Artikel

4: Fungsi Linear - Matematik


Ingat bahawa fungsi adalah hubungan yang memberikan kepada setiap elemen dalam domain tepat satu elemen dalam julat. Fungsi linier adalah jenis fungsi tertentu yang dapat digunakan untuk memodelkan banyak aplikasi dunia nyata, seperti pertumbuhan tanaman dari masa ke masa. Dalam bab ini, kita akan meneroka fungsi linear, grafiknya, dan bagaimana mengaitkannya dengan data.

  • 4.0: Pengenalan Fungsi Linear
    Bayangkan meletakkan tanaman di tanah satu hari dan mendapati bahawa ia telah menggandakan ketinggiannya hanya beberapa hari kemudian. Walaupun kelihatan luar biasa, ini boleh berlaku dengan jenis spesies buluh tertentu. Anggota keluarga rumput ini merupakan tanaman yang paling cepat tumbuh di dunia. Satu spesies buluh diperhatikan tumbuh hampir 1.5 inci setiap jam. Kadar perubahan yang berterusan, seperti kitaran pertumbuhan tanaman buluh ini, adalah fungsi linear.
  • 4.1: Fungsi Linear
    Pasangan tertib yang diberikan oleh fungsi linear mewakili titik pada garis. Fungsi linear dapat ditunjukkan dalam kata-kata, notasi fungsi, bentuk tabel, dan bentuk grafik. Kadar perubahan fungsi linear juga dikenali sebagai cerun. Persamaan dalam bentuk cerun-pintasan garis merangkumi cerun dan nilai awal fungsi. Nilai awal, atau pintasan-y, adalah nilai output apabila input fungsi linear adalah sifar.
  • 4.2: Pemodelan dengan Fungsi Linear
    Kita dapat menggunakan strategi masalah yang sama seperti yang kita gunakan untuk semua jenis fungsi. Semasa memodelkan dan menyelesaikan masalah, kenal pasti pemboleh ubah dan cari nilai utama, termasuk cerun dan pintasan-y. Lukiskan rajah, di mana sesuai. Periksa kewajaran jawapan. Model linier boleh dibina dengan mengenal pasti atau mengira cerun dan menggunakan pintasan-y. Pintas x boleh didapati dengan menetapkan y = 0, yang menetapkan ungkapan mx + b sama dengan 0.
  • 4.3: Memasang Model Linear ke Data
    Petak penyebaran menunjukkan hubungan antara dua set data. Petak penyebaran boleh mewakili model linear atau bukan linear. Garis paling sesuai boleh dianggarkan atau dikira, menggunakan kalkulator atau perisian statistik. Interpolasi dapat digunakan untuk memprediksi nilai di dalam domain dan rentang data, sedangkan ekstrapolasi dapat digunakan untuk memprediksi nilai di luar domain dan rentang data. Pekali korelasi, r, menunjukkan tahap hubungan linear antara data.

4. DE Linear Perintah 1

Untuk DE linear urutan 1, faktor penyatuan ialah:

The penyelesaian kerana DE diberikan dengan mengalikan y dengan faktor penyatuan (di sebelah kiri) dan pendaraban Q oleh faktor penyatuan (di sebelah kanan) dan mengintegrasikan sisi kanan berkenaan dengan x, seperti berikut:

Contoh 1

Sekarang untuk faktor penyatuan:

Kita perlu menerapkan formula berikut: `ye ^ (intPdx) = int (Qe ^ (intPdx)) dx`

Untuk bahagian kiri formula, kita ada

Untuk tangan kanan formula, Q = 7 dan JIKA = x -3, jadi:

Menggunakan kamiran luar:

Sekarang, dengan menggunakan keseluruhan formula, `ye ^ (intPdx) = intQe ^ (intPdx) dx`, kita mempunyai

Berganda sepanjang dengan x 3 memberikan penyelesaian umum untuk `y` .:

Betulkah? Bezakan jawapan ini untuk memastikan ia menghasilkan persamaan pembezaan dalam soalan.

Berikut adalah graf penyelesaian jawapan kami untuk Contoh 1 (saya telah gunakan K = 0.5 ).

Contoh 2

"& quotIF & quot = e ^ (intPdx)" = e ^ (int cot x dx) "= e ^ (ln sin x)" = sin x "

Gunakan formula, `ye ^ (intPdx) = intQe ^ (intPdx) dx` untuk mendapatkan:

Integral memerlukan penggantian sederhana: `u = sin x`,` du = cos x dx`

Bahagiakan dengan dosa x untuk mendapatkan penyelesaian umum DE yang diperlukan:

Berikut adalah graf penyelesaian jawapan kami untuk Contoh 2 (saya telah gunakan K = 0.1 ) .

Ia adalah lengkung trigonometri komposit, di mana bentuk utamanya adalah lengkung koseken, dan "goyangan" disebabkan oleh penambahan (sin x) / 2 bahagian:

Graf penyelesaian khas menggunakan `K = 0.1`.

Contoh 3

Membahagi sepanjang hingga dx untuk mendapatkan persamaan dalam bentuk yang diperlukan, kami mendapat:

Sekarang faktor penyatuan dalam contoh ini adalah

Dengan menggunakan `ye ^ (intPdx) = intQe ^ (intPdx) dx + K`, kami mempunyai:

Berikut adalah graf penyelesaian untuk Contoh 3 (saya telah gunakan K = 5 ).

Perlu untuk memperkecil (banyak) untuk melihat apa yang berlaku dalam grafik ini.

Graf penyelesaian khas menggunakan `K = 5`.

Contoh 4

Kita perlu mendapatkan persamaan dalam bentuk DE linear tertib 1.

Kembangkan pendakap dan bahagi hingga dx:

Selesaikan secara langsung, menggunakan Buku Catatan Ilmiah

Buku nota ilmiah tidak dapat menyelesaikan soalan asal kami:

Kita harus menyusunnya dari segi `(dy) / (dx)` dan kemudian menyelesaikannya dengan menggunakan

Pengiraan menu & rarr Selesaikan ODE. & rarr Tepat


Soalan Pelbagai Pilihan
Soalan. 1 Penyelesaian yang mana satu daripada persamaan berikut ini bukan pecahan atau bilangan bulat?
(a) -3x + 2 = 5x + 2 (b) 4x-18 = 2 (c) 4x + 7 = x + 2 (d) 5x-8 = x +4
Penyelesaian. Untuk pilihan (c)

Soalan. 2 Penyelesaian kapak persamaan + b = 0 adalah

Penyelesaian.

