Artikel

1.5: Aksiom Kesempurnaan bagi Nombor Sebenar


Terdapat banyak contoh bidang tertib. Untuk memperkenalkan aksioma terakhir kami untuk nombor nyata, pertama kami memerlukan beberapa definisi.

Definisi ( PageIndex {1} ): Batas Atas

Biarkan (A ) menjadi subset dari ( mathbb {R} ). Nombor (M ) disebut sebagai batas atas daripada (A ) jika

[x leq M text {untuk semua} x in A. ]

Sekiranya (A ) mempunyai batas atas, maka (A ) dikatakan terikat di atas.

Begitu juga, nombor (L ) adalah a lebih rendah terikat daripada (A ) jika

[L leq x text {untuk semua} x di A, ]

dan (A ) dikatakan terikat di bawah jika mempunyai batas bawah. Kami juga mengatakan bahawa (A ) adalah terikat jika kedua-duanya dibatasi di atas dan dibatasi di bawah.

Ini menunjukkan bahawa satu set (A ) dibatasi jika dan hanya jika ada (M in mathbb {R} ) sehingga (| x | leq M text {untuk semua} x di A ) (lihat Latihan 1.5.1)

Definisi ( PageIndex {2} ): Least Upper Bound

Biarkan (A ) menjadi himpunan bebas yang terikat di atas. Kami memanggil nombor ( alpha ) a paling rendah batas atas atau supremum daripada (A ), jika

  1. (x leq alpha text {for all} x in A ) (iaitu, ( alpha ) adalah batas atas (A ));
  2. Sekiranya (M ) adalah batas atas (A ), maka ( alpha leq M ) (ini bermaksud ( alpha ) terkecil di antara semua batas atas).

Sangat mudah untuk melihat bahawa jika (A ) mempunyai supremum, maka ia hanya mempunyai satu (lihat Latihan 1.5.2). Dalam kes ini, kita menunjukkan nombor sedemikian dengan ( sup A ).

Contoh ( PageIndex {1} )

  1. ( sup [0,3) = sup [0,3] = 3 ).
  2. ( sup {3,5,7,8,10 } = 10 ).
  3. ( sup kiri { frac {(- 1) ^ {n}} {n}: n in mathbb {N} kanan } = frac {1} {2} ).
  4. ( sup kiri {x ^ {2}: - 2

Penyelesaian

a. Pertimbangkan terlebih dahulu set ([0,3] = {x in mathbb {R}: 0 leq x leq 3 } ). Dengan definisinya, kita melihat bahawa untuk semua (x in [0,3] ), (x leq 3 ). Oleh itu (3 ) adalah batas atas. Ini mengesahkan keadaan (1) dalam definisi supremum. Andaikan seterusnya (M ) adalah batas atas ([0,3] ). Sejak (3 in [0,3] ), kami mendapat (3 leq M ). Ini mengesahkan keadaan (2) dalam definisi supremum. Ini menunjukkan bahawa (3 ) memang supremum ([0,3] ).

Pertimbangkan seterusnya set ([0,3) = {x in mathbb {R}: 0 leq x <3 } ). Ia mengikuti seperti sebelumnya bahawa (3 ) adalah batas atas ([0,3) ). Sekarang anggap bahawa (M ) adalah batas atas ([0,3) ) dan anggap dengan cara bertentangan bahawa (3> M ). Sekiranya (0> M ), maka (M ) bukan batas atas ([0,3) ) kerana (0 ) adalah unsur ([0,3) ). Sekiranya (0 leq M ), tetapkan (x = frac {M + 3} {2} ). Kemudian (0 leq x <3 ) dan (x> M ), yang menunjukkan (M ) bukan batas atas ([0,3) ). Oleh kerana kita mendapat percanggahan dalam kedua kes tersebut, kita menyimpulkan bahawa (3 leq M ) dan, dengan itu, (3 ) adalah supremum ([0,3) ).

  1. Jelas 10 adalah batas atas set. Lebih-lebih lagi, batas atas mana-mana (M ) mesti memenuhi (10 ​​ leq M ) kerana (10 ​​) adalah unsur set. Oleh itu (10 ​​) adalah supremum.
  2. Perhatikan bahawa jika (n in mathbb {N} ) genap, maka (n geq 2 ) dan

( frac {(- 1) ^ {n}} {n} = frac {1} {n} leq frac {1} {2} ).

Sekiranya (n in mathbb {N} ) ganjil, maka

( frac {(- 1) ^ {n}} {n} = frac {-1} {n} <0 < frac {1} {2} )

Ini menunjukkan bahawa ( frac {1} {2} ) adalah batas atas set. Oleh kerana ( frac {1} {2} ) adalah elemen set, maka seperti contoh sebelumnya bahawa ( frac {1} {2} ) adalah supremum.

d. Tetapkan (A = kiri {x ^ {2}: - 2 M ) yang bertentangan dengan fakta bahawa (M ) adalah batas atas. Oleh itu (4 leq M ). Ini membuktikan bahawa (4 = sup A ).

Proposisi berikut adalah sesuai untuk bekerja dengan suprema.

Proposisi ( PageIndex {1} )

Biarkan (A ) menjadi subkumpulan ( mathbb {R} ) yang terikat di atas. Kemudian ( alpha = sup A ) jika hanya jika

(1 ') (x leq alpha text {untuk semua} x in A );

(2 ') Untuk mana-mana ( varepsilon> 0 ), ada ( alpha in A ) sehingga ( alpha- varepsilon

Bukti

Katakan dahulu bahawa ( alpha = sup A ). Kemudian jelas (1 ') memegang (kerana ini sama dengan keadaan (1) dalam definisi supremum). Sekarang mari ( varepsilon> 0 ). Oleh kerana ( alpha- varepsilon < alpha ), syarat (2) dalam definisi supremum menyiratkan bahawa ( alpha- varepsilon ) bukan batas atas (A ). Oleh itu, mesti ada unsur (a ) (A ) sedemikian rupa sehingga ( alpha- varepsilon

Sebaliknya, anggap keadaan (1 ') dan (2') tahan. Maka yang perlu kita tunjukkan adalah syarat (2) dalam definisi supremum hold. Biarkan (M ) menjadi batas atas (A ) dan anggap, dengan cara bertentangan, bahawa (M < alpha ). Tetapkan ( varepsilon = alpha-M ). Dengan syarat (2) dalam pernyataan, terdapat (a in A ) sedemikian rupa sehingga (a> alpha- varepsilon = M ). Ini bertentangan dengan kenyataan bahawa (M ) adalah batas atas. Kesimpulannya kini menyusul. ( persegi )

Berikut ini adalah aksioma nombor nyata dan disebut sebagai aksioma kelengkapan.

Aksiom Kesempurnaan. Setiap subset yang tidak dilindungi (A ) daripada ( mathbb {R} ) yang dibatasi di atas mempunyai batas paling atas. Itu dia, ( sup A ) ada dan merupakan nombor nyata.

Aksioma ini membezakan nombor sebenar dari semua bidang tertib yang lain dan sangat penting dalam bukti teorema pusat analisis.

Terdapat definisi yang sesuai untuk minimum satu set.

Definisi ( PageIndex {3} )

Biarkan (A ) menjadi subkumpulan ( mathbb {R} ) tanpa batas yang dibatasi di bawah. Kami memanggil nombor ( beta ) a batas bawah yang paling besar atau minimum (A ), dilambangkan dengan ( beta = inf A ), jika

  1. (x geq beta text {for all} x in A ) (iaitu, ( beta ) adalah batas bawah (A ));
  2. Sekiranya (N ) adalah batas bawah (A ), maka ( beta geq N ) (ini bermaksud ( beta ) adalah yang terbesar di antara semua batas bawah).

