Artikel

11.7: Fungsi Kuadratik Graf Menggunakan Sifat - Matematik


Objektif Pembelajaran

Pada akhir bahagian ini, anda dapat:

  • Kenali grafik fungsi kuadratik
  • Cari paksi simetri dan bucu parabola
  • Cari pintasan parabola
  • Grafkan fungsi kuadratik menggunakan sifat
  • Selesaikan aplikasi maksimum dan minimum

Sebelum anda memulakan, ikuti kuiz kesediaan ini.

  1. Grafkan fungsi (f (x) = x ^ {2} ) dengan merancang titik.
    Sekiranya anda terlepas masalah ini, tinjau Contoh 3.54.
  2. Selesaikan: (2 x ^ {2} +3 x-2 = 0 ).
    Sekiranya anda terlepas masalah ini, tinjau Contoh 6.45.
  3. Nilaikan (- frac {b} {2 a} ) ketika (a = 3 ) dan (b = -6 ).
    Sekiranya anda terlepas masalah ini, tinjau Contoh 1.21.

Kenali Graf Fungsi Kuadratik

Sebelum ini kami melihat sekilas fungsi (f (x) = x ^ {2} ), yang kami namakan fungsi segiempat sama. Ini adalah salah satu fungsi bukan linier pertama yang kita lihat. Sekarang kita akan grafik fungsi bentuk (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ) jika (a neq 0 ). Kami memanggil fungsi seperti ini sebagai fungsi kuadratik.

Definisi ( PageIndex {1} )

A fungsi kuadratik, di mana (a, b ), dan (c ) adalah nombor nyata dan (a ≠ 0 ), adalah fungsi bentuk

(f (x) = a x ^ {2} + b x + c )

Kami membuat grafik fungsi kuadratik (f (x) = x ^ {2} ) dengan merancang titik.

Setiap fungsi kuadratik mempunyai grafik yang kelihatan seperti ini. Kami memanggil angka ini sebagai parabola. Mari kita praktikkan grafik parabola dengan membuat beberapa titik.

Contoh ( PageIndex {1} )

Grafik: (f (x) = x ^ {2} -1 ).

Penyelesaian:

Kami akan membuat grafik fungsi dengan memetakan titik.

Pilih nilai integer untuk (x ),
gantikannya ke dalam persamaan
dan permudahkan untuk mencari (f (x) ).
Catat nilai pasangan tertib dalam carta.

Petak titik, dan kemudian sambungkan
mereka dengan lekukan halus. The
hasilnya akan menjadi graf bagi
fungsi (f (x) = x ^ {2} -1 ).

Latihan ( PageIndex {1} )

Grafik (f (x) = - x ^ {2} ).

Jawapan

Latihan ( PageIndex {2} )

Grafik (f (x) = x ^ {2} +1 ).

Jawapan

Semua graf fungsi kuadratik bentuk (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ) adalah parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah. Lihat Rajah 9.6.6

Perhatikan bahawa satu-satunya perbezaan dalam dua fungsi adalah tanda negatif sebelum istilah kuadratik ( (x ^ {2} ) dalam persamaan grafik di Rajah 9.6.6). Apabila istilah kuadratik, positif, parabola terbuka ke atas, dan ketika istilah kuadratik negatif, parabola terbuka ke bawah.

Definisi ( PageIndex {2} )

Orientasi Parabola

Untuk graf fungsi kuadratik (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ), jika

Contoh ( PageIndex {2} )

Tentukan sama ada setiap parabola terbuka ke atas atau ke bawah:

  1. (f (x) = - 3 x ^ {2} +2 x-4 )
  2. (f (x) = 6 x ^ {2} +7 x-9 )

Penyelesaian:

a. Cari nilai (a ).

Oleh kerana (a ) negatif, parabola akan terbuka ke bawah.

b. Cari nilai (a ).

Oleh kerana (a ) positif, parabola akan terbuka ke atas.

Latihan ( PageIndex {3} )

Tentukan sama ada grafik setiap fungsi adalah parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah:

  1. (f (x) = 2 x ^ {2} +5 x-2 )
  2. (f (x) = - 3 x ^ {2} -4 x + 7 )
Jawapan
  1. naik
  2. turun

Latihan ( PageIndex {4} )

Tentukan sama ada grafik setiap fungsi adalah parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah:

  1. (f (x) = - 2 x ^ {2} -2 x-3 )
  2. (f (x) = 5 x ^ {2} -2 x-1 )
Jawapan
  1. turun
  2. naik

Cari Paksi Simetri dan Verteks Parabola

Lihat lagi di Rajah 9.6.10. Adakah anda melihat bahawa kita dapat melipat setiap parabola menjadi dua dan kemudian satu sisi akan terletak di atas yang lain? ‘Garis lipat’ adalah garis simetri. Kami memanggilnya sebagai paksi simetri parabola.

Kami menunjukkan dua graf yang sama sekali lagi dengan paksi simetri.

Persamaan paksi simetri dapat dihasilkan dengan menggunakan Formula Kuadratik. Kami akan menghilangkan derivasi di sini dan terus menggunakan hasilnya. Persamaan paksi simetri graf (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ) ialah (x = - frac {b} {2 a} ).

Oleh itu, untuk mencari persamaan simetri setiap parabola yang telah kita lukiskan di atas, kita akan menggantikan formula (x = - frac {b} {2 a} ).

Perhatikan bahawa ini adalah persamaan garis biru putus-putus pada grafik.

Titik pada parabola yang paling rendah (parabola terbuka ke atas), atau yang paling tinggi (parabola terbuka ke bawah), terletak pada paksi simetri. Titik ini dipanggil bucu parabola.

Kita dapat dengan mudah mencari koordinat bucu, kerana kita tahu ia berada pada paksi simetri. Ini bermaksud
(x ) - koordinat adalah (- frac {b} {2 a} ). Untuk mencari (y ) - koordinat bucu kita menggantikan nilai (x ) - koordinat ke dalam fungsi kuadratik.

Paksi Simetri dan Verteks Parabola

Graf fungsi (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ) adalah parabola di mana:

  • paksi simetri ialah garis menegak (x = - frac {b} {2 a} ).
  • bucu adalah titik pada paksi simetri, jadi koordinatnya (x ) - (- frac {b} {2 a} )
  • koordinat bucu (y ) - dijumpai dengan menggantikan (x = - frac {b} {2 a} ) ke dalam persamaan kuadratik.

Contoh ( PageIndex {3} )

Untuk graf (f (x) = 3 x ^ {2} -6 x + 2 ) cari:

  1. paksi simetri
  2. bucu

Penyelesaian:

a.

Paksi simetri ialah garis menegak (x = - frac {b} {2 a} ).
Gantikan nilai (a, b ) ke dalam persamaan. (x = - frac {-6} {2 cdot 3} )
Permudahkan. (x = 1 )
Paksi simetri ialah garis (x = 1 ).

b.

Latihan ( PageIndex {5} )

Untuk graf (f (x) = 2 x ^ {2} -8 x + 1 ) cari:

  1. paksi simetri
  2. bucu
Jawapan
  1. (x = 2 )
  2. ((2,-7))

Latihan ( PageIndex {6} )

Untuk graf (f (x) = 2 x ^ {2} -4 x-3 ) cari:

  1. paksi simetri
  2. bucu
Jawapan
  1. (x = 1 )
  2. ((1,-5))

Cari Pintas Parabola

Semasa kami membuat graf persamaan linear, kami sering menggunakan pintasan (x ) - dan (y ) - untuk membantu kami membuat garis garis. Mencari koordinat pintasan akan membantu kita membuat grafik parabola juga.

Ingat, di (y ) - pintasan nilai (x ) adalah sifar. Oleh itu, untuk mencari pintasan (y ), kita menggantikan (x = 0 ) ke dalam fungsi.

Mari kita cari (y ) - pintasan dari dua parabola yang ditunjukkan dalam Rajah 9.6.20.

Hasil (x ) - pintasan apabila nilai (f (x) ) adalah sifar. Untuk mencari pintasan (x ), kita membiarkan (f (x) = 0 ). Dengan kata lain, kita perlu menyelesaikan persamaan (0 = a x ^ {2} + b x + c ) untuk (x ).

( start {aligned} f (x) & = a x ^ {2} + b x + c 0 & = a x ^ {2} + b x + c end {sejajar} )

Menyelesaikan persamaan kuadratik seperti ini adalah apa yang telah kita lakukan lebih awal dalam bab ini!

Kita sekarang dapat menemui pintasan (x ) - dua parabola yang kita lihat. Mula-mula kita akan menemui (x ) - pintasan parabola yang fungsinya adalah (f (x) = x ^ {2} +4 x + 3 ).

(f (x) = x ^ {2} +4 x + 3 )
Biarkan (f (x) = 0 ). ( color {red} 0 color {black} = x ^ {2} +4 x + 3 )
Faktor. (0 = (x + 1) (x + 3) )
Gunakan Harta Produk Sifar. (x + 1 = 0 quad x + 3 = 0 )
Selesaikan.
Pintas (x ) - pintasan adalah ((- 1,0) ) dan ((- 3,0) ).

Sekarang kita akan menemui (x ) - pintasan parabola yang fungsinya adalah (f (x) = - x ^ {2} +4 x + 3 ).

(f (x) = - x ^ {2} +4 x + 3 )
Biarkan (f (x) = 0 ). ( color {red} 0 color {black} = - x ^ {2} +4 x + 3 )
Kuadratik ini tidak memfaktorkan, jadi kami menggunakan Formula Kuadratik.
(a = -1, b = 4, c = 3 )
Permudahkan.
(x = frac {-2 (2 pm sqrt {7})} {- 2} )
(x = 2 pm sqrt {7} )
Pintas (x ) - pintasan adalah ((2+ sqrt {7}, 0) ) dan ((2- sqrt {7}, 0) ).

Kami akan menggunakan perkiraan perpuluhan pintasan (x ), supaya kami dapat mencari titik-titik ini pada grafik,

((2+ sqrt {7}, 0) lebih kurang (4,6,0) quad (2- sqrt {7}, 0) lebih kurang (-0,6,0) )

Adakah hasil ini sesuai dengan grafik kami? Lihat Rajah 9.6.34

Cari Pintas Parabola

Untuk mencari pintasan parabola yang fungsinya adalah (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ):

(y ) - memintas

Biarkan (x = 0 ) dan selesaikan (f (x) ).

(x ) - pintasan

Biarkan (f (x) = 0 ) dan selesaikan untuk (x )

Contoh ( PageIndex {4} )

Cari pintasan parabola yang fungsinya adalah (f (x) = x ^ {2} -2 x-8 ).

Penyelesaian:

Untuk mencari (y ) - pintasan, biarkan (x = 0 ) dan selesaikan (f (x) ).
(f (0) = - 8 )
Apabila (x = 0 ), maka (f (0) = - 8 ). Pintas (y ) - titik adalah titik ((0, -8) ).
Untuk mencari (x ) - pintasan, biarkan (f (x) = 0 ) dan selesaikan (x ).
Selesaikan dengan pemfaktoran. (0 = (x-4) (x + 2) )
(4 = x quad-2 = x )
Apabila (f (x) = 0 ), maka (x = 4 ) atau (x = -2 ). Pintas (x ) - pintasan adalah titik ((4,0) ) dan ((- 2,0) ).