Soalan. 3 Sekiranya 8x & # 8211 3 = 25 + 17x, maka x ialah
(a) pecahan (b) integer
(c) nombor rasional (d) Tidak dapat diselesaikan
Penyelesaian. (c) Diberi, 8x-3 = 25 + 17x

Soalan. 4 Peralihan nombor dari satu sisi persamaan ke sisi lain disebut
(a) peralihan (b) kebolehagihan
(c) komutativiti (d) kaitan.
Penyelesaian. (a) Peralihan nombor dari satu sisi persamaan ke sisi lain disebut transposisi.
cth. x + a = 0 ialah persamaan, x = -a
Di sini, nombor ‘a’ beralih dari sisi kiri ke sisi kanan.

Soalan. 5 Jika ( frac <5x> <3> ) - 4 = ( frac <2x> <5> ), maka nilai berangka 2x & # 8211 7 adalah
(a) ( frac <19> <13> ) (b) ( frac <-13> <19> )
(c) 0 (d) ( frac <13> <19> )
Penyelesaian.(b)

Soalan. 6 Nilai x, yang mana ungkapan 3x & # 8211 4 dan 2x + 1 menjadi sama, adalah
(a) -3 (b) 0
(c) 5 x (d) 1
Penyelesaian. (c) Ungkapan yang diberi 3x & # 8211 4 dan 2x + 1 adalah sama.
Kemudian, 3x-4 = 2x + 1
3x- 2x = 1 + 4 [mengalihkan 2x ke LHS dan -4 ke RHS]
x = 5
Oleh itu, nilai x ialah 5.

Soalan. 7 Jika a dan b adalah bilangan bulat positif, maka penyelesaian persamaan ax = b harus selalu
(a) positif (b) negatif (c) satu (d) sifar
Penyelesaian. (a) Sekiranya ax = b, maka x = ( frac )
Oleh kerana, a dan b adalah bilangan bulat positif. Jadi, ( frac
) juga bilangan bulat positif, Oleh itu, penyelesaian persamaan yang diberikan harus selalu positif.

Soalan. 8 Persamaan linear dalam satu pemboleh ubah mempunyai
(a) hanya satu pemboleh ubah dengan daya
(b) hanya satu istilah dengan pemboleh ubah
(c) hanya satu pemboleh ubah dengan daya 1
(d) hanya jangka masa tetap
Penyelesaian. (c) Persamaan linear dalam satu pemboleh ubah hanya mempunyai satu pemboleh ubah dengan daya 1.
cth. 3x + 1 = 0,2y & # 8211 3 = 7 dan z + 9 = & # 8211 2 adalah persamaan linear dalam satu pemboleh ubah.

Soalan. 9 Antara berikut, yang manakah merupakan ungkapan linear?
(a) ( ^ <2> ) +1 (b) y + ( ^ <2> )
(c) 4 (d) 1 + z
Penyelesaian. (d) Kita tahu bahawa, ungkapan algebra dalam satu pemboleh ubah yang mempunyai kekuatan tertinggi pemboleh ubah sebagai 1, dikenali sebagai ungkapan linear.
Di sini, 1 + z adalah satu-satunya ungkapan linear, kerana kekuatan pemboleh ubah z adalah 1.

Soalan.10 Persamaan linear dalam satu pemboleh ubah mempunyai
(a) hanya satu penyelesaian (b) dua penyelesaian
(c) lebih daripada dua penyelesaian (d) tiada penyelesaian
Penyelesaian. (a) Persamaan linear dalam satu pemboleh ubah hanya mempunyai satu penyelesaian.
cth. Penyelesaian kapak persamaan linear + b = 0 adalah unik, iaitu x = ( frac <-b>
)

Soalan. 11 Nilai S di ( frac <1> <3> ) + S = ( frac <2> <5> ) ialah
(a) ( frac <4> <5> ) (b) ( frac <1> <15> )
(c) 10 (d) 0
Penyelesaian.(b) Diberi, ( frac <1> <3> ) + S = ( frac <2> <5> )

Soalan.12 Sekiranya & # 8211 ( frac <4> <3> ) y = & # 8211 ( frac <3> <4> ) maka y sama dengan
(a) (- < kiri [ frac <3> <4> kanan]> ^ <2> ) (b) (- < kiri [ frac <4> <3> kanan]> ^ <2> )
(c) (< kiri [ frac <3> <4> kanan]> ^ <2> ) (d) (< kiri [ frac <4> <3> kanan]> ^ < 2> )
Penyelesaian.

Soalan. 13 Digit di tempat sepuluh & # 8217s nombor dua digit adalah 3 lebih banyak daripada digit di tempat unit & # 8217s. Biarkan digit di unit & # 8217s b. Kemudian, bilangannya
(a) 11b + 30 (b) 10b + 30
(c) 11 b + 3 (d) 10b + 3
Penyelesaian. (a) Biarkan digit di tempat unit b.
Kemudian, digit di tempat sepuluh = (3 + b)
Nombor = 10 (3 + b) + b & # 8211 30 + 10b + b = 11b + 30

Soalan. 14 Arpita & # 8217s sekarang adalah tiga kali dari Shilpa. Sekiranya usia Shilpa & # 8217s tiga tahun yang lalu adalah x, maka usia Arpita & # 8217s adalah
(a) 3 (x & # 8211 3) (b) 3x + 3
(c) 3x & # 8211 9 (d) 3 (x + 3)
Penyelesaian. (d) Diberikan, usia Shilpa tiga tahun yang lalu = x
Kemudian, usia Shilpa sekarang = (x + 3)
Zaman sekarang Arpita = 3 x Umur sekarang Shilpa = 3 (x + 3)

Soalan. 15 Jumlah tiga gandaan berturut-turut 7 ialah 357. Cari gandaan terkecil.(a) 112 (b) 126 (c) 119 (d) 116
Penyelesaian.

Isi tempat kosong
Dalam soalan 16 hingga 32, isikan tempat kosong untuk menjadikan setiap pernyataan itu benar.
Soalan. 16 Dalam persamaan linear, kekuatan & # 8212 & # 8212 & # 8212 pemboleh ubah yang muncul dalam persamaan adalah satu.
Penyelesaian. tertinggi
cth. x + 3 = O dan x + 2 = 4 adalah persamaan linear.

Soalan. 17 Penyelesaian persamaan 3x & # 8211 4 = 1 & # 8211 2x ialah & # 8212 & # 8212 & # 8212 & # 8212-.
Penyelesaian.

Soalan. 18 Penyelesaian persamaan 2y = 5y - ( frac <18> <5> ) ialah & # 8212 & # 8212 & # 8212 & # 8212.
Penyelesaian.