Dengan menggunakan aksioma kelengkapan, kita dapat membuktikan bahawa jika satu set nonempy dibatasi di bawah, maka minimumnya ada (lihat Latihan 1.5.5).

Contoh ( PageIndex {2} )

  1. ( inf (0,3] = inf [0,3] = 0 ).
  2. ( inf {3,5,7,8,10 } = 3 ).
  3. ( inf kiri { frac {(- 1) ^ {n}} {n}: n in mathbb {N} kanan } = - 1 ).
  4. ( inf kiri {1+ frac {1} {n}: n in mathbb {N} kanan } = 1 ).
  5. ( inf kiri {x ^ {2}: - 2

Penyelesaian

Tambahkan teks di sini.

Proposisi berikut berguna ketika berhadapan dengan infima dan buktinya sama sekali sama dengan Proposisi 1.5.1.

Proposisi ( PageIndex {2} )

Biarkan (A ) menjadi subkumpulan ( mathbb {R} ) tanpa batas yang dibatasi di bawah. Kemudian ( beta = inf A ) jika dan hanya jika

(1 ') (x geq beta text {untuk semua} x in A );

(2 ') Untuk mana-mana ( varepsilon> 0 ), ada (a in A ) sehingga (a < beta + varepsilon ).

Bukti

Tambahkan bukti di sini dan ia akan disembunyikan secara automatik

Berikut adalah sifat asas suprema. Tambahan dijelaskan dalam latihan.

Teorema ( PageIndex {3} )

Biarkan (A ) dan (B ) menjadi set tanpa izin dan (A subset B ). Katakan (B ) dibatasi di atas. Kemudian ( sup A leq sup B ).

Bukti

Biarkan (M ) menjadi batas atas untuk (B ), kemudian untuk (x di B ), (x leq M ). Khususnya, juga benar bahawa (x leq M ) untuk (x di A ). Oleh itu, (A ) juga terikat di atas. Sekarang, kerana ( sup B ) adalah batas atas untuk (B ), ia juga merupakan batas atas untuk (A ). Kemudian, dengan syarat kedua dalam definisi supremum, ( sup A leq sup B ) seperti yang dikehendaki. ( persegi )

Akan lebih mudah bagi kajian had urutan dan fungsi untuk memperkenalkan dua simbol tambahan.

Definisi ( PageIndex {4} )

The sistem nombor nyata yang diperluas terdiri daripada medan sebenar ( mathbb {R} ) dan dua simbol ( infty ) dan (- infty ). Kami mengekalkan susunan asal dalam ( mathbb {R} ) dan menentukan

(- infty

untuk setiap (x in mathbb {R} )

Sistem nombor nyata yang diperluas tidak membentuk medan teratur tetapi adalah kebiasaan membuat konvensyen berikut:

  1. Sekiranya (x ) adalah nombor nyata maka

[x + infty = infty, quad x + (- infty) = - infty ]

  1. Sekiranya (x> 0 ), maka (x cdot infty = infty, quad x cdot (- infty) = - infty ).
  2. Sekiranya (x <0 ), maka (x cdot infty = - infty, quad x cdot (- infty) = infty ).
  3. ( infty + infty = infty, - infty + (- infty) = - infty, infty cdot infty = (- infty) cdot (- infty) = infty, text {dan } (- infty) cdot infty = infty cdot (- infty) = - infty ).

Kami menunjukkan nombor nyata yang diperpanjang ditetapkan oleh ( overline { mathbb {R}} ). Ungkapan (0. Infty ), ( infty + (- infty) ), dan ((- infty) + infty ) dibiarkan tidak ditentukan.

Set ( overline { mathbb {R}} ) dengan konvensyen di atas akan menjadi konvensyen akan senang untuk menerangkan hasil mengenai had dalam bab-bab kemudian.

Definisi ( PageIndex {5} )

Sekiranya (A neq 0 ) tidak dibatasi di atas di ( mathbb {R} ), kami akan menulis ( sup A = infty ). Sekiranya (A ) tidak dibatasi di bawah di ( mathbb {R} ), kami akan menulis ( inf A = - infty ).

Dengan takrifan ini, setiap subset ( mathbb {R} ) yang luar biasa mempunyai supremum dan minimum di ( overline { mathbb {R}} ). Untuk melengkapkan gambar, kami menggunakan konvensyen berikut untuk set kosong: ( sup emptyset = - infty ) dan ( text {inf} emptyset = infty ).

Latihan ( PageIndex {1} )

Buktikan bahawa subset (A ) dari (mathbb {R} ) dibatasi jika dan hanya jika terdapat (M in mathbb {R} ) sehingga (| x | leq M ) untuk semua (x di A ).

Jawapan

Tambahkan teks di sini. Jangan hapuskan teks ini terlebih dahulu.

Latihan ( PageIndex {2} )

Biarkan (A ) menjadi himpunan tanpa izin dan anggap ( alpha ) dan ( beta ) memenuhi syarat (1) dan (2) dalam Definisi 1.5.2 (iaitu, kedua-duanya adalah suprema dari (A )). Buktikan bahawa ( alpha = beta )

Jawapan

Tambahkan teks di sini. Jangan hapuskan teks ini terlebih dahulu.

Latihan ( PageIndex {3} )

Untuk setiap subset ( mathbb {R} ) di bawah, tentukan apakah itu dibatasi di atas, dibatasi di bawah, atau kedua-duanya. Sekiranya terikat di atas (di bawah) cari supremum (minimum). Jelaskan semua kesimpulan anda.

  1. ({1,5,17})
  2. ([0,5))
  3. ( kiri {1+ frac {(- 1) ^ {n}} {n}: n in mathbb {N} kanan } )
  4. ((- 3, infty) )
  5. ( kiri {x in mathbb {R}: x ^ {2} -3 x + 2 = 0 kanan } )
  6. ( kiri {x ^ {2} -3 x + 2: x in mathbb {R} kanan } )
  7. ( kiri {x in mathbb {R}: x ^ {3} -4 x <0 kanan } )
  8. ( {x in mathbb {R}: 1 leq | x | <3 } )
Jawapan

Tambahkan teks di sini. Jangan hapuskan teks ini terlebih dahulu.

Latihan ( PageIndex {4} )

Katakan (A ) dan (B ) adalah subset yang tidak dilepaskan dari ( mathbb {R} ) yang dibatasi di atas. Tentukan

[A + B = {a + b: a in A text {dan} b in B }. ]

Buktikan bahawa (A + B ) terikat di atas dan

[ sup (A + B) = sup A + sup B. ]

Jawapan

Tambahkan teks di sini. Jangan hapuskan teks ini terlebih dahulu.

Latihan ( PageIndex {5} )

Biarkan (A ) menjadi subset tanpa izin dari ( mathbb {R} ). Tentukan (- A = {- a: a in A } ).

  1. Buktikan bahawa jika (A ) dibatasi di bawah, maka (- A ) dibatasi di atas.
  2. Buktikan bahawa jika (A ) dibatasi di bawah, maka (A ) mempunyai minimum di ( mathbb {R} ) dan ( inf A = - sup (-A) ).
Jawapan

Tambahkan teks di sini. Jangan hapuskan teks ini terlebih dahulu.

Latihan ( PageIndex {6} )

Biarkan (A ) menjadi subset tanpa izin dari ( mathbb {R} ) dan ( alpha in mathbb {R} ). Tentukan ( alpha A = { alpha a: a in A } ). Buktikan pernyataan berikut:

  1. Sekiranya ( alpha> 0 ) dan (A ) dibatasi di atas, maka ( alpha A ) dibatasi di atas dan ( sup alpha A = alpha sup A ).
  2. Sekiranya ( alpha> 0 ) dan (A ) dibatasi di atas, maka ( alpha A ) dibatasi di bawah dan ( inf alpha A = alpha sup A ).
Jawapan

Tambahkan teks di sini. Jangan hapuskan teks ini terlebih dahulu.

