Artikel

1.2: Bertemu dan Bergabung - Matematik


Seperti yang telah kita katakan, preorder adalah satu set P dikurniakan pesanan ≤ berkaitan unsur-unsur. Berkenaan dengan perintah ini, unsur-unsur tertentu dari P mungkin mempunyai ciri khas, sama ada secara mutlak atau berkaitan dengan unsur-unsur lain. Kami telah membincangkan mengenai penyertaan sebelumnya, tetapi kami membincangkannya lagi sekarang kerana kami telah membina beberapa formalisme.

Definisi dan Contoh Asas

Pertimbangkan preorder ( ( mathbb {R} ), ≤) nombor nyata yang disusun mengikut cara biasa. Subset ( mathbb {N} ) ( subseteq ) ( mathbb {R} ) mempunyai banyak batas bawah, iaitu −1.5 adalah batas bawah: setiap elemen N lebih besar daripada −1.5. Tetapi dalam semua batas yang lebih rendah untuk ( mathbb {N} ) ( subseteq ) ( mathbb {R} ), satu adalah khas: a batas bawah yang paling besar juga dipanggil a berjumpa iaitu 0. Ia adalah batas bawah, dan tidak ada batas bawah untuk ( mathbb {N} ) yang berada di atasnya. Walau bagaimanapun, set ( mathbb {N} ) ( subseteq ) ( mathbb {R} ) tidak mempunyai batas atas, dan pastinya tidak ada batas atas yang akan disebut sebagai sertai. Sebaliknya, set

( kiri { frac {1} {n + 1} pertengahan n in mathbb {N} kanan } subseteq mathbb {R} )

mempunyai batas bawah yang paling besar (bertemu), yaitu 0, dan batas paling rendah (bergabung), iaitu 1. Pengertian ini akan mempunyai kaitan dalam teori kategori, yang disebut had dan colimit, yang akan kita bincangkan dalam Bab 3. Lebih umum, kita mengatakan ciri khas ini adalah sifat sejagat, kerana, sebagai contoh, batas bawah yang paling besar adalah antara yang terbaik semua batas bawah. Namun, buat masa ini, kami hanya mahu membuat definisi batas bawah dan batas atas paling tinggi, yang disebut bertemu dan bergabung, tepat.

Latihan 1.80.

  1. Mengapa 0 batas bawah untuk ( kiri { frac {1} {n + 1} pertengahan n in mathbb {N} kanan } subseteq mathbb {R} )
  2. Mengapa 0 a terhebat batas bawah (bertemu)?

Definisi: 1.81.

Biarkan (P, ≤) menjadi preorder, dan biarkan A ( subseteq ) P menjadi subset. Kami mengatakan bahawa unsur hlm ( dalam ) P ialah berjumpa daripada A sekiranya

  1. untuk semua a ( dalam ) A, kita ada hlm a, dan
  2. untuk semua q seperti itu q a untuk semua a ( dalam ) A, kita ada q hlm.

Kami menulis hlm = ( bigwedge )A, hlm = ( bigwedge_ {a di A} )a, atau, jika pembolehubah dummy a jelas dari konteks, hanya p = ( bigwedge_ {A} )a.

Sekiranya A hanya terdiri daripada dua elemen, katakanlah A = {a, b}, kita boleh menandakan ( bigwedge )A hanya dengan a ( tanah ) b.

Begitu juga, kita mengatakan bahawa hlm ialah sertai daripada A sekiranya

  1. untuk semua a ( dalam ) A kita ada a hlm, dan
  2. untuk semua q seperti itu a q untuk semua a ( dalam ) A, kita ada hlm q.

Kami menulis hlm = ( start {persamaan} V A end {persamaan} ) atau p = (V_ {a di A} a )a, atau bila A = {a, b} kita hanya boleh menulis hlm = a ( lor ) b.

Catatan 1.82. Dalam Definisi 1.81, kami melakukan penyalahgunaan notasi yang nampaknya mengerikan. Kita akan melihat seterusnya dalam Contoh 1.84 bahawa mungkin ada dua pertemuan berbeza A ( subseteq ) P, katakan p = ( bigwedge A ) dan q = ( bigwedge ) A dengan p ( neq ) q, yang tidak masuk akal jika p ( neq ) q!

Tetapi sebenarnya, ketika kita menggunakan simbol ( bigwedge ) A, penyalahgunaan ini tidak akan menjadi masalah kerana mana-mana dua memenuhi p, q secara automatik isomorfik: definisi bertemu memaksa kedua p ≤ q dan q ≤ p, dan dengan demikian kita mempunyai p ( cong ) q. Oleh itu, untuk sebarang x ( in ) P, kami mempunyai p ≤ x iff q ≤ x dan x ≤ p iff x ≤ q. Oleh itu, selagi kita hanya berminat pada unsur-unsur P berdasarkan hubungannya dengan unsur-unsur lain (dan dalam teori kategori, begitulah keadaannya: kita hanya perlu mengambil berat perkara berdasarkan bagaimana mereka berinteraksi dengan perkara lain, dan bukannya pada beberapa jenis "intipati dalaman"), perbezaan antara p dan q tidak akan penting.

Ini menggambarkan tema utama penyalahgunaan notasi standard dalam teori kategori, di mana dua perkara yang ditentukan oleh harta sejagat yang sama secara automatik setara dengan cara yang dikenali sebagai 'unik hingga isomorfisme unik'; ini bermaksud bahawa kita secara amnya tidak menghadapi masalah jika kita berpura-pura sama. Kami akan mengambil tema ‘the’ vs ‘a’ ini lagi dalam Catatan 3.85.

Contoh 1.83 (Pertemuan atau penyertaan mungkin tidak wujud).

Perhatikan bahawa, dalam praorder sewenang-wenangnya (P, ≤), subset A tidak perlu mengadakan perjumpaan atau menyertai. Pertimbangkan tiga elemen yang ditetapkan P = {hlm, q, r} dengan susunan diskrit. Set itu A = {hlm, q} tidak mempunyai penyertaan P sebab jika x adalah penyertaan, kita perlukan hlm x dan q x, dan tidak ada unsur seperti itu x.

