Artikel

4.7: Produk Binomial Khas


Tiga produk binomial berlaku begitu kerap dalam aljabar sehingga kita menetapkannya sebagai aljabar produk binomial khas. Kami telah melihatnya sebelumnya, tetapi kami akan mempelajarinya lagi kerana kepentingannya sebagai alat penjimatan masa dan dalam menyelesaikan persamaan (yang akan kita pelajari dalam bab berikutnya).

Produk khas ini boleh ditunjukkan sebagai kuasa dua binomial

((a + b) ^ 2 ) dan (a-b) ^ 2 )

dan sebagai jumlah dan perbezaan dua sebutan.

((a + b) (a-b) )

Terdapat dua peraturan mudah yang membolehkan kita memperluas (memperbanyak) binomial ini dengan mudah. Mereka layak dihafal, kerana mereka akan menjimatkan banyak masa di masa depan.

Mengembangkan ((a + b) ^ 2 ) dan ((a − b) ^ 2 )

Menjaringkan Binomial

Untuk mengkuadarkan binomial:

1. Persegi sebutan pertama.

2. Ambil produk dari dua istilah dan gandakan.

3. Persegi istilah terakhir.

4. Tambahkan ketiga-tiga hasil bersama

((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 )

((a-b) ^ 2 = a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 )

Mengembang (a + b) (a − b)

Jumlah dan Perbezaan Dua Istilah.

Untuk memperluas jumlah dan perbezaan dua istilah: †

  1. Segerakan sebutan pertama dan kuadrat penggal kedua.
  2. Kurangkan kuasa dua istilah kedua dari segi empat istilah pertama.

((a + b) (a-b) = a ^ 2 - b ^ 2 )

Set Contoh A

Contoh ( PageIndex {1} )

(
(x + 4) ^ {2}
)
Segerakan istilah pertama: (x ^ {2} ).
Produk kedua-dua istilah tersebut adalah (4x ). Gandakannya: (8x ).
Segerakan sebutan terakhir: 16.

Tambahkan bersama-sama: (x ^ {2} + 8x + 16 )

((x + 4) ^ {2} = x ^ {2} +8 x + 16 )

Perhatikan bahawa ((x + 4) ^ {2} neq x ^ {2} + 4 ^ {2} ). Istilah (8x ) tiada!

Contoh ( PageIndex {2} )

(
(a-8) ^ {2}
)
Segerakan istilah pertama: (a ^ {2} ).
Produk kedua-dua istilah tersebut adalah (- 8a ). Gandakannya: (- 16a ).
Segerakan sebutan terakhir: 64.

Tambahkan bersama-sama: (a ^ 2 + (-16a) + 64 )

((a-8) ^ 2 = a ^ 2 - 16a + 64 )

Perhatikan bahawa tanda istilah terakhir dalam ungkapan ini adalah " (+ )." Ini akan selalu berlaku sejak penggal terakhir berpunca dari sejumlah orang kuasa dua. Sebarang nombor bukan sifar itu sendiri selalu positif.

((+) (+) = + ) dan ((-) (-) = + )

Tanda istilah kedua dalam trinomial akan selalu menjadi tanda yang berlaku dalam tanda kurung.

Contoh ( PageIndex {3} )

(
(y-1) ^ {2}
)
Segerakan istilah pertama: (y ^ {2} ).
Produk kedua-dua istilah tersebut adalah (- y ). Gandakannya: (- 2y ).
Segerakan istilah terakhir: +1.

Tambahkan bersama-sama: (y ^ 2 + (-2y) + 1 )

Contoh ( PageIndex {4} )

(
(5x + 3) ^ {2}
)
Segerakan istilah pertama: (25x ^ {2} ).
Produk kedua-dua istilah tersebut adalah (15x ). Gandakannya: (30x ).
Segerakan sebutan terakhir: 9.

Tambahkan bersama-sama: (25x ^ 2 + 30x + 9 )

Contoh ( PageIndex {5} )

(
(7b-2) ^ {2}
)
Segerakan istilah pertama: (49b ^ {2} ).
Produk kedua-dua istilah tersebut adalah (- 14b ). Gandakannya: (- 28b ).
Segerakan sebutan terakhir: 4.

Tambahkan bersama-sama: (49b ^ 2 + (-28b) + 4 )

Contoh ( PageIndex {6} )

(
(x + 6) (x-6)
)
Segerakan sebutan pertama: (x ^ 2 ).
Kurangkan kuadrat bagi istilah kedua ( (36 )) dari segiempat istilah pertama: (x ^ 2 - 36 )

((x + 6) (x-6) = x ^ 2 - 36 )

Contoh ( PageIndex {7} )

(
(4a − 12) (4a + 12)
)
Segerakan sebutan pertama: (16a ^ 2 ).
Kurangkan kuasa dua istilah kedua ( (144 )) dari segiempat sama pertama: (16a ^ 2-144 )

((4a-12) (4a + 12) = 16a ^ 2 - 144 )

Contoh ( PageIndex {8} )

(
(6x + 8y) (6x − 8y)
)
Segerakan istilah pertama: (36x ^ 2 ).
Kurangkan kuadrat bagi istilah kedua ( (64y ^ 2 )) dari segi empat bagi istilah pertama: (36x ^ 2 - 64y ^ 2 )

((6x + 8y) (6x-8y) = 36x ^ 2 - 64y ^ 2 )

Set Amalan A

Cari produk berikut.