Latihan ( PageIndex {7} )

Katakan (A ) dan (B ) adalah subset yang tidak dilupakan ( mathbb {R} ) yang dibatasi di bawah. Buktikan bahawa (A + B ) dibatasi di bawah dan

[ inf (A + B) = inf A + inf B. ]

Jawapan

Tambahkan teks di sini. Jangan hapuskan teks ini terlebih dahulu.

Latihan ( PageIndex {8} )

Biarkan (A, B ) menjadi subset bebas dari ( mathbb {R} ) yang dibatasi di bawah. Buktikan bahawa jika (A subset B ), maka

[ inf A geq inf B ]

Jawapan

Tambahkan teks di sini. Jangan hapuskan teks ini terlebih dahulu.


Urutan Cauchy

Dalam matematik, a Urutan Cauchy (Pengucapan Bahasa Perancis: [koʃi] Bahasa Inggeris: / ˈ k oʊ ʃ iː / KOH -shee), dinamakan sempena Augustin-Louis Cauchy, adalah urutan yang unsur-unsurnya saling berdekatan dengan sewenang-wenangnya ketika urutan itu berjalan. [1] Lebih tepatnya, memandangkan jarak positif yang kecil, semua kecuali sebilangan elemen urutan kurang daripada jarak yang diberikan antara satu sama lain.

Tidak memadai untuk setiap istilah untuk mendekati sewenang-wenangnya dengan mendahului istilah. Sebagai contoh, dalam urutan punca kuasa dua nombor semula jadi:

istilah berturut-turut menjadi saling berdekatan antara satu sama lain:

Walau bagaimanapun, dengan peningkatan nilai indeks n, istilahnya an menjadi besar sewenang-wenangnya. Jadi, untuk setiap indeks n dan jarak d, terdapat indeks yang cukup besar sehingga aman & gt d . (Sebenarnya, ada m & gt (√ n + dSebagai hasilnya, walaupun sejauh mana satu jalan masuk, syarat-syarat urutan yang tinggal tidak pernah hampir satu sama lain, oleh itu urutannya tidak Cauchy.

Kegunaan urutan Cauchy terletak pada kenyataan bahawa di ruang metrik yang lengkap (di mana semua urutan tersebut diketahui berkumpul ke had), kriteria penumpuan hanya bergantung pada istilah urutan itu sendiri, berbanding dengan definisi penumpuan, yang menggunakan nilai had serta istilah. Ini sering dieksploitasi dalam algoritma, baik secara teoritis maupun yang diterapkan, di mana proses berulang dapat ditunjukkan dengan mudah untuk menghasilkan urutan Cauchy, yang terdiri dari iterasi, sehingga memenuhi syarat logik, seperti penamatan.

Generalisasi urutan Cauchy di ruang seragam yang lebih abstrak wujud dalam bentuk penapis Cauchy dan jaring Cauchy.


1.5: Aksiom Kesempurnaan bagi Nombor Sebenar

Anda mungkin menganggapnya berguna sebagai titik pada garis, dan sebagai titik dalam satah dan untuk menggambarkan grafik dengan gambar. Sebarang gambar seperti itu berada di luar ruang lingkup perkembangan rasmi kita, tetapi saya akan melukis banyak gambar tersebut secara tidak rasmi.

Oleh itu,. (Dua fungsi sama apabila mereka mempunyai domain yang sama, codomain yang sama, dan peraturan yang sama.)

Buktinya adalah secara induksi, dan dihilangkan.


Bukti: Buktinya berlaku dari induksi pada atau dengan pemfaktoran, dan dihilangkan.


Bukti: Pertama saya akan membina urutan carian binari sedemikian rupa

Dengan kelengkapan, saya akan mempunyai beberapa. Saya akan tunjukkan, dan buktinya akan lengkap.

Bukti yang merupakan urutan carian binari dan untuk semua adalah sama dengan bukti yang diberikan dalam contoh 5.16 untuk, dan tidak akan diulang di sini. Dengan kelengkapan untuk beberapa orang. Sejak, kita mempunyai. Ia mengikutinya

Dengan formula untuk pemfaktoran (rujuk (3.78)), kita ada

untuk semua . Dengan harta Archimedean 3 (rujuk 5.28), ia mengikuti bahawa, iaitu.

Biarkan. Oleh kerana ia semakin meningkat, ia mengikuti latihan 5.48A yang mempunyai paling banyak satu penyelesaian dan ini melengkapkan bukti teorema.


Bukti: [bahagian b)] Biarkan di mana bilangan bulat dan bilangan bulat positif. Kemudian (oleh undang-undang eksponen untuk bilangan bulat),

Oleh itu, dan oleh itu dengan keunikan akar.

satu masuk, dan yang lain tidak masuk.

Euclid menunjukkan bahawa hujah-hujahnya memerlukan harta Archimedean dengan menggunakan definisi berikut:

Di sini "dikalikan" bermaksud "ditambahkan pada dirinya sendiri beberapa kali", iaitu "didarabkan dengan beberapa bilangan bulat positif".

Eksponen rasional diperkenalkan oleh Newton pada tahun 1676.

Di sini menunjukkan akar kubus dari.

Kalkulus Lanjutan Buck [12, lampiran 2] memberikan lapan ciri berbeza aksioma kelengkapan dan membincangkan hubungan antara mereka.

Istilah kelengkapan adalah istilah abad kedua puluh. Buku-buku lama bercakap mengenai kesinambungan nombor nyata untuk menggambarkan apa yang kita sebut sebagai kelengkapan.


1 Jawapan 1

Saya akan menganggap aksioma kelengkapan mengatakan dengan begitu banyak perkataan bahawa untuk setiap set $ A $ yang terikat di atas $ sup A $ ada.

Baiklah, jadi Biarkan $ A $ menjadi satu set yang terikat di bawah. Biarkan $ -A = <-a | a in A > $.

Tuntutan: $ -A $ terikat di atas. Buktikan. $ A $ dibatasi di bawah ini sehingga ada $ M $ sehingga $ a ge M $ untuk semua $ a $ dalam $ A $. Jadi $ -a le -M $ untuk semua $ -a $ dalam $ -A $. Jadi $ -A $ terikat di atas.

Jadi dengan aksioma kelengkapan $ s = sup -A $ ada.

Pf: $ s ge -a $ untuk semua $ -a in -A $ jadi $ -s le a $ untuk semua $ a in A $ jadi $ -s $ adalah batas bawah $ A $. Sekiranya $ k & gt -s $ maka $ -k & lt s $ jadi $ -k $ bukan batas atas $ -A $ sehingga ada $ e in -A $ sehingga $ -k & lt e $. Jadi $ k & gt -e $. Sekarang $ e in -A $ menyiratkan $ -e in A $ jadi $ -k $ bukan batas bawah $ A $. Jadi $ -s $ adalah batas bawah yang paling besar dan $ -s = inf A $.

Sebagai tindak balas kepada komen, saya fikir kita harus membuat bukti langsung untuk ruang lain yang mungkin tidak mempunyai harta yang untuk semua $ a in X $ maka $ -a in X $.

Oleh kerana $ A $ dibatasi di bawahnya, ia mempunyai batas bawah.

Biarkan $ B = <$ batas bawah $ A > $. (Anda mengambil $ mathbb R setminus A $ yang intuitif tetapi tidak betul. Mungkin ada banyak mata tidak dalam $ A $ yang lebih besar daripada beberapa mata dalam $ A $. Hanya jika $ A = [k, infty) $ atau $ (k infty) $ akan ini tidak jadi jujur.)

