Artikel

5.1: Segitiga Tidak Betul - Hukum Kosinus - Matematik


Objektif Pembelajaran

  • Fahami bagaimana Hukum Kosinus diturunkan.
  • Terapkan Hukum Kosinus apabila anda mengetahui dua sisi dan penyertaan segitiga serong (tidak kanan) (SAS).
  • Terapkan Hukum Kosinus apabila anda mengetahui ketiga-tiga sisi segitiga serong.
  • Kenal pasti lukisan segitiga serong yang tepat.
  • Gunakan Hukum Kosinus di dunia nyata dan masalah yang berlaku.

Katakan sebuah kapal meninggalkan pelabuhan, bergerak sejauh (10 ​​) batu, belok (20 ) darjah, dan menempuh jarak sejauh 8 batu seperti yang ditunjukkan dalam Rajah ( PageIndex {1} ) Berapa jauh dari pelabuhan?

Sayangnya, sementara Hukum Sinus memungkinkan kita untuk menangani banyak kasus segitiga yang tidak betul, ini tidak membantu kita dengan segitiga di mana sudut yang diketahui berada di antara dua sisi yang diketahui, segitiga SAS (sisi-sisi-sisi), atau ketika ketiga-tiganya sisi diketahui, tetapi tidak ada sudut yang diketahui, segitiga SSS (sisi-sisi-sisi). Di bahagian ini, kami akan menyiasat alat lain untuk menyelesaikan segitiga serong yang dijelaskan oleh dua kes terakhir ini.

Menggunakan Hukum Kosinus untuk Menyelesaikan Segitiga Miring

Alat yang kita perlukan untuk menyelesaikan masalah jarak kapal dari pelabuhan adalah Undang-undang Cosines, yang menentukan hubungan antara pengukuran sudut dan panjang sisi dalam segitiga serong. Tiga formula membentuk Hukum Kosinus. Pada pandangan pertama, formula mungkin kelihatan rumit kerana merangkumi banyak pemboleh ubah. Namun, apabila coraknya difahami, Hukum Kosinus lebih mudah digunakan daripada kebanyakan formula pada tahap matematik ini.

Memahami bagaimana Hukum Kosinis diturunkan akan sangat membantu dalam menggunakan formula. Derivasinya bermula dengan Teorema Pythagoras Umum, yang merupakan lanjutan dari Teorema Pythagoras ke segitiga tidak betul. Inilah cara kerjanya: Segitiga bukan kanan sewenang-wenang (ABC ) diletakkan di satah koordinat dengan bucu (A ) di tempat asal, sisi (c ) dilukis di sepanjang x-axis, dan bucu (C ) yang terletak di suatu titik ((x, y) ) dalam satah, seperti yang digambarkan dalam Gambar ( PageIndex {2} ). Secara amnya, segitiga ada di mana sahaja di dalam pesawat, tetapi untuk penjelasan ini kita akan meletakkan segitiga seperti yang dinyatakan.

Kita boleh menjatuhkan tegak lurus dari (C ) ke x-paksi (ini adalah ketinggian atau ketinggian). Mengingat identiti trigonometri asas, kita tahu bahawa

( cos theta = dfrac {x (bersebelahan)} {b (hypotenuse)} ) dan ( sin theta = dfrac {y (seberang)} {b (hypotenuse)} )

Dari segi ( theta ), (x = b cos theta ) dan (y = b sin theta ). Titik ((x, y) ) yang terletak di (C ) mempunyai koordinat ((b cos theta, b sin theta) ). Dengan menggunakan sisi ((x − c) ) sebagai satu kaki segitiga kanan dan (y ) sebagai kaki kedua, kita dapat mengetahui panjang hipotenus (a ) menggunakan Teorema Pythagoras. Oleh itu,

( begin {array} {ll} a ^ 2 = {(x − c)} ^ 2 + y ^ 2 [4pt] ; ; ; ; ; = {(b cos theta −c)} ^ 2 + {(b sin theta)} ^ 2 & text {Pengganti} (b cos theta) teks {untuk} x teks {dan} (b sin theta) teks {untuk} y [4pt] ; ; ; ; ; ; = (b ^ 2 { cos} ^ 2 theta − 2bc cos theta + c ^ 2) + b ^ 2 { sin} ^ 2 theta & text {Luaskan petak sempurna.} [4pt] ; ; ; ; ; = b ^ 2 { cos} ^ 2 theta + b ^ 2 { sin} ^ 2 theta + c ^ 2−2bc cos theta & text {Istilah kumpulan yang menyatakan bahawa} { cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta = 1 [4pt] ; ; ; ; ; = b ^ 2 ({ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta) + c ^ 2−2bc cos theta & text {Factor out} b ^ 2 [4pt] end {array} )

(a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos theta )

Formula yang diperoleh adalah salah satu dari tiga persamaan Hukum Kosinus. Persamaan lain dijumpai dengan cara yang serupa.

