dengan kata lain, mesin dan tidak memberi apa-apa input. Ini bermaksud bahawa f membalikkan
semua perubahan yang dibuat oleh g dan sebaliknya. Pada hakikatnya, f dan g saling membatalkan.

Contohnya
Sahkan bahawa pasangan berikut saling bertentangan antara satu sama lain.
a)
b)
c)

Contohnya
Sekiranya f (& # 82117) = 8, dan f tidak dapat dipulihkan, selesaikan 1/2 f (x & # 8211 9) = 4.
Penyelesaian
1/2 f (x & # 8211 9) = 4
f (x & # 8211 9) = 8
f -1 (f (x & # 8211 9)) = f -1 (8)
x & # 8211 9 = & # 82117
x = 2

Biarkan f dan g saling terbalik, dan biarkan f (x) = y. Kemudian dengan Pembatalan
Teorem
g (y) = g (f (x)) = x

Ini sebahagiannya membuktikan teorema seterusnya.
Perubahan Teorema Bentuk
Fungsi f dan g saling terbalik jika dan hanya jika kedua-dua perubahan bentuk berikut
undang-undang menetapkan:
f (x) = y menyiratkan g (y) = x
g (x) = y menyiratkan f (y) = x

Perubahan Teorema Bentuk (versi gantian)
Sekiranya f tidak boleh dibalikkan maka
f (x) = y jika dan hanya jika f & # 82111 (y) = x

Contohnya
Sekiranya f (4) = 3, f (3) = 2, dan f tidak dapat diterbalikkan, cari f & # 82111 (3) dan (f (3)) & # 82111.
Penyelesaian
f & # 82111 (3) = 4
(f (3)) & # 82111 = 2 & # 82111 = 1/2

Untuk mencari kebalikan fungsi, f, secara algebra
1. Tetapkan y = f (x).
2. Tukar x dengan y.
3. Selesaikan untuk y.
4. Gantikan y dengan f -1 (x).

Contohnya
Cari kebalikan dari

Penyelesaian
a)
y = 5 & # 8211 x
x = 5 & # 8211 tahun
x + y = 5
y = 5 & # 8211 x
f & # 82111 (x) = 5 & # 8211 x
Perhatikan bahawa f adalah kebalikannya.

Contoh Pembalikan Asas

f (x)
f & # 82111 (x)
Berlaku Bila

Grafik dan Invers
Untuk mencari f & # 82111 (a) dari graf f, mulakan dengan mencari a pada paksi-y dan bergerak secara mendatar sehingga
anda memukul graf. Jawapannya adalah nilai x dari titik yang anda tekan.

Contohnya
Gunakan graf f untuk mencari f & # 82111 (2) dan f & # 82111 (3).
Penyelesaian
f & # 82111 (2) = 3
f & # 82111 (3) = 3.6

Ujian Garisan Mendatar
Grafik fungsi adalah fungsi terbalik jika dan hanya jika setiap garis mendatar
melewati satu atau tepat satu titik.

Contohnya
Grafik yang manakah fungsi terbalik?

Melakar Pembalikan
Untuk graf f & # 82111 diberi graf f, kami meletakkan titik (b, a) pada graf f & # 82111 untuk
setiap titik (a, b) pada graf f. Ini mempunyai kesan mencerminkan
graf f di seberang garisan y = x.

Contohnya
a) Pasangan fungsi yang manakah dalam contoh terakhir adalah kebalikan antara satu sama lain?
b) Fungsi manakah yang terbalik?
c) Fungsi mana yang tidak dapat dibalikkan tetapi kebalikannya bukan salah satu yang ditunjukkan?
Penyelesaian
B dan Berani saling terbalik.
Eisnya terbalik.
C tidak dapat dipusingkan, tetapi kebalikannya tidak ditunjukkan

Untuk graf f & # 82111 diberi graf f, lakukan perkara berikut
1. Labelkan beberapa titik (a, b) pada f itu
tentukan bentuk amnya.
2. Untuk setiap, plot (b, a).
3. Lukis garis y = x.
4. Sambungkan titik-titik yang memperhatikan jalannya
graf dipantulkan di seberang y = x.