Biarkan $ a in A $. Sekiranya $ k in B $ maka $ k $ adalah batas bawah $ a $ jadi $ k le a in A $. Jadi $ a $ adalah batas atas $ B $.

Jadi supremum $ B $ wujud. Biarkan $ s sup B $.

Tuntutan: $ s $ adalah had bawah $ A $. Sekiranya $ a in A $, $ a & lt s $ maka $ a $ bukan batas atas $ B $ dan ada $ b in B $ sehingga $ a & ltb le s $. Tetapi $ b $ adalah batas bawah $ A $ sehingga mustahil. $ a ge s $ untuk semua $ a in A $. Jadi $ s $ adalah batas bawah $ A $.

Tuntutan $ s = inf A $. $ k & gt s $ maka $ k $ $ k not in B $ jadi $ k $ bukan batas bawah. Jadi $ s $ adalah batas bawah yang paling besar. $ s = inf A $.


Yang minimum dan supremum

Nombor $ M $ dipanggil batas atas dari $ S $.

Sekiranya satu set dibatasi dari atas, maka ia memiliki batas atas yang jauh, kerana setiap bilangan lebih besar maka batas atas juga batas atas. Di antara semua batas atas, kami berminat dengan yang terkecil.

Biarkan $ S subseteq mathbb$ terikat dari atas. Nombor sebenar $ L $ dipanggil supremum dari set $ S $ jika yang berikut adalah sah:

(i) $ L $ adalah batas atas $ S $:

$ x le L, quad forall x in S, $

(ii) $ L $ adalah batas paling rendah:

$ ( forall epsilon & gt 0) ( ada x di S) (L & # 8211 epsilon & lt x). $

Nilai tambah $ S $ yang kami nyatakan sebagai

Sekiranya $ L in S $, maka kami mengatakan bahawa $ L $ adalah maksimum $ S $ dan kami menulis

Sekiranya set $ S $ itu tidak dibatasi dari atas, maka kita menulis $ sup S = + infty $.

Cadangan 1. Sekiranya nombor $ A in mathbb$ adalah batas atas untuk satu set $ S $, kemudian $ A = sup S $.

Persoalannya, adakah setiap set kosong yang terikat dari atas mempunyai supremum? Pertimbangkan contoh berikut.

Contoh 1. Tentukan supremum dari set berikut

Set $ ​​S $ adalah subset dari set nombor rasional. Menurut definisi supremum, $ sqrt <2> $ adalah supremum bagi set yang diberikan. Walau bagaimanapun, satu set $ S $ tidak mempunyai supremum, kerana $ sqrt <2> $ bukan nombor rasional. Contohnya menunjukkan bahawa dalam set $ mathbb$ ada set yang dibatasi dari atas yang tidak mempunyai supremum, yang tidak berlaku dalam set $ mathbb$.

Dalam satu set nombor nyata yang aksioma kelengkapan ianya sah:

Setiap kumpulan nombor nyata yang tidak kosong yang dibatasi dari atas mempunyai supremum.

Ini adalah aksioma yang membezakan satu set nombor nyata dari satu set nombor rasional.

Yang minimum

Dengan cara yang serupa, kita menentukan istilah yang berkaitan dengan set yang dibatasi dari bawah.

Set tidak kosong $ S subseteq mathbb$ ialah terikat dari bawah jika ada $ m in mathbb$ sedemikian

$ m le x, quad forall x in S. $

Nombor $ m $ dipanggil batas bawah dari $ S $.

Biarkan $ S subseteq mathbb$ terikat dari bawah. Nombor sebenar $ L $ dipanggil minimum dari set $ S $ jika yang berikut adalah sah:

$ L le x, quad forall x in S, $

(ii) $ L $ adalah batas bawah terbesar:

$ ( forall epsilon & gt 0) ( ada x di S) (x & lt L + epsilon) $

Nilai minimum $ S $ yang kami nyatakan sebagai

Sekiranya $ L in S $, maka kami mengatakan bahawa $ L $ adalah minimum dan kami menulis

Sekiranya set $ S $ itu tidak dibatasi dari bawah, maka kita menulis $ inf S = & # 8211 infty $.

Kewujudan infimum diberikan sebagai teorema.

Teorem. Setiap set nombor nyata yang tidak kosong yang dibatasi dari bawah mempunyai bilangan minimum.

Cadangan 2. Biarkan $ a, b in mathbb$ sedemikian sehingga $ a & ltb $. Kemudian

(i) $ sup langle a, b rangle = sup langle a, b] = sup [a, b rangle = sup [a, b] = b $,

(ii) $ sup langle a, + infty rangle = sup [a, + infty rangle = + infty $,

(iii) $ inf langle a, b rangle = inf langle a, b] = inf [a, b rangle = inf [a, b] = a $,

(iv) $ inf langle & # 8211 infty, a rangle = inf langle & # 8211 infty, a] = & # 8211 infty $,

(v) $ sup langle & # 8211 infty, a rangle = sup langle & # 8211 infty, a] = inf langle a, + infty rangle = inf [a, + infty rangle = a $.

Contoh 2. Tentukan $ sup S $, $ inf S $, $ max S $ dan $ min S $ jika

Penyelesaian. Pertama, kita mesti memeriksa berapa $ x $ -s:

Ketidaksamaan di atas akan menjadi kurang daripada sifar jika pengangka dan penyebutnya positif atau kedua-duanya negatif. Kami membezakan dua kes:

1.) $ 3-2x & gt0 $ dan $ x-1 & gt 0 $, iaitu $ x & lt frac <3> <2> $ dan $ x & gt 1 $. Ia mengikuti $ x in langle 1, frac <3> <2> rangle $.

2.) $ 3 & # 8211 2x & lt 0 $ dan $ x-1 & lt 0 $, iaitu, $ x & gt frac <3> <2> $ dan $ x & lt 1 $. Ia mengikuti $ x in emptyset $.

$ Longrightarrow S = langle 1, frac <3> <2> rangle $

Dari dalil 2. berikut bahawa $ sup S = frac <3> <2> $ dan $ inf S = 1 $.

Minimum dan maksimum tidak ada (kerana kita tidak mempunyai had selang waktu).

Contoh 3. Tentukan $ sup S $, $ inf S $, $ max S $ dan $ min S $ jika

Pertama, kami akan menulis beberapa istilah pertama $ S $:

Kita boleh menganggap bahawa istilah terkecil adalah $ frac <1> <2> $ dan tidak ada istilah terbesar, namun, kita dapat melihat bahawa semua istilah tidak melebihi $ 1 $. Maksudnya, kita menganggap $ inf S = min S = frac <1> <2> $, $ sup S = 1 $ dan $ max S $ do dot wujud. Mari & # 8217 membuktikannya!

Untuk membuktikan bahawa $ 1 $ adalah kelebihan $ S $, pertama-tama kita harus menunjukkan bahawa $ 1 $ adalah batas atas:

$ Longleftrightarrow x & lt x + 1 $

yang selalu berlaku. Oleh itu, $ 1 $ adalah batas atas. Sekarang kita mesti menunjukkan bahawa $ 1 $ adalah batas paling rendah. Mari & # 8217s mengambil $ epsilon & lt $ 1 dan tunjukkan bahawa kemudian wujud $ x_0 in mathbb$ sedemikian

$ Longleftrightarrow x_0 & gt epsilon (x_0 + 1) $

$ Longleftrightarrow x_0 (1- epsilon) & gt epsilon $

dan $ x_0 $ seperti itu pasti ada. Oleh itu, $ sup S = 1 $.