Contoh 1.84 (Pelbagai perjumpaan atau penyertaan mungkin wujud).

Mungkin juga berlaku subset A mempunyai lebih daripada satu perjumpaan atau penyertaan. Inilah contohnya.

Biarkan A menjadi subset {a, b} dalam praorder yang ditentukan oleh rajah Hasse ini. Kemudian kedua-duanya c dan d adalah bertemu dengan A: sebarang unsur kurang daripada kedua-duanya a dan b juga kurang daripada c, dan juga kurang daripada d. Perhatikan bahawa, seperti dalam Catatan 1.82, c d dan d c, begitu c ( cong ) d. Perkara tersebut akan selalu berlaku apabila terdapat lebih daripada satu perjumpaan: mana-mana dua pertemuan dari subset yang sama akan menjadi isomorfik.

Latihan 1.85.

Biarkan (P, ≤) menjadi praorder dan p ( in ) P elemen. Pertimbangkan set A = {p} dengan satu elemen.

  1. Tunjukkan bahawa ( bigwedge )A ( cong ) hlm.
  2. Tunjukkan bahawa jika P sebenarnya adalah pesanan separa, maka ( bigwedge )A = hlm.
  3. Adakah fakta yang serupa benar apabila ( bigwedge ) digantikan oleh (V )?

Contoh 1.86.

Dalam urutan separa P, kita ada hlm ( lor ) hlm = hlm ( tanah )hlm = hlmSebabnya ialah notasi kita mengatakan hlm ( lor ) hlm bermaksud (V ) {hlm, hlm}. Tetapi {hlm, hlm} = {hlm} (lihat Bahagian 1.2.1), begitu hlm ( lor ) hlm = hlm dengan Latihan 1.85.

Contoh 1.87.

Dalam set kuasa P (X, pertemuan kumpulan subset, katakan A, B ( subseteq ) X adalah persimpangan mereka A ( tanah ) B = A ( cap ) B, sementara yang bergabung adalah kesatuan mereka, A ( lor ) B = A ( cawan ) B.

Mungkin ini membenarkan terminologi: penyatuan dua set adalah kesatuan mereka, pertemuan dua set adalah persimpangan mereka.

Contoh 1.88.

Dalam booleans ( mathbb {B} ) = {false, true} (Contoh 1.34), perjumpaan mana-mana dua elemen diberikan oleh AND dan penggabungan mana-mana dua elemen diberikan oleh OR (ingat Latihan 1.7).

Contoh 1.89.

Secara keseluruhan, perjumpaan satu set adalah minimum, sementara gabungan satu set adalah supremumnya. Perhatikan bahawa ( mathbb {B} ) adalah susunan total, dan ini menyamaratakan Contoh 1.88.

Latihan 1.90.

Ingat urutan pembahagian pada N dari Contoh 1.45: kita menulis n|m sekiranya n membahagi dengan sempurna menjadi m. Pertemuan mana-mana dua nombor dalam praorder ini mempunyai nama yang sama, yang mungkin anda pelajari ketika berusia sekitar 10 tahun; apa itu? Begitu juga penggabungan mana-mana dua nombor mempunyai nama yang sama; apa itu? ♦

Cadangan 1.91.

Andaikan (P, ≤) adalah praorder dan A ( subseteq ) B ( subseteq ) P adalah subset yang telah bertemu. Kemudian ( bigwedge )B ≤ ( bigwedge )A. Begitu juga jika A dan B telah bergabung, maka (V )A ≤ (V )B.

Bukti. Biarkan m = ( bigwedge ) A dan n = ( bigwedge ) B. Kemudian untuk sebarang ( in ) A kita juga mempunyai ( in ) B, jadi n ≤ a kerana n adalah batas bawah untuk B. Oleh itu n juga merupakan batas bawah untuk A dan oleh itu n ≤ m , kerana m adalah batas bawah terbesar A. Tuntutan kedua terbukti serupa. ♦

Kembali ke pemerhatian dan kesan generatif

Dalam tesis [Ada17], Adam menganggap peta monoton sebagai pemerhatian. Peta monoton Φ: P → Q adalah fenomena (kita mungkin mengatakan "ciri") P seperti yang diperhatikan oleh Q. Dia mendefinisikan kesan generatif peta semacam itu Φ sebagai kegagalannya untuk mengekalkan gabungan (atau lebih umum, untuk kategori , kegagalannya memelihara kolimit).

Definisi: 1.92.

Kami mengatakan bahawa peta monoton f : P Q memelihara bertemu sekiranya f (a ( tanah ) b) ( cong ) f (a) ( tanah ) f (b) untuk semua a, b ( dalam ) P. Kami juga mengatakan f memelihara bergabung sekiranya f (a ( lor ) b) ( cong ) f (a) ( lor ) f (b) untuk semua a, b ( dalam ) P.

Definisi: 1.93.

Kami mengatakan bahawa peta monoton f : P Q mempunyai kesan generatif sekiranya ada unsur a, b ( dalam ) P seperti itu

f(a) ( lor ) f(b) ( cong ) f(a ( lor ) b).

Dalam Definisi 1.93, jika kita menganggap Φ sebagai pemerhatian atau pengukuran sistem a dan b, maka sisi kiri f (a) ( lor ) f (b) dapat ditafsirkan sebagai gabungan pemerhatian a dengan pemerhatian b. Sebaliknya, sebelah kanan f (a ( lor ) b) adalah pemerhatian sistem gabungan a ( lor ) b. Ketidaksamaan menunjukkan bahawa kita melihat sesuatu ketika kita memerhatikan sistem gabungan yang tidak dapat kita harapkan dengan hanya menggabungkan pemerhatian kita terhadap potongan-potongan itu. Maksudnya, bahawa terdapat kesan generatif dari interkoneksi kedua sistem.

Latihan 1.94.