Masalah Amalan ( PageIndex {1} )

((x + 5) ^ 2 )

Jawapan

(x ^ 2 + 10x + 25 )

Masalah Amalan ( PageIndex {2} )

((x + 7) ^ 2 )

Jawapan

(x ^ 2 + 14x + 49 )

Masalah Amalan ( PageIndex {3} )

((y-6) ^ 2 )

Jawapan

(y ^ 2 - 12y + 36 )

Masalah Amalan ( PageIndex {4} )

((3a + b) ^ 2 )

Jawapan

(9a ^ 2 + 6ab + b ^ 2 )

Masalah Amalan ( PageIndex {5} )

((9m-n) ^ 2 )

Jawapan

(81m ^ 2 - 18mn + n ^ 2 )

Masalah Amalan ( PageIndex {6} )

((10x - 2y) ^ 2 )

Jawapan

(100x ^ 2 - 40xy + 4y ^ 2 )

Masalah Amalan ( PageIndex {7} )

((12a - 7b) ^ 2 )

Jawapan

(144a ^ 2 - 168ab + 49b ^ 2 )

Masalah Amalan ( PageIndex {8} )

((5h - 15k) ^ 2 )

Jawapan

(25h ^ 2 - 150hk + 225k ^ 2 )

Latihan

Untuk masalah berikut, cari produknya.

Latihan ( PageIndex {1} )

((x + 3) ^ 2 )

Jawapan

(x ^ 2 + 6x + 9 )

Latihan ( PageIndex {2} )

((x + 5) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {3} )

((x + 8) ^ 2 )

Jawapan

(x ^ 2 + 16x + 64 )

Latihan ( PageIndex {4} )

((x + 6) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {5} )

((y + 9) ^ 2 )

Jawapan

(y ^ 2 + 18y + 81 )

Latihan ( PageIndex {6} )

((y + 1) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {7} )

((a-4) ^ 2 )

Jawapan

(a ^ 2 - 8a + 16 )

Latihan ( PageIndex {8} )

((a-6) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {9} )

((a-7) ^ 2 )

Jawapan

(a ^ 2 - 14a + 49 )

Latihan ( PageIndex {10} )

((b + 10) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {11} )

((b + 15) ^ 2 )

Jawapan

(b ^ 2 + 30b + 225 )

Latihan ( PageIndex {12} )

((a-10) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {13} )

((x-12) ^ 2 )

Jawapan

(x ^ 2 - 24x + 144 )

Latihan ( PageIndex {14} )

((x + 20) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {15} )

((y-20) ^ 2 )

Jawapan

(y ^ 2 - 40y + 400 )

Latihan ( PageIndex {16} )

((3x + 5) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {17} )

((4x + 2) ^ 2 )

Jawapan

(16x ^ 2 + 16x + 4 )

Latihan ( PageIndex {18} )

((6x - 2) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {19} )

((7x - 2) ^ 2 )

Jawapan

(49x ^ 2 - 28x + 4 )

Latihan ( PageIndex {20} )

((5a - 6) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {21} )

((3a - 9) ^ 2 )

Jawapan

(9a ^ 2 - 54a + 81 )

Latihan ( PageIndex {22} )

((3w - 2z) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {23} )

((5a - 3b) ^ 2 )

Jawapan

(25a ^ 2 - 30ab + 9b ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {24} )

((6t - 7s) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {25} )

((2h - 8k) ^ 2 )

Jawapan

(4h ^ 2 - 32hk + 64k ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {26} )

((a + dfrac {1} {2}) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {27} )

((a + dfrac {1} {3}) ^ 2 )

Jawapan

(a ^ 2 + dfrac {2} {3} a + dfrac {1} {9} )

Latihan ( PageIndex {28} )

((x + dfrac {3} {4}) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {29} )

((x + dfrac {2} {5}) ^ 2 )

Jawapan

(x ^ 2 + dfrac {4} {5} x + dfrac {4} {25} )

Latihan ( PageIndex {30} )

((x - dfrac {2} {3}) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {31} )

((y- dfrac {5} {6}) ^ 2 )

Jawapan

(y ^ 2 - dfrac {5} {3} y + dfrac {25} {36} )

Latihan ( PageIndex {32} )

((y + dfrac {2} {3}) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {33} )

((x + 1.3) ^ 2 )

Jawapan

(x ^ 2 + 2.6x + 1.69 )

Latihan ( PageIndex {34} )

((x + 5.2) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {35} )

((a + 0,5) ^ 2 )

Jawapan

(a ^ 2 + a + 0,25 )

Latihan ( PageIndex {36} )

((a + 0,08) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {37} )

((x - 3.1) ^ 2 )

Jawapan

(x ^ 2 - 6.2x + 9.61 )

Latihan ( PageIndex {38} )

((y - 7.2) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {39} )

((b - 0,04) ^ 2 )

Jawapan

(b ^ 2 - 0,08b + 0,0016 )

Latihan ( PageIndex {40} )

((f - 1,006) ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {41} )

((x + 5) (x - 5) )