Contohnya
Grafkan kebalikan fungsi, k grafkan ke
yang betul.

Mesin dan Sebalik
Dari perspektif mesin, fungsi f tidak dapat diubah jika dan hanya jika ia adalah komposisi
operasi boleh tukar (CIO). Dalam kes ini, f -1 adalah mesin yang melakukan sebaliknya
operasi dalam urutan yang bertentangan (4O). Apabila fungsi adalah CIO, metafora mesin
adalah kaedah cepat dan mudah untuk mencari kebalikannya. Saya akan mengajar anda bagaimana melakukannya menggunakan meja mesin, dan
Saya mungkin meminta anda menunjukkan meja mesin kerana jika tidak, tidak ada kerja untuk ditunjukkan. Walau bagaimanapun, itu adalah
titik. Dengan beberapa latihan, anda boleh menggunakan kaedah ini untuk mencari kebalikan di kepala anda.

Contohnya
Buat jadual mesin untuk setiap fungsi. Sekiranya ia boleh dibalikkan cari kebalikannya menggunakan jadual mesin.
a) f (x) =
b) g (x) =
c) h (x) = di mana k adalah fungsi yang digambarkan ke kanan.

Penyelesaian
a)


Wawasan Matematik

Fungsi songsang adalah fungsi yang membatalkan tindakan fungsi lain. Menggunakan metafora mesin fungsi, membentuk fungsi terbalik bermaksud menjalankan fungsi mesin ke belakang. Mesin fungsi belakang akan berfungsi hanya jika mesin fungsi asal menghasilkan output unik untuk setiap input unik.

Dalam contoh berikut, kami menunjukkan beberapa kes mudah di mana seseorang dapat mengira fungsi terbalik. Dalam kebanyakan kes, kita tidak dapat menuliskan formula yang bagus untuk fungsi terbalik.

Contoh 1

Biarkan $ f: R to R $ (keliru?) Ditakrifkan oleh $ f (x) = 3x + 1 $. Cari fungsi songsang $ f ^ <-1> $.

Penyelesaian: Untuk sebarang input $ x $, mesin fungsi yang sepadan dengan $ f $ mengeluarkan nilai $ y = f (x) = 3x + 1 $. Kami ingin mencari fungsi $ f ^ <-1> $ yang mengambil nilai $ y $ sebagai input dan mengeluarkan $ x $ sebagai output. Dengan kata lain, $ y = f (x) $ memberikan $ y $ sebagai fungsi $ x $, dan kami ingin mencari $ x = f ^ <-1> (y) $ yang akan memberi kami $ x $ sebagai fungsi $ y $.

Untuk mengira $ x $ sebagai fungsi $ y $, kita hanya mengambil ungkapan $ y = 3x + 1 $ untuk $ y $ sebagai fungsi $ x $ dan selesaikan untuk $ x $. bermula y & = 3x + 1 y-1 & = 3x frac <3> & = x akhir Oleh itu, kami mendapati bahawa $ x = y / 3 - 1/3 $, jadi kami dapat menulis fungsi terbalik sebagai $ f ^ <-1> (y) = frac <3> - frac <1> <3>. $

Dalam definisi fungsi $ f ^ <-1> $, tidak ada yang istimewa mengenai penggunaan pemboleh ubah $ y $. Kita boleh menggunakan pemboleh ubah lain, dan tulis jawapannya sebagai $ f ^ <-1> (x) = x / 3-1 / 3 $ atau $ f ^ <-1> ( bigstar) = bigstar / 3 -1 / 3 $. Pemboleh ubah placeholder yang digunakan dalam formula untuk fungsi tidak penting.

Untuk mengesahkan bahawa $ f ^ <-1> $ benar-benar kebalikan dari $ f $, kita harus menunjukkan bahawa komposisi $ f $ dan $ f ^ <-1> $ tidak memberi apa-apa input. Dalam kes ini, pesanan tidak menjadi masalah, dan fungsi $ f circ f ^ <-1> $ dan $ f ^ <-1> circ $ f $ keduanya tidak boleh melakukan apa-apa. Mari kita periksa ini.