Dalam Definisi 1.93, kita mendefinisikan daya f کي sebagai ketaksamaan f (a ( lor ) b) ( neq ) f (a) ( lor ) f (b), tetapi dalam teks berikutnya kita nampaknya tidak ada hanya perbezaan, tetapi lebih banyak perkara di f (a ( lor ) b) daripada di f (a) ( lor ) f (b). Buktikan bahawa untuk peta monoton f: P → Q, jika a, b ( in ) P mempunyai gabungan dan f (a), f (b) ( in ) Q mempunyai gabungan, maka memang f (a) ( lor ) f (b) ≤ f (a ( lor ) b). ♦

Dalam karyanya mengenai kesan generatif, Adam membatasi perhatiannya pada peta generatif yang memelihara pertemuan (tetapi tidak memelihara bergabung). Pemeliharaan bertemu menyiratkan bahawa peta Φ berkelakuan baik ketika menghadkan ke subsistem, walaupun dapat menimbulkan kejutan ketika bergabung dengan sistem.

Perbincangan ini secara semula jadi membawa kepada sambungan Galois, yang merupakan pasangan peta monoton antara preorder, salah satunya memelihara semua gabungan dan yang lain melindungi semua pertemuan.


1.2: Bertemu dan Bergabung - Matematik

Pertimbangkan dua jadual di bawah:

PelajarCourse

    GABUNGAN DALAM: Kata kunci INNER JOIN memilih semua baris dari kedua-dua jadual selagi keadaannya memuaskan. Kata kunci ini akan membuat set hasil dengan menggabungkan semua baris dari kedua-dua jadual di mana keadaan memenuhi iaitu nilai medan umum akan sama.
    Sintaks:

Nota: Kita juga boleh menulis JOIN dan bukannya INNER JOIN. BERSAMA sama dengan INNER JOIN.

    Pertanyaan ini akan menunjukkan nama dan umur pelajar yang mendaftar dalam kursus yang berbeza.

Nota: Kita juga boleh menggunakan LEFT OUTER JOIN dan bukannya LEFT JOIN, keduanya sama.

Pertanyaan Contoh (GABUNGAN KIRI):

Nota: Kita juga boleh menggunakan RIGHT OUTER JOIN dan bukannya RIGHT JOIN, keduanya sama.

Pertanyaan Contoh (BERGABUNG KANAN):

Pertanyaan Contoh (GABUNGAN PENUH):


KIRI BERGABUNG (Video)
GABUNGAN Kanan (Video)
BERSAMA penuh (Video)
SQL | BERGABUNG (Bergabung dengan Cartesian, Bergabung Sendiri)

Artikel ini disumbangkan oleh Harsh Agarwal . Sekiranya anda menyukai GeeksforGeeks dan ingin menyumbang, anda juga boleh menulis artikel menggunakan menyumbang.geeksforgeeks.org atau menghantar artikel anda ke [email protected] Lihat artikel anda muncul di halaman utama GeeksforGeeks dan bantu Geeks lain.

Sila tulis komen jika anda menemui sesuatu yang tidak betul, atau anda ingin berkongsi lebih banyak maklumat mengenai topik yang dibincangkan di atas.

Pembaca perhatian! Jangan berhenti belajar sekarang. Dapatkan semua konsep Teori CS penting untuk temu ramah SDE dengan Kursus Teori CS dengan harga yang mesra pelajar dan bersedia untuk industri.


Kandungan

Mungkin versi paling mudah adalah ada set boleh menjadi alam semesta, selagi objek kajian terbatas pada himpunan tertentu. Sekiranya objek kajian dibentuk oleh nombor nyata, maka garis nyata R, yang merupakan set bilangan sebenarnya, boleh menjadi alam semesta yang sedang dipertimbangkan. Secara tersirat, inilah alam semesta yang digunakan Georg Cantor ketika pertama kali mengembangkan teori dan kardinaliti set naif moden pada tahun 1870-an dan 1880-an dalam aplikasi untuk analisis sebenar. Satu-satunya set yang awalnya diminati oleh Cantor adalah subset dari R.

Konsep alam semesta ini tercermin dalam penggunaan gambar rajah Venn. Dalam rajah Venn, tindakan secara tradisional berlaku di dalam sebuah segi empat besar yang mewakili alam semesta U. Umumnya seseorang mengatakan bahawa set diwakili oleh lingkaran tetapi set ini hanya boleh menjadi subset dari U. Pelengkap satu set A kemudian diberikan oleh bahagian segiempat di luar A 'bulatan s. Tegasnya, ini adalah pelengkap relatif U A daripada A relatif kepada U tetapi dalam konteks di mana U adalah alam semesta, ia boleh dianggap sebagai pelengkap mutlak A C dari A. Begitu juga, terdapat pengertian persimpangan nullary, iaitu persimpangan set sifar (yang bermaksud tidak ada set, bukan set kosong).

Tanpa alam semesta, persimpangan nullary akan menjadi himpunan segala-galanya, yang secara umum dianggap mustahil tetapi dengan mempertimbangkan alam semesta, persimpangan nullary dapat dianggap sebagai himpunan segala yang dipertimbangkan, yang hanya U. Konvensyen ini cukup berguna dalam pendekatan algebra untuk teori set asas, berdasarkan kisi Boolean. Kecuali dalam beberapa bentuk teori set aksiomatik yang tidak standard (seperti Yayasan Baru), kelas semua set bukan kisi Boolean (hanya kisi yang relatif lengkap).

Sebaliknya, kelas semua subset dari U, dipanggil set kuasa U, adalah kisi Boolean. Pelengkap mutlak yang dinyatakan di atas adalah operasi pelengkap di kisi Boolean dan U, sebagai persimpangan nullary, berfungsi sebagai elemen teratas (atau pertemuan nullary) di kisi Boolean. Kemudian undang-undang De Morgan, yang berkaitan dengan pelengkap perjumpaan dan bergabung (yang merupakan kesatuan dalam teori set) berlaku, dan berlaku walaupun pada pertemuan nullary dan gabungan nullary (yang merupakan set kosong).