Perlu diingat bahawa sangat berguna untuk membuat lakaran segi tiga ketika menyelesaikan sudut atau sisi. Dalam senario dunia nyata, cuba lukis gambarajah keadaan. Apabila lebih banyak maklumat muncul, rajah mungkin perlu diubah. Lakukan perubahan pada rajah dan, pada akhirnya, masalahnya akan lebih mudah diselesaikan.

UNDANG-UNDANG KOSIN

Hukum Cosines menyatakan bahawa segi empat sama sisi segitiga sama dengan jumlah petak dua sisi lain tolak dua kali hasil dua sisi yang lain dan kosinus dari sudut yang disertakan.

Untuk segitiga berlabel seperti dalam Rajah ( PageIndex {3} ), dengan sudut ( alpha ), ( beta ) dan ( gamma ), dan sisi yang berlawanan (a ), (b ), dan (c ), masing-masing, Hukum Kosinus diberikan sebagai tiga persamaan.

[a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alpha ]

[b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta ]

[c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2−2ab cos gamma ]

Untuk menyelesaikan pengukuran sisi yang hilang, ukuran sudut bertentangan yang sesuai diperlukan.

Semasa menyelesaikan sudut, ukuran sisi bertentangan yang sesuai diperlukan. Kita dapat menggunakan versi lain dari Hukum Kosinus untuk menyelesaikan sudut.

[ cos alpha = dfrac {b ^ 2 + c ^ 2 − a ^ 2} {2bc} ]

[ cos beta = dfrac {a ^ 2 + c ^ 2 − b ^ 2} {2ac} ]

[ cos gamma = dfrac {a ^ 2 + b ^ 2 − c ^ 2} {2ab} ]

Cara: Mengingat dua sisi dan sudut di antara mereka (SAS), cari ukuran sisi dan sudut segitiga yang tersisa

  1. Lakarkan segitiga. Kenal pasti ukuran sisi dan sudut yang diketahui. Gunakan pemboleh ubah untuk mewakili ukuran sisi dan sudut yang tidak diketahui.
  2. Terapkan Hukum Kosinus untuk mencari panjang sisi atau sudut yang tidak diketahui.
  3. Terapkan Hukum Sinus atau Kosinus untuk mencari ukuran sudut kedua.
  4. Hitung ukuran sudut yang tinggal.

Contoh ( PageIndex {1} ): Mencari Sisi dan Sudut Segitiga SAS yang Tidak Diketahui

Cari sisi dan sudut segitiga yang tidak diketahui dalam Rajah ( PageIndex {4} ).

Penyelesaian

Pertama, perhatikan apa yang diberikan: dua sisi dan sudut di antara mereka. Pengaturan ini diklasifikasikan sebagai SAS dan memberikan data yang diperlukan untuk menerapkan Undang-Undang Cosines.

Masing-masing daripada tiga hukum kosinus bermula dengan segi empat sisi yang tidak diketahui bertentangan dengan sudut yang diketahui. Untuk contoh ini, sisi pertama yang harus diselesaikan adalah sisi (b ), seperti yang kita ketahui pengukuran sudut bertentangan ( beta ).

( begin {array} {ll} b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta [4pt] b ^ 2 = {10} ^ 2 + {12} ^ 2−2 ( 10) (12) cos (30 °) & text {Gantikan pengukuran untuk kuantiti yang diketahui.} [4pt] b ^ 2 = 100 + 144−240 kiri ( dfrac { sqrt {3}} {2} kanan) & teks {Nilai kosinus dan mulailah mempermudah.} [4pt] b ^ 2 = 244-120 sqrt {3} [4pt] b = sqrt {244-120 sqrt {3}} & text {Gunakan sifat punca kuasa dua.} [4pt] b≈6.013 end {array} )

Kerana kita menyelesaikannya dengan panjang, kita hanya menggunakan punca kuasa dua positif. Sekarang setelah mengetahui panjang (b ), kita dapat menggunakan Hukum Sinus untuk mengisi sudut segitiga yang tersisa. Selesaikan untuk sudut ( alpha ), kita ada

( begin {array} {cc} dfrac { sin alpha} {a} = dfrac { sin beta} {b} [4pt] dfrac { sin alpha} {10} = dfrac { sin (30 °)} {6.013} [4pt] sin alpha = dfrac {10 sin (30 °)} {6.013} & text {Gandakan kedua-dua sisi persamaan dengan} 10 . [4pt] alpha = { sin} ^ {- 1} kiri ( dfrac {10 sin (30 °)} {6.013} kanan) & teks {Cari sinus terbalik} dfrac {10 sin (30 °)} {6.013}. [4pt] alpha≈56.3 ° end {array} )