Jawapan

(x ^ 2 - 25 )

Latihan ( PageIndex {42} )

((x + 6) (x-6) )

Latihan ( PageIndex {43} )

((x + 1) (x − 1) )

Jawapan

(x ^ 2 - 1 )

Latihan ( PageIndex {44} )

((t − 1) (t + 1) )

Latihan ( PageIndex {45} )

((f + 9) (f − 9) )

Jawapan

(f ^ 2 - 81 )

Latihan ( PageIndex {46} )

((y − 7) (y + 7) )

Latihan ( PageIndex {47} )

((2y + 3) (2y − 3) )

Jawapan

(4y ^ 2 - 9 )

Latihan ( PageIndex {48} )

((5x + 6) (5x − 6) )

Latihan ( PageIndex {49} )

((2a − 7b) (2a + 7b) )

Jawapan

(4a ^ 2 - 49b ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {50} )

((7x + 3t) (7x − 3t) )

Latihan ( PageIndex {51} )

((5h − 2k) (5h + 2k) )

Jawapan

(25h ^ 2 - 4k ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {52} )

((x + dfrac {1} {3}) (x - dfrac {1} {3}) )

Latihan ( PageIndex {53} )

((a + dfrac {2} {9}) (a - dfrac {2} {9}) )

Jawapan

(a ^ 2 - dfrac {4} {81} )

Latihan ( PageIndex {54} )

((x + dfrac {7} {3}) (x - dfrac {7} {3}) )

Latihan ( PageIndex {55} )

((2b + dfrac {6} {7}) (2b - dfrac {6} {7}) )

Jawapan

(4b ^ 2 - dfrac {36} {49} )

Latihan ( PageIndex {56} )

Kembangkan ((a + b) ^ 2 ) untuk membuktikannya sama dengan (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 ).

Latihan ( PageIndex {57} )

Kembangkan ((a-b) ^ 2 ) untuk membuktikannya sama dengan (a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 ).

Jawapan

((a-b) (a-b) = a ^ 2 - ab - ab + b ^ 2 = a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 )

Latihan ( PageIndex {58} )

Kembangkan ((a + b) (a-b) ) untuk membuktikan ia sama dengan (a ^ 2-b ^ 2 ).

Latihan ( PageIndex {59} )

Isi label yang hilang dalam persamaan di bawah.

Jawapan

Istilah pertama kuasa dua

Latihan ( PageIndex {60} )

Labelkan bahagian persamaan di bawah.

Latihan ( PageIndex {61} )

Labelkan bahagian persamaan di bawah.

Jawapan

a) Segerakan sebutan pertama.

b) Segarkan istilah kedua dan tolak dari penggal pertama.

Latihan untuk Semakan

Latihan ( PageIndex {62} )

Permudahkan ((x ^ 3y ^ 0z ^ 4) ^ 5 ).

Latihan ( PageIndex {63} )

Cari nilai (10 ​​^ {- 1} cdot 2 ^ {- 3} )

Jawapan

( dfrac {1} {80} )

Latihan ( PageIndex {64} )

Cari produk.

((x + 6) (x-7) ).

Latihan ( PageIndex {65} )

Cari produk.

((5m - 3) (2m + 3) )

Jawapan

(10m ^ 2 + 9m - 9 )

Latihan ( PageIndex {66} )

Cari produk.

((a + 4) (a ^ 2 - 2a + 3) )


Mari lihat peraturan khas yang membolehkan kita mencari produk tanpa menggunakan kaedah FOIL.

Kuadrat dari binomial adalah jumlah: kuadrat bagi istilah pertama, dua kali hasil dua istilah, dan segi empat bagi istilah terakhir.

Saya tahu ini terdengar membingungkan, jadi lihatlah ..

Sekiranya anda dapat mengingat formula ini, anda akan dapat menilai kotak polinomial tanpa perlu menggunakan kaedah FOIL. Ia akan berlatih.

Sekarang mari kita lihat Contoh 1 dan cari produk menggunakan peraturan khas kami.


Logo anda pada produk yang tepat adalah seperti keajaiban pemasaran. Ia boleh menjadikan biasa menjadi luar biasa, dan sesaat menjadi momen yang penting.

Beli Semua Produk Pakaian Perniagaan Promosi

Lengkapkan pasukan anda dengan pakaian yang dicetak khas!

Beli Semua Produk Kesihatan & Keselamatan Promosi

Produk untuk memastikan peminat anda sentiasa unggul!

Beli Semua Produk Minuman Promosi untuk Perniagaan Anda

Menjimatkan peralatan minuman diperibadikan khas!

Belanja Semua Beg Promosi untuk Kempen Pemasaran Anda

Banyakkan promosi anda dengan beg peribadi!

Beli Jenama kami yang paling popular

Jenama popular untuk setiap promosi!

Item Pemberian Jualan

Harga istimewa, tawaran & curi hadiah promosi terbaik!

Beli Semua Item Alat Tulis yang Diperibadikan

Sesuaikan folder, notepad anda sendiri, Catatan Post-it® & amp lagi!

Beli Semua Produk Teknologi Cetakan

Tetap moden dengan aksesori komputer & elektronik logo!

Beli Semua Produk Penulisan Cetakan

Sebarkan mesej anda dengan alat penulisan yang dicetak!