Walau bagaimanapun, sekali himpunan set tertentu X (dalam kes Cantor, X = R), alam semesta mungkin perlu sekumpulan subset dari X. (Contohnya, topologi mengenai X adalah sekumpulan subset dari X.) Pelbagai set subset X tidak akan menjadi subset dari X tetapi sebaliknya akan menjadi subset dari PX, set kuasa X. Ini dapat dilanjutkan objek kajian seterusnya terdiri daripada set subset dari X, dan seterusnya, dalam hal ini alam semesta akan wujud P(PX). Ke arah lain, hubungan perduaan dihidupkan X (subkumpulan produk Cartesian X × X) boleh dipertimbangkan, atau berfungsi dari X untuk dirinya sendiri, memerlukan alam semesta seperti P(X × Xatau X X .

Oleh itu, walaupun kepentingan utama adalah X, alam semesta mungkin jauh lebih besar daripada X. Mengikuti idea di atas, seseorang mungkin menginginkan struktur atas berakhir X sebagai alam semesta. Ini dapat ditakrifkan dengan rekursi struktur seperti berikut:

  • Biarkan S0X menjadi X sendiri.
  • Biarkan S1X menjadi kesatuan X dan PX.
  • Biarkan S2X menjadi kesatuan S1X dan P(S1X).
  • Secara umum, biarkan Sn+1X menjadi kesatuan SnX dan P(SnX).

Kemudian struktur atas berakhir X, ditulis SX, adalah kesatuan S0X, S1X, S2X, dan sebagainya atau

Tidak kira apa yang ditetapkan X adalah titik permulaan, set kosong <> akan menjadi milik S1X. Set kosong adalah ordinal von Neumann [0]. Kemudian <[0]>, set yang satu-satunya elemen adalah set kosong, akan menjadi miliknya S2X ini adalah ordinal von Neumann [1]. Begitu juga, <[1]> akan menjadi milik S3X, dan begitulah juga <[0], [1]>, kerana penyatuan <[0]> dan <[1]> ini adalah ordinal von Neumann [2]. Meneruskan proses ini, setiap nombor semula jadi ditunjukkan dalam struktur atas oleh ordinal von Neumannnya. Seterusnya, jika x dan y tergolong dalam struktur atas, maka begitu juga <<x>,<x,y>>, yang mewakili pasangan tertib (x,y). Oleh itu, struktur atas akan mengandungi pelbagai produk Cartesian yang diinginkan. Kemudian struktur atas juga mengandungi fungsi dan hubungan, kerana ini mungkin diwakili sebagai subkumpulan produk Cartesian. Prosesnya juga memberi pesanan n-tuples, diwakili sebagai fungsi yang domainnya adalah von Neumann ordinal [n], dan sebagainya.

Jadi jika titik permulaannya adil X = <>, sebilangan besar set yang diperlukan untuk matematik muncul sebagai elemen struktur atas <>. Tetapi masing-masing unsur S<> akan menjadi set terhingga. Setiap nombor semula jadi miliknya, tetapi setnya N daripada semua nombor semula jadi tidak (walaupun ia adalah subset daripada S<>). Sebenarnya, struktur atas <> terdiri daripada semua set terhingga turun temurun. Oleh itu, ia boleh dianggap sebagai semesta matematik finis. Bercakap secara tidakronik, seseorang dapat menunjukkan bahawa Leitold Kronecker yang finis abad ke-19 bekerja di alam semesta ini, dia percaya bahawa setiap nombor semula jadi ada tetapi set itu N ("infiniti selesai") tidak.

Walau bagaimanapun, S<> tidak memuaskan bagi ahli matematik biasa (yang bukan finalis), kerana walaupun N mungkin tersedia sebagai subset dari S<>, masih set kuasa N tidak. Khususnya, set nombor nyata sewenang-wenangnya tidak tersedia. Oleh itu, mungkin perlu untuk memulakan proses berulang kali dan terbentuk S(S<>). Walau bagaimanapun, untuk memastikan perkara itu mudah, seseorang boleh mengambil setnya N nombor semula jadi seperti yang diberi dan bentuk SN, struktur atas berakhir N. Ini sering dianggap sebagai alam semesta biasa matematik. Ideanya adalah bahawa semua matematik yang biasa dipelajari merujuk kepada unsur-unsur alam semesta ini. Sebagai contoh, mana-mana pembinaan nombor nyata yang biasa (katakan dengan potongan Dedekind) milik SN. Bahkan analisis bukan piawai boleh dilakukan di struktur atas berbanding model nombor semula jadi yang tidak standard.

Terdapat sedikit perubahan dalam falsafah dari bahagian sebelumnya, di mana alam semesta itu ada U minat. Di sana, set yang dikaji adalah subsetalam semesta sekarang, mereka ada ahli alam semesta. Walaupun begitu P(SX) adalah kisi Boolean, yang relevan ialah SX itu sendiri tidak. Akibatnya, jarang sekali menerapkan konsep kisi Boolean dan diagram Venn secara langsung ke alam semesta suprastruktur seperti halnya ke alam semesta set kuasa pada bahagian sebelumnya. Sebaliknya, seseorang boleh bekerja dengan kisi Boolean individu PA, di mana A adalah sebarang set yang berkaitan SX kemudian PA adalah subset daripada SX (dan sebenarnya milik SX). Dalam kes Cantor X = R secara khusus, set nombor nyata yang sewenang-wenangnya tidak tersedia, jadi mungkin perlu untuk memulakan proses itu sekali lagi.

Adalah mungkin untuk memberikan makna yang tepat kepada tuntutan bahawa SN adalah alam semesta matematik biasa, ia adalah model teori set Zermelo, teori set aksiomatik yang pada awalnya dikembangkan oleh Ernst Zermelo pada tahun 1908. Teori set Zermelo berjaya dengan tepat kerana ia mampu mengakumatisasi matematik "biasa", memenuhi program yang dimulakan oleh Cantor lebih 30 tahun sebelumnya. Tetapi teori set Zermelo terbukti tidak mencukupi untuk pengembangan teori set aksiomatik dan karya lain dalam asas matematik, terutama teori model.