Latihan ( PageIndex {7} )

Cari pintasan parabola yang fungsinya adalah (f (x) = x ^ {2} +2 x-8 ).

Jawapan

(y ) -intercept: ((0, -8) x ) -intercepts ((- 4,0), (2,0) )

Latihan ( PageIndex {8} )

Cari pintasan parabola yang fungsinya adalah (f (x) = x ^ {2} -4 x-12 ).

Jawapan

(y ) -intercept: ((0, -12) x ) -intercepts ((- 2,0), (6,0) )

Dalam bab ini, kita telah menyelesaikan persamaan kuadratik bentuk (a x ^ {2} + b x + c = 0 ). Kami menyelesaikan untuk (x ) dan hasilnya adalah penyelesaian untuk persamaan.

Kami sekarang melihat fungsi kuadratik bentuk (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ). Grafik fungsi ini adalah parabola. The (x )-pintasan parabola berlaku di mana (f (x) = 0 ).

Sebagai contoh:

Persamaan kuadratik

Fungsi kuadratik

Penyelesaian fungsi kuadratik adalah nilai (x ) dari (x )-memintas.

Sebelumnya, kita melihat bahawa persamaan kuadratik mempunyai penyelesaian (2, 1 ), atau (0 ). Grafik di bawah menunjukkan contoh parabola untuk ketiga kes ini. Oleh kerana penyelesaian fungsi memberikan (x ) - pintasan grafik, bilangan (x ) - pintasan adalah sama dengan bilangan penyelesaian.

Sebelum ini, kami menggunakan diskriminasi untuk menentukan bilangan penyelesaian fungsi kuadratik bentuk (a x ^ {2} + b x + c = 0 ). Sekarang kita boleh menggunakan diskriminan untuk memberitahu kita berapa banyak (x ) - pintasan yang terdapat pada grafik.

Sebelum anda menemui nilai pintasan (x ) - anda mungkin ingin menilai diskriminasi sehingga anda tahu berapa banyak penyelesaian yang diharapkan.

Contoh ( PageIndex {5} )

Cari pintasan parabola untuk fungsi (f (x) = 5 x ^ {2} + x + 4 ).

Penyelesaian:

Untuk mencari (y ) - pintasan, biarkan (x = 0 ) dan selesaikan (f (x) ).
Apabila (x = 0 ), maka (f (0) = 4 ). Pintas (y ) - titik adalah titik ((0,4) ).
Untuk mencari (x ) - pintasan, biarkan (f (x) = 0 ) dan selesaikan (x ).
Cari nilai diskriminan untuk meramalkan bilangan penyelesaian yang juga bilangan (x ) - pintasan.

Oleh kerana nilai diskriminasi adalah negatif, tidak ada penyelesaian sebenar untuk persamaan tersebut.

Tidak ada (x ) - pintasan.

Latihan ( PageIndex {9} )

Cari pintasan parabola yang fungsinya adalah (f (x) = 3 x ^ {2} +4 x + 4 ).

Jawapan

(y ) - pintasan: ((0,4) ) tidak (x ) - pintasan

Latihan ( PageIndex {10} )

Cari pintasan parabola yang fungsinya adalah (f (x) = x ^ {2} -4 x-5 )

Jawapan

(y ) - pintasan: ((0, -5) ) (x ) - pintasan ((- 1,0), (5,0) )

Grafik Fungsi Kuadratik Menggunakan Sifat

Sekarang kita mempunyai semua bahagian yang kita perlukan untuk membuat grafik fungsi kuadratik. Kita hanya perlu menyatukannya. Dalam contoh seterusnya kita akan melihat bagaimana melakukan ini.

Contoh ( PageIndex {6} ) Cara Membuat Grafik Fungsi Kuadratik Menggunakan Sifat

Grafik (f (x) = x ^ {2} -6x + 8 ) dengan menggunakan sifatnya.

Penyelesaian:

Langkah 1: Tentukan sama ada parabola terbuka ke atas atau ke bawah.

Lihat (a ) dalam persamaan (f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )

Oleh kerana (a ) positif, parabola terbuka ke atas.

(f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )

( warna {merah} {a = 1, b = -6, c = 8} )

Parabola terbuka ke atas.

Langkah 2: Cari paksi simetri.

(f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )

Paksi simetri ialah garis (x = - frac {b} {2 a} ).

Paksi Simetri

(x = - frac {b} {2 a} )

(x = - frac {(- 6)} {2 cdot 1} )

(x = 3 )

Paksi simetri ialah garis (x = 3 ).

Langkah 3: Cari bucu.Bucu berada pada paksi simetri. Ganti (x = 3 ) ke dalam fungsi.

Verteks

(f (x) = x ^ {2} -6x + 8 )

(f (3) = ( color {red} {3} color {black} {)} ^ {2} -6 ( color {red} {3} color {black} {)} + 8 )

(f (3) = - 1 )

Bucu adalah ((3, -1) ).

Langkah 4: Cari pintasan (y ). Cari titik simetri ke (y ) - pintasan melintasi paksi simetri.

Kami dapati (f (0) ).

Kami menggunakan paksi simetri untuk mencari titik simetri ke pintasan (y ). (Y ) - pintasan terletak di sebelah kiri (3 ) unit paksi simetri, (x = 3 ). Titik (3 ) unit di sebelah kanan paksi simetri mempunyai (x = 6 ).

(y ) - memintas

(f (0) = ( color {red} {0} color {black} {)} ^ {2} -6 ( color {red} {0} color {black} {)} + 8 )

(f (0) = 8 )

Pintas (y ) - pintasan adalah ((0,8) ).

Titik simetri ke (y ) - pintasan:

Intinya ialah ((6,8) ).

Langkah 5: Cari pintasan (x ) -. Cari mata tambahan jika diperlukan.

Kami menyelesaikan (f (x) = 0 ).

Kita dapat menyelesaikan persamaan kuadratik ini dengan memfaktorkan.

(x ) - pintasan

( color {red} {0} color {black} {=} x ^ {2} -6x + 8 )

( color {red} {0} color {black} {=} (x-2) (x-4) )

(x = 2 atau x = 4 )

Pintas (x ) - pintasan adalah ((2,0) ) dan ((4,0) ).

Langkah 6: Grafkan parabola.Kami membuat graf titik, pintasan, dan titik simetri ke pintasan (y ). Kami menghubungkan titik-titik (5 ) ini untuk membuat lakaran parabola.

Latihan ( PageIndex {11} )

Grafik (f (x) = x ^ {2} + 2x-8 ) dengan menggunakan sifatnya.

Jawapan

Latihan ( PageIndex {12} )

Grafik (f (x) = x ^ {2} -8x + 12 ) dengan menggunakan sifatnya.

Jawapan

Kami menyenaraikan langkah-langkah yang perlu diambil untuk membuat grafik fungsi kuadratik di sini.

Untuk Merangka Fungsi Kuadratik Menggunakan Sifat

  1. Tentukan sama ada parabola terbuka ke atas atau ke bawah.
  2. Cari persamaan paksi simetri.
  3. Cari bucu.
  4. Cari pintasan (y ). Cari titik simetri ke (y ) - pintasan melintasi paksi simetri.
  5. Cari pintasan (x ) -. Cari mata tambahan jika diperlukan.
  6. Grafkan parabola.

Kami dapat menemui pintasan (x ) dalam contoh terakhir dengan memfaktorkan. Kami menjumpai (x ) - pintasan dalam contoh seterusnya dengan memfaktorkan juga.

Latihan ( PageIndex {13} )

Grafik (f (x) = 3 x ^ {2} +12 x-12 ) dengan menggunakan sifatnya.

Jawapan

Latihan ( PageIndex {14} )

Graf (f (x) = 4 x ^ {2} +24 x + 36 ) dengan menggunakan sifatnya.

Jawapan

Untuk graf (f (x) = - x ^ {2} +6 x-9 ), puncak dan pintasan (x ) - adalah titik yang sama. Ingat bagaimana diskriminan menentukan bilangan penyelesaian persamaan kuadratik? Pembezaan persamaan (0 = -x ^ {2} + 6x-9 ) adalah (0 ), jadi hanya ada satu penyelesaian. Itu bermaksud hanya ada satu (x ) - pintasan, dan itu adalah puncak parabola.

Berapa banyak pintasan (x ) yang anda harapkan dapat dilihat pada grafik (f (x) = x ^ {2} +4 x + 5 )?

Latihan ( PageIndex {15} )

Grafik (f (x) = x ^ {2} -2 x + 3 ) dengan menggunakan sifatnya.

Jawapan

Latihan ( PageIndex {16} )

Grafik (f (x) = - 3x ^ {2} -6 x-4 ) dengan menggunakan sifatnya.

Jawapan

Mencari (y ) - pintasan dengan mencari (f (0) ) itu mudah, bukan? Kadang-kadang kita perlu menggunakan Formula Kuadratik untuk mencari (x ) - pintasan.

Contoh ( PageIndex {9} )

Grafik (f (x) = 2 x ^ {2} -4 x-3 ) dengan menggunakan sifatnya.

Penyelesaian:

Oleh kerana (a ) adalah (2 ), parabola terbuka ke atas.

Untuk mencari persamaan paksi simetri, gunakan (x = - frac {b} {2 a} ). (x = - frac {b} {2 a} )
(x = - frac {-4} {2 cdot 2} )
(x = 1 )
Persamaan paksi simetri ialah (x = 1 ).
Bucu berada di garisan (x = 1 ).
Cari (f (1) ).
(f (1) = 2-4-3 )
( f (1) = - 5)
Bucu adalah ((1, -5) ).
Pintas (y ) - berlaku apabila (x = 0 ).
Cari (f (0) ).
Permudahkan. (f (0) = - 3 )
Pintas (y ) - pintasan adalah ((0, -3) ).
Titik ((0, -3) ) adalah satu unit di sebelah kiri garis simetri.Titik simetri ke (y ) - pintasan adalah ((2, -3) )
Titik satu unit di sebelah kanan garis simetri adalah ((2,3) ).
Pintas (x ) - berlaku apabila (y = 0 ).
Cari (f (x) = 0 ).
Gunakan Formula Kuadratik.
Ganti dengan nilai (a, b ) dan (c ). (x = frac {- (- 4) pm sqrt {(- 4) ^ {2} -4 (2) (3)}} {2 (2)} )
Permudahkan.
Permudahkan di dalam radikal. (x = frac {4 pm sqrt {40}} {4} )
Permudahkan radikal. (x = frac {4 pm 2 sqrt {10}} {4} )
Faktor GCF. (x = frac {2 (2 pm sqrt {10})} {4} )
Keluarkan faktor biasa. (x = frac {2 pm sqrt {10}} {2} )
Tulis sebagai dua persamaan. (x = frac {2+ sqrt {10}} {2}, quad x = frac {2- sqrt {10}} {2} )
Mengira nilai. (x kira-kira 2,5, quad x lebih kurang-0,6 )
Nilai anggaran bagi pintasan (x ) - ((2.5,0) ) dan ((- 0.6,0) ).
Grafkan parabola menggunakan titik yang dijumpai.