Soalan. 19 Sebarang nilai pemboleh ubah, yang menjadikan kedua sisi persamaan sama, dikenali sebagai & # 8212 & # 8212 & # 8212 & # 8211 persamaan.
Penyelesaian. cth. x + 2 = 3 = & gt x = 3-2 = 1 [mengalihkan 2 ke RHS]
Oleh itu, x = 1 memenuhi persamaan dan ia adalah penyelesaian persamaan.

Soalan. 20 9x & # 8211 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 .. = & # 8211 21 ada penyelesaiannya (- 2).
Penyelesaian. 3
Biarkan 9x-m = -21 ada penyelesaiannya (-2).

Soalan. 21 Tiga nombor berturut-turut yang jumlahnya 12 adalah & # 8212 & # 8212 & # 8211, & # 8212 & # 8212 & # 8212 & # 8212-dan & # 8212 & # 8212 & # 8212.
Penyelesaian.

Soalan. 22 Bahagian A apabila Rs 25 dibahagi antara A dan B, sehingga A mendapat Rs 8 lebih banyak daripada B, adalah & # 8212 & # 8212 & # 8211.
Penyelesaian.

Soalan. 23 Istilah persamaan dapat dialihkan ke sisi lain dengan mengubah & # 8212-.
Penyelesaian. tanda
cth. x + a = 0 adalah persamaan linear. .
= & gt x = -a
Oleh itu, istilah persamaan dapat ditransfer ke sisi lain dengan mengubah tandanya.

Soalan. 24 Pada pengurangan 8 dari x, hasilnya adalah 2. Nilai x ialah & # 8212 & # 8212 & # 8211.
Penyelesaian.

Soalan. 25 ( frac <5> ) + 30 = 18 mempunyai penyelesaiannya sebagai & # 8212 & # 8212 & # 8211.
Penyelesaian.

Soalan. 26 Apabila nombor dibahagi dengan 8, hasilnya adalah -3. Nombornya ialah & # 8212 & # 8212 & # 8211.
Penyelesaian.

Soalan. 27 Apabila 9 ditolak dari produk p dan 4, hasilnya adalah 11. Nilai p adalah & # 8212-.
Penyelesaian.

Soalan. 28 Jika ( frac <2> <5> ) x-2 = 5 - ( frac <3> <5> ) x, maka x = & # 8212 & # 8212-.
Penyelesaian.

Soalan. 29 Selepas 18 tahun, Swarnim akan berumur 4 kali daripada dia sekarang. Zaman sekarang ialah & # 8212 & # 8212 & # 8211.
Penyelesaian.

Soalan. 30 Tukarkan penyataan & # 8216menambah 15 hingga 4 kali x ialah 39 & # 8217 menjadi persamaan.
Penyelesaian. 4x + 15 = 39
Untuk menukar pernyataan yang diberikan menjadi persamaan, x pertama didarabkan dengan 4 dan kemudian 15 ditambahkan untuk mendapatkan hasilnya 39. iaitu 4x + 15 = 39

Soalan. 31 Penyebut nombor rasional lebih besar daripada pengangka sebanyak 10. Sekiranya pengangka dinaikkan sebanyak 1 dan penyebutnya diturunkan sebanyak 1, maka ungkapan untuk penyebut baru adalah & # 8212 & # 8212.
Penyelesaian.

Soalan. 32 Jumlah dua gandaan berturut-turut 10 ialah 210. Gandaan yang lebih kecil ialah & # 8212 & # 8212-.
Penyelesaian.

Betul salah
Dalam soalan 33 hingga 48, nyatakan sama ada pernyataan itu Betul atau Salah.
Soalan. 33 3 tahun yang lalu, usia budak lelaki adalah y tahun. Umurnya 2 tahun yang lalu adalah (y - 2) tahun.
Penyelesaian. Salah
Diberikan, 3 thn yang lalu, usia budak = yr
Kemudian, masa sekarang budak lelaki = (y + 3) thn
2 thn yang lalu, umur budak = y + 3-2 = (y + 1) thn

Soalan. 34 Shikha & # 8217s sekarang adalah p tahun. Reemu & # 8217s sekarang ini adalah 4 kali dari usia Shikha sekarang. Selepas 5 tahun, usia Reemu & # 8217 akan menjadi 15p tahun.
Penyelesaian. Salah
Diberikan, usia Shikha = pyr
Kemudian, usia Reemu sekarang = 4 x (Shikha & # 8217s usia sekarang) = 4pyr Selepas 5 thn, usia Reemu = (4p + 5) thn

Soalan. 35 Dalam nombor 2 digit, digit tempat & # 8217 adalah x. Sekiranya jumlah digit menjadi 9, maka bilangannya adalah (10x & # 8211 9).
Penyelesaian. Salah
Diberi, digit unit = x
dan jumlah digit = 9
Angka sepuluh = 9 & # 8211 x
Oleh itu, nombor = 10 (9 -x) + x = 90 -10x + x = 90 & # 8211 9x

Soalan. 36 Jumlah usia Anju dan ibunya adalah 65 tahun. Sekiranya usia Anju & # 8217s ini adalah y tahun, maka usia ibunya & # 8217s sebelum 5 tahun adalah (60 & # 8211 y) tahun.
Penyelesaian. Betul
Memandangkan, Anju & # 8217s kini berumur = thn
Kemudian, usia ibu Anju = (65 & # 8211 thn)
Sebelum 5 thn, usia ibu Anju = 65 & # 8211 thn & # 8211 5 = (60 & # 8211 thn)

Soalan. 37 Jumlah anak lelaki dan perempuan dalam kelas adalah dalam nisbah 5: 4. Sekiranya bilangan lelaki adalah 9 lebih banyak daripada bilangan gadis, maka bilangan lelaki adalah 9.
Penyelesaian. Salah
Biarkan bilangan budak lelaki 5x dan bilangan gadis 4x.
Mengikut soalan, & # 8211 5x & # 8211 4x = 9 = & gt x = 9
Oleh itu, bilangan lelaki = 5 x 9 = 45

Soalan. 38 A dan B bersama-sama berumur 90 tahun. Lima tahun yang lalu, A tiga kali lebih tua daripada B. Oleh itu, usia A dan B lima tahun ke belakang adalah (x & # 8211 5) tahun dan (85 & # 8211 x) tahun, masing-masing.
Penyelesaian. Betul
Biarkan usia A menjadi x thn.
Kemudian, umur S = (90 & # 8211 x) thn
Lima tahun yang lalu, usia A = (x- 5) thn
Umur B = 90-x-5 = (85-x) thn
Oleh itu, usia A dan 8 lima tahun yang lalu adalah (x & # 8211 5) thn dan (85 & # 8211 x) thn.