Beli Semua Item 24 Jam yang dicetak

Pesan Hari Ini. Penghantaran Esok.

Wilson F.L.I. Bola golf

Harga kedai serendah $ 15.99

Hocus Pocus Slim Stylus Pen - Logam
dengan logo anda
$109.00

Daryl, dengan
4cetakan
18 tahun

Denise, dengan
4cetakan
18 tahun

Produk Promosi Jenama Crossland Beli Crossland ® Sekarang

Promosi 4imprint ValueBuy Essential. Harga luar biasa.

Tingkatkan anggaran anda lebih jauh dengan penjimatan yang luar biasa pada Acrylic Tumbler with Straw kami yang disesuaikan. Terdapat dalam lapan warna yang menarik.

Nilai berharga serendah $ 2.69.

Alysia, dengan
4cetakan
12 tahun

Andy, dengan
4cetakan
13 tahun

Sulaman Dibuat Mudah

  • Tiada bayaran tambahan untuk saiz yang diperpanjang.
  • Pesan sebanyak 6 keping.
  • Caj pita $ 35 PERCUMA untuk pesanan 24 keping atau lebih pada polos, baju baju & jaket amp!
  • Tidak ada jahitan - jika logo anda sesuai dengan kawasan bersulam yang dijelaskan, tidak ada bayaran tambahan. Tempoh.

Jason Mengesyorkan

Saya peminat besar kanak-kanak kecil ini. Saya suka bahawa mereka mempunyai pegangan, dan kuat pada masa itu. Saya menggunakannya setiap hari di pejabat tanpa gagal!

Jason, dengan cetakan 4 tahun 3.

Mackenzie Mengesyorkan

Ini adalah selimut kegemaran saya untuk diambil ketika tiba masanya untuk selesa dan membaca buku yang bagus. Ia sangat lembut dan menjadi salah satu idea hadiah untuk keluarga dan rakan saya.

Mackenzie, dengan cetakan 4 tahun 3.


Soalan

& lta href = & # 8221 / intermediatealgebraberg / back-matter / answer-key-6-6 / & # 8221 & gtAnswer Key 6.6


Kalkulator MAKANAN- Mengalikan Binomial

Kalkulator binomial ini mengira produk binomial yang dinaikkan sama ada ke kuasa ke-2 atau ke-3 menggunakan kaedah FOIL. Produk ekspresi binomial diperoleh, seperti semua produk, dengan mengalikan dua ungkapan binomial bersama-sama.

Untuk menggunakan kalkulator ini di atas, kita mengikuti format (ax + b) n. Pengguna baru memasuki a dan b nilai. Dia juga boleh mengubah tanda dan eksponen yang dinaikkan binomial. Secara lalai, tanda dan eksponen adalah "+" dan "2". Pengguna, bagaimanapun, dapat mengubah tanda menjadi "-" dan eksponen menjadi "3". Oleh itu, kalkulator membolehkan input dinamik.

Setelah pengguna mengklik "Hitung", jawapannya akan dikira secara automatik.

Mengalikan Binomial Berbeza

Kalkulator binomial ini mengira produk dua binomial yang mungkin sama atau berbeza. Sekiranya sama, anda boleh menggunakan kalkulator pertama, tetapi jika ia berbeza, anda mesti menggunakan kalkulator ini.

Sekali lagi, ini mengira produk binomial dengan kaedah FOIL, langkah-langkah yang dijelaskan di bawah.

FOIL dijelaskan

Berikut adalah visual rujukan bagaimana FOIL berfungsi:

FOIL adalah kaedah pengiraan produk binomial yang menggunakan langkah-langkah berikut yang ditunjukkan di bawah:

Katakan kita mempunyai binomial berikut yang ditunjukkan di atas.

Sekiranya kita mengembangkannya tanpa menggunakan eksponen, ia akan kelihatan seperti berikut:

Dengan menggunakan FOIL, kami akan mengira produk binomial ini dengan langkah-langkah berikut:

Pertama- Kami mengambil istilah pertama dari setiap binomial dan mengalikannya bersama. Dengan ungkapan binomial (ax + b) (ax + b), istilah pertama adalah kapak dan kapak. Ini menghasilkan produk 2 x 2.

Luar- Seterusnya, kita mengambil istilah luar atau luar kedua-dua binomial. Dengan ungkapan binomial (ax + b) (ax + b), istilah luarnya adalah kapak dan b. Ini menghasilkan produk abx.

Batin- Seterusnya, kita mengambil istilah dalaman atau dalaman kedua-dua binomial. Dengan ungkapan binomial (ax + b) (ax + b), istilah dalamannya adalah b dan kapak. Ini menghasilkan produk abx. Kita sekarang boleh menggabungkan istilah luar dan dalam, kerana istilah itu seperti istilah. Oleh itu, mereka hanya menambah untuk memberi istilah 2abx.

Terakhir- Seterusnya, kita mengambil istilah terakhir dari dua binomial. Dengan ungkapan binomial (ax + b) (ax + b), istilah terakhir adalah b dan b. Ini menghasilkan produk b 2 .

Jadi sekarang secara keseluruhan, setelah kita menambah semua istilah, dari ungkapan binomial ini, kita mendapat produk akhir dari 2 x 2 + 2abx + b 2.