Latihan ( PageIndex {17} )

Grafik (f (x) = 5 x ^ {2} +10 x + 3 ) dengan menggunakan sifatnya.

Jawapan

Latihan ( PageIndex {18} )

Grafik (f (x) = - 3 x ^ {2} -6 x + 5 ) dengan menggunakan sifatnya.

Jawapan

Selesaikan Aplikasi Maksimum dan Minimum

Mengetahui bahawa bucu parabola adalah titik terendah atau tertinggi parabola memberi kita cara mudah untuk menentukan nilai minimum atau maksimum fungsi kuadratik. The y-kordinat bucu adalah minimum nilai parabola yang terbuka ke atas. Ia adalah maksimum nilai parabola yang terbuka ke bawah. Lihat Rajah 9.6.124.

Nilai Minimum atau Maksimum Fungsi Kuadratik

The y-kordinat bucu graf fungsi kuadratik ialah

  • minimum nilai persamaan kuadratik jika parabola dibuka ke atas.
  • maksimum nilai persamaan kuadratik jika parabola dibuka ke bawah.

Contoh ( PageIndex {10} )

Cari nilai minimum atau maksimum fungsi kuadratik (f (x) = x ^ {2} +2 x-8 ).

Penyelesaian:

(f (x) = x ^ {2} +2 x-8 )
Oleh kerana (a ) positif, parabola terbuka ke atas. Persamaan kuadratik mempunyai minimum.
Cari persamaan paksi simetri. (x = - frac {b} {2 a} )
(x = - frac {2} {2 kali 1} )
(x = -1 )
Persamaan paksi simetri ialah (x = -1 ).
Bucu berada di garisan (x = -1 ). (f (x) = x ^ {2} +2 x-8 )
Cari (f (-1) ).
(f (-1) = 1-2-8 )
(f (-1) = - 9 )
Bucu adalah ((- 1, -9) ).
Oleh kerana parabola mempunyai minimum, koordinat bucu (y ) adalah nilai minimum ((y ) - nilai persamaan kuadratik. Nilai minimum kuadratik adalah (- 9 ) dan ia berlaku apabila (x = -1 ).

Tunjukkan grafik untuk mengesahkan hasilnya.

Latihan ( PageIndex {19} )

Cari nilai maksimum atau minimum fungsi kuadratik (f (x) = x ^ {2} -8 x + 12 ).

Jawapan

Nilai minimum fungsi kuadratik adalah (- 4 ) dan ia berlaku apabila (x = 4 ).

Latihan ( PageIndex {20} )

Cari nilai maksimum atau minimum fungsi kuadratik (f (x) = - 4 x ^ {2} +16 x-11 ).

Jawapan

Nilai maksimum fungsi kuadratik adalah (5 ) dan ia berlaku apabila (x = 2 ).

Kami telah menggunakan formula

untuk mengira ketinggian dalam kaki, (h ), objek yang ditembak ke atas ke udara dengan halaju awal, (v_ {0} ), setelah (t ) saat.

Rumus ini adalah fungsi kuadratik, jadi grafiknya adalah parabola. Dengan menyelesaikan koordinat bucu ((t, h) ), kita dapat mengetahui berapa lama objek tersebut akan mencapai ketinggian maksimumnya. Kemudian kita dapat mengira ketinggian maksimum.

Contoh ( PageIndex {11} )

Persamaan kuadratik (h (t) = - 16 t ^ {2} +176 t + 4 ) memodelkan ketinggian bola tampar yang dipukul lurus ke atas dengan halaju (176 ) kaki sesaat dari ketinggian (4 ) kaki.

  1. Berapa saat diperlukan bola tampar untuk mencapai ketinggian maksimum?
  2. Cari ketinggian maksimum bola tampar.

Penyelesaian:

Oleh kerana (a ) negatif, parabola terbuka ke bawah. Fungsi kuadratik mempunyai maksimum.

a. Cari persamaan paksi simetri.

( begin {array} {l} {t = - frac {b} {2 a}} {t = - frac {176} {2 (-16)}} {t = 5.5} end {array} )

Persamaan paksi simetri ialah (t = 5.5 ).

Bucu berada di garisan (t = 5.5 ).

Maksimum berlaku apabila (t = 5.5 ) saat.

b. Cari (h (5.5) ).

Gunakan kalkulator untuk memudahkan.

(h (t) = 488 )

Bucu adalah ((5.5,488) ).

Oleh kerana parabola mempunyai maksimum, koordinat (h ) dari bucu adalah nilai maksimum fungsi kuadratik.

Nilai maksimum kuadratik adalah (488 ) kaki dan ia berlaku ketika (t = 5.5 ) saat.

Selepas (5.5 ) saat, bola tampar akan mencapai ketinggian maksimum (488 ) kaki.

Latihan ( PageIndex {21} )

Selesaikan, bulatkan jawapan kepada kesepuluh terdekat.

Fungsi kuadratik (h (t) = - 16 t ^ {2} +128 t + 32 ) digunakan untuk mencari ketinggian batu yang dilemparkan ke atas dari ketinggian (32 ) kaki dengan laju (128 ) kaki / saat. Berapa lama masa yang diperlukan batu untuk mencapai ketinggian maksimumnya? Berapakah ketinggian maksimum?

Jawapan

Batu akan memerlukan (4 ) saat untuk mencapai ketinggian maksimum (288 ) kaki.

Latihan ( PageIndex {22} )

Jalur roket mainan yang dilemparkan ke atas dari tanah dengan laju (208 ) kaki / saat dimodelkan oleh fungsi kuadratik (h (t) = - 16 t ^ {2} +208 t ). Bilakah roket akan mencapai ketinggian maksimumnya? Berapakah ketinggian maksimum?

Jawapan

Roket akan mengambil masa (6.5 ) saat untuk mencapai ketinggian maksimum (676 ) kaki.

Konsep kunci

  • Orientasi Parabola
    • Untuk graf fungsi kuadratik (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ), jika
      • (a> 0 ), parabola terbuka ke atas.
      • (a <0 ), parabola terbuka ke bawah.
  • Paksi Simetri dan Verteks Parabola Graf fungsi (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ) adalah parabola di mana:
    • paksi simetri ialah garis menegak (x = - frac {b} {2 a} ).
    • bucu adalah titik pada paksi simetri, jadi koordinatnya (x ) - (- frac {b} {2 a} ).
    • koordinat bucu (y ) - dijumpai dengan menggantikan (x = - frac {b} {2 a} ) ke dalam persamaan kuadratik.
  • Cari Pintas Parabola
    • Untuk mencari pintasan parabola yang fungsinya adalah (f (x) = a x ^ {2} + b x + c ):
      • (y ) - memintas
        • Biarkan (x = 0 ) dan selesaikan (f (x) ).
      • (x ) - pintasan
        • Biarkan (f (x) = 0 ) dan selesaikan (x ).
  • Cara membuat grafik fungsi kuadratik menggunakan sifat.
    1. Tentukan sama ada parabola terbuka ke atas atau ke bawah.
    2. Cari persamaan paksi simetri.
    3. Cari bucu.
    4. Cari pintasan (y ). Cari titik simetri ke y-pintaran merentasi paksi simetri.
    5. Cari pintasan (x ) -. Cari mata tambahan jika diperlukan.
    6. Grafkan parabola.
  • Nilai Minimum atau Maksimum Persamaan Kuadratik
    • The (y ) - koordinat bucu graf persamaan kuadratik adalah
    • minimum nilai persamaan kuadratik jika parabola dibuka ke atas.
    • maksimum nilai persamaan kuadratik jika parabola dibuka ke bawah.

Glosari

fungsi kuadratik
Fungsi kuadratik, di mana (a, b ), dan (c ) adalah nombor nyata dan (a ≠ 0 ), adalah fungsi bentuk (f (x) = ax ^ {2} + bx + c ).

Fungsi Kuadratik

Di unit A1 pelajar mengembangkan kefasihan dengan fungsi linear dan di unit A2 mereka belajar mengenai fungsi eksponen mudah. Pelajar dapat menggunakan teknologi grafik untuk merancang fungsi, mencari pintasan dan titik persimpangan, dan mencari regresi linear. Mereka tahu peraturan eksponen dan penerapan harta pengagihan untuk menggabungkan istilah seperti atau memfaktorkan faktor yang sama.

Di unit ini pelajar membina dan mentafsirkan fungsi kuadratik. Mereka bekerja dengan konteks yang dapat dimodelkan oleh fungsi kuadratik dan membandingkannya dengan konteks yang dapat dimodelkan fungsi linear dan eksponensial. Mereka menyatakan fungsi kuadratik menggunakan persamaan rekursif (mis. $ F (n + 1) = f (n) + 2n + 1 $), persamaan dalam dua pemboleh ubah (mis. $ Y = x ^ 2 + 2x + 3 $), atau notasi fungsi (mis. $ f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 $). Mereka memahami tujuan bentuk yang berbeza untuk ungkapan kuadratik di sebelah kanan dalam dua kes terakhir. Mereka menggambarkan fungsi kuadratik yang dinyatakan dalam bentuk yang berbeza, dan fungsi konstruk dinyatakan dalam bentuk faktor atau bucu untuk belajar bagaimana meletakkan fungsi dalam bentuk bucu, dan melihat maklumat apa yang paling mudah diperoleh darinya.

Di unit A4 pelajar menyelesaikan persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah dengan tepat dan tepat menggunakan pelbagai kaedah. Mereka terus mengembangkan kemudahan dalam manipulasi algebra ekspresi dan persamaan kuadratik. Di unit A5, mereka meneroka nombor kompleks dan melihat semula persamaan kuadratik untuk menyelesaikan punca kompleks.


Grafik Fungsi Kuadratik Menggunakan Sifat

    Grafkan fungsi dengan merancang titik.

Kenali Graf Fungsi Kuadratik

Sebelum ini kami melihat secara ringkas fungsi tersebut , yang kami namakan fungsi segiempat sama. Ini adalah salah satu fungsi bukan linier pertama yang kita lihat. Sekarang kita akan membuat grafik fungsi borang sekiranya Kami memanggil fungsi seperti ini sebagai fungsi kuadratik.

Fungsi kuadratik, di mana a, b, dan c adalah nombor nyata dan adalah fungsi bentuk

Kami membuat grafik fungsi kuadratik dengan merancang titik.

Setiap fungsi kuadratik mempunyai grafik yang kelihatan seperti ini. Kami memanggil tokoh ini sebagai parabola.

Mari kita praktikkan grafik parabola dengan membuat beberapa titik.

Grafik

Kami akan membuat grafik fungsi dengan memetakan titik.

gantikannya ke dalam persamaan

dan permudahkan untuk mencari .

mereka dengan lekukan halus. The

hasilnya akan menjadi graf bagi

Grafik .

Grafik

Semua graf fungsi kuadratik bentuk f (x) = kapak 2 + bx + c adalah parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah. Lihat (Gambar).

Perhatikan bahawa satu-satunya perbezaan dalam dua fungsi adalah tanda negatif sebelum istilah kuadratik (x 2 dalam persamaan graf di (Rajah)). Apabila istilah kuadratik, positif, parabola terbuka ke atas, dan ketika istilah kuadratik negatif, parabola terbuka ke bawah.