Sebagai contoh dramatik, penerangan mengenai proses struktur atas di atas tidak dapat dilakukan dalam teori set Zermelo. Langkah terakhir, membentuk S sebagai kesatuan infiniter, memerlukan aksioma penggantian, yang ditambahkan pada teori set Zermelo pada tahun 1922 untuk membentuk teori set Zermelo – Fraenkel, kumpulan aksioma yang paling banyak diterima hari ini. Oleh itu, sementara matematik biasa mungkin dilakukan dalam SN, perbincangan daripada SN melangkaui "biasa", menjadi metamathematics.

Tetapi jika teori set berkuasa tinggi dibawa masuk, proses suprastruktur di atas memperlihatkan dirinya sebagai permulaan pengulangan transfinit. Kembali ke X = <>, set kosong, dan memperkenalkan notasi (standard) Vi untuk Si<>, V0 = <>, V1 = P<>, dan seterusnya seperti sebelumnya. Tetapi apa yang biasa disebut "superstruktur" sekarang hanyalah item seterusnya dalam senarai: Vω, di mana ω adalah nombor ordinal tak terbatas pertama. Ini boleh diperluas ke nombor ordinal sewenang-wenang:

mentakrifkan Vi untuk ada nombor ordinal i. Kesatuan semua Vi adalah alam semesta von Neumann V:

Setiap individu Vi adalah satu set, tetapi kesatuan mereka V adalah kelas yang betul. Aksioma asas, yang ditambahkan pada teori set ZF pada masa yang sama dengan aksioma penggantian, mengatakan bahawa setiap set kepunyaan V.

Alam semesta yang boleh dibina Kurt Gödel L dan aksioma pembinaan Model hasil kardinal yang tidak dapat diakses ZF dan kadang-kadang aksioma tambahan, dan setara dengan kewujudan set semesta Grothendieck

Dalam penafsiran logik orde pertama, alam semesta (atau domain wacana) adalah sekumpulan individu (pemalar individu) di mana julat pengukur. Satu dalil seperti ∀x (x 2 ≠ 2) tidak jelas, jika tidak ada domain wacana yang dikenal pasti. Dalam satu tafsiran, domain wacana boleh menjadi kumpulan nombor nyata dalam tafsiran lain, itu boleh menjadi kumpulan nombor semula jadi. Sekiranya domain wacana adalah kumpulan nombor nyata, dalilnya adalah salah, dengan x = √ 2 sebagai contoh jika domain adalah kumpulan semula jadi, dalilnya benar, kerana 2 bukan segiempat sama dengan nombor semula jadi.

Terdapat pendekatan lain untuk alam semesta yang secara historis berkaitan dengan teori kategori. Ini adalah idea tentang alam semesta Grothendieck. Secara kasar, alam semesta Grothendieck adalah satu set di mana semua operasi teori set yang biasa dapat dilakukan. Versi alam semesta ini ditakrifkan sebagai set mana yang dimiliki aksioma berikut: [1]

Kelebihan alam semesta Grothendieck adalah bahawa ia sebenarnya adalah set, dan tidak pernah menjadi kelas yang sesuai. Kelemahannya ialah jika seseorang berusaha cukup keras, seseorang dapat meninggalkan alam semesta Grothendieck. [ rujukan diperlukan ]

Penggunaan alam semesta Grothendieck yang paling biasa U adalah untuk mengambil U sebagai pengganti untuk kategori semua set. Satu mengatakan bahawa satu set S adalah U-kecil sekiranya SU, dan U-besar sebaliknya. Kategori U-Tetapkan dari semua USet -small mempunyai objek semua U-set kecil dan sebagai morfisme semua fungsi antara set ini. Kumpulan objek dan kumpulan morfisme adalah set, jadi menjadi mungkin untuk membincangkan kategori set "semua" tanpa meminta kelas yang tepat. Maka menjadi mungkin untuk menentukan kategori lain dari segi kategori baru ini. Contohnya, kategori semua U-kategori kecil adalah kategori semua kategori yang kumpulan objeknya dan kumpulan morfisme berada U. Maka argumen teori set yang biasa berlaku untuk kategori semua kategori, dan seseorang tidak perlu bimbang untuk membicarakan kelas yang betul secara tidak sengaja. Kerana semesta Grothendieck sangat besar, ini mencukupi di hampir semua aplikasi.

Selalunya ketika bekerja dengan universiti Grothendieck, ahli matematik menganggap Axiom of Universes: "Untuk sebarang set x, ada alam semesta U seperti itu xU"Titik aksioma ini adalah bahawa setiap set yang dihadapi adalah ketika itu U-sedikit untuk sebilangan U, jadi sebarang argumen yang dilakukan di alam semesta Grothendieck umum dapat diterapkan. Aksioma ini berkait rapat dengan kewujudan kardinal yang tidak dapat diakses.

Dalam beberapa teori jenis, terutamanya dalam sistem dengan jenis bergantung, jenis itu sendiri boleh dianggap sebagai istilah. Terdapat jenis yang disebut alam semesta (sering dilambangkan U < displaystyle < mathcal >>) yang mempunyai jenis sebagai unsurnya. Untuk mengelakkan paradoks seperti paradoks Girard (analog dari paradoks Russell untuk teori jenis), teori jenis sering dilengkapi dengan hierarki alam semesta yang sangat tak terhingga, dengan setiap alam semesta menjadi istilah yang berikutnya.

Terdapat sekurang-kurangnya dua jenis alam semesta yang boleh dipertimbangkan dalam teori jenis: Alam semesta gaya Russell (dinamakan Bertrand Russell) dan Alam semesta gaya Tarski (dinamakan Alfred Tarski). [2] [3] [4] Alam semesta gaya Russell adalah jenis yang sebutannya adalah jenis. [2] Alam semesta gaya Tarski adalah jenis bersama dengan operasi interpretasi yang membolehkan kita menganggap istilahnya sebagai jenis. [2]


Inilah contoh konkrit. Biarkan $ A $ menjadi $ langle Bbb R, le rangle $, dan biarkan $ B $ menjadi $ langle [0,1) cup <2 >, le rangle $. Kemudian $ bigvee ^ A [0,1) = 1 $, tetapi $ bigvee ^ B [0,1) = 2 $. (Sudah tentu dalam kedua kisi itu bergabung dan bertemu hanya $ max $ dan $ min $.)