MAKANAN
Pertama- (3x) (3x) = 9x 2
Luar- (3x) (4) = 12x
Dalaman- (4) (3x) = 12x
Terakhir- (4)(4)=16

Jumlah syarat yang ditambahkan bersama: 9x 2 + 12x + 12x +16 = 9x 2 + 24x + 16

MAKANAN
Pertama- (2x) (5x) = 10x 2
Luar- (2x) (- 7) = -14x
Dalaman- (3) (5x) = 15x
Terakhir- (3)(-7)= -21


Bain, Cinven membeli Lonza Special Ingredients dalam perjanjian $ 4.7 bilion

ZURICH (Reuters) - Bain Capital dan Cinven memperoleh bahagian Lonza’s Special Ingredients dalam perjanjian bernilai $ 4.7 bilion, kata pembuat kontrak kontrak Switzerland itu pada hari Isnin, kerana memberi tumpuan kepada unitnya yang berkembang pesat yang membekalkan syarikat ubat dan bioteknologi.

Konsortium Bain-Cinven telah disenaraikan dalam kumpulan Lanxess dan Buyout Jerman Advent, Carlyle dan lain-lain sebagai penawar bagi unit yang membuat ramuan syampu anti kelemumur, suplemen pemakanan untuk babi dan kawalan mikrob untuk produk kayu dan kebersihan.

Lonza, yang mengatakan nilai perusahaan dari transaksi tersebut adalah 4,2 miliar franc Swiss ($ 4,7 miliar), meningkat dua kali ganda dari perniagaan ubat-ubatannya yang semakin meningkat. Pelanggannya termasuk Moderna, yang dibekalkan Lonza dengan ramuan untuk vaksin COVID-19, dan AstraZeneca, yang menyewa syarikat Switzerland untuk membantu rawatan antibodi COVID-19.

"Penjualan perniagaan Bahan Khusus akan membolehkan Lonza fokus pada kedudukannya sebagai rakan utama industri penjagaan kesihatan," kata Ketua Albert Baehny dalam satu kenyataan.

"Aliran tunai percuma yang dihasilkan dari penjualan akan memungkinkan kami mempercepat keutamaan strategi kami," tambahnya.

Saham Lonza meningkat lebih daripada 60% tahun lalu, kerana ia berkembang dalam ubat-ubatan dan bersedia untuk memunggah Bahan-bahan Khusus.

Unit ini, yang pernah menjadi tumpuan utama Lonza sebelum bahagian ubat dan bioteknologi menaikkannya ke pembakar belakang, menyaksikan pendapatan turun 2.1% tahun lalu kepada 1.7 bilion franc tahun lalu.

Sebaliknya, hasil ubat, bioteknologi dan nutrisi Lonza meningkat 7.2% menjadi 4.5 bilion franc ketika Lonza terus maju dengan pengembangan yang besar, termasuk membina empat barisan pengeluaran baru untuk vaksin Moderna terhadap koronavirus baru di Amerika Syarikat dan di Switzerland.


Lane ORCCA (2020–2021): Sumber Terbuka untuk Algebra Kolej Komuniti

Oleh kerana sekarang kita dapat membiak polinomial bersama, kita akan melihat beberapa kes pendaraban polinomial khas.

Subseksyen 6.6.1 Mengkuadarkan Binomial

Contoh 6.6.1.

Untuk "menjana binomial" adalah mengambil binomial dan mengalikannya dengan sendirinya. Kita tahu bahawa notasi eksponen bermaksud bahawa (4 ^ 2 = 4 cdot 4 text <.> ) Menggunakan ini pada binomial, kita akan melihat bahawa ((x + 4) ^ 2 = (x + 4) (x + 4) teks <.> ) Untuk memperluas ungkapan ini, kita hanya akan menyebarkan ((x + 4) ) di seberang ((x + 4) teks <:> )

Begitu juga, untuk mengembangkan ((y-7) ^ 2 text <,> ) kita akan mempunyai:

Kedua-dua contoh ini mungkin kelihatan seperti contoh lain dari penggandaan binomial, tetapi melihat dengan teliti kita dapat melihat sesuatu yang sangat spesifik (atau khas) berlaku. Dengan memfokuskan pada ungkapan asli dan yang dipermudahkan, kita dapat melihat bahawa corak tertentu berlaku pada setiap:

bermula kiri (y-7 kanan) ^ 2 amp = y ^ 2 - highlight <7> y - highlight <7> y + highlight <7 cdot 7> kiri (y- highlight < 7> kanan) ^ 2 amp = y ^ 2 -2 ( highlight <7> y) + highlight <7> ^ 2 end

Perhatikan bahawa kedua istilah tengah itu tidak hanya sama, mereka juga merupakan produk kedua istilah dalam binomial. Selanjutnya, istilah terakhir adalah petak bagi istilah kedua dalam setiap binomial asal.

Apa yang kita lihat adalah corak yang berkaitan dengan dua frasa penting: Proses disebut, dan hasilnya disebut a. Ungkapan pertama adalah penerangan tentang apa yang kita lakukan, kita secara harfiah menjaringkan binomial. Frasa kedua adalah penerangan tentang apa yang anda hadapi. Nama kedua ini akan menjadi penting dalam bab yang akan datang.