Soalan. 39 Dua persamaan berbeza tidak akan pernah mempunyai jawapan yang sama.
Penyelesaian. Salah
Dua persamaan yang berbeza mungkin mempunyai jawapan yang sama.
mis. 2x + 1 = 2 dan 2x & # 8211 5 = & # 8211 4 adalah dua persamaan linear yang penyelesaiannya ialah ( frac <1> <2> )

Soalan. 40 Dalam persamaan 3x & # 8211 3 = 9, memindahkan & # 8211 3 ke RHS, kita mendapat 3x = 9.
Penyelesaian. Salah
Diberi, 3x & # 8211 3 = 9
= & gt 3x = 9 + 3 [beralih -3 ke RHS]
= & gt 3x = 12

Soalan. 41 Dalam persamaan 2x = 4 & # 8211 x, memindahkan & # 8211 x ke LHS, kita mendapat x = 4.
Penyelesaian. Salah
Diberi, 2x = 4-x
= & gt 2x + x = 4 [menukar -x ke LHS]
= & gt 3x = 4

Soalan. 42

Penyelesaian.

Soalan. 43

Penyelesaian.

Soalan. 44 Sekiranya 6x = 18, maka 18x = 54.
Penyelesaian.

Soalan. 45 Jika ( frac <11> ), maka x = ( frac <11> <15> ).
Penyelesaian.

Soalan. 46 Sekiranya x adalah nombor genap, maka nombor genap seterusnya adalah 2 (x +1).
Penyelesaian. Salah
Diberi, x adalah nombor genap. Kemudian, nombor genap seterusnya adalah (x + 2).

Soalan. 47 Sekiranya jumlah dua nombor berturut-turut adalah 93 dan salah satunya adalah x, maka nombor yang lain ialah 93 & # 8211 x.
Penyelesaian. Betul
Diberi, satu nombor berturut-turut = x
Kemudian, nombor berturut-turut seterusnya = x + 1

Soalan. 48 Dua nombor berbeza dengan 40. Apabila setiap nombor bertambah sebanyak 8, semakin besar menjadi tiga kali lebih sedikit bilangannya. Sekiranya satu nombor adalah x, maka nombor yang lain adalah (40 & # 8211 x).
Penyelesaian.

Dalam Soalan 49 hingga 78, selesaikan yang berikut.
Soalan. 49 ( frac <3x-8> <2x> = 1 ).
Penyelesaian.

Soalan. 50 ( frac <5x> <2x-1> = 2 ).
Penyelesaian.

Soalan. 51 ( frac <2x-3> <4x + 5> = frac <1> <3> ).
Penyelesaian.

Soalan. 52 ( frac <8> = frac <5> ).
Penyelesaian.

Soalan. 53 ( frac <5 (1-x) +3 (1 + x)> <1-2x> = 8 ).
Penyelesaian.

Soalan. 54 ( frac <0.2x + 5> <3.5x-3> = frac <2> <5> )
Penyelesaian.

Soalan. 55 ( frac <2y- (3y + 4y)> = frac <1> <5> )
Penyelesaian.

Soalan. 56 ( frac <5> = frac <6> )
Penyelesaian.

Soalan. 57 0.4 (3x-1) = 0.5x +1
Penyelesaian.

Soalan. 58 8x-7-3x = 6x-2x-3
Penyelesaian.

Soalan. 59 10x-5-7x = 5x + 15-8
Penyelesaian.

Soalan. 60 4t-3- (3t + 1) = 5t-4
Penyelesaian.

Soalan. 61 5 (x-1) -2 (x + 8) = 0
Penyelesaian.

Soalan. 62 ( frac <2> - frac <1> <4> kiri (x- frac <1> <3> kanan) = frac <1> <6> kiri (x + 1 kanan) + frac <1> <12> )
Penyelesaian.

Soalan. 63 ( frac <1> <2> kiri (x + 1 kanan) + frac <1> <3> kiri (x-1 kanan) = frac <5> <12> kiri ( x-2 kanan) )
Penyelesaian.

Soalan. 64 ( frac <4> = frac <3> )
Penyelesaian.

Soalan. 65 ( frac <2x-1> <5> = frac <3x + 1> <3> )
Penyelesaian. Diberi ( frac <2x-1> <5> = frac <3x + 1> <3> )

Soalan. 66 1- (x-2) - [(x-3) - (x-1)] = 0
Penyelesaian.

Soalan. 67 (3x- frac <3> = 4- frac <4> )
Penyelesaian.

Soalan. 68 ( frac <3t + 5> <4> -1 = frac <4t-3> <5> )
Penyelesaian.

Soalan. 69 ( frac <2y-3> <4> - frac <3y-5> <2> = y + frac <3> <4> )
Penyelesaian.

Soalan. 70 0.25 (4x-5) = 0.75x +8
Penyelesaian.

Soalan. 71 ( frac <9-3y> <1-9y> = frac <8> <5> )
Penyelesaian.

Soalan. 72 ( frac <3x + 2> <2x-3> = - frac <3> <4> )
Penyelesaian.

Soalan. 73 ( frac <5x + 1> <2x> = - frac <1> <3> )
Penyelesaian.

Soalan. 74 ( frac <3t-2> <3> + frac <2t + 3> <2> = t + frac <7> <6> )
Penyelesaian.

Soalan. 75 (m- frac <2> = 1- frac <3> )
Penyelesaian. Diberi (m- frac <2> = 1- frac <3> )

Soalan. 76 4 (3p + 2) & # 8211 5 (6p & # 8211 1) = 2 (p & # 8211 8) & # 8211 6 (7p & # 8211 4)
Penyelesaian.

Soalan. 77 3 (5x-2) +2 (9x-11) = 4 (8x-7) -111
Penyelesaian.

Soalan. 78 0.16 (5x-2) = 0.4x +7
Penyelesaian.

Soalan. 79 Radha mengambil beberapa bunga di dalam bakul dan mengunjungi tiga kuil satu persatu. Di setiap kuil, dia menawarkan setengah bunga dari bakul. Sekiranya dia ditinggalkan dengan 3 bunga pada akhirnya, cari jumlah bunga yang dimilikinya pada awalnya.
Penyelesaian.