Untuk graf fungsi kuadratik f (x) = kapak 2 + bx + c, sekiranya

Tentukan sama ada setiap parabola terbuka ke atas atau ke bawah:

Cari nilai “a”.
Sejak "a"Negatif, parabola akan terbuka ke bawah.
Cari nilai “a”.
Sejak "a"Positif, parabola akan terbuka ke atas.

Tentukan sama ada grafik setiap fungsi adalah parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah:

Tentukan sama ada grafik setiap fungsi adalah parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah:

Cari Paksi Simetri dan Verteks Parabola

Lihat lagi (Gambar). Adakah anda melihat bahawa kita dapat melipat setiap parabola menjadi dua dan kemudian satu sisi akan terletak di atas yang lain? ‘Garis lipat’ adalah garis simetri. Kami menyebutnya sebagai paksi simetri parabola.

Kami menunjukkan dua graf yang sama sekali lagi dengan paksi simetri. Lihat (Gambar).

Persamaan paksi simetri dapat dihasilkan dengan menggunakan Formula Kuadratik. Kami akan menghilangkan derivasi di sini dan terus menggunakan hasilnya. Persamaan paksi simetri graf f (x) = kapak 2 + bx + c adalah

Oleh itu, untuk mencari persamaan simetri bagi setiap parabola yang kita lukiskan di atas, kita akan menggantikan formula

Perhatikan bahawa ini adalah persamaan garis biru putus-putus pada grafik.

Titik pada parabola yang paling rendah (parabola terbuka ke atas), atau yang paling tinggi (parabola terbuka ke bawah), terletak pada paksi simetri. Titik ini disebut bucu parabola.

Kita dapat dengan mudah mencari koordinat bucu, kerana kita tahu ia berada pada paksi simetri. Ini bermaksud

x-koordinat adalah Untuk mencari ykoordinat bucu kita menggantikan nilai x-koordinasi ke dalam fungsi kuadratik.

Grafik fungsi f (x) = kapak 2 + bx + c adalah parabola di mana:

  • paksi simetri ialah garis menegak
  • bucu adalah titik pada paksi simetri, jadi x-koordinat adalah
  • yang y-kordinat bucu dijumpai dengan menggantikan ke dalam persamaan kuadratik.

Untuk graf cari:

Ⓐ paksi simetri ⓑ bucu.

Paksi simetri adalah garis menegak
Bucu adalah titik pada garis

simetri, begitu juga x-koordinat akan

.

Untuk graf cari:

Ⓐ paksi simetri ⓑ bucu.

Untuk graf cari:

Ⓐ paksi simetri ⓑ bucu.

Cari Pintas Parabola

Apabila kita membuat graf persamaan linear, kita sering menggunakan x& # 8211 dan y-intercept untuk menolong kita melakar garis. Mencari koordinat pintasan akan membantu kita membuat grafik parabola juga.

Ingat, di y-terlalu nilai x adalah sifar. Jadi untuk mencari y-intercept, kita ganti x = 0 ke dalam fungsi.

Mari cari y-intersepsi kedua-dua parabola yang ditunjukkan dalam (Rajah).

Seorang xhasil intipati apabila nilai f (xadalah sifar. Untuk mencari x-intercept, kita biarkan f (x) = 0. Dengan kata lain, kita perlu menyelesaikan persamaan 0 = kapak 2 + bx + c untuk x.

Menyelesaikan persamaan kuadratik seperti ini adalah apa yang telah kita lakukan lebih awal dalam bab ini!

Kita sekarang dapat mencari x-intrik dari dua parabola yang kita lihat. Mula-mula kita akan menjumpai x-intercept parabola yang fungsinya f (x) = x 2 + 4x + 3.

Biarkan .
Faktor.
Gunakan Harta Produk Sifar.
Selesaikan.
The x-intercept adalah dan .

Sekarang kita akan menemui x-intercept parabola yang fungsinya f (x) = −x 2 + 4x + 3.

Kami akan menggunakan perkiraan perpuluhan x-pintas, supaya kita dapat mencari titik-titik ini pada grafik,

Adakah hasil ini sesuai dengan grafik kami? Lihat (Gambar).

Untuk mencari pintasan parabola yang fungsinya

Cari pintasan parabola yang fungsinya

The xpintasan adalah titik dan

Cari pintasan parabola yang fungsinya

y-pintaran: x-pintaran

Cari pintasan parabola yang fungsinya

y-pintaran: x-pintaran

Dalam bab ini, kita telah menyelesaikan persamaan kuadratik bentuk kapak 2 + bx + c = 0. Kami menyelesaikan untuk x dan hasilnya adalah penyelesaian untuk persamaan.

Kami sekarang melihat fungsi kuadratik borang f (x) = kapak 2 + bx + c. Grafik fungsi ini adalah parabola. The xpintasan parabola berlaku di mana f (x) = 0.

Penyelesaian fungsi kuadratik adalah x nilai-nilai xmemintas.

Sebelumnya, kita melihat bahawa persamaan kuadratik mempunyai 2, 1, atau 0 penyelesaian. Grafik di bawah menunjukkan contoh parabola untuk ketiga kes ini. Oleh kerana penyelesaian fungsi memberikan xpintasan grafik, bilangan xpintasan adalah sama dengan bilangan penyelesaian.

Sebelumnya, kami menggunakan diskriminan untuk menentukan jumlah penyelesaian fungsi kuadratik borang Sekarang kita boleh menggunakan diskriminan untuk memberitahu kita berapa banyak x-pintas terdapat pada grafik.

Sebelum anda mencari nilai-nilai x-intercept, anda mungkin ingin menilai diskriminasi sehingga anda tahu berapa banyak penyelesaian yang diharapkan.

Cari pintasan parabola untuk fungsi tersebut


9.6 Fungsi Kuadratik Graf Menggunakan Sifat

Kami membuat graf fungsi kuadratik f (x) = x 2 f (x) = x 2 dengan titik titik.

Setiap fungsi kuadratik mempunyai grafik yang kelihatan seperti ini. Kami memanggil tokoh ini sebagai parabola.

Mari kita praktikkan grafik parabola dengan membuat beberapa titik.

Contoh 9.42

Penyelesaian

Kami akan membuat grafik fungsi dengan memetakan titik.

Semua graf fungsi kuadratik bentuk f (x) = kapak 2 + bx + c adalah parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah. Lihat Rajah 9.2.

Perhatikan bahawa satu-satunya perbezaan dalam dua fungsi adalah tanda negatif sebelum istilah kuadratik (x 2 dalam persamaan graf dalam Rajah 9.2). Apabila istilah kuadratik, positif, parabola terbuka ke atas, dan ketika istilah kuadratik negatif, parabola terbuka ke bawah.

Orientasi Parabola

Untuk graf fungsi kuadratik f (x) = kapak 2 + bx + c, sekiranya

Contoh 9.43

Tentukan sama ada setiap parabola terbuka ke atas atau ke bawah:

Penyelesaian

Tentukan sama ada grafik setiap fungsi adalah parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah:

Tentukan sama ada grafik setiap fungsi adalah parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah:

Cari Paksi Simetri dan Verteks Parabola

Lihat semula Rajah 9.2. Adakah anda melihat bahawa kita dapat melipat setiap parabola menjadi dua dan kemudian satu sisi akan terletak di atas yang lain? ‘Garis lipat’ adalah garis simetri. Kami menyebutnya sebagai paksi simetri parabola.

Kami menunjukkan dua graf yang sama sekali lagi dengan paksi simetri. Lihat Rajah 9.3.

Persamaan paksi simetri dapat dihasilkan dengan menggunakan Formula Kuadratik. Kami akan menghilangkan derivasi di sini dan terus menggunakan hasilnya. Persamaan paksi simetri graf f (x) = kapak 2 + bx + c ialah x = - b 2 a. x = - b 2 a.

Oleh itu, untuk mencari persamaan simetri setiap parabola yang telah kita lukiskan di atas, kita akan menggantikan formula x = - b 2 a. x = - b 2 a.

Perhatikan bahawa ini adalah persamaan garis biru putus-putus pada grafik.

Titik pada parabola yang paling rendah (parabola terbuka ke atas), atau yang paling tinggi (parabola terbuka ke bawah), terletak pada paksi simetri. Titik ini disebut bucu parabola.

Kita dapat dengan mudah mencari koordinat bucu, kerana kita tahu ia berada pada paksi simetri. Ini bermaksud
x-koordinat ialah - b 2 a. - b 2 a. Untuk mencari ykoordinat bucu kita menggantikan nilai x-koordinasi ke dalam fungsi kuadratik.

Paksi Simetri dan Verteks Parabola

Grafik fungsi f (x) = kapak 2 + bx + c adalah parabola di mana:

Contoh 9.44

Untuk graf f (x) = 3 x 2 - 6 x + 2 f (x) = 3 x 2 - 6 x + 2 cari:

Ⓐ paksi simetri ⓑ bucu.

Penyelesaian

Untuk graf f (x) = 2 x 2 - 8 x + 1 f (x) = 2 x 2 - 8 x + 1 cari:

Ⓐ paksi simetri ⓑ bucu.

Untuk graf f (x) = 2 x 2 - 4 x - 3 f (x) = 2 x 2 - 4 x - 3 cari:

Ⓐ paksi simetri ⓑ bucu.

Cari Pintas Parabola

Apabila kita membuat graf persamaan linear, kita sering menggunakan x- dan y-intercept untuk menolong kita melakar garis. Mencari koordinat pintasan akan membantu kita membuat grafik parabola juga.

Ingat, di y-terlalu nilai x adalah sifar. Jadi untuk mencari y-intercept, kita ganti x = 0 ke dalam fungsi.

Mari cari y-intersepsi kedua-dua parabola yang ditunjukkan dalam Rajah 9.4.

Seorang xhasil intipati apabila nilai f (xadalah sifar. Untuk mencari x-intercept, kita biarkan f (x) = 0. Dengan kata lain, kita perlu menyelesaikan persamaan 0 = kapak 2 + bx + c untuk x.

Menyelesaikan persamaan kuadratik seperti ini adalah apa yang telah kita lakukan lebih awal dalam bab ini!

Kita sekarang dapat mencari x-intrik dari dua parabola yang kita lihat. Mula-mula kita akan menjumpai x-intercept parabola yang fungsinya f (x) = x 2 + 4x + 3.

Sekarang kita akan menemui x-intercept parabola yang fungsinya f (x) = −x 2 + 4x + 3.

Kami akan menggunakan perkiraan perpuluhan x-pintas, supaya kita dapat mencari titik-titik ini pada grafik,

Adakah hasil ini sesuai dengan grafik kami? Lihat Rajah 9.5.

Cari Pintas Parabola

Untuk mencari pintasan parabola yang fungsinya adalah f (x) = a x 2 + b x + c: f (x) = a x 2 + b x + c:

Contoh 9.45

Cari pintasan parabola yang fungsinya ialah f (x) = x 2 - 2 x - 8. f (x) = x 2 - 2 x - 8.

Penyelesaian

Cari pintasan parabola yang fungsinya ialah f (x) = x 2 + 2 x - 8. f (x) = x 2 + 2 x - 8.

Cari pintasan parabola yang fungsinya ialah f (x) = x 2 - 4 x - 12. f (x) = x 2 - 4 x - 12.