Contoh 6.6.2.

Cara umum corak ini ditunjukkan adalah dengan menjaringkan dua binomial paling umum yang mungkin, ((a + b) ) dan ((ab) teks <.> ) Kami akan menetapkan corak untuk ((a + b) ^ 2 ) dan ((ab) ^ 2 text <.> ) Setelah kami melakukannya, kami akan dapat menggantikan apa sahaja menggantikan (a ) dan (b ) dan bergantung pada corak umum untuk mempermudah binomial kuasa dua.

Mula-mula kita mesti mengembangkan ((a + b) ^ 2 ) sebagai ((a + b) (a + b) ) dan kemudian kita boleh menggandakan binomial tersebut:

Perhatikan langkah penyederhanaan terakhir adalah dengan menambahkan (ab + ba text <.> ) Oleh kerana ini adalah istilah, kita boleh menggabungkannya menjadi (2ab text <.> )

Begitu juga, kita dapat mencari formula umum untuk ((a-b) ^ 2 text <:> )

Fakta 6.6.3. Menentukan Formula Binomial.

Sekiranya (a ) dan (b ) adalah nombor nyata atau ungkapan pemboleh ubah, maka kita mempunyai formula berikut:

Rumusan ini akan membolehkan kita memperbanyak jenis produk khas ini dengan lebih cepat.

Catatan 6.6.4.

Perhatikan bahawa apabila kedua ((a + b) ^ 2 ) dan ((a-b) ^ 2 ) diperluas dalam Contoh 6.6.2, istilah terakhir adalah positif (b ^ 2 ) di kedua-duanya. Ini kerana sebarang nombor atau ungkapan, tanpa mengira tandanya, positif setelah ia kuasa dua.

Subseksyen 6.6.2 Contoh Lanjut Mengkuadarkan Binomial

Contoh 6.6.5.

Kembangkan ((2x-3) ^ 2 ) menggunakan formula kuasa dua binari.

Untuk contoh ini, kita perlu menyedari bahawa untuk menerapkan formula ((ab) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 ) dalam situasi ini, (a = 2x ) dan (b = 3 teks <.> ) Memperluas ini, kami mempunyai:

Catatan 6.6.6.

Walaupun kita bergantung pada formula untuk mengkuadrat binomial dalam Contoh 6.6.5, kita sering akan menghilangkan langkah menulis formula secara formal dan melompat ke penyederhanaan, dengan cara ini:

Contoh 6.6.7.

Gandakan yang berikut dengan menggunakan formula kuasa dua binari:

( displaystyle bermula[t] (5xy + 1) ^ 2 amp = (5xy) ^ 2 + 2 (5xy) (1) + 1 ^ 2 amp = 25x ^ 2y ^ 2 + 10xy + 1 akhir )

Dengan ungkapan ini, pertama kita akan perhatikan bahawa faktor (4 ) adalah di luar bahagian ungkapan yang kuasa dua. Dengan menggunakan urutan operasi, pertama kita akan mengembangkan ((3x-7) ^ 2 ) dan kemudian mengalikan ungkapan itu dengan (4 teks <:> )

Contoh 6.6.8.

Luas bulatan dapat dikira dengan formula

di mana (A ) bermaksud kawasan, dan (r ) bermaksud radius. Jika jari-jari lingkaran tertentu dapat dimodelkan dengan kaki (x-5 ), gunakan polinomial yang diperluas untuk memodelkan kawasan bulatan.

Kawasan bulatan tersebut adalah:

Luas bulatan boleh dimodelkan dengan kaki persegi ( pi x ^ 2-10 pi x + 25 pi ).

Pusat Pemeriksaan 6.6.9.

Subseksyen 6.6.3 Produk Jumlah dan Perbezaan Dua Syarat

Untuk mengenal pasti "kes khas" seterusnya untuk mengalikan polinomial, kita akan melihat beberapa contoh.

Contoh 6.6.10.

Gandakan binomial berikut:

( displaystyle bermula[t] (x + 5) (x-5) amp = x ^ 2-5x + 5x-25 amp = x ^ 2 -25 akhir )

( displaystyle bermula[t] (y + 8) (y-8) amp = y ^ 2-8y + 8y-4 amp = y ^ 2 - 64 akhir )

Perhatikan bahawa untuk setiap produk ini, kita menggandakan jumlah dua istilah dengan perbezaan sama dua istilah. Perhatikan juga dalam tiga contoh ini bahawa setelah ungkapan ini digandakan, kedua istilah tengah itu bertentangan dan dengan itu dibatalkan menjadi sifar.

Pasangan ini, umumnya ditulis sebagai ((a + b) ) dan ((a-b) teks <,> ) dikenali sebagai. Sekiranya kita mengalikan ((a + b) (a-b) text <,> ) kita dapat melihat corak umum ini dengan lebih jelas:

Seperti kes khas sebelumnya, yang satu ini juga mempunyai dua nama. Ini boleh disebut sebagai, kerana corak ini dibina dengan mengalikan dua binomial yang mempunyai dua istilah yang sama, kecuali satu binomial adalah jumlah dan binomial yang lain adalah perbezaan. Nama kedua adalah, kerana hasil akhir pendaraban adalah binomial yang merupakan perbezaan dua petak sempurna. Seperti sebelumnya, nama kedua akan menjadi berguna pada bab yang akan datang ketika menggunakan teknik yang dijelaskan dalam bahagian ini dengan tepat.