Soalan. 80 Rs 13500 akan diedarkan di antara Salma, Kiran dan Jenifer sedemikian rupa sehingga Salma mendapat Rs 1000 lebih banyak daripada Kiran dan Jenifer mendapat Rs 500 lebih banyak daripada Kiran. Cari wang yang diterima oleh Jenifer.
Penyelesaian.

Soalan. 81 Isi padu air di dalam tangki dua kali ganda daripada yang lain. Sekiranya kita mengeluarkan 25 liter dari yang pertama dan menambahkannya ke yang lain, isipadu air di setiap tangki akan sama. Cari isi padu air di setiap tangki.
Penyelesaian.

Soalan. 82 Anushka dan Aarushi berkawan. Mereka mempunyai jumlah wang yang sama di dalam poket mereka. Anushka memberikan 1/3 wangnya kepada Aarushi sebagai hadiah ulang tahunnya. Kemudian, Aarushi mengadakan pesta di restoran dan membersihkan bil dengan membayar separuh daripada jumlah wang bersamanya. Sekiranya baki wang di poket Aarushi & # 8217s adalah Rs 1600, cari jumlah yang dihadiahkan oleh Anushka.
Penyelesaian.

Soalan. 83 Kaustubh mempunyai 60 bunga. Dia menawarkan beberapa bunga di kuil dan mendapati bahawa nisbah jumlah bunga yang tinggal dengan bunga pada awalnya adalah 3: 5. Cari jumlah bunga yang ditawarkan olehnya di kuil.
Penyelesaian.

Soalan. 84 Jumlah tiga nombor genap berturut-turut ialah 48. Cari nombor yang paling besar.
Penyelesaian.

Soalan. 85 Jumlah tiga nombor semula jadi ganjil berturut-turut adalah 69. Cari nombor perdana daripada nombor ini.
Penyelesaian.

Soalan. 86 Jumlah tiga nombor berturut-turut adalah 156. Cari nombor yang merupakan gandaan dari 13 daripada nombor-nombor ini.
Penyelesaian.

Soalan. 87 Cari nombor yang bahagian kelima meningkat sebanyak 30 sama dengan bahagian keempatnya menurun sebanyak 30.
Penyelesaian.

Soalan. 88 Bahagikan 54 menjadi dua bahagian, sehingga satu bahagian adalah 2/7 dari bahagian yang lain.
Penyelesaian.

Soalan. 89 Jumlah digit nombor dua digit adalah 11. Nombor yang diberikan kurang daripada nombor yang diperoleh dengan menukar digit dengan 9. Cari nombor.
Penyelesaian.

Soalan. 90 Dua sisi sama segitiga masing-masing 4 m kurang dari tiga kali sisi ketiga. Cari dimensi segitiga, jika perimeternya adalah 55 m.
Penyelesaian.

Soalan. 91 Selepas 12 tahun, Kanwar berumur 3 kali lebih tua daripada dia 4 tahun yang lalu. Cari zaman sekarang.
Penyelesaian.

Soalan. 92 Anima menyerahkan separuh daripada hartanya kepada anak perempuannya, satu pertiga kepada anaknya dan menyumbangkan selebihnya kepada sebuah institusi pendidikan. Sekiranya sumbangan itu bernilai Rs 100000, berapakah jumlah wang yang dimiliki Anima?
Penyelesaian.

Soalan. 93 Jika 1/2 dikurangkan dari nombor dan perbezaannya didarabkan dengan 4, hasilnya adalah 5. Apakah nombor itu?
Penyelesaian.

Soalan. 94 Jumlah empat bilangan bulat berturut-turut ialah 266. Apakah bilangan bulat itu?
Penyelesaian.

Soalan. 95 Hamid mempunyai tiga kotak buah-buahan yang berbeza. Kotak A mempunyai berat (2 frac <1> <2> ) kg lebih banyak daripada kotak B dan kotak C beratnya (10 ​​ frac <1> <4> ) kg lebih banyak daripada kotak B. Jumlah berat ketiga-tiganya kotak ialah (48 frac <3> <4> ) kg. Berapakah jumlah berat kotak A?
Penyelesaian.

Soalan. 96 Perimeter segiempat tepat ialah 240 cm. Sekiranya panjangnya meningkat 10% dan luasnya dikurangkan 20%, maka kita mendapat perimeter yang sama. Cari panjang dan lebar segi empat tepat.
Penyelesaian.

Soalan. 97 Umur A adalah lima tahun lebih tinggi daripada usia B. 5 tahun yang lalu, nisbah usia mereka adalah 3: 2. Cari zaman mereka sekarang.
Penyelesaian.

Soalan. 98 Jika pengangka 2 kurang dari penyebut nombor rasional dan apabila 1 dikurangkan dari pengangka dan penyebut keduanya, maka nombor rasional dalam bentuk termudah adalah 1/2. Apakah nombor rasionalnya?
Penyelesaian.

Soalan. 99 Dalam nombor dua digit, digit di unit & # 8217s adalah dua kali digit di sepuluh & # 8217s. Sekiranya 27 ditambahkan ke dalamnya, angka dibalikkan. Cari nombornya.
Penyelesaian.

Soalan. 100 Seorang lelaki bekerja sebagai jurutaip untuk bulan Februari pada tahun 2009. Dia dibayar Rs 500 sehari, tetapi Rs 100 sehari dipotong untuk hari-hari dia tidak hadir. Dia menerima Rs 9100 sebagai gaji untuk bulan itu. Sudah berapa hari dia bekerja?
Penyelesaian.

Soalan. 101 Pengukus turun ke hilir dan merangkumi jarak antara dua port dalam 3 jam. Ia meliputi jarak dalam 5 jam, ketika bergerak ke hulu. Sekiranya aliran mengalir pada 3 km / jam, kemudian cari berapa kelajuan pengukus ke hulu?
Penyelesaian.

Soalan. 102 Seorang wanita pergi ke sebuah bank dengan Rs 100000. Dia meminta juruwang memberikan wang kertas Rs 500 dan Rs 1000 sebagai balasan. Kesemuanya mendapat 175 wang kertas. Cari bilangan setiap jenis wang kertas.
Penyelesaian.

Soalan. 103 Terdapat 40 penumpang dalam bas, ada yang mempunyai tiket Rs 3 dan selebihnya dengan Rs 10 tiket. Jumlah kutipan dari penumpang ini adalah Rs 295. Cari berapa penumpang yang mempunyai tiket bernilai Rs 3?
Penyelesaian.

Soalan. 104 Penyebut nombor adalah 4 kurang daripada pengangka. Sekiranya 6 ditambahkan ke pembilang, ia menjadi tiga penyebutnya. Cari pecahan.
Penyelesaian.