Dalam bab ini, kita telah menyelesaikan persamaan kuadratik bentuk kapak 2 + bx + c = 0. Kami menyelesaikan untuk x dan hasilnya adalah penyelesaian untuk persamaan.

Kami sekarang melihat fungsi kuadratik borang f (x) = kapak 2 + bx + c. Grafik fungsi ini adalah parabola. The x-pintasan parabola berlaku di mana f (x) = 0.

Penyelesaian fungsi kuadratik adalah x nilai-nilai x-memintas.

Sebelumnya, kita melihat bahawa persamaan kuadratik mempunyai 2, 1, atau 0 penyelesaian. Grafik di bawah menunjukkan contoh parabola untuk ketiga kes ini. Oleh kerana penyelesaian fungsi memberikan x-pintasan grafik, bilangan x-pintasan adalah sama dengan bilangan penyelesaian.

Sebelumnya, kami menggunakan diskriminan untuk menentukan jumlah penyelesaian fungsi kuadratik bentuk a x 2 + b x + c = 0. a x 2 + b x + c = 0. Sekarang kita boleh menggunakan diskriminan untuk memberitahu kita berapa banyak x-pintas terdapat pada grafik.

Sebelum anda mencari nilai-nilai x-intercept, anda mungkin ingin menilai diskriminasi sehingga anda tahu berapa banyak penyelesaian yang diharapkan.

Contoh 9.46

Cari pintasan parabola untuk fungsi f (x) = 5 x 2 + x + 4. f (x) = 5 x 2 + x + 4.


7.1 #1-6
7.2 #1,3,5,14
7.3 # 1, 3, 4, 6ac, 8ac, 9, 15 (pilihan)
7.4 #1-4, 8, 11
7.5 #1-4, 7, 13
7.6 #1-5, 13
7.7 # 2-4, 6, 8, 13 (pilihan)
7.8 #1, 2, 4, 8
Kajian semula hlm. 443 # 1, 2, 4-9, 11-15

8.1 #1-13
8.2 #1-8,13,15
Ulasan Mid Ch ms. 473 # 1-6, 9
Kuiz 8.1-8.2
8.3 #1-6, 11, 13, 17
8.4 #3, 4, 6, 13
8.5 # 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19 (opt), 20 (opt)
8.6 # 1-7, pilih satu dari 11-20
Kaji semula asn & # 8217t & # 8211 hlm. 515 Pilih 2 soalan dari setiap bahagian ulasan & # 8217t (jumlah 12 soalan)

Soalan-soalan berikut dari teks disarankan untuk persediaan anda sendiri untuk peperiksaan akhir dan akan mempersiapkan anda dengan baik untuk final.

Anda mungkin juga berminat dengan ulasan terakhir ini & # 8217t yang merangkumi jawapan. Ikuti pautan di bawah


Contoh 1: Menggunakan Jadual Nilai untuk Grafkan Fungsi Kuadratik

Perhatikan bahawa setelah membuat graf fungsi, anda dapat mengenal pasti bucu sebagai (3, -4) dan nol sebagai (1,0) dan (5,0).

Jadi, cukup mudah untuk membuat grafik fungsi kuadratik menggunakan jadual nilai, bukan? Ini hanya masalah menggantikan nilai x ke dalam persamaan untuk membuat pasangan tertib.

Terdapat banyak perkara menarik mengenai fungsi dan grafik kuadratik. Cari bucu pada jadual nilai yang lengkap. Adakah anda melihat ada corak? Perhatikan secara khusus nilai f (x).

Perhatikan bagaimana nilai f (x) mula berulang selepas bucu? Fungsi kuadratik adalah simetri. Sekiranya anda melukis garis khayalan melalui bucu, ini dipanggil paksi simetri.

Sekarang periksa titik di setiap sisi paksi simetri. Cukup sejuk, ya?


Mencari Maksimum atau Minimum

Selalunya berguna untuk mencari nilai maksimum dan / atau minimum fungsi yang memodelkan aplikasi kehidupan nyata. Untuk mencari nilai-nilai penting ini diberikan fungsi kuadratik, kita menggunakan bucu. Sekiranya pekali utama a positif, maka parabola terbuka ke atas dan akan ada minimum y-nilai. Sekiranya pekali utama a adalah negatif, maka parabola terbuka ke bawah dan akan ada maksimum y-nilai.

Contoh 4

Tentukan maksimum atau minimum: y = - 4 x 2 + 24 x - 35.

Sejak a = −4, kita tahu bahawa parabola terbuka ke bawah dan akan ada maksimum y-nilai. Untuk mencarinya, cari dahulu x-nilai bucu.

x = - b 2 a x - v a l u e o f t h e v e r t e x. = - 24 2 (- 4) S u b s t i t u t e a = - 4 a n d b = 24. = - 24 - 8 S i m p l i f y. = 3

The x-nilai bucu ialah 3. Gantikan nilai ini ke dalam persamaan asal untuk mencari yang sesuai y-nilai.

y = - 4 x 2 + 24 x - 35 S u b s t i t u t e x = 3. = - 4 (3) 2 + 24 (3) - 35 S i m p l i f y. = - 36 + 72 - 35 = 1

Bucu adalah (3, 1). Oleh itu, maksimum y-Nilai adalah 1, yang berlaku di mana x = 3, seperti yang digambarkan di bawah:

Nota: Grafik tidak diperlukan untuk menjawab soalan ini.

Contoh 5

Tentukan maksimum atau minimum: y = 4 x 2 - 32 x + 62.

Sejak a = 4, parabola terbuka ke atas dan ada minimum y-nilai. Mulakan dengan mencari x-nilai bucu.

x = - b 2 a = - - 32 2 (4) S u b s t i t u t e a = 4 a n d b = - 32. = - - 32 8 S i m p l i f y. = 4

Pengganti x = 4 ke dalam persamaan asal untuk mencari yang sesuai y-nilai.

y = 4 x 2 - 32 x + 62 = 4 (4) 2 - 32 (4) + 62 = 64 - 128 + 62 = - 2

Bucu adalah (4, −2). Oleh itu, minimum y-nilai −2 berlaku di mana x = 4, seperti yang digambarkan di bawah:

Contoh 6

Ketinggian di kaki projektil diberikan oleh fungsi h (t) = - 16 t 2 + 72 t, di mana t mewakili masa dalam beberapa saat selepas pelancaran. Berapakah ketinggian maksimum yang dicapai oleh projektil?

Di sini a = - 16, dan parabola terbuka ke bawah. Oleh itu, y-nilai bucu menentukan ketinggian maksimum. Mulakan dengan mencari masa di mana bucu itu berlaku.

t = - b 2 a = - 72 2 (- 16) = 72 32 = 9 4

Ketinggian maksimum akan berlaku dalam 9 4 saat (atau 2 1 4 saat). Ganti kali ini ke fungsi untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai.

h (9 4) = - 16 (9 4) 2 + 72 (9 4) = - 16 (81 16) + 72 (9 4) = - 81 + 162 = 81

Jawapan: Tinggi maksimum projektil adalah 81 kaki.


Sumber Matematik PCC SLC

Semasa menyelesaikan ketaksamaan yang melibatkan fungsi yang disajikan dalam bentuk grafik, kita mengikuti proses dua langkah. Kami mula-mula menggunakan fungsi untuk mengenal pasti titik pada lengkung yang koordinat (- y ) - memenuhi sifat yang tersirat oleh pernyataan ketaksamaan. Kami kemudian mengenal pasti koordinat titik ((x ) - titik tersebut, yang secara kolektif membentuk penyelesaian yang ditetapkan untuk ketaksamaan.

Dalam Rajah 5.11.1, saya telah menunjukkan semua titik pada fungsi bernama (g ) yang mempunyai (y ) - koordinat lebih besar daripada atau sama dengan (1 teks <.> ) Saya sudah juga menandakan bahagian paksi (x ) - di mana titik-titik ini terletak. Oleh kerana koordinat titik ((y ) - titik-titik adalah nilai (g (x) teks <,> ) kita dapat menyimpulkan dari ini bahawa penyelesaian ditetapkan pada ketaksamaan (g (x) geq 1 ) adalah ([- 4.5,3] teks <.> )

Dalam Rajah 5.11.2, saya telah menunjukkan semua titik pada fungsi bernama (g ) yang mempunyai (y ) - koordinat kurang daripada (44 teks <.> ) Saya juga telah menandakan dari bahagian paksi (x ) - di mana titik-titik ini terletak. Oleh kerana koordinat titik ((y ) - titik-titik adalah nilai (g (x) teks <,> ) kita dapat menyimpulkan dari ini bahawa penyelesaian ditetapkan pada ketaksamaan (g (x) lt 4 ) adalah ((- infty, -3) cup (0,6] text <.> )

Anda boleh menggunakan Gambar 5.11.3 dan Gambar 5.11.4 untuk menyiasat idea ini secara interaktif.


SIFAT PERALATAN KUADRATIK

4. Sekiranya kedua-dua nol dari persamaan kuadratik tidak rasional, maka kedua-dua nol (akar) akan berlaku pada pasangan konjugasi. Iaitu, jika (m + & # xa0 √n) adalah punca, maka (m - & # xa0 √n) adalah punca lain dari persamaan yang sama. & # Xa0

5. Jumlah sifar dari persamaan kuadratik dalam bentuk piawai a x 2 + bx + c = 0 ialah & # xa0 -b / a. & # Xa0

6. Hasil sifar persamaan kuadratik dalam bentuk piawai & # xa0 a x 2 + bx + c = 0 & # xa0is c / a.

7. Sekiranya dua sifar persamaan kuadratik & # xa0 a x 2 + bx + c = 0 adalah & # xa0 saling berpasangan, maka produk mereka adalah 1 atau

8. Sekiranya dua nol dari persamaan kuadratik & # xa0 a x 2 + bx + c = 0 sama besarnya, tetapi bertentangan dalam tanda, maka jumlahnya sama dengan sifar atau & # xa0

9. Sekiranya kita mengetahui dua nol & # xa0 dari persamaan kuadratik, formula yang diberikan di bawah boleh digunakan untuk membentuk persamaan kuadratik. & # Xa0

x 2 - (Jumlah akar) x + produk akar & # xa0 = & # xa00

10. Graf sebarang persamaan kuadratik akan menjadi parabola.

11. Nol dari persamaan kuadratik adalah koordinat-x titik-titik di mana parabola (grafik fungsi kuadratik) memotong paksi-x.

12. Sekiranya kedua-dua sifar fungsi kuadratik adalah khayalan, maka grafik (parabola) tidak akan bersilang sumbu x. & # Xa0

13. Dua pintasan-x dari parabola & # xa0 (grafik fungsi kuadratik) tidak lain hanyalah sifar fungsi kuadratik. & # Xa0

14. x- koordinat bucu parabola ialah -b / 2a dan bucu ialah [-b / 2a, f (-b / 2a)] & # xa0

15. Untuk mengetahui di mana parabola memotong paksi-y atau pintasan-y dari parabola, kita harus memasang x = 0 pada fungsi kuadratik yang diberikan.