Pertama, kami menggunakan $ f $ diikuti oleh $ f ^ <-1> $. bermula (f ^ <-1> circ f) (x) & = f ^ <-1> (f (x)) & = f ^ <-1> (3x + 1) & = (3x + 1) / 3 - 1/3 & = x +1/3 -1/3 = x akhir Kedua, kami menggunakan $ f ^ <-1> $ diikuti oleh $ f $. bermula (f circ f ^ <-1>) (x) & = f (f ^ <-1> (x)) & = f (x / 3-1 / 3) & = 3 (x / 3-1 / 3) +1 & = x - 1 + 1 = x akhir Dalam kedua kes tersebut, penggunaan $ f $ dan $ f ^ <-1> $ hingga $ x $ memberi kami kembali $ x $. Sesungguhnya, $ f ^ <-1> (x) = x / 3-1 / 3 $.

Contoh 2

Biarkan $ f: R to R $ ditakrifkan oleh $ f (x) = x ^ 2 $. Adakah fungsi ini mempunyai fungsi terbalik?

Penyelesaian: Untuk sebarang nombor nyata $ x $, kedua $ f (x) $ dan $ f (-x) $ menghasilkan nombor yang sama, iaitu $ f (x) = f (-x) = x ^ 2 $. Sekiranya $ x ne 0 $, maka $ x $ dan $ -x $ adalah nombor yang berbeza, dan $ f $ memetakan dua nombor yang berbeza ini ke nombor output yang sama. Sebagai contoh, memandangkan output $ f (x) $ adalah $ y = 4 $, tidak ada cara untuk mengetahui apakah $ x = 2 $ atau $ x = -2 $ adalah input untuk fungsi tersebut. Tidak ada cara untuk menjalankan mesin fungsi ke belakang, dan $ f $ tidak mempunyai fungsi terbalik.

Contoh 2 '

Biarkan $ f: R_ < ge 0> to R $ didefinisikan oleh $ f (x) = x ^ 2 $, di mana domain $ R _ < ge 0> $ adalah kumpulan nyata bukan negatif nombor. Adakah fungsi ini mempunyai fungsi terbalik? Sekiranya ada, cari $ f ^ <-1> $.

Penyelesaian: Dalam kes ini, kerana kami mengehadkan domain ke nombor nyata bukan negatif, setiap nilai input yang berbeza $ x ge 0 $ akan menghasilkan nilai output yang berbeza $ x ^ 2 $. Untuk fungsi ini $ f $, kita dapat mencari kebalikannya.

Tetapkan $ y = f (x) = x ^ 2 $. Untuk menyelesaikan $ x $ dari segi $ y $, kami hanya mengambil punca kuasa dua sisi, dan $ x = sqrt$. Fungsi terbalik ialah $ f ^ <-1> (y) = sqrt$.

Contoh 3

Biarkan $ f: R to R $ ditakrifkan oleh $ f (x) = 1 + 2x + 3x ^ 3 + 4x ^ 5 + 5x ^ 7 + 6x ^ 9 $. Cari $ f ^ <-1> $.

Penyelesaian: Fungsi $ f $ selalu meningkat semasa anda meningkatkan nilai inputnya $ x $, jadi tidak ada dua nilai $ x $ yang dapat menghasilkan nilai output yang sama $ f (x) $. Fungsi memang mempunyai fungsi songsang kita boleh menjalankan fungsinya mesin ke belakang tanpa masalah.

Namun, kami tidak bernasib baik ketika mencari formula untuk $ f ^ <-1> $. Walaupun kita tahu bahawa, dengan nilai tertentu $ y $, pasti ada satu nilai sebenar $ x $ yang memenuhi $ y = 1 + 2x + 3x ^ 3 + 4x ^ 5 + 5x ^ 7 + 6x ^ 9 $ , kita tidak dapat menyelesaikan persamaan itu secara analitis dengan harga $ x $ dari segi $ y $.

Fakta bahawa kita tidak dapat mencari formula untuk $ f ^ <-1> (y) $ tidak menjadikan fungsi tersebut kurang sah daripada fungsi terbalik yang lain. Ia adalah fungsi yang berkelakuan baik. Kami tidak mempunyai cara yang bagus untuk menuliskan fungsi seperti apa dari segi ekspresi yang serupa.