Sekiranya subset $ B $ kisi $ A $ adalah sublattice, maka secara definisi semua gabungan dalam $ B $ adalah sama sama ada diambil dalam $ B $ atau $ A $. Sublattice adalah perkara yang sama dengan homomorphism suntikan yang mengekalkan bertemu dan bergabung. Memang benar walaupun perjumpaan sewenang-wenangnya dan bergabung mungkin tidak dapat dipelihara.

Sekiranya kita menganggap subset sewenang-wenangnya adalah kisi dengan pertemuan dan gabungan yang mungkin berbeza, gabung dalam $ B $ akan selalu lebih besar daripada gabungan dalam $ A $ kerana penggabungan dalam $ A $ adalah definisi kurang dari atau sama dengan setiap elemen yang lebih besar daripada atau sama dengan setiap elemen dalam gabung. Ini juga berlaku untuk kisi tanpa batas. Gabung adalah unsur terkecil yang mendominasi semua elemen yang diberikan.

Berkaitan

Soalan Rangkaian Panas


1 Jawapan 1

Anda betul bahawa untuk poset anda $ P $ bahawa subset $ A = $ tidak mempunyai perjumpaan, dan bahawa set $ M_A $ adalah set kosong.

Di sinilah masalahnya berlaku: poset anda tidak mempunyai semua penyertaan kerana ia tidak mempunyai gabungan set kosong. Sekiranya anda memeriksa definisi apa yang dimaksudkan gabungan set kosong, bekerja dengan keadaan kosong, anda akan melihat gabungan kumpulan kosong adalah elemen bawah. Yang tidak mempunyai poset $ P $.

Oleh itu, tidak ada percanggahan di mana tidak ada perjumpaan $ $, kerana poset tidak mempunyai semua gabungan.


Hubungan homogen R pada set X ialah a hubungan transitif jika, [1]

untuk semua a, b, cX , sekiranya a R b dan b R c , kemudian a R c .

∀ a, b, c ∈ X: (a R b ∧ b R c) ⇒ a R c,

di mana a R b adalah notasi infiks untuk (a, b) ∈ R .

Sebagai contoh bukan matematik, hubungan "adalah nenek moyang" adalah transitif. Sebagai contoh, jika Amy adalah nenek moyang Becky, dan Becky adalah nenek moyang Carrie, maka Amy juga adalah nenek moyang Carrie.

Sebaliknya, "adalah ibu bapa kelahiran" bukan hubungan transitif, kerana jika Alice adalah ibu bapa kelahiran Brenda, dan Brenda adalah ibu bapa kelahiran Claire, maka Alice bukan ibu bapa kelahiran Claire. Lebih-lebih lagi, ia adalah antitransitif: Alice boleh tidak pernah menjadi ibu bapa kelahiran Claire.

"Lebih besar daripada", "paling tidak sama besarnya dengan", dan "sama dengan" (persamaan) adalah hubungan transitif pada pelbagai set, misalnya, set nombor nyata atau sekumpulan nombor semula jadi:

bila-bila masa x & gt y dan y & gt z, kemudian juga x & gt z bila-bila masa xy dan yz, kemudian juga xz bila-bila masa x = y dan y = z, kemudian juga x = z.

Lebih banyak contoh hubungan transitif:

  • "adalah subset dari" (penyertaan set, hubungan pada set)
  • "membahagi" (pembahagi, hubungan pada nombor semula jadi)
  • "tersirat" (implikasi, dilambangkan dengan "⇒", hubungan dengan cadangan)

Contoh hubungan tidak transitif:

  • "adalah penerus" (hubungan dengan nombor semula jadi)
  • "adalah ahli set" (dilambangkan sebagai "∈") [2]
  • "adalah tegak lurus dengan" (hubungan pada garis dalam geometri Euclidean)

Harta penutupan Edit

  • Pembalikan (pembalikan) hubungan transitif selalu transitif. Sebagai contoh, mengetahui bahawa "adalah subset dari" adalah transitif dan "adalah superset" adalah kebalikannya, seseorang dapat menyimpulkan bahawa yang terakhir juga transitif.
  • Persimpangan dua hubungan transitif selalu transitif. Sebagai contoh, mengetahui bahawa "dilahirkan sebelumnya" dan "mempunyai nama depan yang sama dengan" bersifat transitif, seseorang dapat menyimpulkan bahawa "dilahirkan sebelumnya dan juga mempunyai nama depan yang sama dengan" juga transitif.
  • Penyatuan dua hubungan transitif tidak perlu transitif. Sebagai contoh, "dilahirkan sebelum atau mempunyai nama depan yang sama dengan" bukan hubungan transitif, kerana mis. Herbert Hoover berkaitan dengan Franklin D. Roosevelt, yang pada gilirannya berkaitan dengan Franklin Pierce, sementara Hoover tidak berkaitan dengan Franklin Pierce.
  • Pelengkap hubungan transitif tidak perlu transitif. Sebagai contoh, sementara "sama dengan" bersifat transitif, "tidak sama dengan" hanya transitif pada set dengan paling banyak satu elemen.

Harta lain Edit

Hubungan transitif tidak simetri jika dan hanya jika ia tidak mencerminkan. [5]

Hubungan transitif tidak perlu refleksif. Ketika itu, ia dipanggil preorder. Contohnya, di set X = <1,2,3>:

  • R = <(1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (3,2)> adalah refleksif, tetapi tidak transitif, kerana pasangan (1,2) tidak ada,
  • R = <(1,1), (2,2), (3,3), (1,3)> bersifat refleksif dan juga transitif, jadi ini adalah preorder,
  • R = <(1,1), (2,2), (3,3)> bersifat refleksif dan juga transitif, preorder yang lain.