16. & # xa0f (x) = & # xa0a x 2 & # xa0 + bx + c, jika tanda istilah pertama (a x 2) negatif, parabola akan terbuka ke bawah. Jika tidak, parabola akan terbuka ke bawah. & # Xa0

17. Pembeza b 2 & # xa0- 4ac & # xa0 membezakan sifat sifar persamaan kuadratik a x 2 & # xa0 + bx + c = 0.

Mari kita lihat bagaimana diskriminasi ini t & # xa0 'b 2 & # xa0- 4ac' & # xa0 dapat digunakan untuk mengetahui sifat akar persamaan kuadratik. & # Xa0

Selain daripada perkara yang diberikan di atas, jika anda memerlukan perkara lain dalam matematik, sila gunakan carian khusus google kami di sini.

Sekiranya anda mempunyai maklum balas mengenai kandungan matematik kami, sila hantarkan kepada kami: & # xa0

Kami sentiasa menghargai maklum balas anda. & # Xa0

Anda juga boleh melayari laman web berikut mengenai pelbagai perkara dalam matematik. & # Xa0


Sumber Terbuka ORCCA untuk Algebra Kolej Komuniti

Di bahagian ini kita akan belajar mengenai fungsi kuadratik dan bagaimana mengenal pasti ciri-ciri utama mereka pada grafik. Kami akan mengenal pasti arah, puncak, paksi simetri dan pintasan mereka. Kami juga akan melihat cara memetakan parabola dengan mencari bucu dan membuat jadual nilai fungsi. Kami akan melihat aplikasi yang melibatkan puncak fungsi kuadratik.

Definisi 9.2.2

A mempunyai bentuk (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ) di mana (a, b text <,> ) dan (c ) adalah nombor nyata, dan (a neq 0 text <.> ) Graf fungsi kuadratik mempunyai bentuk a.

Perhatikan bahawa fungsi kuadratik mempunyai istilah kuadrat yang tidak dimiliki fungsi linear. Sekiranya (a = 0, ) fungsi adalah linear. Untuk memahami bentuk dan ciri fungsi kuadratik, mari kita lihat contohnya.

Subseksyen 9.2.2 Sifat Fungsi Kuadratik

Roket mainan ditembakkan dari tanah dan kemudian terbang ke udara dengan kelajuan 64 kaki sesaat. Laluan roket dapat dimodelkan oleh fungsi (f ) di mana (f (t) = - 16t ^ 2 + 64t teks <.> ) Untuk melihat bentuk fungsi, kami akan membuat jadual nilai dan plot titik. Untuk jadual kami akan memilih beberapa nilai untuk (t ) dan kemudian menilai fungsi pada setiap nilai (t ) -:

(t ) (f (t) = - 16t ^ 2 + 64t ) Titik
(0) (f (0) = - 16 (0) ^ 2 + 64 (0) = 0 ) ((0,0))
(1) (f (1) = - 16 (1) ^ 2 + 64 (1) = 48 ) ((1,48))
(2) (f (2) = - 16 (2) ^ 2 + 64 (2) = 64 ) ((2,64))
(3) (f (3) = - 16 (3) ^ 2 + 64 (3) = 48 ) ((3,48))
(4) (f (4) = - 16 (4) ^ 2 + 64 (4) = 0 ) ((4,0))

Sekarang kita mempunyai Jadual 9.2.3 dan Gambar 9.2.4, kita dapat melihat ciri-ciri parabola ini. Perhatikan simetri dalam bentuk grafik dan nilai (y ) - dalam jadual. Berturut-turut (y ) - nilai tidak meningkat dengan jumlah tetap dengan cara fungsi linear.

Ciri pertama yang akan kita bincangkan ialah arah bahawa parabola terbuka. Semua parabola terbuka sama ada ke atas atau ke bawah. Parabola dalam contoh roket ini terbuka ke bawah kerana (a ) negatif. Berikut adalah beberapa fungsi kuadratik yang digambarkan sehingga kita dapat melihat ke arah mana ia dibuka.

Fakta 9.2.8

Kita hanya perlu melihat tanda pekali utama untuk menentukan jalan grafik mana yang terbuka. Sekiranya pekali utama positif, parabola terbuka ke atas. Sekiranya pekali utama negatif, parabola terbuka ke bawah.

Pusat Pemeriksaan 9.2.9

Tentukan sama ada graf setiap fungsi kuadratik membuka ke atas atau ke bawah.

Titik adalah titik tertinggi atau terendah pada grafik. Dalam Rajah 9.2.4, bucu adalah ((2,64) teks <.> ) Ini memberitahu kita bahawa roket mencapai ketinggian maksimum (64 ) kaki setelah (2 ) saat. Sekiranya parabola terbuka ke bawah, seperti dalam contoh roket, maka nilai (y ) - bucu adalah nilai (y ) -. Sekiranya parabola terbuka ke atas maka nilai (y ) - bucu adalah nilai (y ) -.

Ini adalah garis menegak yang melewati bucu, membaginya menjadi dua. Bucu adalah satu-satunya titik yang tidak mempunyai titik simetri. Kami menulis paksi simetri sebagai persamaan garis menegak sehingga selalu dimulakan dengan " (x = text <.> )" Pada Rajah 9.2.4, persamaan untuk paksi simetri adalah (x = 2 teks <.> )

Ini adalah titik di mana parabola melintasi paksi menegak. Pintas menegak adalah pintasan (y ) - jika paksi dilabel (x ) dan (y teks <.> ) Pada Rajah 9.2.4, titik ((0,0) ) adalah titik permulaan roket. Nilai (y ) - (0 ) bermaksud roket bermula di darat.

Titik-titik di mana parabola melintasi paksi mendatar. Mereka adalah (x ) - pintasan jika sumbu berlabel (x ) dan (y teks <.> ) Titik ((0,0) ) di jalan roket juga pintasan mendatar. Nilai (t ) - (0 ) menunjukkan masa ketika roket dilancarkan dari darat. Terdapat satu lagi pintasan mendatar pada titik ((4,0) text <,> ) yang bermaksud roket menghantam tanah setelah (4 ) saat.

Kemungkinan fungsi kuadratik mempunyai pintasan mendatar (0 text <,> ) (1 ) atau (2 ). Gambar di bawah menunjukkan contoh masing-masing.

Berikut adalah ringkasan sifat fungsi kuadratik:

Parabola terbuka ke atas jika (a ) positif dan terbuka ke bawah (a ) negatif.

Bucu parabola adalah titik maksimum atau minimum pada grafik.

Paksi simetri adalah garis menegak yang melewati bucu.

Pintas menegak adalah titik di mana fungsi memotong paksi menegak. Terdapat tepat satu pintasan menegak.

Pemintas mendatar adalah titik di mana fungsi memotong paksi mendatar. Graf parabola boleh mempunyai pintasan mendatar (0, 1, ) atau (2 ).

Contoh 9.2.14

Kenal pasti ciri utama fungsi kuadratik (y = x ^ 2-2x-8 ) yang ditunjukkan dalam Rajah 9.2.15.

Pertama, kita melihat bahawa parabola ini terbuka ke atas kerana pekali utama positif.

Kemudian kita cari titik yang merupakan titik ((1, -9) teks <.> ) Paksi simetri adalah garis menegak (x = 1 teks <.> )

Pintas menegak atau (y ) - pintasan adalah titik ((0, -8) teks <.> )

Pintas mendatar adalah titik ((- 2,0) ) dan ((4,0) teks <.> )

Rajah 9.2.15 Graf (y = x ^ 2-2x-8 )

Pusat Pemeriksaan 9.2.16

Subseksyen 9.2.3 Mencari Verteks dan Paksi Simetri Secara Algebra

Koordinat bucu tidak mudah dikenal pasti pada graf jika tidak berangka. Cara lain untuk mencarinya adalah dengan menggunakan formula.

Fakta 9.2.17

Bucu fungsi kuadratik (f (x) = ax ^ 2 + bx + c ) berlaku di mana (x = - frac<2a> teks <.> )

Untuk memahami formula ini kita dapat melihat formula kuadratik. Bucu berada pada paksi simetri, sehingga selalu berlaku di antara kedua-dua pintasan mendatar. Melihat formula kuadratik kita dapat melihat bahawa nilai ini berada di tengah-tengah dua nilai yang diperoleh dari formula kuadratik:

Contoh 9.2.18

Tentukan puncak dan paksi simetri fungsi kuadratik (f (x) = x ^ 2-4x-12 teks <.> )

Kita akan menemui nilai (x ) - bucu menggunakan formula (x = - frac<2a> text <,> ) untuk (a = 1 ) dan (b = -4 teks <.> )

Sekarang kita tahu (x ) - nilai bucu adalah (2 teks <,> ) jadi kita akan mengganti (x ) dengan (2 ) dalam persamaan asal untuk menentukan (y teks <:> )

Bucu adalah titik ((2, -16) ) dan paksi simetri adalah garis (x = 2 teks <.> )

Contoh 9.2.19

Tentukan puncak dan paksi simetri fungsi kuadratik (y = -3x ^ 2-3x + 7 teks <.> )

Menggunakan formula (x = - frac<2a> ) dengan (a = -3 ) dan (b = -3 text <,> ) kita mempunyai:

Sekarang kita telah menentukan bahawa nilai (x ) - kita akan menggantikannya dengan (x ) untuk mencari nilai (y ) -:

Bucu adalah titik ( kiri (- frac <1> <2>, frac <31> <4> kanan) ) dan paksi simetri adalah garis (x = - frac <1 > <2> teks <.> )

Subseksyen 9.2.4 Membuat Grafik Fungsi Kuadratik dengan Membuat Jadual

Apabila kami belajar bagaimana membuat grafik garis, kami dapat memilih sebarang nilai ((x ) - nilai. Walau bagaimanapun, untuk fungsi kuadratik, kita ingin mencari bucu dan memilih nilai-nilai (x ) di sekitarnya. Maka kita boleh menggunakan sifat simetri untuk menolong kita.Mari lihat contohnya.

Contoh 9.2.20

Tentukan puncak dan paksi simetri untuk fungsi kuadratik (y = -x ^ 2-2x + 3 text <.> ) Kemudian buat jadual nilai dan lakarkan graf fungsi.

Untuk menentukan bucu (y = -x ^ 2-2x + 3 text <,> ) kita mahu mencari nilai (x ) - bucu terlebih dahulu. Kami akan menggunakan (x = - frac<2a> ) untuk (a = -1 ) dan (b = -2 teks <:> )

Sekarang kita tahu bahawa paksi simetri kita adalah garis (x = -1 ) dan paksi simetri adalah garis (x = -1 teks <.> ) Kami akan menyusun jadual kami dengan dua nilai pada setiap sisi (x = -1 text <.> ) Kami memilih (x = -3, -2, -1, 0 ) dan (1 ) seperti yang ditunjukkan dalam Jadual 9.2.21.

Seterusnya, kita akan menentukan koordinat (y ) - dengan menggantikan (x ) dengan setiap nilai dan kita mempunyai jadual lengkap seperti yang ditunjukkan dalam Jadual 9.2.22. Perhatikan bahawa setiap pasangan (y ) - nilai di kedua-dua sisi padanan bucu. Ini membantu kita untuk memeriksa bahawa nilai bucu dan (y ) kita betul.