4.4: Teorema Fungsi Terbalik

Membuktikan bahawa Dua Fungsi adalah
Pembalikan antara satu sama lain
(halaman 7 dari 7)

Saya telah menunjukkan cara menggambar terbalik jika anda diberi graf, dan bagaimana mencari terbalik jika anda diberi formula. Tetapi andaikan anda diberi dua fungsi dan diberitahu untuk mengesahkan (untuk memeriksa) bahawa mereka adalah kebalikan antara satu sama lain. Bagaimana anda akan melakukannya? Pertama, anda perlu ambil perhatian bahawa melukis grafik bukanlah & quotproof & quot. Untuk menekankan bahawa gambar tidak bukti, arahan sering kali memberitahu anda untuk & quot; mengesahkan secara algebra & quot bahawa fungsinya terbalik. Bagaimana anda melakukannya?

Sekiranya anda berfikir kembali kepada definisi terbalik, intinya adalah bahawa ia terbalik dari apa yang anda mulakan dengannya membawa anda kembali ke tempat anda bermula. Sebagai contoh, jika titik (1, 3) berada pada grafik fungsi, maka titik (3, 1) berada pada grafik terbalik. Iaitu, jika anda bermula dengan x = 1, anda akan pergi ke y = 3 kemudian anda pasangkan ini ke sebaliknya, dan anda akan kembali ke x = 1, dari mana anda bermula.

  • Tentukan secara algebra sama ada f (x) = 3x 2 dan g(x) = (x + 2) /3 adalah kebalikan antara satu sama lain. Hak Cipta Elizabeth Stapel 2000-2011 Hak Cipta Terpelihara

Saya akan memasukkan formula untuk g(x) ke dalam setiap contoh & quot x & quot dalam formula untuk f (x) :

Sekarang saya akan memasukkan formula untuk f (x) ke dalam setiap contoh & quot x & quot dalam formula untuk g(x) :

Kedua-dua cara, saya berakhir dengan & quot x & quot, begitu f (x) dan g(x) adalah kebalikan antara satu sama lain.

  • Tentukan secara algebra sama ada f (x) = 3x 2 dan g(x) = ( 1 /3)x + 2 adalah kebalikan antara satu sama lain.

Saya akan memasukkan formula untuk g(x) ke dalam setiap contoh & quot x & quot dalam formula untuk f (x) :

Saya tidak berakhir dengan & quot x & quot, begitu f (x) dan g(x) bukan kebalikan antara satu sama lain.

Setelah anda menemui satu komposisi yang tidak berfungsi, anda akan selesai. Anda tidak perlu menunjukkan bahawa komposisi tidak berfungsi dengan cara yang lain.

Pemeriksaan teliti contoh terakhir ini di atas menunjukkan sesuatu yang boleh menimbulkan masalah bagi sebilangan pelajar. Sejak terbalik & quotundoes & quot apa pun fungsi asalnya x , naluri adalah untuk membuat & quotinverse & quot dengan menerapkan operasi terbalik. Dalam kes ini, sejak f (x) berlipat kali ganda x dengan 3 dan kemudian dikurangkan 2 dari hasilnya, naluri adalah untuk berfikir bahawa yang terbalik akan membahagi x dengan 3 dan kemudian untuk menambah 2 pada hasilnya. Tetapi seperti yang anda lihat di atas, ini tidak betul. Membandingkan contoh ini dengan contoh sebelumnya, anda dapat melihat bahawa operasi terbalik betul, tetapi mereka juga perlu diterapkan dalam urutan terbalik. Itulah, sejak f (x) didarab pertama x dengan 3 dan kemudian tolak dari 2, yang terbalik terlebih dahulu menambah 2 kembali, dan kemudian membahagikan 3 ke belakang.

  • Tentukan secara algebra sama ada f (x) = x 2, dan saling bertentangan antara satu sama lain.

Pertama, saya akan pasangkan g(x) ke dalam f (x) :

Sejak saya memulakan dengan memasang x ke dalam g(x), kemudian saya mulakan dengan bukan negatif x -menilai. Oleh kerana nilai mutlak dari sifar adalah sifar dan nilai mutlak bagi nombor positif itu sendiri, maka, dalam kes ini, saya dapat mempermudah | x | sebagai & quot; x & quot. Kemudian saya mempunyai ( f o g)(x) = x .