Walau bagaimanapun, $ 1 $ bukan maksimum. Yaitu, jika $ 1 in S $, maka $ wujud x_1 in mathbb$ sedemikian

$ Longleftrightarrow x_1 = x_1 + 1 $

yang merupakan percanggahan. Ini menunjukkan bahawa maksimum $ S $ tidak ada.

Sekarang kita akan membuktikan bahawa $ min S = frac <1> <2> $.

Oleh kerana $ frac <1> <2> di S $, sudah cukup untuk menunjukkan bahawa $ frac <1> <2> $ adalah had bawah $ S $. Menurut ini, kita ada

$ Longleftrightarrow 2x ge x + 1 $

$ Longleftrightarrow x ge 1, $

yang sah untuk semua $ x in mathbb$. Oleh itu, $ inf S = min S = frac <1> <2> $.


4. Sifat Rumusan Kedua

Banyak operasi sintaksis yang biasa kita gunakan dalam logik pesanan pertama berfungsi dengan baik dalam logik pesanan kedua. Salah satunya ialah operasi relativisasi, di mana kita ingin mengehadkan apa yang dinyatakan oleh formula kepada bahagian alam semesta yang tetap. Sebagai contoh, kita mungkin mempertimbangkan model yang mempunyai predikat unary tertentu U digunakan untuk set nombor semula jadi. Kemudian kami mengaitkan semula aksioma aritmetik kami dengan predikat U. Sebilangan bahagian lain dari model mungkin digunakan untuk set kuasa set nombor semula jadi. Kemudian kami mengaitkan semula aksioma set kuasa kami (lihat & sekte5.3) ke bahagian tersebut, dan seterusnya.

Secara intuitif, ( phi ^) mengatakan tentang (U ^ mm ) apa yang ( phi ) katakan tentang M. Untuk mendapatkan ( phi ^) dari ( phi ) seseorang mengehadkan semua pengukur pesanan pertama kepada elemen U dan pengukur pesanan kedua untuk subset, hubungan dan fungsi dihidupkan U.

Hierarki berdasarkan struktur pengukur adalah kaedah yang berguna untuk membandingkan kebolehtentuan konsep dalam sistem yang berbeza. Pada logika urutan pertama diperhatikan sejak awal bahawa formula dapat dimasukkan ke dalam setara secara logik Bentuk Normal Prenex di mana semua pengukur berlaku pada awal formula. Ini mungkin berlaku juga dalam logik pesanan kedua dan buktinya pada dasarnya sama. Lebih-lebih lagi, menggunakan kesetaraan (yang mengingatkan pada prinsip teori set yang disebut Axiom of Choice, yang kita kembalikan dalam Bahagian 5.4., Kerana dalam formula di bawah ini hubungan (Y ) dalam arti memilih satu (X ) untuk setiap (x ) dan menyatukannya dalam satu hubungan (Y ) & ndash lihat entri pada Axiom of Choice untuk lebih banyak lagi mengenai topik ini.)

[ forall x , wujud X , phi equiv wujud Y , forall x , phi ', ]

di mana ketangkasan Y adalah satu yang lebih tinggi daripada arity of X, dan ( phi ') diperoleh dari ( phi ) dengan menggantikan di mana-mana (X (t_1, ldots, t_n) ) dengan (Y (x, t_1, ldots, t_n) ) , seseorang boleh membawa setiap formula logik pesanan kedua ke bentuk normal yang setara secara logik

[ tag <4> label Q_1X_1 ldot Q_nX_n phi, ]

di mana setiap (Q_i ) sama ada ( ada ) atau ( forall ) dan ( phi ) adalah urutan pertama.

Notasi (Q_i ) di ( refadalah:
( Sigma ^ 1_1 ) Semua wujud
( Pi ^ 1_1 ) Semua sejagat
( Sigma ^ 1_2 ) Wujud pertama, kemudian universal
( Pi ^ 1_2 ) Pertama sejagat, kemudian wujud
( vdots ) ( vdots )
Notasi Rumusannya secara logik setara dengan:
( Delta ^ 1_1 ) Kedua-dua formula ( Sigma ^ 1_1 ) dan ( Pi ^ 1_1 )
( Delta ^ 1_2 ) Kedua-dua formula ( Sigma ^ 1_2 ) dan ( Pi ^ 1_2 )
( vdots ) ( vdots )

Jadual 1: Hierarki formula urutan kedua.

Dengan menghadkan jenis pengukur apa urutan (Q_1X_1 ldots Q_nX_n ) Bentuk Normal Prenex ( ref) dapat berisi kita memperoleh kelas ( Sigma ^ 1_n ) -, ( Pi ^ 1_n ) - dan ( Delta ^ 1_n ) - formula, seperti yang ditunjukkan dalam Jadual 1. Contohnya, yang kedua formula susunan (1) dan (2) adalah ( Pi ^ 1_1 ) - formula.

Kami telah mempertimbangkan di atas hanya pengukur yang mengikat pemboleh ubah hubungan tetapi situasinya sama seperti jika kita mempunyai pemboleh ubah fungsi terikat.

Kelas formula ini mempunyai beberapa sifat penutupan yang jelas: Kesemuanya ditutup, hingga kesamaan logik, di bawah ( land, lor ), dan pengukur pesanan pertama. Lebih-lebih lagi, hierarki adalah tepat dalam arti bahawa untuk semua (n ge 1 )

[ tag <5> label Sigma ^ 1_n nsubseteq Pi ^ 1_n text Pi ^ 1_n nsubseteq Sigma ^ 1_n, ]

yang dapat dibuktikan dengan hujah diagonalisasi. Kelas ( Delta ^ 1_n ) ditutup di bawah ( land, lor, neg ) dan pengukur pesanan pertama. Oleh Craig & rsquos Interpolation Theorem, ( Delta ^ 1_1 ) - formula secara logik setara dengan formula pesanan pertama [2].

Terdapat rasa di mana ( Pi ^ 1_1 ), atau setara ( Sigma ^ 1_1 ), sudah memiliki kekuatan penuh logik orde kedua, walaupun hasil hierarki di atas ( ref) menunjukkan bahawa ini tidak benar. Untuk melihat ini, iaitu untuk melihat apa pengurangan logik pesanan kedua kepada ( Pi ^ 1_1 ) - bahagiannya, biarkan L menjadi perbendaharaan kata, E satu perduaan dan U simbol hubungan unary, keduanya tidak dalam L. Biarkan ( theta ) menjadi formula kedua ( Pi ^ 1_1 ) - formula

[ tag <6> label forall X ( phi_1 land phi_2 land phi_3), ]

[ bermula phi_1 & amp text quad forall x , forall y ( forall z (E (z, x) leftrightarrow E (z, y)) to x = y) phi_2 & amp text < adalah> quad forall x , forall y (E (x, y) to (U (x) land neg U (y))) phi_3 & amp text quad forall x ((X (x) to U (x)) to wujud y , forall z (X (z) leftrightarrow E (z, y))). akhir ]

Sangat mudah untuk melihat [3] bahawa model ( theta ) berada, hingga isomorfisme, model ( mm ) di mana (M = U ^ mm cawan P (U ^ mm) ), (U ^ mm cap P (U ^ mm) = emptyset ) dan untuk semua (a, b in M ​​), (E ^ mm (a, b) kiri kanan a dalam b ). Dalam model seperti formula orde kedua monadik ( phi ) lebih (U ^ mm ) dapat dikurangkan menjadi formula pesanan pertama ( phi ^ * ) lebih M. Pengurangan ini, disebabkan oleh Hintikka (1955) dan dikembangkan lagi oleh Montague (1963), menunjukkan bahawa ( Pi ^ 1_1 ) - formula sahaja sudah cukup untuk menyatakan harta pesanan kedua dengan predikat tambahan. Ideanya dapat dilanjutkan ke logik urutan ketiga dan lebih tinggi.