(x ) (y = -x ^ 2-2x + 3 ) Titik
(-3) (y = - ( pengganti <-3>) ^ 2-2 ( pengganti <-3>) + 3 = 0 ) ((-3,0))
(-2) (y = - ( pengganti <-2>) ^ 2-2 ( pengganti <-2>) + 3 = 3 ) ((-2,3))
(-1) (y = - ( pengganti <-1>) ^ 2-2 ( pengganti <-1>) + 3 = 4 ) ((-1,4))
(0) (y = - ( pengganti <0>) ^ 2-2 ( pengganti <0>) + 3 = 3 ) ((0,3))
(1) (y = - ( pengganti <1>) ^ 2-2 ( pengganti <1>) + 3 = 0 ) ((1,0))

Sekarang setelah kita mempunyai jadual, kita akan memetakan titik-titik dan menarik paksi simetri seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 9.2.23. Kami melengkapkan grafik dengan melukis lengkung halus melalui titik-titik dan melukis anak panah di setiap hujungnya seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 9.2.24

Kaedah yang kami gunakan paling berkesan apabila nilai (x ) - bucu adalah bilangan bulat. Kita masih boleh membuat grafik jika itu tidak berlaku seperti yang akan kita tunjukkan dalam contoh seterusnya.

Contoh 9.2.25

Tentukan puncak dan paksi simetri untuk fungsi kuadratik (y = 2x ^ 2-3x-4 teks <.> ) Gunakan ini untuk membuat jadual nilai dan lakarkan graf fungsi ini.

Untuk menentukan puncak (y = 2x ^ 2-3x-4 text <,> ) kita akan menjumpai (x = - frac<2a> ) untuk (a = 2 ) dan (b = -3 teks <:> )

Seterusnya, kami akan menentukan koordinat (y ) - dengan menggantikan (x ) dengan ( frac <3> <4> ) di (y = 2x ^ 2-3x-4 teks <: > )

Oleh itu, bucu berlaku di ( kiri ( frac <3> <4>, - frac <41> <8> kanan) teks <,> ) atau di ((0.75, -5.125) teks <.> ) Paksi simetri adalah garis (x = frac <3> <4> text <,> ) atau (x = 0.75 teks <.> )

Setelah kita mengetahui nilai (x ) - bucu, kita akan membuat jadual. Kami akan memilih (x ) - nilai di kedua sisi (x = 0.75 text <,> ) tetapi kami akan memilih bilangan bulat kerana akan lebih mudah untuk mencari nilai fungsi.

Titik-titik yang digambarkan dalam Rajah 9.2.27 tidak mempunyai simetri yang kita harapkan dari parabola. Ini kerana bucu berlaku pada nilai (x ) - yang bukan bilangan bulat, dan semua nilai yang dipilih dalam jadual adalah bilangan bulat. Kita dapat menggunakan paksi simetri untuk menentukan lebih banyak titik pada grafik (seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 9.2.28), yang akan memberikannya simetri yang kita harapkan. Dari sana, kita dapat melengkapkan lakaran grafik ini.

Subseksyen 9.2.5 Domain dan Julat Fungsi Kuadratik

Dalam Contoh 9.1.31, kami menjumpai domain dan julat pelbagai jenis fungsi menggunakan grafiknya. Sekarang kita telah membuat grafik beberapa fungsi kuadratik, mari berlatih mengenal pasti domain dan julatnya.

Contoh 9.2.30

Kami membuat graf fungsi kuadratik (y = -x ^ 2-2x + 3 ) dalam Rajah 9.2.24. Domain adalah sekumpulan semua kemungkinan input ke fungsi. Fungsinya adalah lengkung berterusan dan ketika kita melihat secara mendatar, satu anak panah menunjuk ke kiri dan anak panah yang lain menunjuk ke kanan. Ini bermaksud semua (x ) - nilai dapat digunakan dalam fungsi. Domain adalah (> ) atau ((- infty, infty) teks <.> )

Julatnya adalah sekumpulan semua output yang dapat kita peroleh dari fungsi tersebut. Untuk julat fungsi ini, kita melihat grafik secara menegak ke atas dan ke bawah. Parabola ini terbuka ke bawah, jadi kedua anak panah menunjuk ke bawah dan titik tertinggi di sepanjang grafik adalah bucu di ((- 1,4) text <.> ) Julatnya adalah () atau ((- infty, 4] teks <.> )

Contoh 9.2.31

Gunakan graf (y = 2x ^ 2-3x-4 ) pada Rajah 9.2.29 dan bucunya di ((0.75, -5.125) ) untuk mengenal pasti domain dan julat dalam set-pembangun dan notasi selang.

Untuk domain, kami melihat secara mendatar dan melihat grafik adalah lengkung berterusan dan satu anak panah menunjuk ke kiri dan anak panah yang lain menunjuk ke kanan. Domain adalah (> ) atau ((- infty, infty) teks <.> )

Untuk julat, kami melihat grafik secara menegak ke atas dan bawah, yang terbuka ke atas. Kedua-dua anak panah menunjuk ke atas dan titik terendah pada grafik adalah bucu di ((0.75, -5.125) teks <.> ) Julatnya adalah () atau ([- 5.125, infty) teks <.> )

Oleh kerana semua parabola mempunyai bentuk yang sama, mereka semua mempunyai domain yang sama dengan (> ) atau ((- infty, infty) text <.> ) Julatnya bergantung pada cara parabola terbuka dan koordinat (y ) - titik. Namun, ketika kita melihat masalah aplikasi, domain dan rentang akan bergantung pada nilai-nilai yang masuk akal dalam konteks yang diberikan. Contohnya, masa dan panjang biasanya tidak mempunyai nilai negatif. Kami akan melihatnya semula setelah melihat beberapa aplikasi.

Subseksyen 9.2.6 Aplikasi Fungsi Kuadratik yang Meliputi Vertex.

Kami melihat ketinggian roket mainan berkenaan dengan waktu pada awal bahagian ini dan melihat bahawa ia mencapai ketinggian maksimum (64 ) kaki setelah (2 ) saat. Mari lihat beberapa aplikasi yang melibatkan mencari atau nilai fungsi kuadratik.

Contoh 9.2.32

Bayangkan bahawa Yang mendapat senapang udara baru untuk menembak sasaran. Perkara pertama yang dilakukannya adalah melihat ruang lingkup pada jarak tertentu sehingga pelet memukul secara konsisten di mana rambut salib diarahkan. Dalam penembakan senapang udara Olimpik (10 ​​) meter, mata banteng adalah titik ((0,5 ) mm, kira-kira ukuran kepala pin, jadi ketepatan adalah kunci. 1 Lawati en.wikipedia.org/wiki/ISSF_10_meter_air_rifle untuk maklumat lanjut.)

Yang ingin mengatur ruang lingkup senapang udaranya agar tepat pada jarak ketinggian (35 ) ela (dari moncong, yang merupakan hujung tong), tetapi dia juga perlu mengetahui berapa banyak yang harus diperbaiki untuk graviti pada jarak yang berbeza. Oleh kerana proyektil akan dipengaruhi oleh graviti, mengetahui jarak yang akan disiapkan sasaran sangat penting untuk tepat. Setelah memusatkan retikul skopnya (rambut bersilang) pada jarak (35 ) ela sehingga dia dapat secara konsisten memukul mata lembu dengan retikul tepat di atasnya, dia menetapkan sasaran pada berbagai jarak untuk menguji senapang. Dia kemudian menembak ke arah sasaran dengan rambut bersilang tepat pada mata lembu dan mengukur jarak pelet yang terkena di atas atau di bawah mata lembu ketika ditembak pada jarak tersebut.

Jarak ke Sasaran di Yards Di atas / bawah Bulls-eye Jarak ke atas / bawah dalam inci
(5 ) yds Di bawah ini (0.1 ) dalam
(10 ​​) yds Atas (0.6 ) dalam
(20 ) yds Atas (1.1 ) dalam
(30 ) yds Atas (0.6 ) dalam
(35 ) yds Pada mata Bulls (0 ) masuk
(40 ) yds Di bawah ini (0.8 ) dalam
(50 ) yds Di bawah ini (3.2 ) dalam
Jadual 9.2.33 Jarak Menembak vs Pellet Naik / Turun

Buat graf ketinggian di atas mata lembu yang ditembak senapang udara pada jarak yang dikumpulkan dalam jadual dan cari bucu. Apakah maksud titik dalam konteks ini?

(Perhatikan bahawa nilai yang diukur di bawah bulls-eye harus digambarkan sebagai nilai negatif (y ). Perlu diingat bahawa unit pada sumbu berbeza: di sepanjang paksi (x ) - unitnya adalah meter, sedangkan pada paksi (y ), unitnya berukuran inci.)

Oleh kerana nilai input sepertinya naik (5 ) s atau (10 ​​) s, kita akan meningkatkan paksi (x ) dengan (5 ) s. Paksi (y ) - perlu diskala dengan (1 ) s.

Rajah 9.2.34 Graf Data Sasaran

Dari grafik kita dapat melihat bahawa titik ((20,1.1) ) adalah tekaan terbaik kita untuk bucu kehidupan sebenar. Ini bermaksud yang paling tinggi di atas rambut salib yang dipukulnya adalah (1,1 ) inci ketika sasaran berada jauh (20 ) ela.

Contoh 9.2.35

Kami melihat fungsi kuadratik (R = (13 + 0.25x) (1500-50x) ) dalam Contoh 6.3.2 dari Bahagian 6.3, di mana (R ) adalah hasil (dalam dolar) untuk (x ) Kenaikan harga 25 sen. Fungsi ini mempunyai setiap balang jem dengan harga 13 dolar, dan dipermudahkan

Cari titik puncak fungsi kuadratik ini dan terangkan maksudnya dalam konteks model ini.

Perhatikan bahawa jika kita cuba menggunakan (R = (13 + 0.25x) (1500-50x) text <,> ) kita tidak akan dapat segera mengenali nilai (a ) dan (b ) diperlukan untuk menentukan bucu. Dengan menggunakan bentuk yang diperluas (R = -12.5x ^ 2-275x + 19500 text <,> ) kita melihat bahawa (a = -12.5 ) dan (b = -275 teks <,> ) jadi bucu berlaku pada:

Kita sekarang akan mencari nilai (R ) untuk (x = -11 text <:> )

Oleh itu bucu berlaku pada ((- 11,21012.5) teks <.> )

Secara mentafsir ini, kita dapat menyatakan bahawa (- 11 ) kenaikan harga 25 sen menghasilkan pendapatan maksimum ( $ 21 <,> 012.50 teks <.> )

Kita dapat mengira " (- 11 ) kenaikan harga 25 sen" menjadi penurunan ( $ 2,75 teks <.> ) Harga ditetapkan pada ( $ 13 ) setiap balang, jadi pendapatan maksimum ( $ 21 <,> 012.50 ) akan berlaku apabila harga ditetapkan pada ( $ 10.25 ) setiap balang.

Contoh 9.2.36

Kali mempunyai pagar berkaki 500 (500 kaki) dan dia perlu membina pen berbentuk segi empat tepat untuk kambingnya. Apakah dimensi segi empat yang akan memberikan kambingnya sebagai kawasan terbesar?