Biarkan R menjadi hubungan binari pada set X. The peluasan transitif dari R, dilambangkan R1 , adalah hubungan binari terkecil pada X sedemikian rupa R1 mengandungi R, dan jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R kemudian (a, c) ∈ R1 . [6] Sebagai contoh, anggaplah X adalah sekumpulan bandar, yang sebahagiannya dihubungkan dengan jalan raya. Biarkan R menjadi hubungan di bandar-bandar di mana (A, B) ∈ R sekiranya terdapat jalan yang menghubungkan bandar A dan bandar B secara langsung. Hubungan ini tidak perlu transitif. Peluasan transitif hubungan ini dapat ditentukan oleh (A, C) ∈ R1 jika anda boleh melakukan perjalanan antara bandar A dan C dengan menggunakan paling banyak dua jalan.

Sekiranya hubungan itu transitif maka perpanjangan transitifnya sendiri, iaitu, jika R adalah hubungan transitif maka R1 = R .

Sambungan transitif bagi R1 akan dilambangkan oleh R2 , dan berterusan dengan cara ini, secara umum, perpanjangan transitif Ri akan menjadi Ri + 1 . The penutupan transitif dari R, dilambangkan oleh R* atau R ∞ adalah kesatuan R, R1 , R2 , . . [7]

Penutupan transitif hubungan adalah hubungan transitif. [7]

Hubungan "adalah ibu bapa kelahiran" pada sekumpulan orang bukan hubungan transitif. Walau bagaimanapun, dalam biologi keperluan sering timbul untuk mempertimbangkan kelahiran ibu bapa selama beberapa generasi sewenang-wenang: hubungan "adalah nenek moyang kelahiran" adalah hubungan transitif dan ia adalah penutupan transitif hubungan "adalah ibu bapa kelahiran".

Sebagai contoh bandar dan jalan di atas, (A, C) ∈ R* dengan syarat anda boleh melakukan perjalanan antara bandar A dan C menggunakan sebilangan jalan.

    - hubungan refleksif dan transitif - preorder antisimetri - preorder bersambung (dahulunya disebut total) - preorder simetrik - urutan separa yang ketat di mana tidak dapat dibandingkan adalah hubungan kesetaraan - hubungan yang dihubungkan (total), antisimetri, dan transitif

Tidak ada formula umum yang mengira bilangan hubungan transitif pada set terhingga (urutan A006905 dalam OEIS) yang diketahui. [8] Namun, ada formula untuk mencari bilangan hubungan yang secara serentak bersifat refleksif, simetrik, dan transitif - dengan kata lain, hubungan kesetaraan - (urutan A000110 dalam OEIS), hubungan yang simetri dan transitif, yang simetrik, transitif, dan antisimetri, dan yang bersifat total, transitif, dan antisimetri. Pfeiffer [9] telah membuat beberapa kemajuan ke arah ini, menyatakan hubungan dengan kombinasi sifat-sifat ini dari segi satu sama lain, tetapi tetap mengira satu pun adalah sukar. Lihat juga. [10]

Sebilangan n-elemen hubungan binari pelbagai jenis
Unsur Sebarang Transitif Refleksif Praorder Urutan separa Jumlah praorder Jumlah pesanan Hubungan kesetaraan
0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 1 1 1 1
2 16 13 4 4 3 3 2 2
3 512 171 64 29 19 13 6 5
4 65,536 3,994 4,096 355 219 75 24 15
n 2 n 2 2 n 2 −n n
k=0 k! S(n, k)
n! n
k=0 S(n, k)
OEIS A002416 A006905 A053763 A000798 A001035 A000670 A000142 A000110

Hubungan R dipanggil intransitif jika tidak transitif, iaitu, jika xRy dan yRz, tetapi tidak xRz, untuk beberapa x, y, z. Sebaliknya, hubungan R dipanggil antitransitif sekiranya xRy dan yRz selalu menunjukkan bahawa xRz tidak tahan. Contohnya, hubungan yang ditakrifkan oleh xRy sekiranya xy adalah nombor genap tidak transitif, [11] tetapi tidak antitransitif. [12] Hubungan yang ditakrifkan oleh xRy sekiranya x genap dan y ganjil adalah transitif dan antitransitif. [13] Hubungan yang ditakrifkan oleh xRy sekiranya x ialah bilangan pengganti y bersifat intransitif [14] dan antitransitif. [15] Contoh intransitiviti yang tidak dijangka muncul dalam situasi seperti persoalan politik atau pilihan kumpulan. [16]

Umum untuk versi stokastik (transitiviti stokastik, kajian transitiviti menemui aplikasi teori keputusan, psikometrik dan model utiliti. [17]

A hubungan kuasitransitif adalah generalisasi lain yang diperlukan untuk transitif hanya pada bahagiannya yang tidak simetri. Hubungan semacam itu digunakan dalam teori pilihan sosial atau mikroekonomi. [18]


Jarak antara dua titik dan titik tengah

Rumus jarak adalah ungkapan algebra yang digunakan untuk menentukan jarak antara dua titik dengan koordinat (x1, y1) dan (x2, y2).

Cari jarak antara (-1, 1) dan (3, 4).

Masalah ini diselesaikan hanya dengan memasukkan nilai x dan y ke dalam formula jarak:

Kadang kala anda perlu mencari titik yang tepat di antara dua titik yang lain. Titik tengah ini disebut "titik tengah". Secara definisi, titik tengah segmen garis adalah titik pada segmen garis yang membahagi segmen itu dalam dua segmen kongruen.

Sekiranya titik akhir segmen garis adalah (x1, y1) dan (x2, y2) maka titik tengah segmen garis mempunyai koordinat:


Grafik menunjukkan dua garis, A dan B. Grafik ditunjukkan dengan paksi x dan y berlabel 0 hingga 6 pada kenaikan 1. Garis lurus berlabel A bergabung dengan pasangan tertib 2, 6 dengan pasangan tertib 5, 0 Garis lurus lain yang berlabel B bergabung dengan pasangan tertib 0, 2 dengan pasangan tertib 6, 6. Bahagian A: Berapa banyak penyelesaian yang dimiliki pasangan persamaan untuk garis A dan B? Terangkan jawapan anda. (5 mata)

Penjelasan langkah demi langkah: akan ada satu penyelesaian kerana garis-garis itu bersilang tepat pada satu set titik.