Dari mana bar nilai mutlak berasal? Akar kuadrat sesuatu kuadrat adalah definisi teknikal dari nilai mutlak: kuadrat nilai akan selalu positif, begitu juga akar kuadrat, jadi dengan mengambil akar kuadrat sesuatu kuadrat selalu mengembalikan positif dari nombor asal. Dalam kes ini, domain dari g(x) ditakrifkan sebagai tidak negatif, sehingga bar nilai mutlak dapat dijatuhkan di atas. Tetapi ini tidak selalu berlaku:

Nampak baik setakat ini. Sekarang saya akan pasangkan f (x) ke dalam g(x) :

Hmm. Sejak saya memulakan dengan memasang x ke dalam f (x), maka saya mulakan dengan nilai x . Khususnya, nilai x mungkin negatif. Oleh kerana saya tidak tahu sama ada x negatif atau positif, maka saya tidak dapat membuang bar nilai mutlak pada jawapan akhir, dan saya terjebak dengan jawapan & quot (g o f )(x) = | x | & quot. Jadi (g o f )(x) tidak memudahkan untuk x .

Jawapannya ialah: g(x) dan f (x) bukan kebalikan antara satu sama lain.

Inilah sebabnya mengapa anda perlu memeriksa kedua cara: kadang-kadang terdapat pertimbangan teknikal yang cerewet, biasanya melibatkan akar kuadrat, yang memaksa komposisi tidak berfungsi, kerana domain dan julat kedua fungsi tersebut tidak serasi. Dalam kes ini, sekiranya f (x) telah dibataskan kepada bukan negatif x , maka fungsi akan terbalik. Secara umum, walaupun, jika satu komposisi memberi anda & quot x & quot, maka yang lain juga, terutama jika anda tidak berurusan dengan domain terhad. Tetapi anda harus ingat untuk melakukan kedua-dua komposisi dalam ujian dan sebagainya, untuk mendapat penghargaan penuh.


Muat turun sekarang!

Kami telah memudahkan anda mencari Ebook PDF tanpa perlu digali. Dan dengan mempunyai akses ke ebook kami secara dalam talian atau dengan menyimpannya di komputer anda, anda mempunyai jawapan yang mudah dengan Teorema Fungsi Bukti Terbalik. Untuk mula mencari Teorema Bukti Fungsi Terbalik, anda betul-betul mencari laman web kami yang mempunyai koleksi manual yang lengkap.
Perpustakaan kami adalah yang terbesar di mana terdapat ratusan ribu produk yang berbeza.

Akhirnya saya mendapat ebook ini, terima kasih untuk semua Teorema Proof Of The Inverse Function yang saya dapat sekarang!

Saya tidak menyangka bahawa ini akan berjaya, sahabat saya menunjukkan laman web ini kepada saya, dan memang begitu! Saya mendapat eBook yang paling saya mahukan

adakah ebook hebat ini percuma ?!

Kawan-kawan saya sangat marah sehingga mereka tidak tahu bagaimana saya mempunyai semua ebook berkualiti tinggi yang tidak mereka miliki!

Sangat senang mendapatkan ebook berkualiti)

begitu banyak laman web palsu. ini adalah yang pertama berjaya! Terima kasih banyak

wtffff saya tidak faham ini!

Cukup pilih butang klik anda kemudian muat turun, dan lengkapkan tawaran untuk mula memuat turun ebook. Sekiranya terdapat tinjauan, hanya memerlukan 5 minit, cubalah sebarang tinjauan yang sesuai untuk anda.


Mencari Nilai Tepat Ungkapan yang Melibatkan Fungsi Sinus, Kosinus, dan Tangen Terbalik

Sekarang kita dapat mengenal pasti fungsi terbalik, kita akan belajar menilai mereka. Untuk kebanyakan nilai dalam domainnya, kita mesti menilai fungsi trigonometri terbalik dengan menggunakan kalkulator, interpolasi dari jadual, atau menggunakan beberapa teknik angka lain. Sama seperti yang kita lakukan dengan fungsi trigonometri yang asal, kita dapat memberikan nilai yang tepat untuk fungsi terbalik ketika kita menggunakan sudut khas, khususnya [lateks] frac < pi> <6> (30 ^ circ) text <, > frac < pi> <4> (45 ^ circ), text frac < pi> <3> (60 ^ circ) [/ latex], dan pantulannya ke kuadran lain.