Kami akan menggunakan (l ) untuk panjang pen dan (w ) untuk lebar, dalam kaki. Kita tahu bahawa perimeter mestilah (500 ) kaki sehingga memberi kita

Mula-mula kita akan menyelesaikannya:

Sekarang kita dapat membina fungsi untuk luas segi empat tepat, menggunakan formula untuk luas:

Luasnya adalah fungsi kuadratik sehingga kita dapat mengenal pasti (a = -1 ) dan (b = 250 ) dan mencari bucu:

Oleh kerana lebar segi empat tepat ialah 125 kaki, kita dapat mengetahui panjangnya dengan menggunakan ungkapan kita:

Untuk mencari luas maksimum kita boleh mengganti lebar ke fungsi kawasan atau mengalikan panjang dengan lebar:

Luas maksimum yang dapat diperoleh Kali ialah (15 <,> 625 ) kaki persegi jika dia membangun pennya menjadi persegi dengan panjang dan lebar (125 ) kaki.

Kembali ke domain dan julat, kita akan melihat jalan roket mainan dalam Graf 9.2.4. Melihat secara mendatar, nilai (t ) - nilai masuk akal dari (0 ) saat, ketika roket ditembakkan, hingga (4 ) saat, ketika kembali ke tanah. Ini memberi kita domain () atau ([0,4] text <.> ) Untuk jarak, ketinggian roket bergerak dari (0 ) kaki di tanah dan mencapai ketinggian maksimum (64 ) kaki. Julatnya adalah () atau ([0,64] teks <.> )

Dalam aplikasi senapang udara dalam Contoh 9.2.32, nilai (x ) - disambungkan dari (5 ) ke (50 ) ela. Sekiranya kita menganggap bahawa Yang tidak akan pernah bersaing dalam menembak sasaran di luar (50 ) ela, domainnya akan ([5,50] text <.> ) Nilai (y ) - berubah dari ( -3,2 ) hingga (1,1 ) inci sehingga julatnya adalah ([- 3.2,1.1] teks <.> )

Untuk mencari domain dan jangkauan untuk banyak aplikasi, kita perlu mengetahui cara mencari pintasan menegak dan mendatar. Kami akan melihatnya di bahagian seterusnya.

Latihan Subseksyen

Menentukan Verteks dan Paksi Simetri Fungsi Kuadratik secara Algebra

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Cari paksi simetri dan bucu fungsi kuadratik.

Membuat Grafik Fungsi Kuadratik Menggunakan Vertex dan Jadual

Untuk (y = 4x ^ 2-8x + 5 text <,> ) tentukan bucu, buat jadual pasangan tertib, dan kemudian graf fungsi.

Untuk (y = 2x ^ 2 + 4x + 7 text <,> ) tentukan bucu, buat jadual pasangan tertib, dan kemudian graf fungsi.

Untuk (y = -x ^ 2 + 4x + 2 text <,> ) tentukan bucu, buat jadual pasangan tertib, dan kemudian graf fungsi.

Untuk (y = -x ^ 2 + 2x-5 text <,> ) tentukan bucu, buat jadual pasangan tertib, dan kemudian graf fungsi.

Untuk (y = x ^ 2-5x + 3 text <,> ) tentukan bucu, buat jadual pasangan tertib, dan kemudian grafik fungsi.

Untuk (y = x ^ 2 + 7x-1 text <,> ) tentukan bucu, buat jadual pasangan tertib, dan kemudian graf fungsi.

Untuk (y = -2x ^ 2-5x + 6 text <,> ) tentukan bucu, buat jadual pasangan tertib, dan kemudian graf fungsi.

Untuk (y = 2x ^ 2-9x text <,> ) tentukan titik puncak, buat jadual pasangan tertib, dan kemudian graf fungsi.

Mencari Nilai Maksimum dan Minimum untuk Aplikasi Fungsi Kuadratik

Satu nombor adalah (9 ) kurang daripada nombor kedua. Cari sepasang nombor sedemikian sehingga produk mereka sekecil mungkin.

Produk sekecil mungkin.

Satu nombor adalah (9 ) kurang daripada nombor kedua. Cari sepasang nombor sedemikian sehingga produk mereka sekecil mungkin.

Produk sekecil mungkin.

Satu nombor adalah 9 kurang daripada 5 kali nombor kedua. Cari sepasang nombor sedemikian sehingga produk mereka sekecil mungkin.

Produk sekecil mungkin.

Satu nombor adalah 7 kurang daripada dua kali nombor kedua. Cari sepasang nombor sedemikian sehingga produk mereka sekecil mungkin.

Produk sekecil mungkin.

Anda akan membina kandang domba segi empat tepat di sebelah sungai. Tidak perlu membina pagar di sepanjang sungai, jadi anda hanya perlu membina tiga sisi. Anda mempunyai pagar seluas (410 ) kaki untuk digunakan. Cari dimensi pen supaya anda dapat merangkumi kawasan maksimum.

Panjang pen (selari dengan sungai) mestilah.

Lebar pen (jauh dari sungai) mestilah.

Luas maksimum pen ialah.

Anda akan membina kandang domba segi empat tepat di sebelah sungai. Tidak perlu membina pagar di sepanjang sungai, jadi anda hanya perlu membina tiga sisi. Anda mempunyai pagar seluas (430 ) kaki untuk digunakan. Cari dimensi pen supaya anda dapat merangkumi kawasan maksimum.

Panjang pen (selari dengan sungai) mestilah.

Lebar pen (jauh dari sungai) mestilah.

Luas maksimum pen ialah.

Anda akan membina dua pen segi empat tepat yang serupa di sebelah satu sama lain, saling berkongsi. Anda mempunyai pagar seluas (348 ) kaki untuk digunakan. Cari dimensi setiap pen supaya anda dapat merangkumi kawasan maksimum.

Panjang setiap pen (sepanjang dinding yang mereka bagikan) mestilah.

Lebar setiap pen mestilah.

Luas maksimum setiap pen adalah.

Anda akan membina dua pen segi empat tepat yang serupa di sebelah satu sama lain, saling berkongsi. Anda mempunyai pagar seluas (360 ) kaki untuk digunakan. Cari dimensi setiap pen supaya anda dapat merangkumi kawasan maksimum.

Panjang setiap pen (sepanjang dinding yang mereka bagikan) mestilah.

Lebar setiap pen mestilah.

Luas maksimum setiap pen adalah.

Anda merancang untuk membina empat kandang domba segi empat tepat yang sama berturut-turut. Setiap sepasang pen yang berdekatan berkongsi pagar di antara mereka. Anda mempunyai pagar seluas (376 ) kaki untuk digunakan. Cari dimensi setiap pen supaya anda dapat merangkumi kawasan maksimum.

Panjang setiap pen (sepanjang dinding yang mereka bagikan) mestilah.

Lebar setiap pen mestilah.

Luas maksimum setiap pen adalah.

Anda merancang untuk membina empat kandang domba segi empat tepat yang berturut-turut. Setiap pena yang berdekatan berkongsi pagar antara mereka. Anda mempunyai pagar seluas (392 ) kaki untuk digunakan. Cari dimensi setiap pen supaya anda dapat merangkumi kawasan maksimum.

Panjang setiap pen (sepanjang dinding yang mereka bagikan) mestilah.

Lebar setiap pen mestilah.

Luas maksimum setiap pen adalah.

Pada masa ini, seorang seniman dapat menjual (200 ) lukisan setiap tahun dengan harga (< $ 100.00> ) setiap lukisan. Setiap kali dia menaikkan harga setiap lukisan dengan (< $ 5.00> text <,> ) dia menjual (5 ) lebih sedikit lukisan setiap tahun.

Jawab soalan berikut:

1) Untuk mendapatkan pendapatan maksimum, artis harus menetapkan harga setiap lukisan di.

2) Untuk memperoleh (< $ 22 <,> 100.00> ) setahun, artis dapat menjual lukisannya dengan dua harga yang berbeza. Harga yang lebih rendah adalah untuk setiap lukisan, dan harga yang lebih tinggi adalah untuk setiap lukisan.

Pada masa ini, seorang artis dapat menjual lukisan (230 ) setiap tahun dengan harga (< $ 100.00> ) setiap lukisan. Setiap kali dia menaikkan harga setiap lukisan dengan (< $ 20.00> text <,> ) dia menjual (5 ) lebih sedikit lukisan setiap tahun.

Jawab soalan berikut:

1) Untuk mendapatkan pendapatan maksimum, artis harus menetapkan harga setiap lukisan di.

2) Untuk memperoleh (< $ 63 <,> 000.00> ) setahun, artis dapat menjual lukisannya dengan dua harga yang berbeza. Harga yang lebih rendah adalah untuk setiap lukisan, dan harga yang lebih tinggi adalah untuk setiap lukisan.


PENYELESAIAN: Bolehkah anda menunjukkan kepada saya cara membuat grafik fungsi kuadratik ini menggunakan sifatnya, dan berdasarkan grafik, menentukan domain dan julat fungsi kuadratik. p (x) = -x ^ 2 +

Anda boleh meletakkan penyelesaian ini di laman web ANDA!
Untuk membuat grafik, kita dapat mengikuti langkah-langkahnya:


Langkah 1) Cari titik (bucu adalah titik tertinggi atau terendah pada grafik)


Langkah 2) Setelah anda mempunyai bucu, cari dua titik di sebelah kiri paksi simetri (garis yang secara menegak melintasi bucu)


Langkah 3) Pantulkan titik di atas paksi simetri untuk mendapatkan dua titik lagi di sebelah kanan parabola (ingat parabola adalah simetri).


Langkah 4) Petak semua titik yang dijumpai (termasuk bucu)


Langkah 5) Lukiskan lengkung melalui semua titik untuk membuat grafik parabola


Mari ikuti langkah-langkah ini secara terperinci

Mencari bucu:


Untuk mencari bucu, pertama kita perlu mencari koordinat-x bucu.


Untuk mencari koordinat-x bucu, gunakan formula ini:.


Mulakan dengan formula yang diberikan.


Dari, kita dapat melihat bahawa,, dan.


Jadi koordinat-x bucu adalah. Catatan: ini bermaksud paksi simetri juga.


Setelah kita mengetahui koordinat-x dari bucu, kita dapat menggunakannya untuk mencari koordinat-y dari bucu tersebut.


Mulakan dengan persamaan yang diberikan.


Jadi koordinat-y bucu adalah.

Cari dua titik di sebelah kiri paksi simetri:


Mari cari nilai y apabila x = -1


Mulakan dengan polinomial yang diberikan


Naikkan -1 ke kekuatan kedua untuk mendapatkan 1

---- Sekarang mari cari titik lain ----

Mari cari nilai y apabila x = 0


Mulakan dengan polinomial yang diberikan


Naikkan 0 ke kekuatan kedua untuk mendapatkan 0

Mencerminkan dua titik di atas paksi simetri:


Sekarang ingat, parabola adalah simetri mengenai paksi simetri (yang)


Ini bermaksud nilai-y untuk sama dengan nilai-y bagi. Jadi bila , . Oleh itu, kami telah melihat titik (0, -5) hingga (2, -5)


Nilai y untuk sama dengan nilai y bagi. Jadi bila , . Oleh itu, kami telah melihat titik (-1, -8) hingga (3, -8)


Tonton videonya: Виды компьютерной графики (Oktober 2021).