Akibatnya, memeriksa kesahihan ayat perintah kedua ( phi ) dapat dikurangkan secara berulang untuk memeriksa kesahihan ( Sigma ^ 1_1 ) - ayat ( theta hingga phi ^ * ). Begitu juga dengan memeriksa sama ada ayat perintah kedua ( phi ) mempunyai model kardinaliti ( kappa ) dapat dikurangkan untuk bertanya sama ada ( Pi ^ 1_1 ) - kalimat ( theta land phi ^ * ) mempunyai model kardinaliti (2 ^ kappa ). Ini bermaksud bahawa nombor L & oumlwenheim [4] dan nombor Hanf [5] dari keseluruhan logik pesanan kedua adalah sama dengan yang terdapat pada fragmen ( Pi ^ 1_1 ).

Menyimpulkan, pada pemeriksaan pertama tahap ( Sigma ^ 1_n ) dan ( Pi ^ 1_n ) hierarki formula orde kedua tumbuh dengan tegas dalam kekuatan ekspresif seperti n meningkat, tetapi analisis yang lebih teliti menunjukkan bahawa sudah tahap pertama ( Sigma ^ 1_1 cup Pi ^ 1_1 ) memiliki kekuatan semua peringkat ( Sigma ^ 1_n, Pi ^ 1_n ) walaupun kuasa agak tersirat dan perlu diketengahkan.

Dalam teori set terdapat Hierarki pungutan formula ( Sigma_n ) - dan ( Pi_n ) - (L & eacutevy 1965). Rumus di mana semua pengukur dibatasi, iaitu, bentuk ( forall x in y ) atau bentuk ( ada x di y ) untuk beberapa x dan y, dipanggil ( Sigma_0 ) atau setara ( Pi_0 ). Rumus bentuk ( forall x , phi ), di mana ( phi ) adalah ( Sigma_n ), dipanggil ( Pi_). Rumus bentuk ( ada x , phi ), di mana ( phi ) adalah ( Pi_n ), disebut ( Sigma_). Ini adalah hierarki yang ketat kira-kira untuk alasan yang sama mengapa hierarki orde kedua ( Sigma ^ 1_n ) - dan ( Pi ^ 1_n ) - formula adalah ketat. Tetapi tidak ada kaedah yang diketahui untuk mengurangkan kebenaran formula sewenang-wenangnya dengan kebenaran formula pada tahap ( Sigma_1 cup Pi_1 ). Sebenarnya, jika masalah keputusan, nombor L & oumlwenheim-Skolem dan nombor Hanf ditakrifkan dengan tepat untuk ( Sigma_n cup Pi_n ) - formula teori set, masalah keputusan menjadi semakin rumit, dan angka yang diperoleh menjadi lebih besar dan lebih besar seperti n meningkat (lihat Teorem 4 V & auml & aumln & aumlnen 1979).

Hierarki ( Sigma_n ^ 1 cup Pi_n ^ 1 ) di dalam logika orde kedua dan hierarki ( Sigma_n cup Pi_n ) dalam teori set, dibandingkan antara satu sama lain dalam & sekte7.


1.5: Aksiom Kesempurnaan bagi Nombor Sebenar

Salah satu masalah untuk memutuskan apakah urutan konvergen adalah bahawa anda perlu mempunyai had sebelum anda dapat menguji definisi.

Bernard Bolzano adalah orang pertama yang mengatasi masalah ini dengan menggunakan idea yang pertama kali diperkenalkan oleh ahli matematik Perancis Augustin Louis Cauchy (1789 hingga 1857).

Urutan disebut a Urutan Cauchy sekiranya terma urutan akhirnya semua menjadi saling berdekatan antara satu sama lain.
Itulah, diberikan ε & gt 0 ada N sedemikian sekiranya m, n & gt N maka |am- an| & lt ε.

    Perhatikan bahawa definisi ini tidak menyebutkan had dan boleh diperiksa dari pengetahuan mengenai urutannya.

    Sebarang urutan Cauchy dibatasi.

Bukti
(Apabila kami memperkenalkan urutan Cauchy dalam konteks yang lebih umum kemudian, hasil ini akan tetap berlaku.)
Bukti pada dasarnya sama dengan hasil yang sesuai untuk urutan konvergen.

Bukti
Sekiranya (an)→ α kemudian diberi ε & gt 0 pilih N jadi jika n & gt N kami mempunyai |an- α| & lt ε. Kemudian jika m, n & gt N kami mempunyai |am- an| = |(am- α) - (am- α)| ≤ |am- α| + |am- α| & lt 2ε.

Urutan Real Cauchy adalah konvergen.

Bukti
Oleh kerana urutan itu dibatasi, ia mempunyai turutan berturut-turut dengan had α.
Tuntutan:
Ini α adalah had urutan Cauchy.
Bukti itu:
Diberikan ε & gt 0 cukup jauh ke bawah selepas istilah an yang seterusnya adalah dalam ε daripada α. Dengan syarat kita cukup mengikut urutan Cauchy am akan berada dalam ε dari ini an dan oleh itu dalam 2ε daripada α.

    Hakikat bahawa dalam R Urutan Cauchy sama dengan urutan konvergen kadang-kadang disebut sebagai Kriteria Cauchy untuk penumpuan.

III Setiap subset dari R yang dibatasi di atas mempunyai batas atas paling sedikit.


Harta tanah Archimedean

Biarkan x menjadi nombor nyata. Kemudian ada nombor semula jadi n sehingga n & gt x.

Teorema ini dikenali sebagai Harta tanah Archimedean nombor nyata. Kadang-kadang ia juga disebut aksioma Archimedes, walaupun nama ini dua kali menipu: ia bukan aksioma (ia bukan merupakan konsekuensi dari harta tanah paling rendah) atau dikaitkan dengan Archimedes (sebenarnya, Archimedes mengkreditkannya kepada Eudoxus).

Bukti.

Biarkan x menjadi nombor nyata, dan biarkan S = . Sekiranya S kosong, biarkan n = 1 perhatikan bahawa x & lt n (sebaliknya 1 ∈ S).

Anggap S tidak senang. Oleh kerana S mempunyai batas atas, S mesti mempunyai batas atas paling sedikit memanggilnya b. Sekarang pertimbangkan b - 1. Oleh kerana b adalah batas atas paling sedikit, b - 1 tidak boleh menjadi batas atas S oleh itu, terdapat beberapa y ∈ S sehingga y & gt b - 1. Biarkan n = y + 1 kemudian n & gt b. Tetapi y adalah semula jadi, jadi n juga harus semula jadi. Since n > b , we know n ∉ S since n ∉ S , we know n > x . Thus we have a natural greater than x . ∎

Corollary 1 .

If x and y are real numbers with x > 0 , there exists a natural n such that n ⁢ x > y .

Proof.

Since x and y are reals, and x ≠ 0 , y / x is a real. By the Archimedean property, we can choose an n ∈ ℕ such that n > y / x . Then n ⁢ x > y . ∎

Corollary 2 .

If w is a real number greater than 0 , there exists a natural n such that 0 < 1 / n < w .

Proof.

Using Corollary 1, choose n ∈ ℕ satisfying n ⁢ w > 1 . Then 0 < 1 / n < w . ∎

Corollary 3 .

If x and y are real numbers with x < y , there exists a rational number a such that x < a < y .

Proof.