Kemungkinan lain untuk ( alpha ) ialah ( alpha = 180 ° -56.3 ° ≈123.7 ° ). Dalam rajah asal, ( alpha ) bersebelahan dengan sisi terpanjang, jadi ( alpha ) adalah sudut akut dan, oleh itu, (123.7 ° ) tidak masuk akal. Perhatikan bahawa jika kita memilih untuk menerapkan Hukum Kosinus, kita akan mendapat jawaban yang unik. Kita tidak perlu mempertimbangkan kemungkinan lain, kerana kosinus adalah unik untuk sudut antara (0 ° ) dan (180 ° ). Berjalan dengan ( alpha≈56.3 ° ), kita kemudian dapat mencari sudut ketiga segi tiga.

[ start {align *} gamma & = 180 ^ { circ} -30 ^ { circ} -56.3 ^ { circ} & lebih kurang 93.7 ^ { circ} end {align *} ]

Set sudut dan sisi yang lengkap adalah

( alpha≈56.3 ° ) (a = 10 )

( beta = 30 ° ) (b≈6.013 )

( gamma≈93.7 ° ) (c = 12 )

Latihan ( PageIndex {1} )

Cari sisi dan sudut segitiga yang hilang: ( alpha = 30 ° ), (b = 12 ), (c = 24 ).

Jawapan

(a≈14.9 ), ( beta≈23.8 ° ), ( gamma≈126.2 ° ).

Contoh ( PageIndex {2} ): Menyelesaikan Sudut Segi Tiga SSS

Cari sudut ( alpha ) untuk segitiga yang diberikan jika sisi (a = 20 ), sisi (b = 25 ), dan sisi (c = 18 ).

Penyelesaian

Untuk contoh ini, kita tidak mempunyai sudut. Kami dapat menyelesaikan sebarang sudut dengan menggunakan Hukum Kosinus. Untuk menyelesaikan sudut ( alpha ), kita ada

( begin {array} {ll} a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alpha [4pt] {20} ^ 2 = {25} ^ 2 + {18} ^ 2− 2 (25) (18) cos alpha & text {Ganti pengukuran yang sesuai.} [4pt] 400 = 625 + 324−900 cos alpha & text {Permudahkan dalam setiap langkah.} [ 4pt] 400 = 949-900 cos alpha [4pt] −549 = −900 cos alpha & text {Isolate} cos alpha. [4pt] −549−900 = cos alpha [4pt] 0.61≈ cos alpha [4pt] 0.61≈ cos alpha & text {Cari kosinus terbalik.} [4pt] alpha≈52.4 ° end {array} )

Lihat Rajah ( PageIndex {5} ).

Analisis

Kerana kosinus terbalik dapat mengembalikan sudut antara (0 ) dan (180 ) darjah, tidak akan ada kes samar-samar menggunakan kaedah ini.

Latihan ( PageIndex {2} )

Diberi (a = 5 ), (b = 7 ), dan (c = 10 ), cari sudut yang hilang.

Jawapan

( alpha≈27.7 ° ), ( beta≈40.5 ° ), ( gamma≈111.8 ° )

Menyelesaikan Masalah Gunaan Menggunakan Hukum Kosinus

Sama seperti Hukum Sinus memberikan persamaan yang sesuai untuk menyelesaikan sejumlah aplikasi, Hukum Kosinus berlaku untuk situasi di mana data yang diberikan sesuai dengan model kosinus. Kita mungkin melihatnya dalam bidang navigasi, tinjauan, astronomi, dan geometri, hanya untuk beberapa.

Contoh ( PageIndex {3A} ): Menggunakan Undang-Undang Kosinus untuk Menyelesaikan Masalah Komunikasi

Pada banyak telefon bimbit dengan GPS, lokasi perkiraan dapat diberikan sebelum isyarat GPS diterima. Ini dicapai melalui proses yang disebut triangulasi, yang berfungsi dengan menggunakan jarak dari dua titik yang diketahui. Andaikan terdapat dua menara telefon bimbit yang berada dalam jarak telefon bimbit. Kedua-dua menara itu terletak sejauh 6000 kaki di sepanjang lebuh raya lurus, berjalan dari timur ke barat, dan telefon bimbit berada di utara jalan raya. Berdasarkan kelewatan isyarat, dapat ditentukan bahawa isyarat berada (5050 ) kaki dari menara pertama dan (2420 ) kaki dari menara kedua. Tentukan kedudukan telefon bimbit di utara dan timur menara pertama, dan tentukan sejauh mana jaraknya dari lebuh raya.