P.S. Saya cukup yakin lelaki lain mabuk XD

Saya mengambil ujian dan berjaya

Sila klik butang jantung jika anda betul! :)

Titik yang diberikan adalah (3, −6), kita perlu mencari grafik yang menunjukkan sepasang garis yang mewakili persamaan dengan penyelesaian (3, −6).

Pada titik (3, -6), koordinat-x adalah positif dan koordinat-y adalah negatif.

Ini bermaksud sepasang garis ditunjukkan bersilang pada pasangan yang dipesan 3 unit ke kanan dan 6 unit ke bawah.

Oleh itu, pilihan yang betul adalah 4.

. (1)

. (2)

Gantikan nilai m dari persamaan (2) dalam persamaan (1).

Pengganti n = 3 dalam persamaan (2).

Penyelesaian untuk set persamaan dalam bentuk (m, n) adalah (1,3).

Oleh itu, pilihan yang betul adalah 1.

Sekiranya garis melepasi dua titik dan , maka persamaan garis adalah

It is given that first line passes through the points (3,0) and (0,6). So, the equation of line is

It is given that first line passes through the points (0,0) and (5,5). So, the equation of line is

Two equation are dan . Find the values of both function at x=0 adn x=2.

dan .

dan .

(0,6) is the solution to line A but not to line B.

(2, 2) is the solution to both lines A and B.

Therefore, the correct option is 3.

A: There is only one solution since the two lines meet up. If it was parallel or the two lines where on top of each other there would be either an infinite amount of solutions or zero.

C(2, 2) is the solution to both lines A and B.

A straight line labeled A joins the ordered pair 3, 0 and the ordered pair 0, 6.

We know that the equation of a line passing through (a,b) and (c,d) is calculated as:

Hence, the equation of line is:

Hence, equation of line A is:

Similarly B is a line passing through (0,0) and (5,5).

Hence, the equation of line B is:

So, from the graph we observe that, the point of intersection of the two lines is (2,2).


1.2: Meets and Joins - Mathematics

Question from yaz, a student:

Find the equation of the line joining A(-1,-9) to B(6,120.

Hi Yaz. Here's how I would solve this kind of three-part, three-step problem.

A line joins A(-7, 1) to B(3, -4). Another line passes through C(1, 7) and meets AB at right angles at point D. Find the equations of both lines and calculate the coordinates of point D.

Langkah 1: You have two points and want the equation of the line AB. Remember that line equations can be written as

but m is the slope, which is the rise (difference of the y coordinates) over the run (difference of the x coordinates). So we can replace m and we have this:

and now we can substitute in the values for (xA, yA) and (xB, yB) and solve for y:

y - 1 = [ (1 - (-4) ) / (-7 - 3) ] (x - (-7) )
y = [5 / (-10)] (x + 7) + 1
y = (-1/2) (x + 7) + 1

y = (-1/2)x - 5/2.

This is the equation of the first line. It has slope -½ and y-intercept of -5/2.

Langkah 2: You know that lines at right angles are perpendicular, which means their slopes are the negative reciprocals of each other. So the slope of the second line is -1/(-½) = 2. Now you know a slope and a point C on the second line. You can use the point-slope form (that's the first equation I wrote at the top) to find the equation:

This second equation is a line with slope +2 and y-intercept of +5.

Langkah 3: Given two lines with different slopes, you can calculate the intersection point using either the substitution or the elimination method of solving simultaneous equations. I'll use the substitution method in my example:

At the intersection point, the same value of (x, y) works for both equations. So y = 2x + 5 at the same time that y = (-1/2)x - 5/2. If y equals two different expressions, then the two different expressions equal each other, so:

So at the intersection point D, x is -3. Now since there is only one value of y for this value of x, I can choose either equation to calculate y:


When is $I(c) = int^1_0 2^ dx$ largest?

On the next three pairs of axes (A), (B), (C) are graphs of [y = f(-x), quad f(x-1), quad -f(x)] in some order. Say which axes correspond to which graphs.

(A) (B) (C)

Graph (A) is (-f(x)) , since the graph has been reflected in the (x) -axis.

Graph (B) is (f(-x)) , since the graph has been reflected in the (y) -axis.

Graph (C) is (f(x-1)) , since the graph has been translated (one unit) to the right.

  1. Sketch graphs of both of the following functions [y = 2^ <-x^2>quad ext quad y = 2^<2x - x^2>.] Carefully label any stationary points.

We sketch (y = 2^<-x^2>) by noticing that it must be symmetrical about the (y) -axis. It takes its largest value of (1) at (x = 0) , and decreases to zero as the magnitude of (x) increases.

For the second graph, we note that [y = 2^ <2x - x^2>= 2^ <1-1 + 2x - x^2>= 2^<1-(x-1)^2>= 2 imes 2^<-(x-1)^2>,] and so this graph is (y = 2^<-x^2>) translated to the right by one unit and stretched vertically by a factor of two.

State the value(s) of (c) for which (I(c)) is largest. Briefly explain your reasoning. [Note you are not being asked to calculate this maximum value.]

The graph of (2^<-(x-c)^2>) is the graph of (2^<-x^2>) translated (c) units to the right.

The integral (I(c)) corresponds to the area under that graph within the range (0 le x le 1) .

To maximise this, we should choose (c) so that the highest point of the graph is in the middle of this range, at (x = dfrac<1><2>) , which occurs when (c = dfrac<1><2>) .

Oxford University Mathematics Aptitude Test, 2008, Q3

Question reproduced by kind permission of The University of Oxford. The question remains Copyright The University of Oxford, All rights reserved.


Tonton videonya: Matematik Tahun 5 - Operasi Bergabung Tolak u0026 Bahagi (Oktober 2021).