First examine the case where 0 ≤ x . Using Corollary 2, find a natural n satisfying 0 < 1 / n < ( y - x ) . Let S = < m ∈ ℕ : m / n ≥ y >. By Corollary 1 S is non-empty, so let m 0 be the least element of S and let a = ( m 0 - 1 ) / n . Then a < y . Furthermore, since y ≤ m 0 / n , we have y - 1 / n < a and x < y - 1 / n < a . Thus a satisfies x < a < y .

Now examine the case where x < 0 < y . Take a = 0 .

Finally consider the case where x < y ≤ 0 . Using the first case, let b be a rational satisfying - y < b < - x . Then let a = - b . ∎


Consumer’s Preferences and Its Assumptions | Microeconomics

This standard theory of consumer’s choice starts with the assumption that the consumer can rank any two consumption bundles (x1, x2) and (y1 , y2) in order of their desirability.

This means that the consumer has two alternatives:

(i) Either he can determine that one of the consumption bundle is strictly better than the other.

(ii) Or, he is indifferent between the two bundles.

In this context we define the following three terms:

If the first bundle (x1, x2) is strictly preferred to the second one (y1 y2) we can express this as (x1, x2) (y1, y2). The symbol implies that he definitely wants (prefers) the first (x-bundle) rather than the second (y-bundle) when both are available. So the consumer will choose (x1, x2) over (y1, y2) if he is given the opportunity to do so.

to denote indifference. If the consumer is indifferent between the two bundles, we express this as (x1, x2)

(y1, y2). This means that the consumer is just satisfied, in his own way, in the sense that he can choose any of the two bundles, according to his own preference and be equally satisfied. In this case he has hardly anything to choose from.

We use the symbol & gt to indicate weak preference. Weak preference means either strict preference or indifference. Thus if the consumer prefers (x1, x2) to (y1, y2) we write: (x1, x2) & gt (y1, y2).

These three concepts are not independent of one another or mutually exclusive. Instead they are closely interrelated.

(y1, y2). This means that if according to his own preference the consumer thinks that (x1, x2) is at least as good as (y1, y2) and that (y1, y2) is at least as good as (x1, x2) then it logically follows that he must be indifferent between the two bundles.

If (x1, x2) & gt (y1, y2) but the consumer is not indifferent between (x1, x2) and (y1, y2) then (x1, x2) > (y1 y2). This means that if the consumer thinks that (x1, x2) is at least as good as (y1, y2) and he is not indifferent between the two bundles, then he must think that (x1, x2) is strictly preferred to (y1, y2).

Assumptions (Axioms) about Preferences:

Since a consumer is not only assumed to behave rationally but also consistently there is a logical contradiction to think of a situation where (x1, x2) > (y1, y2) and, at the same time (y1, y2) > (x1, x2). For this means two things at the same time: the consumer prefers the x-bundle to the y-bundle and then again he prefers the y-bundle to the x-bundle. These are virtually impossible.

To avoid such logical contradictions we make some assumptions about how the consumer behaves in choice situations involving the two bundles. These are known as ‘axioms’ of consumer theory which explain how the preference relations actually work.

Various axioms of choice are required to derive a consumer’s indifference map which is a collection of all indifference curves. The object is to construct a model of the consumer’s preferences, which allows us to specify certain important properties of the consumer’s ranking of consumption bundles in terms of ‘better’, ‘worse’, or ‘as good as’.

Restrictions on preferences translate into restrictions on the form of utility functions. The property of monotonicity, for example, implies that the utility function is increasing: u(X) > u(Y) if X & gt Y.

The property of convexity of preferences, on the other hand, implies that t/(x1, x2) is quasi-concave (and, similarly, strict convexity of preferences implies strict quasi-concavity of U). Increasing-ness and quasi-concavity are ordinal properties of U.

Three fundamental axioms are the following:

1. The Axiom of Completeness:

Prima facie, we assume that any two bundles can be compared. For example, given the above two bundles, viz., the X-bundle and the Y-bundle we assume that (x1, x2) & gt (y1, y2) or (y1, y2) & gt (x1, x2) or both. This means that the consumer cannot choose between the two bundles, i.e., he is indifferent between them.

All commodity bundles can be compared in terms of either indifference or preference. This axiom is also referred to as the axiom of comparability or connectedness. This axiom (assumption) says in effect that the consumer is able to express a preference or indifference between any pair of consumption bundles however alike or unalike they may be.

This ensures that there are no ‘holes’ in the preference ordering, points or areas to which it does not apply.

2. Axiom of Reflexiveness (reflexivity):

Any bundle is assumed to be as good as itself. This means that (x1, x2) & gt (x1, x2). In other words, any bundle is preferred or indifferent to itself. This ensures that every bundle belongs to at least one indifference set, namely, that containing itself, if nothing else.

3. Axiom of Transitivity:

Both indifference and preference must be transitive. If any bundle X is strictly preferred to Y and F is strictly preferred to Z, then X must be strictly preferred to Z. Similarly, if the consumer is indifferent between X and Y and between Y and Z, he will indifferent between X and Z. Thus if X & gt Y and Y & gt Z, if X is weakly preferred to Y and Y is weakly preferred to Z, then X will be weakly preferred to Z.

Intuitively, this is a consistency requirement on the consumer. Given the first two statements, if the third did not hold, so that Z is strictly preferred to X, we would feel that there was an inconsistency in his preferences. This assumption has an important implication for the ‘indifference’ sets, in that it implies that no bundle can belong to more than one set.

Comments on the Axioms:

1. The first axiom implies that any rational consumer is able to make a choice between any two given bundles.

2. The second axiom is a tautology. It is the statement of the obvious. There is nothing new in it. It is quite obvious that any bundle is certainly at least as good as itself or an identical bundle.

3. The third axiom creates a problem. Whether transitivity of preference is necessarily a property that preferences would have to fulfil (obey) is not always transparent.

No doubt transitivity is hypothesis — or a provisional statement — about a consumer’s choice behaviour. But it creates a problem. If a rational consumer is given a choice among three bundles such as X, Y and Z and if he chooses any one of these there would always be one that was preferred to it. So it is not difficult to identify ‘the most preferred’ bundle.

So in order to develop a meaningful theory of consumer demand which enables us to identify the ‘best’ choice for an individual consumer, preferences have to be transitive. Otherwise there would always exist a set of bundles from which it is not possible to make the best choice (or identify the best possible bundle).

4. Axiom of Non-Satiation:

A consumption bundle X will preferred to Y if X contains more of at least one good and no less of any other, i.e., if X > Y.

This axiom establishes a relationship between the quantities of goods in a bundle and its place in the preference ordering the more of each good it contains the better. Moreover, this axiom holds true however large the amounts of the goods in the bundle may be.

The term ‘non-satiation’ implies that the consumer is assumed never to be satisfied with goods. In other words none of the goods is a ‘bad’ such as polluted air or aircraft noise which one would prefer to have as less as possible. It is also assumed that the consumer is never satiated in any good. It is also known as the non-saturation assumption.

The Law of Substitution:

We also make another technical assumption here. The whole indifference curve approach is based on the law of substitution which states that the consumption of one commodity is always at the expense of the other.


1.5: The Completeness Axiom for the Real Numbers

Class Location & Time: Tue, 1:00PM - 2:00 PM Thu, 11:00 AM - 1:00 PM NE2190

Instructor: Ilia Binder ([email protected]), DH3026.
Office Hours: Tue 2:00 PM - 3:00 PM and Thu 10:00 AM-11:00 AM

Teaching Assistant: Belal Abuelnasr, ([email protected] ).
Office Hours: Fri, 10-11 AM, DH3050.