Soalan. 105 Seorang pekerja bekerja di sebuah syarikat dengan kontrak selama 30 hari dengan syarat dia akan menerima Rs 120 untuk setiap hari dia bekerja dan dia akan didenda Rs 10 untuk setiap hari dia tidak hadir. Sekiranya dia menerima keseluruhan Rs 2300, berapa hari dia tidak hadir?
Penyelesaian.

Soalan. 106 Kusum membeli sebilangan coklat dengan harga Rs 10 setiap coklat. Dia juga membeli sebilangan gula-gula dengan harga Rs 5 setiap gula-gula. Dia mendapat keuntungan 20% pada coklat dan 8% keuntungan dari gula-gula. Pada penghujung hari, semua coklat telah habis & # 8217 gula-gula habis dijual dan untungnya ialah Rs 240. Cari bilangan coklat yang dibeli.
Penyelesaian.

Soalan. 107 Kapal pengukus turun ke hilir dan merangkumi jarak antara dua port dalam 5 jam, sementara jaraknya sama di hulu dalam 6 jam. Sekiranya kelajuan aliran adalah 1 km / j, cari kelajuan pengukus di dalam air pegun.
Penyelesaian.

Soalan. 108 Jarak antara dua tempat A dan B adalah 210 km. Dua kereta bermula serentak dari A dan B pada arah yang bertentangan dan jarak di antara mereka selepas 3 jam adalah 54 km. Sekiranya kelajuan satu kereta lebih rendah daripada yang lain dengan 8 km / j, maka cari kelajuan masing-masing.
Penyelesaian.

Soalan. 109 Seorang tukang kayu dikenakan bayaran Rs 2500 kerana membuat katil. Kos bahan yang digunakan adalah Rs 1100 dan caj buruh adalah Rs 200 per jam. Berapa jam kerja tukang kayu?
Penyelesaian.

Soalan. 110 Untuk nilai x berapa perimeter bentuk 77 cm?

Penyelesaian.

Soalan. 111 Untuk nilai x berapa perimeter bentuk 186 cm?

Penyelesaian.

Soalan. 112 Apabila membahagi Rs 200 antara A dan B, sehingga dua kali bahagian A & # 8217s kurang daripada 3 kali bahagian B & # 8217s dengan 200, apakah bahagian B & # 8217s?
Penyelesaian.

Soalan. 113 Madhulika memikirkan nombor, menggandakannya dan menambahkan 20 padanya. Apabila membahagi nombor yang dihasilkan dengan 25, dia mendapat 4. Berapa nombor itu?
Penyelesaian.


Persamaan dan Ungkapan: Tahap 4

Idea utama persamaan dan ungkapan pada tahap 4 adalah bahawa hubungan linear antara pemboleh ubah dapat diwakili oleh persamaan linear.

  • persamaan linear boleh melibatkan operasi keempat-empat nombor (tidak termasuk eksponen)
  • persamaan linear dapat diselesaikan untuk mencari pemboleh ubah yang tidak diketahui dalam situasi tertentu

Persamaan linear berbentuk:
y = mx + c.
Pada tahap 4 m dibatasi untuk nombor bulat (iaitu nombor tanpa titik perpuluhan) dan c dibatasi untuk bilangan bulat (iaitu nombor bulat positif atau negatif). Apabila persamaan linear ditunjukkan pada grafik, mereka membentuk garis lurus dengan nilai “m"Sesuai dengan cerun dan"c"Mewakili titik di mana garis melintasi y paksi.

Persamaan linear sederhana menggambarkan hubungan antara dua pemboleh ubah yang berkaitan, x dan y. Sebarang nilai x mempunyai nilai yang sepadan dengan y, dan hubungan linear secara unik menghubungkan nilai dua set pemboleh ubah ini. Sebagai nilai x berbeza, begitu juga dengan nilai y. Kerana nilai-nilai x dan y dihubungkan secara unik, persamaan linear dapat diselesaikan untuk mencari pemboleh ubah yang tidak diketahui dalam situasi tertentu.

Apabila bekerja dengan persamaan yang menyeimbangkan, seperti persamaan linear, kedua-dua sisi tanda sama perlu dipelihara agar persamaan tetap betul. Contohnya, apabila nombor yang sama dikurangkan dari setiap sisi persamaannya tetap tepat. Contohnya 3p - 6 = 18 jadi 3p = 24 (tambah enam ke kedua sisi) jadi p = 8 (membahagi kedua-dua sisi dengan tiga).

Idea utama ini berkembang dari idea utama persamaan dan ungkapan pada tahap 3 bahawa persamaan menunjukkan hubungan persamaan antara bahagian di kedua-dua sisi tanda sama.

Idea utama ini diperluas ke idea utama persamaan dan ungkapan pada tahap 5 bahawa beberapa jenis hubungan antara pemboleh ubah dapat diwakili oleh persamaan kuadratik.


Transformasi Lembaran Kerja Fungsi Linear

Lembaran kerja transformasi ini disasarkan untuk membantu pelajar sekolah menengah memperoleh pemahaman tentang transformasi fungsi linear dan grafnya. Cari fungsi berubah yang ditunjukkan g (x) dari fungsi induknya f (x). Pengetahuan asas terjemahan seperti pergeseran mendatar dan pantulan pergeseran menegak, peregangan mendatar / menegak dan pemampatan mendatar / menegak diperlukan untuk menyelesaikan pdf lembaran kerja transformasi ini. Sebilangan lembaran kerja boleh dicetak percuma tersedia untuk latihan.

Bantuan Percetakan - Jangan mencetak lembaran kerja dengan grid terus dari penyemak imbas. Muat turun dan cetak.

Lihat fungsi induk y = f (x) dan alihkannya ke kanan, kiri, atas atau bawah dan lukiskan graf yang diterjemahkan g (x). Gunakan kekunci jawapan untuk mengesahkan peralihan menegak atau mendatar.

Dalam set lembaran kerja transformasi pdf ini, untuk setiap fungsi linear f (x), terapkan terjemahan dan cari fungsi terjemahan baru g (x). Ikuti peraturan yang berkaitan f (x) + c / f (x) - c untuk membuat pergeseran menegak unit c ke atas / bawah dan f (x + c) / f (x - c) untuk membuat peralihan mendatar unit c kiri / betul.

Cari pantulan bagi setiap fungsi linear f (x). Pantulan di atas paksi-x harus menunjukkan tanda negatif di hadapan keseluruhan fungsi iaitu -f (x). Menolak pemboleh ubah bebas x dalam f (x), untuk imej cermin di atas paksi-y.