Penyelesaian

Untuk kesederhanaan, kita mulakan dengan melukis gambar rajah yang serupa dengan Rajah ( PageIndex {6} ) dan melabelkan maklumat yang kita berikan.

Dengan menggunakan Hukum Kosinin, kita dapat menyelesaikan sudut ( theta ). Ingatlah bahawa Hukum Kosinus menggunakan kuadrat satu sisi untuk mencari kosinus dari sudut yang berlawanan. Untuk contoh ini, mari (a = 2420 ), (b = 5050 ), dan (c = 6000 ). Oleh itu, ( theta ) sepadan dengan sisi yang bertentangan (a = 2420 ).

[ start {align *} a ^ 2 & = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos theta [4pt] {(2420)} ^ 2 & = {(5050)} ^ 2 + {( 6000)} ^ 2−2 (5050) (6000) cos theta [4pt] cos theta & ≈ 0.9183 [4pt] cos theta & ≈ 0.9183 [4pt] theta & ≈ { cos} ^ {- 1} (0,9183) [4pt] theta & ≈ 23,3 ° akhir {align *} ]

Untuk menjawab soalan mengenai kedudukan telefon di utara dan timur menara, dan jarak ke jalan raya, turunkan tegak lurus dari kedudukan telefon bimbit, seperti dalam Gambar ( PageIndex {7} ). Ini membentuk dua segitiga tepat, walaupun kita hanya memerlukan segitiga tepat yang merangkumi menara pertama untuk masalah ini.

Dengan menggunakan sudut ( theta = 23.3 ) ° dan identiti trigonometri asas, kita dapat mencari penyelesaiannya. Oleh itu

[ start {align *} cos (23.3 °) & = dfrac {x} {5050} [4pt] x & = 5050 cos (23.3 °) [4pt] x & ≈ 4638.15 , kaki [4pt] sin (23.3 °) & = dfrac {y} {5050} [4pt] y & = 5050 sin (23.3 °) [4pt] y & ≈1997.5 , kaki akhir {align *} ]

Telefon bimbit terletak kira-kira (4638 ) kaki ke timur dan (1998 ) kaki sebelah utara menara pertama, dan (1998 ) kaki dari lebuh raya.

Contoh ( PageIndex {3B} ): Mengira Jarak yang Dilalui Menggunakan Segitiga SAS

Kembali ke masalah kami pada awal bahagian ini, andaikan kapal meninggalkan pelabuhan, bergerak sejauh (10 ​​) batu, membelok (20 ) darjah, dan menempuh perjalanan sejauh (8 ) batu. Berapa jauh dari pelabuhan adalah kapal? Gambarajah diulang di sini dalam Rajah ( PageIndex {8} ).

Penyelesaian

Bot berpusing 20 darjah, jadi sudut segitiga tidak tepat adalah sudut tambahan, (180 ° −20 ° = 160 ° ). Dengan ini, kita dapat menggunakan Hukum Cosines untuk menemukan sisi segitiga yang tidak jelas — jarak perahu ke pelabuhan.

[ start {align *} x ^ 2 & = 8 ^ 2 + {10} ^ 2−2 (8) (10) cos (160 °) [4pt] x ^ 2 & = 314.35 [ 4pt] x & = sqrt {314.35} [4pt] x & ≈17.7 , batu akhir {align *} ]

Bot terletak kira-kira (17.7 ) batu dari pelabuhan.

Persamaan Utama

Undang-undang Cosines

(a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alpha )

(b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta )

(c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2−2ab cos gamma )

Konsep kunci

  • Hukum Cosines menentukan hubungan antara ukuran sudut dan panjang sisi dalam segitiga serong.
  • Teorema General Pythagoras adalah Hukum Cosines untuk dua kes segitiga serong: SAS dan SSS. Menjatuhkan tegak lurus khayalan membelah segitiga serong menjadi dua segitiga kanan atau membentuk satu segitiga kanan, yang membolehkan sisi saling berkaitan dan pengukuran dihitung. Lihat Contoh ( PageIndex {1} ) dan Contoh ( PageIndex {2} ).
  • Hukum Kosinus berguna untuk pelbagai jenis masalah yang berlaku. Langkah pertama dalam menyelesaikan masalah seperti ini adalah dengan membuat lakaran masalah yang dikemukakan. Sekiranya maklumat yang diberikan sesuai dengan salah satu dari tiga model (ketiga persamaan), maka gunakan Undang-Undang Kosinus untuk mencari jalan keluar. Lihat Contoh ( PageIndex {3} ) dan Contoh ( PageIndex {4} ).


Tonton videonya: Обзор фильма Черная вдова 2021 4K в формате Dolby Atmos. Оценка картинки и звука! (Oktober 2021).