Cara: Memandangkan nilai input "khas", nilaikan fungsi trigonometri terbalik.

  1. Cari sudut x yang mana fungsi trigonometri asal mempunyai output yang sama dengan input yang diberikan untuk fungsi trigonometri songsang.
  2. Sekiranya x tidak berada dalam julat terbalik yang ditentukan, cari sudut lain y yang berada dalam julat yang ditentukan dan mempunyai sinus, kosinus, atau tangen yang sama dengan x, bergantung pada yang sesuai dengan fungsi terbalik yang diberikan.

Contoh 2: Menilai Fungsi Trigonometri Terbalik untuk Nilai Input Khas

Nilaikan setiap perkara berikut.

a. Menilai [lateks] sin ^ <−1> ( frac <1> <2>) [/ lateks] sama dengan menentukan sudut yang akan mempunyai nilai sinus dari [lateks] frac <1> <2> [/ susu getah]. Dengan kata lain, sudut apa x akan memuaskan [lateks] sin (x) = frac <1> <2> [/ lateks]? Terdapat beberapa nilai yang dapat memuaskan hubungan ini, seperti [latex] frac < pi> <6> [/ latex] dan [latex] frac <5 pi> <6> [/ latex], tetapi kita tahu kita memerlukan sudut dalam selang [latex] kiri [- frac < pi> <2> text <,> frac < pi> <2> kanan] [/ lateks], jadi jawapannya adalah [lateks] sin ^ <−1> ( frac <1> <2>) = frac < pi> <6> [/ lateks]. Ingat bahawa kebalikannya adalah fungsi, jadi untuk setiap input, kita akan mendapat satu output.

b. Untuk menilai [lateks] sin ^ <−1> kiri (- frac < sqrt <2>> <2> kanan) [/ lateks], kita tahu bahawa [lateks] frac <5 pi> < 4> [/ latex] dan [latex] frac <7 pi> <4> [/ latex] kedua-duanya mempunyai nilai sinus [latex] - frac < sqrt <2>> <2> [/ latex] , tetapi kedua-duanya tidak berada dalam selang [latex] left [- frac < pi> <2> text <,> frac < pi> <2> kanan] [/ lateks]. Untuk itu, kita memerlukan coterminal sudut negatif dengan [latex] frac <7 pi> <4>: sin ^ <−1> kiri (- frac < sqrt <2>> <2> kanan) = - frac < pi> <4> [/ lateks].

c. Untuk menilai [lateks] cos ^ <−1> kiri (- frac < sqrt <3>> <2> kanan) [/ lateks], kami mencari sudut dalam selang [0, π] dengan nilai kosinus [lateks] - frac < sqrt <3>> <2> [/ lateks]. Sudut yang memenuhi ini adalah [lateks] cos ^ <−1> kiri (- frac < sqrt <3>> <2> kanan) = frac <5 pi> <6> [/ lateks] .

d. Dengan menilai [latex] tan ^ <−1> (1) [/ latex], kami mencari sudut dalam selang [latex] (- frac < pi> <2> text <,> frac < pi> <2>) [/ lateks] dengan nilai tangen 1. Sudut yang betul ialah [lateks] tan ^ <−1> (1) = frac < pi> <4> [/ lateks].

Cuba ia

Nilaikan setiap perkara berikut.

Cuba ia


AP Calculus BC - A. Tennyson

Pelajar, klik di sini untuk senarai semua pautan Zoom penasihat guru BNHS! Penasihat bertemu setiap hari Isnin dan Jumaat 9: 30-10!

Buka semua Tutup semua

Arahan: Mengklik pada nama bahagian akan menunjukkan / menyembunyikan bahagian tersebut.

Pengenalan Kursus / Kalendar / Ulasan Unit

Northwest ISD tidak bertanggungjawab untuk kandungan di laman web atau perkhidmatan luaran.