Textbooks: Understanding Analysis, Second Edition, by Stephen Abbott. This book is provided as a free electronic resource to all UofT students through the library website. Click on the following link to access the textbook (you may be required to enter your UTORid and password):
http://myaccess.library.utoronto.ca/login?url=http://books.scholarsportal.info/viewdoc.html?id=/ebooks/ebooks3/springer/2015-07-09/1/9781493927128

Prerequisites: MAT102H5, MAT224H5/MAT240H5, MAT212H5/MAT244H5, MAT232H5/MAT233H5/MAT257Y5
Exclusions: MAT337H1, MAT357H1,MATB43H3, MATC37H3

Prerequisites will be checked, and students not meeting them will be removed from the course by the end of the second week of classes. If a student believes that s/he does have the necessary background material, and is able to prove it (e.g., has a transfer credit from a different university), then s/he should submit a 'Prerequisite/Corequisite Waiver Request Form'.

Topics.
The course is the rigorous introduction to Real Analysis. We start with the careful discussion of The Axiom of Completeness and proceed to the study of the basic concepts of limits, continuity, Riemann integrability, and differentiability.

Topics covered in class.

September 6: An introduction. Real numbers and the Axiom of Completeness. Section 1.3.
September 11: The Axiom of Completeness. Nested Interval property. Sections 1.3, 1.4.
September 13: Nested Interval property. Archimedean property. Definitions of the limit of a sequence (including an alternative definition). Limits and algebraic operations. Sections 1.4, 2.2, 2.3.
September 18: Limits and algebraic operations. Limits and order. Squeezed sequence lemma.Section 2.3.
September 20: The Monotone Convergence Theorem. Iterated sequences. Positive series. Liminf and limsup. Section 2.4.
September 25: Liminf and limsup. Subsequences and their limits. Bolzano-Weierstrass Theorem. Section 2.5.
September 27: Bolzano-Weierstrass Theorem. Cauchy Criterion. Series. Sections 2.5, 2.6, 2.7.
October 2:Open and closed sets. Interrior, exterior, and border points. Section 3.2.
October 4:Interrior, exterior, and border points. Compact sets. Heine-Borel Theorem. Sections 3.2, 3.3.
October 16: Heine-Borel Theorem. Baire's Theorem. Sections 3.3, 3.5.
October 18: Functional limits. Sequential criterion. Continuity. Sections 4.2, 4.3.
October 23: Continuity and compact sets. Uniform continuity. Section 4.4.
October 25: Uniform continuity and compact sets. The Intermediate value Theorem. Differentiability (including an alternative definition). Darboux's Theorem. Sections 4.4, 4.5, 5.2.
October 30: Rolle's theorem. The Mean Value Theorem. L'Hospital rule. Pointwise and Uniform convergence. Sections 5.3, 6.2.
November 1: Uniform convergence. Continuity of uniform limit. Uniform convergence and differentiation. Sections 6.2, 6.3.
November 6: Midterm review.
November 8: Midterm.
November 13: Uniform convergence and differentiation. Uniform convergence of series. Sections 6.3, 6.4.
November 15: Power series. Section 6.5.
November 20: Riemann Integration. Section 7.2.
November 22: Riemann Integration: criterion of integrability, non-integrable functions integrability of continuous functions, additivity and algebraic properties of Riemann integral. Sections 7.2, 7.3, 7.4.
November 27: Algebraic properties of Riemann Integral. Integrability of Uniform limit. Section 7.4.
November 29: The Fundamental Theorem of Calculus. Integration by parts. Riemann integrability criterion. Sections 7.5, 8.1.
December 4: Final review.

Homework. The assignments should be submitted through Quercus. To submit, you can scan or take a photo of your work (or write your work electronically). Please make sure that the images are clear and easy to read before you submit them.

Assignment #1, due September 13: The assignment is based on the material you have learned in MAT102.
Please do the following exercises from the textbook: 1.2.3, 1.2.4, 1.2.5, 1.2.7, 1.2.8, 1.2.9, 1.2.10, 1.2.11, 1.2.12, 1.2.13.

Tutorials and presentations. Each student must be registered in one of the tutorials (on ROSI). The attendance of tutorials is mandatory. Based on the homework assignments, the students will be selected to present some of the homework problems at the tutorials. An unexcused absence at the tutorial on the day you are selected for the presentation will result in zero credit for the presentation.
Tutorials will begin on Friday of the second week of classes.

Quiz. There will be a one-hour in-tutorial quiz on Friday, September 28, or Monday, October 1, depending on your tutorial section. No aides are allowed for this quiz. The quiz will cover the material of the sections 1.3, 1.4, 2.2, 2.3, 2.4.
Recommended preparation (do not hand in): problems 1.3.2, 1.3.3, 1.3.6, 1.3.8, 1.4.8, 2.2.2, 2.2.4, 2.3.2, 2.3.7, 2.4.1, 2.4.6, 2.4.8.

Midterm Test. There will be a two-hour in-class midterm test on Thursday, November 8. No aides are allowed for this test. The test will cover the material of the sections 1.3, 1.4, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 3.2, 3.3, 3.5, 4.2, 4.3, .4.4, 4.5, 5.2, 5.3.
Recommended preparation: assignment #7, and (do not hand in): all the quiz review problems, 2.5.9, 2.6.4, 2.7.7, 3.2.8, 3.3.8, 3.5.9, 4.2.4, 4.3.6, 4.4.11, 4.5.6, 5.2.10, 5.3.4.

Final exam. The final exam will be held on Wednesday, December 12, 5-8pm, at KN137. No aides are allowed for this test.
The exam will cover the material of the sections 1.3, 1.4, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 3.2, 3.3, 3.5, 4.2, 4.3, .4.4, 4.5, 5.2, 5.3, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6 (up to Theorem 6.6.2), 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 8.1 (up to Theorem 8.1.2).
You will be required to state and prove in detail one of the following Theorems from the textbook: 2.4.2, 2.5.5, 3.3.4, 4.2.3, 4.3.9, 4.4.1, 4.4.2, 4.4.7, 5.2.7, 5.3.2, 6.2.6, 6.4.4, 7.2.8, 7.5.1.
Recommended preparation (do not hand in): all the quiz and midterm review problems, 6.2.3, 6.2.13, 6.2.14, 6.2.15, 6.3.1, 6.3.6, 6.4.2, 6.4.4, 6.4.10, 6.5.2, 6.5.8, 7.2.3, 7.3.2, 7.3.5, 7.4.3, 7.4.10, 7.5.2, 7.5.4.
Additional office hours: Tuesday, December 11, 12 - 1. Location: DH3000 Location: DV-2094A -->.

Grading. Grades will be based on the best eight out of ten homework assignements (10%), an in-tutorial quiz (10%), an in-lecture midterm test (25%), tutorial presentations (15%), attendance of tutorials and active participation in the discussions (5%), and Final exam (35%). I will also occasionally assign bonus problems.

Late work. No late work will be accepted. Special consideration for late assignments or missed exams must be submitted via e-mail within a week of the original due date. There will be no make-up quiz, midterm test, or final. Justifiable absences must be declared on ROSI, undocumented absences will result in zero credit.

E-mail policy.
E-mails must originate from a utoronto.ca address and contain the course code MAT337 in the subject line. Please include your full name dan student number in your e-mail.

Academic Integrity.
Honesty and fairness are fundamental to the University of Toronto&rsquos mission. Plagiarism is a form of academic fraud and is treated
very seriously. The work that you submit must be your own and cannot contain anyone elses work or ideas without proper
attribution. You are expected to read the handout How not to plagiarize (http://www.writing.utoronto.ca/advice/using-sources/how-not-to-plagiarize) and to be familiar with the Code of behaviour on academic matters, which is linked from the UTM calendar under the link Codes and policies.


Tonton videonya: FORMULA! UNTUK MENANG NOMBOR 4D l METHODE l (Oktober 2021).