Cari regangan menegak atau mampatan dengan mengalikan fungsi f (x) dengan faktor yang diberikan dan regangan atau pemampatan mendatar dengan mengalikan pemboleh ubah bebas x dengan timbal balik bagi faktor yang diberikan. Gunakan peraturan yang berkaitan untuk membuat transformasi yang betul.

Dalam set lembaran kerja transformasi yang boleh dicetak untuk sekolah menengah ini, uji kefahaman anda mengenai terjemahan grafik. Setiap petak mempunyai dua graf, grafik asal f (x) dan graf diterjemahkan g (x). Cari peralihan menegak atau mendatar yang betul.


Domain Dan Julat Untuk Fungsi Linear

Oleh itu, untuk fungsi kuadratik f x x2 f x x 2 domain adalah kumpulan semua nombor nyata dan julatnya hanya nombor nyata bukan negatif. Domain dan julat adalah set.

Domain Co Domain Dan Julat Fungsi Fungsi Math Fungsi Math Relation Math

Buka Domain dan Julat Fungsi Linear dalam program GeoGebra.

Domain dan julat untuk fungsi linear. Jangkauan bagaimanapun akan bergantung pada puncak fungsi nilai mutlak minimum atau maksimum. R 0 R sebagai f x 1 x f x 1 x. Domain fungsi adalah semua kemungkinan nilai input yang fungsi ditentukan dan julatnya adalah semua kemungkinan nilai output.

Atau anda boleh menggunakan kalkulator di bawah untuk menentukan domain dan julat SETIAP persamaan. Dalam bentuknya yang paling sederhana domain adalah semua nilai yang masuk ke dalam fungsi dan julatnya adalah semua nilai yang keluar. Jadi julatnya adalah 0 0.

Fungsi mana yang mempunyai domain dan julat yang sama dengan fungsi linear. Lembaran Kerja Domain Dan Julat 1 Lembaran Kerja Menyelesaikan Lembaran Kerja Grafik Persamaan Kuadratik. Lembaran kerja domain dan julat.

F xx5 - - - di sini tidak ada batasan yang boleh anda masukkan untuk nilai x dan nilai akan muncul. Julat fungsi didefinisikan sebagai sekumpulan penyelesaian untuk persamaan untuk input tertentu. Hanya ada satu julat untuk fungsi tertentu.

Lembaran Kerja Domain dan Julat Algebra 1 ini akan menghasilkan masalah untuk mengenal pasti sama ada set grafik adalah fungsi atau tidak. Y x 2 4 x 1. R 0 R f.

Sama seperti contoh sebelumnya, fungsi kuadratik akan selalu mempunyai domain semua nilai x. Domain adalah semua nombor nyata kerana nilai mutlak masih merupakan fungsi linear. Domain dan Julat 0 0 Contoh 2.

Mari kita teliti kedua-dua senario ini. Beberapa lembaran kerja untuk konsep ini adalah domain Fungsi dan rentang tarikh kajian blok Prestasi pembelajaran dan penilaian berdasarkan prestasi Nama kelas tarikh 2 6 Domain dan julat fungsi Nama tarikh ms Kerja Kerja. Jumlah bas yang diperlukan untuk mengangkut anggota dalam setiap perjalanan adalah fungsi dari jumlah anggota yang pergi dalam setiap perjalanan.

Lembaran Kerja Domain dan Julat ini adalah sumber yang baik untuk pelajar di Gred 9 hingga Gred 12. Kadang kala domain itu terhad bergantung pada sifat fungsi. Cari domain dan julat fungsi kuadratik.

Nyatakan domain dan julat untuk setiap graf dan kemudian nyatakan jika graf itu berfungsi tulis ya atau tidak. Lembaran kerja fungsi julat domain pdf. Kadang kala domain dan rentang fungsi linier mungkin dibatasi berdasarkan maklumat yang diwakilinya.

Dengan kata lain julat adalah output atau nilai y bagi suatu fungsi. Fungsi ini hanya terdiri daripada pasangan yang diperintahkan 523 724 865 dan 1056. Lembaran kerja domain dan pelbagai fungsi - Untuk melihat gambar dengan lebih jelas dalam artikel ini, anda dapat mengklik gambar yang diinginkan untuk menonton gambar dalam dimensi aslinya atau sepenuhnya .

Julatnya hanya y 2. Domain dan Julat Jenis Fungsi. Luas kawasan seluas 400 kaki dan kedalaman 370 kaki.

Berapa banyak kereta bersaiz standard yang sesuai dengan lot ini memandangkan trafik dua arah w4 yang dimuat dua menyusun sudut 90 dan sw 9. 9. Domain dan julat adalah set. Apakah domain keadaan ini.

Persamaan linear Kuadratik dan Fungsi Nilai Mutlak. Atas sebab ini kita dapat menyimpulkan bahawa domain fungsi apa pun adalah semua nombor nyata. Memandangkan situasi dunia nyata yang dapat dimodelkan oleh fungsi linear atau grafik linear.

Seseorang juga dapat melihat galeri gambar Lembaran Kerja Domain And Range Of Functions yang banyak di antara kita bersiap untuk mencari gambar yang anda minati. Anda boleh memilih jenis fungsi dan bukan fungsi yang akan digambarkan. Domain dan Julat Fungsi Linear Domain dan Julat Fungsi Linear - Memaparkan 8 lembaran kerja teratas yang dijumpai untuk konsep ini.

Domain dan julat fungsi linier adalah semua nombor nyata atau tak terhingga negatif hingga tak terhingga positif. Sekiranya anda masih keliru, anda mungkin mempertimbangkan untuk menghantar soalan anda di papan pesanan kami atau membaca pelajaran laman web lain mengenai domain dan jangkauan untuk mendapatkan pandangan yang lain. Ringkasan domain dan julat adalah seperti berikut.

The student council sent its members on four field trips during the school year. We define a function f. 2 Show answers Another question on Mathematics.