Fakta 6.6.11. Produk Rumusan Jumlah dan Perbezaan Dua Syarat.

Sekiranya (a ) dan (b ) adalah nombor nyata atau ungkapan pemboleh ubah, maka kita mempunyai formula berikut:


Ahad, 22 Oktober 2006

Polinomial: Operasi 4.7

4.7 OPERASI DENGAN POLYNOMIAL DALAM PELBAGAI PELBAGAI
a. Nilai polinomial dalam beberapa pemboleh ubah untuk nilai pemboleh ubah yang diberikan.
b. Kenalpasti pekali dan darjah sebutan suatu polinomial dan darjah suatu polinomial.
c. Kumpulkan istilah polinomial.
d. Tambah polinomial.
e. Kurangkan polinomial.
f. Gandakan polinomial.

Objektif a
Nilai polinomial dalam beberapa pemboleh ubah untuk nilai pemboleh ubah yang diberikan.


Objektif b
Kenalpasti pekali dan darjah sebutan suatu polinomial dan darjah suatu polinomial.

Objektif c
Kumpulkan istilah polinomial.

Contoh C Gabungkan sebutan seperti.

Objektif d
Tambah polinomial.

Objektif e
Kurangkan polinomial.

Objektif f
Gandakan polinomial.



Polinomial: Operasi 4.6

4.6 PRODUK KHAS
a. Darabkan dua binomial secara mental menggunakan kaedah FOIL.
b. Gandakan jumlah dan perbezaan dua istilah secara mental.
c. Segerakan mental secara binomial.
d. Cari produk khas apabila produk polinomial dicampur bersama.

Objektif a
Darabkan dua binomial secara mental menggunakan kaedah FOIL.


Objektif b
Gandakan jumlah dan perbezaan dua istilah secara mental.


Objektif c
Segerakan mental binomial.


Objektif d
Cari produk khas apabila produk polinomial dicampur bersama.



Polinomial: Operasi 4.5

4.5 MULTIPLIKASI POLYNOMIAL
a. Gandakan monomial.
b. Gandakan monomial dan polinomial apa pun.
c. Darabkan dua binomial.
d. Gandakan mana-mana dua polinomial.


Asas Model Penentuan Harga Opsyen Binomial

Dengan model harga opsyen binomial, anggapannya adalah terdapat dua kemungkinan hasil — oleh itu, bahagian binomial model. Dengan model harga, dua hasilnya adalah naik, atau turun. Kelebihan utama model penetapan harga pilihan binomial adalah mudah secara matematik. Namun model-model ini dapat menjadi kompleks dalam model multi-period.

Berbeza dengan model Black-Scholes, yang memberikan hasil berangka berdasarkan input, model binomial memungkinkan untuk menghitung aset dan pilihan untuk beberapa periode bersama dengan berbagai kemungkinan hasil untuk setiap periode (lihat di bawah).

Kelebihan pandangan multi-periode ini ialah pengguna dapat memvisualisasikan perubahan harga aset dari satu periode ke satu masa dan menilai pilihan berdasarkan keputusan yang dibuat pada titik masa yang berlainan. Untuk pilihan yang berpusat di A.S., yang dapat dilaksanakan pada bila-bila masa sebelum tarikh luput, model binomial dapat memberikan gambaran mengenai kapan menjalankan pilihan itu mungkin disarankan dan kapan ia harus diadakan untuk jangka masa yang lebih lama.

Dengan melihat pokok nilai binomial, pedagang dapat menentukan terlebih dahulu kapan keputusan mengenai latihan mungkin berlaku. Sekiranya opsyen mempunyai nilai positif, ada kemungkinan latihan sedangkan, jika pilihan tersebut memiliki nilai kurang dari nol, maka opsyen tersebut harus ditahan untuk jangka waktu yang lebih lama.


(x + 2) 2 & # xa0 adalah dalam bentuk (a + b) 2

Membandingkan & # xa0 (a + b) 2 & # xa0 dan (x + 2) 2, kita dapat

Tulis formula / pengembangan untuk & # xa0 (a + b) 2.

Pengganti x untuk a dan 2 untuk b. & # Xa0

Jadi, pengembangan & # xa0 (x + 2) 2 & # xa0is

(x - 5) 2 & # xa0 adalah dalam bentuk (a - b) 2

Membandingkan & # xa0 (a - b) 2 & # xa0 dan (x - 5) 2, kita dapat

Tulis formula / pengembangan untuk & # xa0 (a - b) 2.

Pengganti x untuk a dan 5 untuk b. & # Xa0

Jadi, pengembangan & # xa0 (x - 5) 2 & # xa0is

(5x + 3) 2 & # xa0 adalah dalam bentuk (a + b) 2

Membandingkan & # xa0 (a + b) 2 & # xa0 dan (5x + 3) 2, kita mendapat

Tulis pengembangan untuk & # xa0 (a + b) 2.