Kalkulus BC

Unit 1 Had dan Kesinambungan

Catatan Kelas (anda boleh memilih versi video atau mp4 dari setiap topik)

  • Anda tergolong dalam Tempoh ke-2
  • Ia sebelum ini 22 September 2020, 6:15 PTG

Derivatif Unit 2

Catatan Kelas (anda boleh memilih versi video atau mp4 dari setiap topik)

Peraturan Rantai Unit 3, Implisit, Kadar Berkaitan

Catatan Kelas (anda boleh memilih versi video atau mp4 dari setiap topik)

Unit 4 Derivatif Fungsi Transendental

Unit 5 Aplikasi Derivatif

Catatan Kelas (anda boleh memilih versi video atau mp4 dari setiap topik)

Kawasan dan Integrasi Unit 6

Unit 7 penggantian u

Unit 8 Persamaan Pembezaan

Kawasan dan Isipadu Unit 9

Unit 10 -Perpaduan mengikut Bahagian, Peraturan L'Hopital, Integral Tidak Betul

Unit 11- Ujian Siri

Unit 12- Polinomial Taylor

Unit 13- Vektor dan Kutub

Ulasan Ujian AP

Puan Tennyson


Amie Tennyson
[email protected]
817-698-5659

Tutorial Kalkulus BC:
Selasa & Khamis 4-4: 30


Bagaimana & ldquoglobalize & rdquo theorem function invers?

Biarkan $ F: V times W rightarrow Z $, di mana $ V, W, Z $ adalah manifold halus (atau analitik) dimensi hingga dan $ F $ lancar (atau analitik). Andaikan bahawa $ dim W = dim Z $ dan teorema fungsi songsang biasa berlaku apabila kita membetulkan argumen pertama $ F $, jadi secara tempatan kita mempunyai pembalikan (dengan argumen kedua $ F $) pemetaan $ f: V kali Z rightarrow W $ sehingga untuk $ v, w, z $ dari kawasan kecil yang dipilih dengan tepat, kita mempunyai $ F (v, f (v, z)) equiv z $ dan $ f $ lancar (atau analitik ). Inilah persoalannya:

Apakah ada cara yang masuk akal untuk menyatukan $ f $ ini sehingga kita dapat membicarakannya secara global, dan dalam keadaan apa?

Lebih tepatnya, adakah cara untuk menangani keadaan ini & kuota jika & quot $ f $ didefinisikan secara global, tanpa melakukan & membatasi diri kita untuk memilih kawasan kecil yang sesuai & quot sepanjang masa, walaupun kita membenarkan orang Jacobian $ F $ w.r.t. $ w $ untuk lenyap pada beberapa titik atau bahkan pada beberapa submanifold $ V kali W $ dari kod dimensi bukan sifar?

Saya tidak menjangkakan bahawa (dalam keadaan yang cukup ringan) seseorang dapat membina $ f $ global yang ditentukan secara keseluruhan $ Q = Z kali V / Sing $ di mana $ Sing = lbrace (v, z) in V kali Z | f quad mbox rbrace $ tapi mungkin ada yang dapat seumpamanya $ f $ pada $ Q $ atau seumpamanya? Saya baru memulakan pembelajaran teori sheaf, jadi saya belum tahu bagaimana membuat sesuatu berfungsi sendiri.

Walaupun dalam aplikasi tertentu saya ingin $ V $ menjadi manifold, jika ini memudahkan, saya boleh buat dengan $ W $ dan $ Z $ hanya domain terbuka di $ mathbb^ n $ atau $ mathbb^ n $ (atau keseluruhan $ mathbb^ n $ atau $ mathbb^ n $ untuk perkara itu) itulah sebab utama mengapa saya menulis domain $ F $ sebagai $ V kali W $ dan bukan hanya beberapa manifold umum $ M $.

Sebenarnya, saya cukup yakin bahawa perkara seperti itu semestinya diperlakukan dalam kesusasteraan tetapi setakat ini saya tidak dapat mengemas kini perkara yang munasabah (mungkin saya tidak tahu kata kunci yang betul), jadi menunjukkan rujukan amat dialu-alukan.


Tonton videonya: 2015-01-27. Обратная матрица 2х2 (Oktober 2021).