Function Worksheets Graphing Functions Practices Worksheets Linear Function

Domain And Range Scavenger Hunt Teaching Algebra College Algebra High School Math

Domain And Range Matching Activity Functions Algebra Free Math Activity Linear Function

Domain And Range Of A Function Function Math Graphing

Parent Functions Will Need Linear Function Quadratic Function Inverse And Exponential Function Studying Math Teaching Algebra Math Lessons

Parent Functions And Transformations She Loves Math Quadratics Teaching Algebra Linear Function

Parent Functions Will Need Linear Function Quadratic Function Inverse And Exponential Function Math Lessons Teaching Algebra Studying Math

A 2a Domain And Range Of Linear Functions Linear Function Algebra Algebra 1

Visualizing Domain Range From A Graph Teaching Algebra High School Math Classroom Math Methods

Domain And Range Of Linear Functions Notes Page Linear Function Function Linear

Domain Range And End Behavior Of Functions Task Cards Task Cards Precalculus Behavior

Finding The Domain And Range Of A Function Chilimath Quadratics Quadratic Functions Algebra Lessons

This Linear Functions Activity Is A Review Of Writing Equations In Various Forms Graphing L Linear Function Graphing Linear Equations Writing Linear Equations

Domain Range Of Linear Functions Using Graphs Summer School Math Activities Middle School Math Summer School Math

Domain Range Of Linear Functions Using Graphs Linear Function Graphing Resource Classroom

Analyze Functions Domain Range Max Min Increasing Decreasing Teaching Algebra School Algebra Math

A 2a Domain And Range Of Linear Functions Linear Function Algebra 1 Algebra Teacher


Kandungan

A linear function is a polynomial function in which the variable x has degree at most one: [2]

Such a function is called linear because its graph, the set of all points ( x , f ( x ) ) in the Cartesian plane, is a line. The coefficient a is called the slope of the function and of the line (see below).

The slope of a nonvertical line is a number that measures how steeply the line is slanted (rise-over-run). If the line is the graph of the linear function f ( x ) = a x + b , this slope is given by the constant a .

from which one can immediately see the slope a and the initial value f ( 0 ) = b , which is the y-intercept of the graph y = f ( x ) .

Example Edit

Note that the graph includes points with negative values of x atau y, which have no meaning in terms of the original variables (unless we imagine selling meat to the butcher). Thus we should restrict our function f ( x ) to the domain 0 ≤ x ≤ 2 .

Also, we could choose y as the independent variable, and compute x by the inverse linear function: x = g ( y ) = − 1 2 y + 2 <2>>y+2> over the domain 0 ≤ y ≤ 4 .

If the coefficient of the variable is not zero ( a ≠ 0 ), then a linear function is represented by a degree 1 polynomial (also called a linear polynomial), otherwise it is a constant function – also a polynomial function, but of zero degree.

A straight line, when drawn in a different kind of coordinate system may represent other functions.

For example, it may represent an exponential function when its values are expressed in the logarithmic scale. It means that when log(g(x)) is a linear function of x , the function g is exponential. With linear functions, increasing the input by one unit causes the output to increase by a fixed amount, which is the slope of the graph of the function. With exponential functions, increasing the input by one unit causes the output to increase by a fixed multiple, which is known as the base of the exponential function.

Sekiranya kedua-duanya arguments and values of a function are in the logarithmic scale (i.e., when log(y) is a linear function of log(x) ), then the straight line represents a power law:

On the other hand, the graph of a linear function in terms of polar coordinates:


Ex 4.4 Class 9 Maths Question 1.
Give the geometric representations of y – 3 as an equation
(i) in one variable.
(ii) in two variables.
Penyelesaian:
The given linear equation is
y = 3 …(i)
(i) The representation of the solution on the number line is shown in the figure below, where y = 3 is treated as an equation in one variable.

(ii) We know that y = 3 can be written as
0. x + y = 3
Which is a linear equation in the variables x and y. This is represented by a line. Now, all the values of x are permissible because 0.x is always 0. However, y must satisfy the equation y = 3.
Note that, the graph AB is a line parallel to the x-axis and at a distance of 3 units of the upper side of it.

Ex 4.4 Class 9 Maths Question 2.
Give the geometric representations of 2x + 9 = 0 as an equation
(i) in one variable
(ii) in two variables
Penyelesaian:
Given linear equation is 2x + 9 = 0 i.e., x = –
(i) If x = – is treated as an equation in one variable, then it has a unique
solution x = – .
So, it is a point on the number line as shown below :

(ii) Given equation 2x + 9 = 0 can be written as 2x + 0 . y + 9 = 0, which is a linear equation in two variables x and y.
We can write the given equation as,

When y=1, then = –
When y=2, then = –
When y=3, then = –

Now Playing the points – , – – paper and joining then ,we get a line PQ as a solution of 2x+9=0

Thus, the graph PQ is a line parallel to the y-axis at a distance of units in the direction of negative X-axis.

We hope the NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 Linear Equations in Two Variables Ex 4.4 help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 Linear Equations in Two Variables Exx 4.4, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


Solving a Linear Equation

The way to solve a linear equation is to rewrite it in such a form that on the one side of the equality sign we end up with one term only containing x, and on the other side we have one term which is a constant. To achieve this we can perform several operations. Fist of all we can add or subtract a number on both sides of the equation. We must make sure that we perform the action on both sides such that the equality is preserved. Also we can multiply both sides with a number, or divide by a number. Again we must make sure that we perform the same action on both sides of the equality sign.

Our first step would be subtracting 3x on both sides to get:

Then we subtract 4 on both sides:

Finally, we divide both sides by 4 to get our answer:

To check if this answer is indeed correct we can fill it in on both sides of the equation. If the answer is correct we should get two equal answers:

So indeed both sides equal 1/2 if we choose x = - 1/2, which means that the lines intersect at the point (-1/2 , 1/2) in the coordinate system.

Lines of the Equations of the Example


7th & 8th Grade Math - Comparing Linear Functions

In fall of 2008, Sally Keyes (math coach), Kamaljit Sangha (7/8 math teacher/department leader) and Cecilio Dimas (7/8 math teacher) developed our first lesson on cost-analysis. By the end of fall 2008, all eleven 7th grade classes, regular and accelerated, had been taught the DVD Plan lesson. The foundation of this lesson is constructing, communicating, and evaluating student-generated tables while making comparisons between three different financial plans. Students had been given three different DVD rental plans and asked to analyze each one to see if they could determine when the 3 different DVD plans cost the same amount of money, if ever. Using this idea as an anchor problem taken from our original pre-assessment with the MARS task "Gym," we were devising avenues for our students to explore and understand specific multiple representations of breaking points. We believe that being able to understand multiple representations for the breaking even points in a written explanation, a table, a graph, and an algebraic rule is critical to success in algebra. The design of our year-long lesson study is to address each of these multiple representations: verbal, tabular, graphical, and algebraic generalization. Our perception is that students tend to see the graph as the “last thing” with no real connection to the mathematics of the situation or to other representations and that was our reason to put it after the verbal and tabular representations.

-Comparisons of different deals: do these representations make mathematical sense and do they match the mathematics of the three plans?
-Verbal descriptions
-Tables graphs
-Algebraic rules