Ganti 5x untuk a dan 3 untuk b. & # Xa0

(5x + 3) 2 & # xa0 = & # xa0 (5x) 2 & # xa0 + 2 (5x) (3) + 3 2

Jadi, pengembangan & # xa0 (5x + 3) 2 & # xa0is

(5x - 3) 2 & # xa0 adalah dalam bentuk (a - b) 2

Membandingkan & # xa0 (a - b) 2 & # xa0 dan (5x - 3) 2, kita mendapat

Tuliskan pengembangan untuk & # xa0 (a - b) 2.

Ganti 5x untuk a dan 3 untuk b. & # Xa0

(5x - 3) 2 & # xa0 = & # xa0 (5x) 2 & # xa0- 2 (5x) (3) + 3 2

Jadi, pengembangan & # xa0 (5x - 3) 2 & # xa0is

Sekiranya a + b & # xa0 = & # xa0 7 dan a 2 + b 2 & # xa0 = & # xa0 29, maka cari nilai ab. & # xa0

Untuk mendapatkan nilai ab, kita boleh menggunakan formula atau pengembangan & # xa0 (a + b) 2.

Tulis formula / pengembangan untuk & # xa0 (a + b) 2.

Pengganti 7 untuk (a + b) & # xa0 dan 29 untuk & # xa0 (a 2 + b 2).

Kurangkan 29 dari setiap sisi. & # Xa0

Sekiranya a - b & # xa0 = & # xa0 3 dan a 2 & # xa0 + b 2 & # xa0 = & # xa0 29, maka cari nilai ab. & # xa0

Untuk mendapatkan nilai ab, kita boleh menggunakan formula atau pengembangan & # xa0 (a - b) 2.

Tulis formula / pengembangan untuk & # xa0 (a - b) 2.

Pengganti 3 untuk (a - b) & # xa0 dan 29 untuk & # xa0 (a 2 & # xa0 + b 2).

Kurangkan 29 dari setiap sisi. & # Xa0

& # xa0 (√2 + 1 / √2) 2 & # xa0 adalah dalam bentuk (a + b) 2

Membandingkan & # xa0 (a + b) 2 & # xa0 dan & # xa0 (√2 + (1 / √2) 2, kita mendapat

Tuliskan pengembangan untuk & # xa0 (a + b) 2.

Pengganti & # xa0 √2 & # xa0untuk a dan 1 / √2 & # xa0untuk b. & # Xa0

Jadi, nilai & # xa0 (√2 + 1 / √2) 2 ialah

& # xa0 (√2 - 1 / √2) 2 & # xa0 adalah dalam bentuk (a - b) 2

Membandingkan & # xa0 (a - b) 2 & # xa0 dan & # xa0 (√2 - 1 / √2) 2, kita mendapat

Tulis formula / pengembangan untuk & # xa0 (a - b) 2.

Pengganti & # xa0 √2 & # xa0untuk a dan 1 / √2 & # xa0untuk b. & # Xa0

Jadi, nilai & # xa0 (√2 - 1 / √2) 2 & # xa0 ialah

Daripada mengalikan 105 dengan 105 untuk mendapatkan nilai (105) 2, kita dapat menggunakan formula algebra untuk (a + b) 2 dan mencari nilai (105) 2 & # xa0 dengan mudah.

Tulis & # xa0 (105) 2 & # xa0 dalam bentuk (a + b) 2.

Tuliskan pengembangan untuk & # xa0 (a + b) 2.

Pengganti 100 & # xa0 untuk a dan 5 & # xa0 untuk b. & # Xa0

(100 & # xa0 + 5) 2 & # xa0 = & # xa0 (100) 2 & # xa0 + 2 (100) (5) + (5) 2

Jadi, nilai & # xa0 (10 5) 2 & # xa0is

Daripada mengalikan 95 dengan 95 untuk mendapatkan nilai (9 5) 2, kita boleh menggunakan formula algebra untuk (a - b) 2 & # xa0 dan mencari nilai (95) 2 & # xa0 dengan mudah.

Tulis & # xa0 (95) 2 & # xa0 dalam bentuk (a - b) 2.

Tuliskan formula / pengembangan untuk & # xa0 (a - b) 2.

Pengganti 100 & # xa0 untuk a dan 5 & # xa0 untuk b. & # Xa0

(100 & # xa0- 5) 2 & # xa0 = & # xa0 (100) 2 & # xa0- 2 (100) (5) + (5) 2

Jadi, nilai & # xa0 (9 5) 2 & # xa0is

Setelah meneliti perkara-perkara yang diberikan di atas, kami berharap para pelajar dapat memahami formula atau pengembangan (a + b) 2 dan contoh masalah mengenai pengembangan (a + b) 2. & # xa0

Selain daripada perkara yang diberikan dalam bahagian ini, & # xa0 & # xa0 jika anda memerlukan barangan lain dalam matematik, sila gunakan carian khusus google kami di sini.

Sekiranya anda mempunyai maklum balas mengenai kandungan matematik kami, sila hantarkan kepada kami: & # xa0

Kami sentiasa menghargai maklum balas anda. & # Xa0

Anda juga boleh melayari laman web berikut mengenai pelbagai perkara dalam matematik. & # Xa0


Tonton videonya: Binomial Distribution IB Math AA SLHL (Oktober 2021).